三角恒等变换综合(习题)
三角恒等变换练习题
1、求值（1）sin72ºsin48º-cos72ºsin42º 1/2（2）1+tan15º1-tan15º3 2、已知sinα=45,α∈(π2,π)，cosβ=-513，β是第三象限角，求cos(α-β)的值。
-33653、已知锐角α、β满足cos α=35,cos (α+β)=- 513,则cos β= 33654、已知sinα= 55,sinβ= 1010，α,β是钝角，求α+β的值。
74π5、已知sin α-cos β=12, cos α-sin β=13，则sin(α+β)= 5972 6．若α、β均为锐角，且tan α=17,sin β=10 10,则α＋2β＝ . 14π 7、设0＜α＜π,sin α+cos α=12,则cos2α的值为 -7/4 8、要使sin α-3cos α=4m-64-m 有意义，则实数m 的取值范围为( D )A ．m ≤73B ．m ≥-1C ．m ≤-1 或m ≥73D ．-1≤m ≤739、已知函数y= 32cosx-12sinx ＋1（1）求函数的最小正周期 （2）求函数的最值及相应的x 的值（3）求函数的单调递增区间 72,2,0.[2,2]66k k πππππ-+-+ 10、计算（1）2cos10º-sin20ºcos20º 3 （2）tan20º+tan40º+ 3 tan20º·tan40º 3（3）cos72ºcos36º 1/4 （4）1sin50º+3cos50º4 （5）sin50º(1+3tan10º) 111、已知sin(α+π6)=13，则cos(2α+π3) = sin(π6-2α)= 2个7/912、升幂公式：1+ cos α= 22cos 2α 1-cos α=22sin 2α1+sin α=2(sin cos )22αα+ 1-sin α=2(sin cos )22αα-降幂公式：cos 2α= 1cos 22α+ sin 2α=1cos 22α-13、若270°＜α＜360°,则12+1212+12cos2α的值等于 （ D ）A ．sin α2B ．cos α2C ．-sin α2D ．- cos α214、若α∈[5π2,7π2]，化简1+sin α+1-sin α为 （ D ）A ．2 cos α2B ．- cos α2C ．-sin α2D ．2 sin α215、已知sin(π4-α)=513,0＜α＜π4,求cos2αcos(π4+α) 24/13 16、已知tan(π4+α)=12(1)求tan α的值 -1/2 (2)求sin2α-cos 2α1+cos2α的值 -5/6 17、计算：（1）cos35°⋅1+cos20°- sin35°⋅1-cos20° 1（2） cos 275º+ cos 215º+ cos75º+cos15º的值为 1+62（3） tan π8 - tan 3π8 -218、设x ∈[0, π3]，求函数y=cos(2x-π3)+2sin(x-π6)的最值 3/2,-1/219、已知函数f(x)=3cos 2x+2sinxcosx+sin 2x ．(1)求f(x)的最大值，并求出此时x 的值; ,228k ππ++(2)函数y=sinx 的图象经过怎样的变换得到函数f(x)的图象。
三角恒等变形-练习题
三角恒等变形-练习题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--3-1-1两角差的余弦公式一、选择题1．cos39°cos9°＋sin39°sin9°等于( )C ．－12D ．－32 2．cos555°的值为( ) B ．－6＋243．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( )2C ．－210D ．－254．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1 D ．－1 5．cos75°＋cos15°的值是( )6．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( )A ．sin2xB ．cos2yC ．－cos2xD ．－cos2y7．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－558．cos π12＋3sin π12的值为( ) A ．－ 29．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( )10．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( ) D ．－12 二、填空题11．cos α＝35，cos β＝513，sin α＝－45，sin β＝1213，则cos(α－β)＝________.12．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝________.13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos α，则tan α＝________.14．化简2cos10°－sin20°cos20°＝________. 三、解答题 15．求值：(1)sin285°；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)． 16．已知sin α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos β＝27，β是第四象限角，求cos(α－β)的值．17．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.18．若α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦一、选择题1．下列等式成立的是( )A ．cos80°cos20°－sin80°sin20°＝12 B ．sin13°cos17°－cos13°sin17°＝12 C ．sin70°cos25°＋sin25°sin20°＝22 D ．sin140°cos20°＋sin50°sin20°＝32 2．cos 5π12的值等于( )3．在△ABC 中，已知sin(A －B )·cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰非直角三角形sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的化简结果是( ) A ．22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋x B ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12C ．22sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋xD ．22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12 5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a6．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为( )A ．0 C ．0或45 D ．0或±457．若α、β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )或2525 D ．－2525 8．若α、β为两个锐角，则( )A ．cos(α＋β)>cos α＋cos βB ．cos(α＋β)<cos α＋cos βC ．cos(α＋β)>sin α＋sin βD ．cos(α＋β)<sin α＋sin β9．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12，则cos(α－β)的值是( )D ．110．(2012·重庆)sin47°－sin17°cos30°cos17°( ) A ．－32 B ．－12 二、填空题11．化简：cos(35°－x )cos(25°＋x )－sin(35°－x )sin(25°＋x )＝________.12．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.13．已知α、β为锐角，且tan α＝23，tan β＝34，则sin(α＋β)＝________. 的值是________． 三、解答题15．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．16．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． 17．求证：sin?2α＋β?sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.18．（暂时不做）已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．3-1-2-2两角和与差的正切一、选择题1．若α、β∈(0，π2)且tan α＝12，tan β＝13，则tan(α－β)( )A ．－17 B ．1 C ．17 D ．152．tan(α＋β)＝25，tan(α－β)＝14，则tan2α＝( )3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)的值等于( )A ．－7B ．7C ．－174．在△ABC 中，若0<tan B tan C <1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不能确定5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan10°D ．3tan20°6．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( )B ．－2π3 或－2π3 D ．－π3或2π37．(2011～2012·长春高一检测)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)的值是( )C ．2 3 的值为( )A ．2＋ 3 C ．2－ 39．已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )10．在△ABC 中，若tan B ＝cos?C －B ?sin A ＋sin?C －B ?，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 二、填空题11．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为____．12．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________.13．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________.14．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______. 三、解答题15．(2011～2012·学军高一检测)已知△ABC 中，3tan A tan B －tan A －tan B ＝ 3.