2020届四川省绵阳市2017级高三上学期一诊考试数学(理)试卷及解析
四川绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题卷和答案解析(超清)
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}3,2{ C ．}3,2,1{ D ．}4,3,2{2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ） A ．01,2>+-∉∀x x R x B ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．114.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 5.设命题p ：1)21(<x，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ） A ．αβcos 2cos = B ．αβ22cos 2cos =C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos =9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ）A ．7B ．87C ．45D ．1410.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．111.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若m =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56 B ．512 C ．524 D ．54812.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=a ，)1,2(=b ，)1,(x c =满足条件-3与垂直，则=x . 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x ey 41-=平行，则)(x f 的极值点是 .16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围.19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心. （1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(. （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. （1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题答案一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、B7、A8、D9、A 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、1 14、 13 15、e 16、3t ≤-或1t ≥或0t = 三、解答题17、【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+ 【解析】试题分析：（1）由图像最值关系确定振幅2=A ，由最值点与相邻零点之间横坐标距离为四分之一周期得213165424=-==ωπT ，解得πω=，最后根据最值坐标求初始角：由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，62ππϕ+=k 又2πϕ<，可得6πϕ=（2）先根据34)(=παf 得32)6sin(=+πα，再根据给值求值，将欲求角化为已知角]6)6cos[(cos ππαα-+=，最后根据同角三角函数关系以及两角差余弦公式求结果：35)32(1)6cos(2=-=+πα，]6)6cos[(cos ππαα-+=6sin)6sin(6cos)6cos(ππαππα+++=6215+考点：求三角函数解析式，给值求值n 64【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥nn 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ．(2)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥nn 292-， 令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ， ………………………8分 n=1，2，3，4，5时，0221111>-=-++n n n nb b ，∴54321b b b b b <<<<．………10分n=6，7，8，…时，0221111<-=-++n n n nb b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ．∵b 5=321<6436=b ， ∴n b 的最大值是6436=b ．∴实数k 的取值范围是)643[∞+，．…………………………………………12分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值5试题解析：(1)由54cos =A 得53sin =A ，∴5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分(2)由AC AB DA DO 4131+=-， 可得AC AB AO 4131+=，于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131， ……………………………………5分即OAC OAB AO ∠∠=2，①又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则OAB ∠，OAC ∠，②…………………………7分将①代入②得到28161+=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=．……………………………………………………………10分由正弦定理得1042sin ===R B b ， 可解得552sin =B ．…………12分 考点：向量投影，正弦定理20、【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k 【解析】试题分析：（1）判定函数零点个数从两个方面，一是函数单调性，二是函数零点存在定理，先求函数导数()cos f x x x '=，确定函数在(2，3)上是减函数，即函数在(2，3)上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，得函数在(2，3)上至少一个零点，综上可得函数在(2，3)上有且仅有一个零点（2）先将不等式变量分离得：xxk sin <，再根据不等式有解问题转化为对应函数最值：x xk sin <的最大值，然后利用导数求函数xx x h sin )(=在)2,4(ππ∈x 上最大值试题解析：(1)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴)32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ，∴函数)(x f 在(2，3)上是减函数． ……2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ， ……4分∵75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos -≈+-=--=-=<ππππ，∴03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解21、【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a -，；单调递减区间是)21(∞+-，a ．（2）m ≥e3．（2）先化简不等式：2()ln 10x m e e x x ---+>，再变量分离转化为求对应函数最值：2ln 1x x x m e e +->-的最大值，利用导数求函数2ln 1x x x y e e+-=-最值，但这样方法要用到洛必达法则，所以直接研究=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x 单调性及最值，先求导数=')(x h x xme x 21--，再研究导函数符号变化规律：当m ≤0时，导函数非正，所以)(x h 在)1(∞+，上单调递减，注意到(1)=0h ，)(x h <h(1)= 0，不满足条件．