偏微分方程的读书报告

读书报告——————读王明新《非线性椭圆型方程》此书系统地介绍了二阶线性椭圆算子的特征值理论，半线性椭圆型方程和方程组的上下解方法及其应用，拓扑度理论和分支理论及其应用，方程组的解耦方法，Nehari 流形方法及其应用，p -Laplace 算子的特征值理论和p -Laplace 方程（组）的上下解方法及其应用。

本书选题先讲，内容新颖丰富，大部分内容取自同行近几年发表的论文（最新的内容是2009年发表的）。

由于我是入学后才读此书，我只读了其中的部分内容，这里我只对前六章的内容写个读书笔记。

书中罗列了同行近几年发表的论文，对读者来说，有难度，同样也是训练读者查参考文献的能力。

此书的第一章内容是介绍后面要用到的相关的预备知识。

第一节，书上对于Banach 空间，引入了Fr ´echet 导数和G ˆateaux 导数（以下简称为F 导数和G 导数）。

定义（F 导数） 称f 在点Ω∈0x 处是F 可微的，如果存在有界线性算子()Y X L A ,∈，使得()()r Au x f u x f 0)(00=--+当0→=r u 时.算子A 成为f 在0x 处的F 导数.定义（G 导数） 设.,:0Ω∈→⊂Ωx Y X f .对任意的,X h ∈当t 适当小时都有Ω∈+th x 0，并且极限()()tx f th x f t 000lim-+→存在，则称f 在0x 处G 导，称其极限是f 在0x 处沿方向h 的G 微分，记为()h x f G 0. 并且给出了两者之间的联系：.导导导连续G F G −−−→← 由定义我们可以看出，F 导比G 导难求。

利用这个关系，在求算子的F 导数的时候，我们可以转化为求G 导，然后只需证明求得的G 导是连续的，利用上面的关系，就知道，我们所求得的G 导就是F 导，这样，我们就把复杂的难于求的F 导转化为易求的G 导。

而本书中后面多次提到了求F 导数。

第二节介绍了无条件局部极值的定义、存在性和必要性。

这一节的内容类似与微积分中学过的一元或是二元函数的局部极值的定义和费马定理，学习的时候结合 内容记忆起来方便。

第三节介绍了在拟线性方程的边值的非负非平凡解的存在性方面的一个应用，前面讲到的知识在例子中多次被用到。

第二章主要介绍二阶线性椭圆算子的特征值问题。

我以前读过叶其孝编写的《反应扩散方程》中有介绍二阶线性椭圆的特征值问题，内容较少，篇幅不多，而这本书中较大篇幅的介绍了二阶线性椭圆的特征值问题，并且内容也比较丰富，可以说是这方面内容的经典汇总。

然而，对于二阶线性椭圆的特征值问题，到目前为止，只是第一特征值的研究比较全面，至于第二特征值以及再高的特征值的研究很贫乏，这方面可作的东西非常多，也可以说是对我们读者来说的一个指引作用。

书中先介绍了一般形式的二阶线性椭圆算子的特征值问题：()()()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂∈=Ω∈=++-=∑∑==x Bu x u u x c u D x b u D x a Lu i ni i ij n j i ij ,0,11,λ 这里的0=Bu 指的是Dirichlet 边值条件、Neumann 边值条件和Robin 边值条件。

假设（A ）L 是一致椭圆的；（B ）()()()()Ω∈C x c x b x a i ij ,,.由于此类算子的特征值结构非常复杂，书中介绍的主要是主特征值的内容，相关的结论是：上述的特征值问题有唯一的主特征值，与它对应的特征函数在Ω内是正的或者负的；其余的非主特征值对应的特征函数如果是实函数，那么它一定在Ω内改变符号；并且特征值的个数是可数个： ,..,21n λλλ。

还有几个重要的结论： 1. 假设()0≥x c ，1λ是特征值问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂∈=+∂∂Ω∈=+∆-x u x b u x a x u u x c u ,0,νλ 的主特征值，并且还是实的和简单的，其中（Ⅰ）()(),0,0≡≡x b x a 或者（Ⅱ）()().0,1≥≡x b x a如果()0≠x c 或者()0≠x b ，则01>λ.如果()()0≡≡x b x c ，则.01=λ 2.设()Ω∈C q ，k 是一个常数。

如果存在正函数ϕ，使得()()⎩⎨⎧Ω∂∈=Ω∈≤≥+∆-x x ku x q ,0,ϕϕϕ则()().1k q ≤≥λ进一步，如果上式不是恒等式，则()().1k q <>λ其次是考虑的散度型的二阶线性椭圆算子的特征值问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂∈=Ω∈=+-=∑=x Bu x u u x q u D x a D Lu i nj i ij j ,0,)(1,λ 假设（A ）L 是一致椭圆的；（B ）()()()()()().,,1Ω∂∈Ω∈Ω∈C x b C x q C x a ij由于此算子是对称算子，故它的特征值的具有非常清晰的结构。