求C 的大小．16．已知tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．17．首先定义向量的乘法：设向量m ＝()11,x y ，n ＝()22,x y ，则m·n ＝1212x x y y ⋅+⋅已知A ，B ，C 是△ABC 的三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1.(1)求角A ；(2)若tan ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝－3，求tan C .18．是否存在锐角α、β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，说明理由．3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．12－sin 215°的值是( )2．若sin α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值为( )C ．－60119D ．－1201193．若x ＝π12，则cos 2x －sin 2x 的值等于( )4．已知sin θ＝45，sin θcos θ<0，则sin2θ的值为( )A ．－2425B ．－1225C ．－455．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )6．定义向量的模：设向量a ＝(),x y ，则a 的模为22x y +.现已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，12的模为22，则cos2θ等于( )－32 B ．－14C ．－127．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )C ．－459D ．－2598．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是( ) A ．－79 B ．－139．(2009·广东)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数10．(2011·宁夏、海南)3－sin70°2－cos 210°＝( )C ．2 二、填空题11．3tan π81－tan 2π8＝________. 12．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin2A ＝________.13．设cos2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ的值是________．14．2002年北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________． 三、解答题15．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求sin2α，cos2α，tan2α的值．16．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)．(1)求sin x 的值． (2)求sin(2x ＋π3)的值．17．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x的值． 18．设函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x ，当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值和最小值．3-2-1三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos?α－π?2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α22．已知cos α＝－15，π2<α<π，则sin α2等于( )A ．－105 C ．－155 ·2cos 2αcos2α等于( )A ．tan αB ．tan2αC ．14．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )5．化简cos2αtan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin2α D ．1－sin2α6．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12－12cos2x ，则f (x )可化为( )－32sin2x ＋32sin2x C ．1－3sin2x D ．－32sin2x 7．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( )A ．28．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C ．12 D ．729．(山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2,sin2θ＝378,则sin θ＝( )10．已知－3π2＜α＜－π，则12＋12·12＋12cos2α的值为( )A ．－sin α2B ．cos α2 C ．sin α2 D ．－cos α2 二、填空题11．已知tan α2＝13，则cos α＝________. 12．若tan α＝2，则tan α2＝________.13．若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x ＝________.14．若cos2θ＝－34，那么sin 4θ＋cos 4θ＝________. 三、解答题15．若已知tan θ2＝2，求cos θ、sin θ的值．16．化简12sin 2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan x 2－tan x 2＋32cos2x 为A sin(ωx ＋φ)的形式．17．已知sin(2α＋β)＝5sin β.求证：2tan(α＋β)＝3tan α. 18．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ,x ∈.(1)求函数f (x )的最大值及此时自变量x 的集合； (2)求函数f (x )的单调递增区间．3-2-2三角恒等式的应用一、选择题1．函数f (x )＝－12sin x cos x 的最大值是( )B ．－12 D ．－142．函数y ＝cos 2x 2－sin 2x2的最小值等于( )A ．－1B ．1 D ．23．函数y ＝sin x1＋cos x的周期等于( )B ．πC ．2πD ．3π4．函数y ＝cos 4x －sin 4x ＋2的最小正周期是( )A ．πB ．2π5．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( )6．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( )7．化简1＋cos80°－1－cos80°等于( )A ．－2cos5°B ．2cos5°C ．－2sin5°D ．2sin5°8．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)的一个单调递增区间是( )A ．[－π2，π2]B ．[5π4，9π4]C ．[－π4，3π4]D ．[π4，5π4] 9．(2011·重庆) 首先定义向量的乘法：设向量m ＝()11,x y ，n ＝()22,x y ，则m·n ＝1212x x y y ⋅+⋅．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )10．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A ．π2B ．π4C ．πD ．2π 二、填空题11．函数y ＝2sin x ＋2cos x 的值域是________．12．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2，则ω＝________.13．函数f (x )＝3sin x －cos x 的单调递增区间是______．14．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题：①函数y ＝f (x )的周期为π；②直线x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； ④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象．其中真命题的序号是________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值及f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值． 16．已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域． 17．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，求f (x )的值域． 18．某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．。
精编三角恒等变换综合提高练习题
精编三角恒等变换综合提高练习题1．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝( )． A.π4 B.3π4 C.π4和3π4 D ．－π4和－3π42．(2012·辽宁)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )．A ．－1B ．－22 C.22 D ．13．(2012·临沂质检)在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )．A.π6 B.π4 C.π3 D.56π4．(2012·郑州六校质量检测)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b ＜cos A ，则△ABC 为( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形5．(2012·长沙模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则a ＋b 的最小值为( )．A.43 .33 C.233 D.4336．α是锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π的值等于A.24B ．－24 C.144 D ．－1447.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α)等于( )A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α D ．cos α 8．－2π＜α＜－3π2，则 1－cos(α－π)2的值是A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin α2 D ．