当m>0时,讨论x x q xme x p x 2)(1)(=-=，大小关系，即确定导函数符号规律，注意到(1)=0h ，(),()p x q x 皆为单调递增函数，所以3(1)(1)p q m e≥⇒≥，从而导函数符号为正，即满足条件(2)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ，令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m=e 3． ①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x x me x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴)(x h <h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分 ②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x xme x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='x me x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e e me x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围22、【答案】（1）24y x =（2）【解析】试题分析：（1）根据sin ,cos y x ρθρθ==将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：24y x =（2）根据直线参数方程几何意义得12PA PB t t +=-入曲线方程24y x =，利用韦达定理代入化简得结果试题解析：(1)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分(2)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+， 整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分∵01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间， ∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23、【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<<试题解析：(1)∵1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．当-1<x<1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x<1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立． ∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分 于是由题意可得11a -<<．…………10分 考点：绝对值定义。
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绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B ⋂=A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．(0,3]D ．(3,4]2．若0b a <<，则下列结论不正确的是A ．11a b< B ．2ab a >C ．|a|+|b|>|a+b|D ．33a b >3．下列函数中定义域为R ，且在R 上单调递增的是A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．()ln ||f x x =D ．2()xf x e =4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，33S =，则6a =A ．4B ．5C ．10D ．155．已知函数2()21xx f x =-，若()2f m -=，则()f m =A ．-2B ．-1C ．0D ．126．已知命题:p 函数2sin sin y x x=+，(0,)x π∈的最小值为22；命题:q 若向量a ，b ，c 满足a b b c ⋅=⋅，则a c =．下列命题中为真命题的是 A ．()p q ⌝∧B ．p q ∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝7．若0.613a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.83b -=，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b c a >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．已知x ，y 满足约束条件20,10,10,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．4B ．2C ．1D ．139．设函数()ln xf x ae x =-（其中常数0a ≠）的图象在点(1,(1)) f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为A ．1B ．2C ．1ae -D ．12ae -10．某数学小组到进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：10001.0027.37≈，lg70.845≈）A ．0.25y x =B ． 1.002xy =C ．7log 1y x =+D ．tan 110x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭11．函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且图象关于x π=-对称，则ω的值为 A ．23 B ．53C ．2D ．83 12．在ABC ∆中，60A ︒∠=，A ∠的平分线AD 交边BC 于点D ，已知23AD =，且1()3AB AD AC λλ=-∈R u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 在AD u u u r方向上的投影为A ．1B ．32C ．3D ．332二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =+，当[0,2)x ∈时，()xf x e =，则(7)f =________． 14．已知向量(2,2)a =-，向量b 的模为1，且|2|2a b -=，则a 与b 的夹角为________．15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西30︒的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75︒的方向上，仰角为30o，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）16．若函数21()(ln )2f x x m x x x =+--有且仅有1个零点，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数22()(cos sin )2sin f x x x x =--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间； （2）若()01f x =-，且0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求0x 的值．18．（12分）已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，*n ∈N ，且11a =，47a =，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设22log na n n cb =+，求数列{}nc 的前n 项和n T ．19．（12分）已知ABC ∆中三个内角A ，B ，Csin()1B A C =++． （1）求sin B ； （2）若2C A π-=，b 是角B的对边，b =ABC ∆的面积．20．（12分）已知函数ln 2()ln 2x f x x -=+．