相关的结论有： （1）特征值全是实数；（2）不同的特征值所对应的特征函数是正交的； （3）特征值的极小原理和极大-极小原理； （4）特征值是无界的，即∞=∞→k k λlim ；（5）特征函数系是()Ω2L 中的一个完备正交系；（6）特征值的变化（特征值关于)(x q 是单调增加的，Dirichlet 边值问题的特征值关于区域是单调减少的）；（7）特征值连续依赖于系数()()()x b x q x a ij ,,； （8）若()Ω∈C x q )(，k 为常数，()q m λ是问题()⎩⎨⎧Ω∂∈=Ω∈=+∆-x u x u u x q u ,0,λ 的第m 个特征值，则()()k q k q m m +=+λλ；（9）非完全耦合的二阶线性椭圆方程组的特征值问题： 设()Ω∈αCc ，算子()(),)(1,x a D x aD M i nj i ijj+-=∑=()()x b D x a D N i nj i ij j +-=∑=)(1,都是区域Ω上的一致椭圆算子，特征值分别记为{}∞=1i i ξ和{}∞=1i i η，系数()Ω∈αC b a b a ij ij ,,,.定义⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛Nv v x c Mu v u L )(，则算子L 的谱仅由特征值构成，并且()=L σ{}∞=1i i ξ⋃{}∞=1i i η； （10）Poincare 不等式：（与Sobolev 空间的Poincare 不等式对比记忆）（ⅰ）记01>λ是算子∆-在Ω上带有齐次Dirichlet 边界条件的第一特征值，则(),,1122122Ω∈∀≤H u Du uλ 并且11λ是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。

（ⅱ）记02>λ是算子∆-在Ω上带有齐次Neumann 边界条件的第二个特征值，则(),0,,1122222=∂∂Ω∈∀∇≤-Ω∂Ωνλu H u u u u并且21λ是使得上式成立的最小常数，也称为最佳嵌入常数。

补充：(Bessel 不等式)设X 是一个内积空间，如果{}Λ∈=ααe S 是X 中的正交规范基，那么X x ∈∀,有()22,x e x ≤∑Λ∈αα.研究特征值问题的意义目前主要在于研究主特征值，因为主特征值所对应的特征函数在整个定义域内不改变符号，即恒正或是恒负，这对于后面要讲的生态模型的正共存解的存在性起到关键的作用，这也是本书中在讲共存解时多次采用的方法，这也给读者在研究问题的时候提供了一种很有用的方法。

第三章介绍了椭圆型方程的上下解方法（利用上下解得到解的存在性的方法称为上下解方法），此法是研究非线性偏微分方程的一种重要方法。

对于一个非线性偏微分方程的定解问题，只要比较原理成立，都可以利用上下解方法来处理。

上下解方法非常简单初等，结构又非常深刻。

这种方法即给出了解的存在性，又给出了解的估计。

但此法也有困难的地方，那就是构造合适的上下解。

下面先给出一个一般形式的比较原理，然后依次给出方程式和方程组的上下解方法，最后结合叶其孝编写的《反应扩散方程》总结一下构造上下解的方法。

（比较原理）假设Ω是nℜ中的一个有界区域，()Ω∈∞L x )(η，函数()x q 在Ω内非负连续，常数]1,0(∈α，非负函数()].0()(∞∈C s g .又设函数()Ω∈121,C u u 并且在Ω内是正的，在分布意义下满足()()()()222111)(0)(u g x q u x u u g x q u x u +-∆-≥≥+-∆-ααηη，在边界附件满足()0sup lim 1112),(≤-++→Ω∂ααu u x d . 如果（1）当10<<α时，函数()αss g 关于{}{}⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ΩΩ2121,sup ,,inf u u u u s 单调不减；（2）当1=α时，()x q 是非负非平凡的连续函数，()αss g 关于{}{}⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ΩΩ2121,sup ,,inf u u u u s 严格单增，则21u u ≥在Ω内恒成立。

注：由上面的比较原理，得边值问题()()()⎩⎨⎧Ω∂∈=Ω∈=+-∆-x x u x u g x q u x u ,,0)(ϕηα 有唯一的正解。

下面具体来总结一下方程式的上下解方法。

先对拟线性方程，利用不动点定理证明：如果所讨论的问题具有有序的上下解，那么它在上下解之间一定有解；其次对半线性方程，借助有序上下解构造单调迭代序列，进而得到位于上下解之间的最大解和最小解的存在性。

设Ω是nℜ中的一个有界区域，边界α+∈Ω∂2C，算子c D b D aL i ni i ij nj i ij++-=∑∑==11,在Ω上是一致椭圆算子，系数属于()ΩαC .边界算子,ν∂∂+=ubau Bu 其中()Ω∂∈+α1,C b a 都是非负函数，并且0)()(>+x b x a .考虑下面的边值问题()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂∈=Ω∈=++-=∑∑==x Bu x Du u x f cu u D b u D a Lu i ni i ij n j i ij ,,,,11,φ 定义（上下解）函数()()ΩΩ∈21,C C u u 分别称为上述问题的上下解，如果()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂∈≥Ω∈≥x u B x u D u x f u L ,,,,φ()⎩⎨⎧Ω∂∈≤Ω∈≥x u B x u D u x f u L ,,,,φ 若边界条件是u Bu =，那么上下解的光滑性条件可以减弱为()()ΩΩ∈2,C C u u .定理：假设在Ω∂上()0>x a ，函数u u ,为上述边值问题的上下解，并且满足u u ≥。

记u c Ω=min ，u c Ω=max 。

又设()η,,u x f 关于Ω∈x ，[]u u u ,∈以及n ℜ∈η满足Nagumo条件，即存在连续函数++→R R :ψ,使得()()()[]n u u u x u u x f ℜ∈∈Ω∈∀+≤ηηψη,,,,1,,2.那么上述边值问题存在解u ，并且满足,,N Duu u u ≤≤≤∞其中N 是依赖于L u u ,,,ψ的系数的Nagumo 常数.此定理的意义在于判断椭圆型方程解的存在性。