－cos α2 9.cos α－cos3αsin3α－sin α的结果为( )A ．tan α B ．tan2α 10．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( )A ．－23 B ．－13 C.13D.23 11．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) 12．(2012·北京西城模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，∠B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.13．在△ABC 中，sin 2C ＝3sin A sin B ＋sin 2B ，a ＝23b ，则角C ＝________.14．(2012·东北三省四市教研协作体二调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．15．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值为____．16．(2010·山东潍坊检测)已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.17．(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°＝________. 18．[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·1＋cos20°＝________.19．(11分)(2011·广东)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．20．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin 2B ＋C 2－12cos 2A ＝74. (1)求角A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3(b ＞c )，求b 和c 的值．21．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．22．化简：(1－sin α)(1－sin β)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β22.23．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin α的值．。
三角恒等变换练习题一
三角恒等变换练习题一三角恒等变换练题一一、选择题1.已知sin(π/2+θ)=3/5，则cos(π-2θ)=()A。
-12/25B。
-5/25C。
-5/12D。
25/252.若cosα=-4/5,且α在第二象限内，则cos(2α+π/4)为() A。
-31/50B。
31/50C。
-172/50D。
50/503.已知α∈R,sinα+2cosα=10/2，则tan2α=() A。
4/3B。
3/4C。
-4/3D。
-3/44.已知sinα-cosα=2,α∈(0,π)，则sin2α=() A。
-1B。
-2/2C。
2/2D。
15.已知sin(x-π/4)=3/5，则sin2x的值为()A。
-7/25B。
79/16C。
25D。
26.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于() A。
13√2/2B。
3C。
2D。
2√3/27.函数f(x)=sinx(cosx-sinx)的最小正周期是()A。
π/4B。
π/2C。
πD。
2π8.函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-3cos^2x(π/4≤x≤2)的最大值为() A。
2B。
3C。
2+3D。
2-39.为了得到函数y=sin(2x-π/3)的图像，只需把函数y=sin(2x+π/6)的图像()A.向左平移π/4个长度单位B.向右平移π/4个长度单位C.向左平移π/2个长度单位D.向右平移π/2个长度单位10.函数y=sinxsin(x+π/3)+cosxcos2x的最大值和最小正周期分别为()A.1,πB.2,2πC.1+3√3/2,πD.2+2√3/3,2π11.函数y=sin2x+3cos2x-的最小正周期等于()A.πB.2πC.π/4D.π/212.若cos(3π-x)-3cos(x+π/4)=,则tan(x+π/4)等于()A.-B.-2C.D.213.将函数y=3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.5π/2B.3π/5C.2π/5D.π/514.若sin(-α) = 1/3，则cos(2α)的值为 -43/3.15.若f(x) = 2tan(x/2) - 1，则f(π/4)的值为 4/3.16.已知α∈(π/2,π)，sinα + cosα = -1，则tan(α+π/4)等于 -7.17.若cosθ = 2/5，sinθ = -2/5，则角θ的终边所在的直线为24x + 7y = 0.18.已知锐角α的终边上一点P(sin40°,1+cos40°)，则锐角α的度数为 50°。
高中数学三角恒等变换习题及答案
第三章 三角恒等变换一、选择题1．函数y ＝sin α＋cos α⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＜ ＜ 0α的值域为( )．A ．(0，1)B ．(－1，1)C ．(1，2]D ．(－1，2)2．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )． A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞23．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ2sin ＋12cos 的值为( )．A ．3B ．－3C ．－2D ．－214．已知 α∈⎪⎭⎫⎝⎛2π3 ，π，并且sin α＝－2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－345．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α＝( )． A ．－47B ．47 C ．－74 D ．74 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形7．若0＜α＜2π＜β＜π，且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，则sin α 的值是( )．A ．271B ．275C ．31D ．2723 8．若cos (α＋β)·cos (α－β)＝31，则cos 2 α－sin 2 β 的值是( )．A ．－32B ．31C ．－31D ．32 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0D ．sin 2A ＋sin B ＝010．函数f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x 是( )．A ．周期为 π 的偶函数B ．周期为π 的奇函数C ．周期为2 π的偶函数D ．周期为2π的奇函数二、填空题 11．已知设α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，若sin α＝53，则2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝ ． 12．sin 50°(1＋3tan 10°)的值为 ． 13．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝534，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α的值是 ． 14．已知tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝21，则ααα2cos ＋1cos －2sin 2的值为 ．15．已知tan α＝2，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛2π3＋2α的值等于 ． 16．sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61，α∈⎪⎭⎫⎝⎛ π，2π，则sin 4α 的值为 ．三、解答题17．求cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值．18．求值：①(tan10°－3)︒︒50sin 10cos ； ②︒︒︒20cos 20sin －10cos 2．19．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53，127π＜x ＜47π，求x x x tan －1sin 2＋2sin 2的值．20．若sin α＝55，sin β＝1010，且α，β 均为钝角，求α＋β 的值.参考答案一、选择题 1．C解析：∵ sin α＋cos α＝2sin (α＋4π)，又 α∈(0，2π)，∴ 值域为(1，2]． 2．A解析：∵ a ＝2sin (α＋4π)，b ＝2sin (β＋4π)，又4π＜α＋4π＜β＋4π＜2π． 而y ＝sin x 在［0，2π］上单调递增，∴ sin (α＋4π)＜sin (β＋4π)．即a ＜b ．3．A 解析：由θθtan ＋2tan 1－＝1，解得tan θ＝－21，∴ θθ2sin ＋12cos ＝222sin ＋ cos sin － cos )(θθθθ＝θθθθsin ＋ cos sin － cos ＝θθ tan ＋ 1 tan － 1＝⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛21 － ＋ 121 － － 1＝3． 4．D解析：sin α＝－2524，α∈(π，2π3)，∴ cos α＝－257，可知tan α＝724． 又tan α＝2tan － 12tan22αα＝724． 即12 tan 22α＋7 tan 2α－12＝0． 又 2α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ，2π，可解得 tan 2α＝－34． 5．C解析：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝)－()＋(－)－()＋＋(βαβαβαβαtan tan 1tan tan ＝－74．6．C解析：由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos (A ＋B )＞0⇒cos C ＜0， ∴ △ABC 为钝角三角形． 7．C解析：由0＜α＜2π＜β＜π，知2π＜α＋β＜23 π 且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，得sin β＝322，cos (α＋β)＝－924． ∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝31．