（1）求函数()f x 在区间[1,)+∞上的值域； （2）若实数1x ，2x 均大于1且满足()()1212f x f x +=，，求()12f x x 的最小值．21．（12分）已知函数2()xf x e ax =-，a ∈R ，(0,)x ∈+∞． （1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；（2）若202e a <≤，求证：()(ln )f x ax x x >-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos ,sin x y αααα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（α为参数）．坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）设射线:3OM πθ=与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|||1|5()f x x m x m =-++-∈R ． （1）当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()2f x ≥-，求实数m 的取值范围．绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1-5 ACDBB 6-10 DBCAC 11-12 AD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π 15．5 16．12m =-或0m ≥选填详细解答：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
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绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B ⋂=A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．(0,3]D ．(3,4]2．若0b a <<，则下列结论不正确的是A ．11a b< B ．2ab a >C ．|a|+|b|>|a+b|D>3．下列函数中定义域为R ，且在R 上单调递增的是A ．2()f x x =B．()f x =C ．()ln ||f x x = D ．2()xf x e =4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，33S =，则6a =A ．4B ．5C ．10D ．155．已知函数2()21xx f x =-，若()2f m -=，则()f m =A ．-2B ．-1C ．0D ．126．已知命题:p 函数2sin sin y x x=+，(0,)x π∈的最小值为:q 若向量a ，b ，c 满足a b b c ⋅=⋅，则a c =．下列命题中为真命题的是 A ．()p q ⌝∧B ．p q ∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝7．若0.613a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.83b -=，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b c a >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．已知x ，y 满足约束条件20,10,10,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．4B ．2C ．1D ．139．设函数()ln xf x ae x =-（其中常数0a ≠）的图象在点(1,(1)) f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为A ．1B ．2C ．1ae -D ．12ae -10．某数学小组到进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：10001.0027.37≈，lg70.845≈）A ．0.25y x =B ． 1.002xy =C ．7log 1y x =+D ．tan 110x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭11．函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且图象关于x π=-对称，则ω的值为 A ．23 B ．53C ．2D ．8312．在ABC ∆中，60A ︒∠=，A ∠的平分线AD 交边BC 于点D ，已知AD =且1()3AB AD AC λλ=-∈R ，则AB 在AD 方向上的投影为 A ．1B ．32C ．3 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =+，当[0,2)x ∈时，()xf x e =，则(7)f =________． 14．已知向量(2,2)a =-，向量b 的模为1，且|2|2a b -=，则a 与b 的夹角为________．15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西30︒的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75︒的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）16．若函数21()(ln )2f x x m x x x =+--有且仅有1个零点，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数22()(cos sin )2sin f x x x x =--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间； （2）若()01f x =-，且0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求0x 的值．18．（12分）已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，*n ∈N ，且11a =，47a =，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设22log na n n cb =+，求数列{}nc 的前n 项和n T ．19．（12分）已知ABC ∆中三个内角A ，B ，Csin()1B A C =++． （1）求sin B ； （2）若2C A π-=，b 是角B的对边，b =ABC ∆的面积．20．（12分）已知函数ln 2()ln 2x f x x -=+．（1）求函数()f x 在区间[1,)+∞上的值域； （2）若实数1x ，2x 均大于1且满足()()1212f x f x +=，，求()12f x x 的最小值．21．（12分）已知函数2()xf x e ax =-，a ∈R ，(0,)x ∈+∞． （1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；（2）若202e a <≤，求证：()(ln )f x ax x x >-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos ,sin x y αααα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（α为参数）．坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）设射线:3OM πθ=与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|||1|5()f x x m x m =-++-∈R ． （1）当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()2f x ≥-，求实数m 的取值范围．绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1-5 ACDBB 6-10 DBCAC 11-12 AD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π 1516．12m =-或0m ≥选填详细解答：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ）A ．