8．B解析：由cos (α＋β)·cos (α－β)＝31，得cos 2α cos 2 β－sin 2α sin 2 β＝31，即cos 2 α(1－sin 2 β)－(1－cos 2 α)sin 2 β＝31，∴ cos 2 α－sin 2 β＝31．9．A解析：由tan A －A 2sin 1＝tanB ，得A 2sin 1＝tan A －tan B ⇒A A cos sin 21＝BA B A cos cos －sin )(⇒cos B ＝2sin A sin (A －B )⇒cos [(A －B )－A ]＝2sin A sin (A －B ) ⇒cos (A －B )cos A －sin A sin (A －B )＝0，即cos (2A －B )＝0．∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ －2π＜2A －B ＜π， ∴ 2A －B ＝2π⇒sin 2A ＝cos B ，即sin 2A －cos B ＝0． 10．B解析：由sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x ＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x －4π＝cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋4π，得f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋4π＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π＋2x ＝sin 2x ．二、填空题 11．15． 解析：由α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2π,0，sin α＝53得cos α＝54，2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝cos α－sin α＝51． 12．1．解析：sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°·︒︒︒10cos 10sin 3＋10cos＝sin50°·︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒10 cos 10sin 23＋10 cos 212＝sin50°·︒︒10cos 50cos 2＝︒︒10cos 100sin ＝︒︒10cos 10cos ＝1． 13．－45． 解析：cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πα＋sin α＝23cos α＋21sin α＋sin α ＝23( cos α＋3sin α)＝534， 所以cos α＋3sin α＝58． sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6π7α＝sin αcos6π7＋cos αsin 6π7 ＝－23sin α－21cos α＝－21(3sin α＋cos α)＝－54． 14．－65． 解析：由tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝ααtan 4πtan －1tan ＋4πtan ＝ααtan －1tan ＋1＝21，解得tan α＝－31，∴ ααα2cos ＋1cos －2sin 2＝αααα22cos 2cos －cos sin 2 ＝αααcos 2cos －sin 2＝tan α－21 ＝－31－21＝－65． 15．45． 解析：tan α＝ααcos sin ＝2，sin α＝2cos α．又sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以sin 2 α＝54，又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2π32α＝sin 2α＝2sin αcos α＝sin 2α＝54． 16．－924． 解析：∵ sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 4π＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π － 2π＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πcos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α2 ＋ 2π＝31．∴ cos 2α＝31，又 α∈(2π，π)，∴ 2α∈(π，2π)．∵ sin 2α＝－α2cos －12＝－322， ∴ sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－924． 三、解答题17．解：cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos (43°＋77°)＝cos 120°＝－21． 18．①解法1： 原式＝(tan 10°－tan 60°)︒︒50sin 10cos ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒︒cos60sin60 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝︒︒︒60cos 10cos 50－sin )(·︒︒50sin 10cos＝－2． 解法2：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒3 － cos10sin10︒︒50sin 10cos ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒︒cos10cos103－sin10︒︒50sin 10cos ＝︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒50 sin 10 cos 23－10 sin 212 ＝︒︒︒50sin 60－10sin 2 )(＝－2． ②解：原式＝︒︒︒︒20cos 20sin －20－30cos 2 )(＝︒︒︒︒︒︒20cos 20sin －20sin 30sin 2＋20cos 30cos 2＝︒︒︒20cos 20cos 30cos 2＝3．19．解：∵127π＜x ＜47π，∴ 65π＜4π＋x ＜2π．又cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝53＞0，∴ 23π＜4π＋x ＜2π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－54，tan ⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＝－34．又 sin 2x ＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2 ＋ 2π＝－cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－2cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＋1＝257，∴ 原式＝xx xx cos sin －1sin 2＋2sin 2＝x x x x x x sin －cos cos sin 2＋cos 2sin 2＝xx x x x sin －cos sin ＋cos 2sin )(＝xx x tan －1tan ＋12sin )(＝sin 2x ·tan (4π＋x ) ＝－7528．20．解：∵ α，β 均为钝角且sin α＝55，sin β＝1010， ∴ cos α＝－α2sin 1-＝－552，cos β＝－β2sin 1-＝－10103， ∴ cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1010355-×1010＝22．又 2π＜α＜π， 2π＜β＜π，∴ π＜α＋β＜2π，则α＋β＝4π7．。
三角恒等变换(测试题及答案)
三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。
A。
0.B。
1/2.C。
1/4.D。
1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。
1/2.B。
2/3.C。
3/4.D。
4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。
π。
B。
2π。
C。
4π。
D。
π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。
-2/3.B。
-1/3.C。
1/3.D。
2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。
-7/24.B。
-1/8.C。
1/8.D。
7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。
[0,1]。
B。
[-1,1]。
C。
[-1/2,1/2]。
D。
[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。
向右平移π/4个单位。
B。
向左平移π/4个单位C。
向右平移π/2个单位。
D。
向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。
3/5.B。
4/5.C。
5/6.D。
5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。
x=π/4.B。
x=π/6.C。
x=π/2.D。
x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。
12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。
三角恒等变换综合测试题