}2,1{B ．}3,2{C ．}3,2,1{D ．}4,3,2{【答案】A2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R xB ．01,0200≤+-∉∃x x R xC ．01,2≤+-∈∀x x R xD ．01,0200≤+-∈∃x x R x【答案】D【解析】试题分析：p ⌝为01,0200≤+-∈∃x x R x ，选D. 考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B考点：等差数列4.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 【答案】C【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中11(0,0),(1,0),(,)22A B C ，所以直线y x z +=2过点B 时取最大值2，选C.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.设命题p ：1)21(<x ，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元【答案】B【解析】试题分析：设购买的商品的标价为x ，则(200)20%10%;(200)20%30;400,350400x x x x x x -⨯>⋅-⨯>⇒>>⇒>，选B.考点：不等式应用7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ）A ．6π个单位B ．3π个单位C ．4π个单位D ．12π个单位 【答案】A【解析】试题分析：因为()sin 222sin(2)3f x x x x π=+=+，所以可将x y 2sin 2=的图象向左平移3=26ππ，选A.考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z). 8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ）A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos =C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos =【答案】D9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ）A ．7B ．87 C ．45 D ．14 【答案】A【解析】 试题分析：23412345113111111(),()2(),(2)2()1,2()2,2()4,242222222a f a f f a f f a f a f ======+======，所以3451247a a a ++=++=，选A.考点：函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系10.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．1【答案】C考点：余弦定理11.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若m =，n =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56B ．512C ．524D ．548【答案】C【解析】 试题分析：232555AP AC DP DA DC =⇒=+,设DP xDM yDN =+,则1x y +=，又DP mxDA ynDC =+,所以3232,15555mx ny m n ==⇒+=，因此3219412423(23)()(12)(1255555n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当23m n =时取等号，选C. 考点：向量表示，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞- D ．),212(+∞- 【答案】A二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=，)1,2(=，)1,(x =满足条件-3与垂直，则=x .【答案】1【解析】试题分析：(3)0(1,1)(,1)01a b c x x -⋅=⇒-⋅=⇒=考点：向量垂直【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .【答案】13考点：等差数列15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x e y 41-=平行，则)(x f 的极值点是 .【答案】e【解析】 试题分析：2(1ln )()a x f x x -'=，所以244(12)1()1a f e a e e-'==-⇒=，因此)(x f 的极值点是1ln 0,x x e -== 考点：导数几何意义，函数极值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t =【解析】试题分析：由题意得0x <时，3()()f x f x x =-=-，即3()||f x x =，因此33(3)8()|3|8|||3|2||f x t f x x t x x t x -≥⇒-≥⇒-≥，当0t =时，x R ∈,满足条件；当0t >时，5t x t x ≥≤-或,要满足条件，需2123150t t t t t t ⎧-≥+≤-⎪⇒≥⎨⎪>⎩或；当0t <时，5t x x t ≥-≤或,要满足条件，需2123350t t t t t t ⎧-≥-+≤⎪⇒≤-⎨⎪<⎩或；综上实数t 的取值范围是3-≤t 或1≥t 或0t = 考点：不等式恒成立【思路点睛】求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+考点：求三角函数解析式，给值求值【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）12-=n n a （2）)643[∞+， 【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥n n 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n n n n n n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ． 试题解析：(1)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ，化简得12-=n n a a （n ≥2），∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起. 19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心.（1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.【答案】（1（2）552sin =B 【解析】考点：向量投影，正弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k(2)由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>，整理得x x k sin <．…………7分 令x x x h sin )(=，则2sin cos )(xx x x x h -='， 令x x x x g sin cos )(-=，0sin )(<-='x x x g ，∴g(x)在)24(ππ，∈x 上单调递减， …………………………………………9分 ∴0)14(22)4()(<-⨯=<ππg x g ，即0sin cos )(<-=x x x x g ， ∴0sin cos )(2<-='x x x x x h ，即xx x h sin )(=在)24(ππ，上单调递减， ……11分 ∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(.（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a-，；单调递减区间是)21(∞+-，a．（2）m ≥e 3．②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然x me x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x x me x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='xme x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e ， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.【答案】（1）24y x =（2）∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=.（1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<<(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分于是由题意可得11a -<<．…………10分考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．：。
【数学】绵阳市高中2020届第一次诊断性考试 理科数学(PDF版含答案)
理科数学答案 第1页（共6页）绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ACDBB DBCAC AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π 15． 16．12m =−或m ≥0 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）22()(cos sin )2sin f x x x x =−−212sin cos 2sin x x x =−−cos 2sin 2x x =−)4x π+， ……………………………………………4分 ∴ T =22ππ=， 即()f x 的最小正周期为π. ……………………………………………………5分 ∵ cos y x =的单调递减区间为[2k π，2k ππ+]，k ∈Z ，∴ 由2k π≤2x +4π≤2k ππ+，k ∈Z ，解得8k ππ−≤x ≤38k ππ+，k ∈Z ， ∴ ()f x 的单调递减区间为[8k ππ−，38k ππ+]，k ∈Z ． ……………………7分 （2）由已知0()=1f x −，可得0)14x π+=−， ………………………10分即0cos(2)4x π+=， 再由0()2x ππ∈−−，，可得0732()444x πππ+∈−−，， ∴ 05244x ππ+=−， 解得 03=4x π−．………………………………………………………………12分理科数学答案 第2页（共6页） 18．解：（1）∵ a n +2+a n =2a n +1，n ∈N *，即a n +2-a n +1=a n +1-a n ，∴ 数列{}n a 是等差数列.由1411+37a a a d ，===，解得112a d ，==，∴1=+(1)21n a a n d n −=−. ………………………………………………………4分 当1n =时，12b =，当n ≥2时，1122(22)n n n n n b S S +−=−=−−−1222222=n n n n n +−=⨯−=.∴ 数列{}n b 的通项公式为2n n b =．……………………………………………8分（2）由（1）得，212n n c n −=+，………………………………………………9分 3521(21)(22)(23)(2)n n T n −=++++++++ 3521(2222)(123)n n −=+++++++++ 2(14)(1)142n n n −+=+− 2122232n n n +−+=+． ……………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，∴ sin B =sin(A +C )，由题意得cos B =sin B +1． …………………………………………………3分 两边平方可得2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，根据sin 2B +cos 2B=1，可整理为3sin 2B+2sin B -1=0， 解得31sin =B 或sin B =-1（舍去）．……………………………………………5分 ∴ 31sin =B ． ……………………………………………………………………6分 （2）由2C A π−=，且A B C π++=， 可得22A B π=−，C 为钝角， ∴ sin 2cos A B =，理科数学答案 第3页（共6页）又b =由正弦定理得sinsin a b c A C===∴a A =，c C =． 又C 为钝角，由（1）得cos B =． ………………………………………9分 ∴ △ABC 的面积为111sin 223S ac B A C ==⨯⨯⨯99sin sin()sin cos 222A A A A π=+= 999sin 2cos 444A B ==== 综上所述，△ABC 的面积为2． …………………………………………12分 20．解：（1）由题意得ln 244()1ln 2ln 2x f x x x +−==−++， ………………………2分 由x ≥1，知ln x ≥0，于是ln x +2≥2，∴ 10ln 2x <+≤12，即420ln 2x −≤−<+， ∴-1≤41ln 2x −+<1， ∴()f x 的值域为[-1，1)． ……………………………………………………5分(2)=+)()(21x f x f 2ln 412ln 4121+−++−x x 21=， 所以232ln 42ln 421=+++x x ． 又1211x x >>，，∴2121ln ln ln x x x x +=42ln 2ln 21−+++=x x ………………………………8分4)2ln 42ln 4()]2(ln )2[(ln 322121−+++⋅+++=x x x x 21124(ln 2)4(ln 2)2[8]43ln 2ln 2=x x x x ++++−++理科数学答案 第4页（共6页）≥220(8433+−=， ……………………………………………11分 当且仅当21124(ln 2)4(ln 2)ln 2ln 2x x x x ++=++，即x 1=x 2时取“=”， 故20312min ()e x x =，∵ ()f x 在(1，+∞)上是增函数，∴ 137)(min 21=x x f ． ………………… ………………………………………12分 21．解：（1）由题意得e ()e 2(2)x x f x ax x a x '=−=−，令e ()xh x x=， 则2e (1)()x x h x x−'=． ……………………………………………………………2分 ∴ 当0<x <1时，得()h x '<0，此时()h x 单调递减，且x →0，()h x →+∞，当x >1时，得()h x '>0，此时()h x 单调递增，且x →+∞，()h x →+∞， ∴ ()h x min =h (1)=e ．①当2a ≤e ，即a ≤e 2时，()f x '≥0，于是()f x 在(0，+∞)上是增函数， 从而()f x 在(0，+∞)上无极值．②当2a >e ，即a >e 2时，存在0<x 1<1<x 2，使得1()f x '=2()f x '=0， 且当x ∈(0，x 1)时，()f x '>0，()f x 在(0，x 1)上是单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '<0，()f x 在(x 1，x 2)上是单调递减；当x ∈(x 2，+∞)时，()f x '<0，()f x 在(x 2，+∞)上是单调递增，故x 2是()f x 在(0，+∞)上的极小值． 综上，e 2a >． …………………………………………………………………6分 （2）要证f (x )>ax (ln x -x )即等价于证明e x >ax ln x ．①当0<x ≤1时，得e x >1，ax ln x ≤0，显然成立； ………………………………………………………………………7分 ②当x >1时，则x ln x >0，结合已知0<a ≤2e 2，可得0<ax ln x ≤2e 2x ln x ．理科数学答案 第5页（共6页）于是问题转化为证明e x >2e 2x ln x ， 即证明22e ln 0x x x−−>． …………………………………………………………8分 令22e ()ln 1x g x x x x−=−>，， 则222e (1)()x x x g x x −−−'=， 令2()2e (1)x h x x x −=−−，则2()2e 1x h x x −'=−，易得()h x '在(0)+∞，上单调递增. ∵2(1)=10(2)=30eh h ''−<>，， ∴存在0(12)x ∈，使得0()=0h x '，即0202e 1x x −=. ∴()h x 在区间(1，0x )上单调递减，在区间(0x ，+∞)上单调递增， ………………………………………10分 又(1)=10(2)=0h h −<，，∴当(12)x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(2)x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()g x ≥(2)g =1-ln2>0，故g (x )>0，问题得证． ……………………………………………………12分22．