三角恒等变换综合测试题（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12=（ ） A ．－32 B ．－12 C ．12D ．32 2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为（ ）A ．－32B ．－12C ．12D ．323．tan15°＋1tan 15°=（ ）A ．2B ．2＋ 3C ．4D ．4334．在△ABC 中，tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C =（ ） A ．45° B ．135° C ．150° D ．30°5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是（ ）A ．43B ．34C ．53D ．126．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x ＝π4 B ．x ＝π2 C ．x ＝π D ．x ＝3π27．函数y ＝2sin x （sin x ＋cos x ）的最大值为（ ） A ．2＋1 B ．2－1 C ． 2 D ．2 8．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为（ ）A ． 2B ．－22C ．2D ．2或－229．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是（ ） A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．7910．已知sin （45°＋α）＝55，则sin2α=（ ）A ．－45B ．－35C ．35D ．4511．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π4个单位C ．向右平移π2个单位D ．向左平移π4个单位12．已知cos （α－β）＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α=（ ） A ．3365 B ．6365 C ．－3365 D ．－6365二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．方程sin x ＋3cos x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 14．3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．15．已知α是第三象限角且sin α＝－2425，则tan α2＝________．16．设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则α2tan ＝________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2．求：tan （α＋β）及α＋β的值．18．（12分）求值：1sin 10°－3sin 80°．19．（12分）在△ABC 中，sin （A －B ）＝15，sin C ＝35，求证：tan A ＝2tan B ．20．（12分）求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值与最小值． 21．（12分）已知函数f （x ）＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g （x ）＝12sin2x －14． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的最大值，并求使h （x ）取得最大值的x 的集合． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x ． （1）求f （x ）的周期和单调递增区间；（2）若关于x 的方程f （x ）－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．第三章 三角恒等变换综合测试题答案一、选择题1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．C 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．A 提示：1．⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32． 2．原式＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin30°＝12．3．原式＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝1sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝4．4．由题意得tan A ＋tan B ＝－1＋tan A tan B ，所以tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，所以A ＋B ＝135°，C ＝45°．5．因为0<θ<π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，34π，所以22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，1<sin θ＋cos θ≤2． 6．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π6－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ． 7．y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，所以y max ＝2＋1． 8．因为π<2θ<2π，所以π2<θ<π，则tan θ<0，tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2（舍去），所以tan θ＝－22．9．cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝79． 10．sin （α＋45°）＝22（sin α＋cos α）·＝55，所以sin α＋cos α＝105，两端平方得1＋sin2α＝25，所以sin2α＝－35． 11．由于y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4，那么函数y ＝sin x －cos x的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象向右平移π2个单位得到的．12．由于α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，因此α－β∈（0，π），又由于cos （α－β）＝35>0，因此α－β∈（0，π2），sin （α－β）＝45且cos β＝1213，sin α＝sin （α－β＋β）＝sin （α－β）cos β＋cos （α－β）sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365． 二、填空题13．[－2，2] 14．1 15．－43 16．－43提示：13．因为a ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以－2≤a ≤2． 14．因为3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan45°＝1，所以3tan 15°＋13－tan 15°＝1．15．因为α是第三象限角，sin α＝－2425，所以cos α＝－725，所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43．16．()513sin sin 2cos cos 2sin sin 2sin sin 3sin =+=+=αααααααααα， 所以2α2cos ＋α2cos ＝513，即2α2cos －1＋α2cos ＝58， 所以α2cos ＝54.因为2πk －2π<α<2πk ，k ∈Z ，所以4πk －π<2α<4πk ，又因为α2cos ＝54>0，所以2α为第四象限的角．所以αα2cos 12sin 2--=＝－53，所以α2tan ＝－43.三、解答题17．解：因为tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，所以tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，所以tan （α＋β）＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1，因为0<α<π2，π<β<3π2，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝5π4．18．解：原式＝1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°12sin 20°＝20sin )10sin 30cos 10cos 30(sin 4-＝4sin 30°－10°sin 20°＝4sin 20°sin 20°＝4．19．解：因为A ＋B ＋C ＝π，所以C ＝π－（A ＋B ），所以sin C ＝sin （A ＋B ）＝35，所以sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，①又sin （A －B ）＝sin A cos B －cos A sin B ＝15，②由①②联立得⎩⎨⎧sin A cos B ＝25③cos A sin B ＝15④③÷④得sin A cos Bcos A sin B＝2，所以tan A ＝2tan B ．20．解：y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin2x ＋4cos 2x （1－cos 2x ） ＝7－2sin2x ＋4cos 2x sin 2x ＝7－2sin2x ＋sin 22x ＝（1－sin2x ）2＋6， 当sin2x ＝1时，y min ＝6；当sin2x ＝－1时，y max ＝10．21．解：（1）因为f （x ）＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos2x －14， 所以f （x ）的最小正周期为2π2＝π；（2）h （x ）＝f （x ）－g （x ）＝12cos2x －12sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π（k ∈Z ）时，h （x ）取得最大值22，此时，对应的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝kx －π8，k ∈Z ． 22．解：（1）f （x ）＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x ＝1＋sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）； （2）x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f （x ）的值域为[2，3]，而f （x ）＝m ＋2，所以m ＋2∈[2，3]，即m ∈[0，1]．。
三角恒等变换综合 (详细答案)
题一函数f (x )=sin x (cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π4 B. π2C. πD. 2π 答案：注意公式选用同类题一题面：函数y ＝2cos x (sin x ＋cos x )的最大值和最小正周期分别是( ) A ．2，π B.2＋1，π C ．2,2πD.2＋1,2π答案：B. 详解：y ＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时取得最大值2＋1，最小正周期T ＝2π2＝π.同类题二 题面：函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2，x ∈R . 求f (x )的最小正周期；答案：4π.详解：f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4.∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.题二题面：设θ为第二象限角，若π1tan()42θ+=，则sin cos θθ+=______．答案：同类题一题面：若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝()A.15 B.14 C.13 D.12答案：D. 详解：∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，∴sin2θ＋cos2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝1 2.同类题二题面：已知tan θ＝2，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝()A．2 B．－2C．0 D.2 3答案：B. 详解：原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.题一题面：在△ABC中，若2cos B sin A=sin C，则△ABC的形状一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形答案：C同类题一题面：已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形答案：C. 详解：依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58，12<58<32，因此30°<B <60°，或120°<B <150°.若30°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.同类题二 题面：在三角形ABC 中，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B tan (C －π)<0，求证：三角形ABC 为钝角三角形． 答案：见详解.详解：若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋B tan (C －π)<0，则(－sin A )(－cos B )tan C <0， 即sin A cos B tan C <0，∵在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，0<C <π， ∴sin A >0，⎩⎨⎧ cos B <0，tan C >0或⎩⎨⎧tan C <0，cos B >0，∴B 为钝角或C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．题二题面：设π,2Zkkα≠∈，sin tancos cotTαααα+=+，则( )A. T < 0B. T ≤ 0C. T > 0D. T的值可正可负答案：同类题一题面：三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cosA－sin C)，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是()A．1 B．－1C．3 D．4答案：B.详解：因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sin A>sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B>0，同理cos A－sin C<0，所以点P在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.同类题二题面：已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α1＋1tan2α＝________.答案：0. 详解：原式＝cos α1＋sin2αcos2α＋sin α1＋cos2αsin2α＝cos α1cos2α＋sin α1sin2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0.题三题面：求值：oo o o tan 20tan 4020tan 40++.答案： 3同类题一题面：若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________． 答案：2. 详解：－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2.同类题二 题面：若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )A ．1B.110 C ．1或110D ．1或10答案：C. 详解：tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg 10a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－lg 10a ·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.题四题面：设当x θ=时，函数f (x )=sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ=______答案：5-同类题一 题面：当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________. 答案：56π. 详解：利用正弦函数的性质求解． ∵y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)， ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3(0≤x <2π)．由0≤x <2π知，－π3≤x －π3<5π3，∴当y 取得最大值时，x －π3＝π2，即x ＝56π.同类题二 题面：函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32答案：[－3，3]． 详解：将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解．∵f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )，∴f (x )的值域为[－3，3]．题五 题面：已知1sin cos ()1sin cos x xf x x x+-=++，(1)计算f (x )+ f (－x )的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性.答案：同类题一题面：已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式． 答案： (1)略. (2) f (x )＝x1＋2x 2详解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.同类题二题面：已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 答案：(1)－2.(2)略. 详解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.题一题面：在△ABC 中，若tan A +tan B +tan C >0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定答案：C同类题一题面：在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 答案：(1) A ＝120°.(2)等腰的钝角三角形． 详解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，∵0<A <180°，∴A ＝120°. (2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34. 又sin B ＋sin C ＝1， 解得sin B ＝sin C ＝12.∵0°<B <60°，0°<C <60°，故B ＝C ， ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．同类题二 题面：已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状． 答案：(1)A ＝π3.(2)△ABC 为等边三角形． 详解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，∴m ·n ＝4cos 2A2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72， 解得cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．题二题面：oo 4cos50tan 40- = ( )A B ．2+ C D ．1-答案：C同类题一题面：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32.答案：C.详解：原式＝sin 30°＋17° －sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.同类题二题面： 计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.答案： 2.详解：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80° ＝2 s in 30°cos 10°＋cos 30°sin 10° 2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.题一题面：方程x 2－2a sin(cos x )+a 2=0仅有一个解，求a 的值.答案：0或2sin1同类题一题面：若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为()A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1±5D ．－1－ 5答案：B.详解： 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.同类题二题面：已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两根，则a ＝________. 答案：1－ 2详解：由题意知，原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.∵⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2－2a －1＝0，∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)．。