解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=，∴ 曲线C 的普通方程为224x y +=． …………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴ 代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． ………………………………5分（2）把=3πθ代入ρcos(6πθ−)=3中， 可得ρcos(36ππ−)=3，理科数学答案 第6页（共6页）解得ρ=，即B 点的极径B ρ=，由（1）易得A ρ=2，∴ |AB |=|A ρ-B ρ|=-2． ………………………………………………10分23．解：（1）当m =2时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．当x ≤-1时，()(2)(1)50f x x x =−−−+−≥，解得x ≤-2； ……………………………………………………………………1分 当-1<x <2时，()(2)15f x x x =−−++−≥0，无解． ……………………………………………………………………………3分 当x ≥2时，()215f x x x =−++−≥0，解得x ≥3； ……………………………………………………………………4分综上，原不等式的解集为(2][3)−∞−+∞，，． ………………………………5分 （2）∵()|||1|5f x x m x =−++−≥|()(1)|5x m x −−+−|1|5m =+−≥-2，∴ |1|m +≥3， …………………………………………………………………8分 ∴ m +1≥3或m +1≤-3，即m ≥2或m ≤-4，∴ 实数m 的取值范围是(−∞，-4][2)+∞，． ……………………………10分2020届绵阳一诊参数处理的全面考查16.若函数21()(ln )2f x x m x x x =+--只有一个零点，则实数m 的取值范围为【解析】（半分离）由()0f x =，得21(2)(ln )2x x m x x -=-，令21()(2),()ln 2g x x x h x x x =-=-，则(),()g x h x 在(0,1)单减，在(1,)+∞单增。
四川省绵阳市届高三第一次诊断性考试理数试题及答案超清
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题;每小题5分;共60分.在每小题给出的四个选项中;只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=xxA;}05|{2<-∈=xxZxB;则=BAA．}2,1{B．}3,2{C．}3,2,1{D．}4,3,2{2.已知命题p：01,2>+-∈∀xxRx;则p⌝为A．1,2>+-∉∀xxRx B．01,2≤+-∉∃xxRxC．1,2≤+-∈∀xxRx D．01,2≤+-∈∃xxRx3.九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专着;书中有如下问题：今有女子善织;日增等尺;七日织二十八尺;第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺;则第九日所织尺数为A．8 B．9 C．10 D．114.若实数yx，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-1yyxyx;则yxz+=2的最大值为A．0B．1C．2D．235.设命题p：1)21(<x;命题q：1ln<x;则p是q成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.2016年国庆节期间;绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物;他有三张商场的优惠券;商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价;三张优惠券的优惠方式不同;具体如下：优惠券A：若商品标价超过100元;则付款时减免标价的10%；优惠券B：若商品标价超过200元;则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元;则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ;并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多;则他购买的商品的标价应高于A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象;可将x y 2sin 2=的图象向左平移A ．6π个单位B ．3π个单位C ．4π个单位 D ．12π个单位8.已知αθθsin 2cos sin =+;βθ2sin 22sin =;则 A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos = C ．02cos 22cos =+αβ D ．αβ2cos 22cos =9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+;当)1,0[∈x 时;x x x f +-=2)(;设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈;则=++543a a aA ．7B ．87C ．45D ．1410.在ABC ∆中;81cos =A ;4=AB ;2=AC ;则A ∠的角平分线D A 的长为A ．22B ．32C ．2D ．111.如图;矩形ABCD 中;2=AB ;1=AD ;P 是对角线AC 上一点;25AP AC =;过点P 的直线分别交DA 的延长线;AB ;DC 于N E M ,,.若DA m DM =;DC n DN =)0,0(>>n m ;则n m 32+的最小值是A ．56B ．512C ．524D ．54812.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方;则实数a 的取值范围是 A ．)(2,+∞ B ．)(1,+∞ C ．),213(+∞- D ．),212(+∞-二、填空题每题4分;满分20分;将答案填在答题纸上13.若向量)0,1(=a ;)1,2(=b ;)1,(x c =满足条件b a -3与c 垂直;则=x . 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中;831=+a a ;且4a 为2a 和9a 的等比中项;则=5a .15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x e y 41-=平行;则)(x f 的极值点是 .16.)(x f 是定义在R 上的偶函数;且0≥x 时;3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ;不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立;则实数t 的取值范围是 .三、解答题 本大题共6小题;共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象部分如图所示.1求函数)(x f 的解析式；2若），（30πα∈;且34)(=παf ;求αcos . 18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ;已知)(12*N n a S n n ∈-=.1求数列}{n a 的通项公式；2若对任意的*N n ∈;不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立;求实数k 的取值范围.19.在ABC ∆中;角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,;已知12=c ;64=b ;O 为ABC ∆的外接圆圆心.1若54cos =A ;求ABC ∆的面积S ；2若点D 为BC 边上的任意一点;1134DO DA AB AC-=+;求B sin 的值.