三角恒等变换综合算式练习题
三角恒等变换综合算式练习题在学习三角学时，我们经常会遇到涉及三角恒等变换的综合算式练习题。
通过解决这些练习题，可以帮助我们加深对三角函数恒等式的理解和运用。
下面，我将给出一些练习题，并逐步解答，希望能为大家提供一些参考和帮助。
1. 练习题一：若已知sin²θ = a，cosθ = b，其中0 < θ < π/2，求证：tanθ = √(a/b - 1)。
解答：首先，我们先将tanθ用其他三角函数表示，即tanθ = sinθ/cosθ。
然后，将已知的sin²θ和cosθ代入，得到tanθ = √(a/b)。
接下来，我们需要证明√(a/b - 1)与√(a/b)是相等的。
为了证明这个恒等式，我们可以进行平方运算：左边：[√(a/b - 1)]² = a/b - 1右边：[√(a/b)]² = a/b显然，左边等于右边，所以√(a/b - 1) = √(a/b)。
综上所述，我们证明了tanθ = √(a/b - 1)。
2. 练习题二：已知cos²θ = p，sinθ>0，求证：cosθ = √(1 - p)。
解答：我们可以利用三角恒等变换公式sin²θ + cos²θ = 1，在已知条件cos²θ = p的基础上，将它代入这个恒等式，得到sin²θ = 1 - p。
根据已知条件sinθ>0，我们知道sinθ = √(1 - cos²θ)。
将这个式子代入sin²θ = 1 - p，得到1 - cos²θ = 1 - p。
经过简化运算，我们得到cosθ = √(1 - p)。
因此，我们证明了cosθ = √(1 - p)。
3. 练习题三：已知tanθ = m，求证：sin²θ = m² / (m² + 1)。
解答：首先，我们可以利用三角函数的定义，将tanθ表示为sinθ/cosθ。
三角恒等变换综合练习(解析版)
答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】如图：在Rt△OCB中，设∠COB=α，则OB=2cosα,BC=2sinα，在Rt△OAD中，DAOA=tan45°=1，所以OA=DA=2sinα，∴AB=OB−OA=2cosα−2sinα，设矩形A BCD的面积为S，则S=AB⋅BC=(2cosα−2sinα)⋅2sinα=4(12sin2α−sin2α)=2(sin2α+cos2α)−2=2√2sin(2α+π4)−2，由于0<α<π4，所以当α=π8时，S最大=2√2−2，故答案为：C【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型，利用三角函数的性质求最值。
2.【答案】D【解析】【解答】由f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由x=−5π6和x=π6为两条相邻的对称轴，所以周期T2=π6−(−5π6)=π，所以T=2πω=2π，解得ω=1.故答案为：D.【分析】直接由对称轴得半周期为π，再利用周期公式求解即可。
3.【答案】D【解析】【解答】y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，将函数的图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度，可得y=2sin(x−m−π3)，此函数图像关于y轴对称，则−m−π3=kπ+π2(k∈Z)，解得m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，m取得最小值π6，故答案为：D。
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用图象的平移变换结合图象的对称性，从而推出函数图像关于y轴对称，再利用函数图象的对称性，从而求出m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，从而求出m的最小值。
4.【答案】D【解析】【解答】解：由辅助角公式得：f(x)=√a2+b2sin(2x+φ)，由f(x)≤f(π6)恒成立，得2×π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)，所以φ=2kπ+π6(k∈Z)，取φ=π6，从而f(x)=√a2+b2sin(2x+π6)，由f(11π12)=0得①正确，由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)，②不正确，根据正弦函数的奇偶性易得③显然正确，由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，得对称轴为x=kπ2+π6(k∈Z)，④正确，故答案为：D．【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再由f(x)≤f(π6)恒成立，得出φ的值，从而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称点和对称轴，并判断出正弦型函数的单调性，从而求出对应的单调递增区间，再利用奇函数和偶函数的定义判断出正弦型函数的奇偶性，从而找出说法正确的序号。
三角恒等变换综合习题
学习文档 仅供参考三角恒等变换考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷〔选择题〕请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题〔题型注释〕1．以下等式中恒成立的是〔 〕A 、cos()cos cos sin sin AB A B A B -=- B 、cos()cos sin sin cos A B A B A B +=-C 、sin()sin sin cos cos A B A B A B +=+D 、sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-2．设31)4sin(=+θπ，则sin2θ=A. －97B. －91C. 91D. 973．=-17cos 30cos 17sin 47sin A. －23 B. －21 C. 21 D. 234．函数y ＝12sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋5sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭的最大值为( ) A ．6 B ．17 C ．13D ．125．已知α为第三象限角，且sin α＝－2425，则tan 2α的值是( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－436．假设4cos5α=-，α是第三象限的角，则sin()4πα+= ( )A 、10 B 、10- C 、 10 D 、10-试卷第2页，总8页7．已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4πα+=〔 〕 A.7 B.-7 C.17- D.178．00tan1051tan1051-+的值为( ) A.33B ．－33C.3D ．－39．已知1sin cos ,(0,)5αααπ+=∈，则tan α的值为〔 〕 A ．－43或－34 B ．43或34 C ．－34 D ．－4310．假设f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝( )A.3－cos2xB.3－sin2xC.3＋cos2xD.3＋sin2x11．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=〔 〕A.43-B.54C.34- D.4512．设sin 〔4πθ+〕=13，sin2θ=〔 〕A.79-B.19- D.19 D.7913．已知sin2α=，则cos 2(α+)=〔 〕〔A 〕16 〔B 〕13 〔C 〕12 〔D 〕2314．已知tan α、tan β是方程04332=++x x 的两根，且)2,2(,ππβα-∈，则=+βα ( )A ．3π或32π- B ．3π-或32π C ．32π- D ．3π 15．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且133()sin 2cos 2)2a f x a x x b=+++3sin 22sin(2)23a a x xb a x b π=+=-+，则锐角3511222,2321212k x k k x k πππππππππ+≤-≤++≤≤+为〔 〕 A ．511[,],1212k k k Z ππππ∴++∈学习文档 仅供参考B．20,2,sin(2)123333x x x πππππ≤≤-≤-≤≤-≤ C．min max ()2,()f x b f x a b =+=-=+= D．2222a a b b a b ⎧=⎧-+=-⎪⎪⇒⎨⎨=-+⎪⎩⎪+=⎩16．已知3,2ππαβ<+<, 0,4παβ<-<, 则123cos()sin()135αβαβ-=+=-，的值为 ( ) A ．54sin()cos()135αβαβ-=+=-， B ．cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ=-++=-+--+C ．1245363()()13513565⨯--⨯-=- D ．131817．假设sin()3B π=+=〔203B π<<，2〕，2333B πππ<+<=〔2，sin()13B π<+≤〕则sin sin B c +与1]的夹角θ等于A. 300B. 450C. 600D. 75018．已知平面上C B,A,三点共线，则对于函数)(x f ，以下结论中错误的选项是．．．．．．〔 〕 A.周期是π B.最大值是2是函数的一个对称点 D.19，则ααsin cos -的值是〔 〕20．sin163sin 223sin 253sin313+=〔 〕A试卷第4页，总8页21．已知32,244x k k ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 2x 的值是〔 〕 A 、725-B 、2425-C 、2425D 、7252232tan131cos50cos6sin 6,,,21tan 13b c --==+则有〔 〕 A.a b c >> B.a b c << C.a cb << D.bc a <<23．2sin75°cos75°的值为 A1 D 24．已知41)6sin(=+απ，则ααsin 3cos +的值为( ) A ．41-B ．21C ．2D ．-1 25．函数2sin ()y x x R =∈的最小正周期为 A. 2π B. π C.2π D. 4π26．cos 42cos78sin 42cos168+= ( )A、12- B 、12 C 、学习文档 仅供参考第II 卷〔非选择题〕请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题〔题型注释〕27．已知1sin(),23πθ+=则cos 2θ= ； 28．化简sin13cos17cos13sin17︒︒+︒︒= .29．已知44cos(),cos()55αβαβ+=-=-且3(),22παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，(),2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=30．计算以下几个式子：①2(sin35︒cos25︒+sin55︒cos65︒)， ②tan 25tan 353tan 25tan 35︒+︒+︒︒，③2tan61tan6ππ-，④1tan151tan15+︒-︒，⑤12sin 212cos244ππ-结果为3的是 〔填上所有你认为正确答案的序号〕 31．假设171tan =α，则 αα2cos 2sin = 32．已知1(0,),sin cos ,tan 22a a a απ∈+=且则的值为 。