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.1判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数;并证明你的结论；参考数据：4.12≈;4.26≈2若存在)2,4(ππ∈x ;使得x kx x f cos )(2+>成立;求实数k 的取值范围. 21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ;e e x g x-=)(. 1讨论)(x f 的单调区间；2若1=a ;且对于任意的),1(+∞∈x ;)()(x f x mg >恒成立;求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答;如果多做;则按所做的第一题记分. 22.本小题满分10分选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点;x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系;已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=. 1求曲线C 的直角坐标方程；2若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 511521t 为参数;设点)1,1(P ;直线l 与曲线C 相交于B A ,两点;求||||PB PA +的值.23.本小题满分10分选修4-5：不等式选讲 已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. 1若1=a ;求不等式0)(≥x f 的解集；2若方程()f x x =有三个实数根;求实数a 的取值范围.四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题答案一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、B7、A8、D9、A 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、1 14、 13 15、e 16、3t ≤-或1t ≥或0t =三、解答题17、答案1)6sin(2)(ππ+=x x f 26215+ 解析试题分析：1由图像最值关系确定振幅2=A ;由最值点与相邻零点之间横坐标距离为四分之一周期得213165424=-==ωπT ;解得πω=;最后根据最值坐标求初始角：由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ;可得223ππϕπ+=+k ;62ππϕ+=k 又2πϕ<;可得6πϕ=2先根据34)(=παf 得32)6sin(=+πα;再根据给值求值;将欲求角化为已知角]6)6cos[(cos ππαα-+=;最后根据同角三角函数关系以及两角差余弦公式求结果：35)32(1)6cos(2=-=+πα;]6)6cos[(cos ππαα-+=6sin )6sin(6cos )6cos(ππαππα+++=6215+ 考点：求三角函数解析式;给值求值 18、答案112-=n n a 2)643[∞+， 解析试题分析：1由和项求通项;要注意分类讨论：当1n =时;11a S =；当1n =时;11a S =解得11=a ；当2n ≥时;1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列;并求出等比数列通项2先化简不等式;并变量分离得k ≥nn 292-;而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题;即k ≥nn 292-的最大值;而对数列最值问题;一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=;则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ;所以数列先增后减;最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ．2由(1)n k S +≥29n -;整理得k ≥nn 292-; 令n n n b 292-=;则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ; ………………………8分 n=1;2;3;4;5时;0221111>-=-++n n n nb b ;∴54321b b b b b <<<<．………10分n=6;7;8;…时;0221111<-=-++n n n nb b ;即⋅⋅⋅>>>876b b b ．∵b 5=321<6436=b ; ∴n b 的最大值是6436=b ．∴实数k 的取值范围是)643[∞+，．…………………………………………12分 考点：由和项求通项;根据数列单调性求最值 19、答案1144252552sin =B试题解析：1由54cos =A 得53sin =A ; ∴5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分 2由AC AB DA DO 4131+=-; 可得AC AB AO 4131+=;于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131; ……………………………………5分即OAC AO AC OAB AO AB AO ∠∠=41312;①又O 为△ABC 的的外接圆圆心;则AB OAB AO 21∠OAC AO ∠AC 21;②…………………………7分 将①代入②得到28161AC AB AO +=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=AO ．……………………………………………………………10分 由正弦定理得10422sin ===AO R B b ; 可解得552sin =B ．…………12分 考点：向量投影;正弦定理 20、答案1有且只有1个零点2π22<k解析试题分析：1判定函数零点个数从两个方面;一是函数单调性;二是函数零点存在定理;先求函数导数()cos f x x x '=;确定函数在2;3上是减函数;即函数在2;3上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ;03cos 3sin 3)3(<+=f ;由零点存在性定理;得函数在2;3上至少一个零点;综上可得函数在2;3上有且仅有一个零点2先将不等式变量分离得：x x k sin <;再根据不等式有解问题转化为对应函数最值：xxk sin <的最大值;然后利用导数求函数x xx h sin )(=在)2,4(ππ∈x 上最大值试题解析：1x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+=';∴)32(，∈x 时;0cos )(<='x x x f ;∴函数)(x f 在2;3上是减函数． ……2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ; ……4分∵75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ; 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos -≈+-=--=-=<ππππ;∴03cos 3sin 3)3(<+=f ;由零点存在性定理;)(x f 在区间2;3上只有1个零点．…………………6分∴ππππ2242244sin)(==<x h ;即π22<k ． ………12分考点：函数零点;利用导数研究不等式有解21、答案1a ≥0时;)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时;)(x f 的单调递增区间是)210(a -，；单调递减区间是)21(∞+-，a．2m ≥e 3．2先化简不等式：2()ln 10x m e e x x ---+>;再变量分离转化为求对应函数最值：2ln 1x x x m e e +->-的最大值;利用导数求函数2ln 1x x x y e e+-=-最值;但这样方法要用到洛必达法则;所以直接研究=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x 单调性及最值;先求导数=')(x h x x me x 21--;再研究导函数符号变化规律：当m ≤0时;导函数非正;所以)(x h 在)1(∞+，上单调递减;注意到(1)=0h ;)(x h <h1= 0;不满足条件．