三角恒等变换 练习题
三角恒等变换练习题题目1：已知三角形ABC，其中∠A=60°，AD是边BC上的高线。
请证明，当且仅当AC^2=AB×AD时，三角形ABC为等腰三角形。
解法：设∠B=α，∠C=β，根据三角形内角和定理，有α+β+60°=180°，即α+β=120°。
由于∠A=60°，所以∠CBA=180°-60°-α=120°-α。
因为AD是边BC上的高线，所以∠ADB=90°，所以∠BDA=180°-90°-β=90°-β。
根据余弦定理，在△ABC中，有AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC×cosα。
根据余弦定理，在△ABD中，有AD^2=AB^2+BD^2-2AB×BD×cos(90°-β)。
因为∠CBA=120°-α，所以∠BAC=α，所以cosα=cos(180°-α)=-cos(120°-α)。
因为∠BDA=90°-β，所以cos(90°-β)=sinβ。
代入上面两个式子，得到AC^2=AB^2+BC^2+2AB×BC×cos(120°-α)。
由于α+β=120°，所以cos(120°-α)=cos(α+β)=cosβ。
所以AC^2=AB^2+BC^2+2AB×BC×cosβ。
当且仅当AC^2=AB×AD时，即AB^2+BC^2+2AB×BC×cosβ=AB×(AB+BD)，则有AB×BD=BC^2，即∠B=∠C。
所以当AC^2=AB×AD时，三角形ABC为等腰三角形。
题目2：已知三角形ABC，其中∠A=45°，BD是边AC的平分线，DM是边BC的中线，E是边AC上的点，且ME ⊥ AC。
三角恒等变换练习题
三角恒等变换练习题1. 证明： sin^2(x) + cos^2(x) = 1解析：根据三角恒等变换公式 sin^2(x) + cos^2(x) = 1，我们需要证明这个公式的正确性。
下面是证明过程：由于 sin(x) = opp/hyp 和 cos(x) = adj/hyp，其中 opp 表示对边，adj 表示邻边，hyp 表示斜边。
根据勾股定理，我们知道在一个直角三角形中，斜边的平方等于对边的平方与邻边的平方之和。
即 hyp^2 = opp^2 + adj^2。
将 opp/hyp 和 adj/hyp 代入上述公式，则得到：sin^2(x) + cos^2(x) = (opp/hyp)^2 + (adj/hyp)^2 = opp^2/hyp^2 +adj^2/hyp^2 = (opp^2 + adj^2)/hyp^2由于 opp^2 + adj^2 = hyp^2，代入上面的等式可以得到：sin^2(x) + cos^2(x) = (opp^2 + adj^2)/hyp^2 = hyp^2/hyp^2 = 1因此，sin^2(x) + cos^2(x) = 1 成立，证毕。
2. 化简：tan(x) / (sec(x) - 1)解析：我们需要将表达式 tan(x) / (sec(x) - 1) 进行化简。
下面是化简过程：首先，我们知道 tan(x) = sin(x) / cos(x) 和 sec(x) = 1 / cos(x)。
将上述等式代入表达式 tan(x) / (sec(x) - 1)，得到：(sin(x) / cos(x)) / (1 / cos(x) - 1)接下来，我们需要找到表达式中的公共分母，并进行合并。
首先，将 1 / cos(x) 相减得到：1 / cos(x) - 1 = (1 - cos(x)) / cos(x)代入原表达式，得到：(sin(x) / cos(x)) / ((1 - cos(x)) / cos(x))接下来，我们将除法转化为乘法，并得到：(sin(x) / cos(x)) * (cos(x) / (1 - cos(x)))cos(x) 可以约去，得到最终的结果：sin(x) / (1 - cos(x))因此，化简后的结果为 sin(x) / (1 - cos(x))。
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。
答案：B。
通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。
2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。
答案：C。
通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。
答案：B。
通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。
答案：B。
通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。
5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。
答案：D。
第三章三角恒等变换(含解析)
第三章 三角恒等变换试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1=（）A ．1B ．2 CD． 2.cos 27°cos 57°-sin 27°cos 147°等于( ) A 、 B 、- C、 D 、-3.已知函数f(x)=(sin x-cos x)sin x,x ∈R,则f(x)的最小正周期是( ) A 、π B 、2π C 、 D 、2 4．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．3-B ．2-C ．1- D．5．函数2sin cos y x x x =+-的图象的一个对称中心是（ ）A.2(,3πB.5(,6πC.2(3π-D.(,3π 6. △ABC 中，090C ∠=，则函数2sin 2sin y A B =+的值的情况（ ）A ．有最大值，无最小值B ．无最大值，有最小值C ．有最大值且有最小值D ．无最大值且无最小值 7.设sin θ=,cos θ=-,则2θ的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8.若(4tan α+1)(1-4tan β)=17,则tan(α-β)的值为( ) A.B. C.4 D.12 9.在△ABC 中,已知tan=sin C,则△ABC 的形状为( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 10.若点P(cos α,sin α)在直线y=-2x 上,则sin 2α+cos (2α+)等于( ) A.0B.C.D.11. 已知sin α=,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为( )A.B. C. D.12.已知不等式3sincos +cos 2--m≤0对于任意的x ∈恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.[,+∞) B.(-∞,) C.(-∞,-] D.[-,]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知tan(x+)=-2,则sin 2x+2cos 2x= . 14. 函数xx y sin 12tan -=的最小正周期是___________________。
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三角恒等变换综合（习题）
➢ 巩固练习
1. 已知1sin cos 5θθ+=，且π3π
24
θ≤≤，则cos2θ=（ ）
A ．725
B ．725-
C ．2425-
D ．1
25
2. 已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos
2
θ
的值为（ ） A ．53-
B ．5
3±
C ．
2
2 D ．5
4±
3. 已知θ是第三象限的角，且445
sin cos 9
θθ+=，那么sin2θ的值为（ ）
A
．
3
B
．3
-
C ．
23 D ．23
-
4. 已知
11
1cos sin αα
-=，则sin 2α的值为（ ） A
1 B ．12-
C
．2
D
．2-
5.
已知sin cos αα-=(0π)α∈，，则tan α=（ ）
A ．-1 B
．2
- C
．
2
D ．1
6. 设(2cos sin )(sin cos 3)0x x αα-++=，则x
x
x tan 12sin cos 22++的
值为（ ）
A ．85
B ．58
C ．
25
D ．
52
7. 若1
tan 4tan θθ+
=，则sin2θ=（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12
8. 设α为第四象限的角，若sin 313
sin 5
αα=，则tan2α=_________．
9. 已知sin 2cos 0θθ+=，则θ
θ
θ2cos 12sin 2cos +-的值为_________．
10. 若3sin cos 0θθ-=，则21
cos sin 22
θθ+的值是_________．
11. 已知1sin sin 4αβ+=，1
cos cos 3
αβ+=，则tan()αβ+的值
为__________．
12. 已知1
sin cos 3
αα+=，则cos4α=_____________．
13. 已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+（x ∈R ），则()f x 是（ ）
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为
2π
的奇函数 D ．最小正周期为2
π
的偶函数
14. 当0＜x ＜2
π
时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值为（ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ．
15. 函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值为______．
16. 已知函数211π
()sin 2sin cos cos sin()222
f x x x ϕϕϕ=+-+（0＜
φ＜π），其图象过点π1
()62
，．
（1）求φ的值；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，求函数g (x )在π
[0]4
，上的最大值和最小值．
【参考答案】
1．B 2．B 3．A 4．C
5．A 6．C 7．D
8．34-
9．16
10．65
11．247
12．4781-
13．D 14．C 15．10 16．（1）
3π；（2）最大值：12，最小值：14
-。