当m>0时;讨论x x q xme x p x 2)(1)(=-=，大小关系;即确定导函数符号规律;注意到(1)=0h ;(),()p x q x 皆为单调递增函数;所以3(1)(1)p q m e≥⇒≥;从而导函数符号为正;即满足条件201ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ; 令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ;则=')(x h x xme x 21--;令=')1(h 0;即03=-me ;可解得m=e 3．①当m ≤0时;显然=')(x h 021<--x xme x ;此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减; ∴)(x h <h1= 0;不满足条件． ……………………………………………6分②当em 30<<时;令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，．显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增;∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增;于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方;此时)()(x q x p <;即0)(<'x h ;故)(x h 在)1(∞+，单调递减;又0)1(=h ;故0)(<x h ;不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交;设第一个交点横坐标为x0; 当)1(0x x ，∈时;)()(x q x p <;即0)(<'x h ;故)(x h 在)1(0x ，单调递减;又0)1(=h ;故当)1(0x x ，∈时;0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0;不满足条件．……9分③当m ≥e 3时;令x xme x x 21)(--=ϕ;则21)(2-+='x me x xϕ．∵x ∈)1(∞+，;∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e; 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增; 于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ;即0)(>'x h ;∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增;∴0)1()(=>h x h 成立． 综上;实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分 考点：利用导数求函数单调区间;利用导数求参数取值范围22、答案124y x =2解析试题分析：1根据sin ,cos y x ρθρθ==将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：24y x =2根据直线参数方程几何意义得12PA PB t t +=-所以将直线参数方程代入曲线方程24y x =;利用韦达定理代入化简得结果试题解析：1由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=;化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分2联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+;整理得015562=--t t ; ……………………………………………………7分 ∵01521<-=⋅t t ;于是点P 在AB 之间;∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分 考点：极坐标方程化为直角坐标方程;直线参数方程几何意义23、答案1)21[∞+-，211a -<< 试题解析：1∵1=a 时;111)(+--+=x x x f ; ∴当x ≤-1时;1)(-=x f ;不可能非负．当-1<x<1时;12)(+=x x f ;由)(x f ≥0可解得x ≥21-;于是21-≤x<1． 当x ≥1时;3)(=x f >0恒成立．∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分 2由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ．令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分 于是由题意可得11a -<<．…………10分 考点：绝对值定义。
四川绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学试题解析版(16页)
秘密★启用前【考试时间：2019年10月31日15:00-17：00】注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。
特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学否满足元素的互异性．2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ）A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。
||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(= 【答案】D【解析】B.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 33.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.155.已知函数f(x)=2x2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ） A.−2 B.−1 C.0D.126.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）9.设函数f(x)＝ae x −lnx （其中常数a ≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A.1 B.2 C.ae −1 D.1−2ae10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（ ） A.y ＝0.25x B.y ＝1.002x C.y ＝log 7x +1 D.y =tan(x10−1)11.函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x ＝−π对称，则ω的值为（ ） A.23 B.53C.2D.8312.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13.已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________．14.已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________．15.2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值16.若函数f(x)=12范围________．三、填空题：共70分．17.已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；)，求x0的值．（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π218.已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知△ABC 中三个内角A ，B ，C 满足√2cosB =sin(A +C)+1． （1）求sinB ；（2）若C −A =π2，b 是角B 的对边，b =√3，求△ABC 的面积．20.已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x 1，x 2均大于1且满足f(x 1)+f(x 2)=12，求f(x 1x 2)的最小值．21.已知函数f(x)＝e x −ax 2，a ∈R ，x ∈(0, +∞)． （1）若f(x)存在极小值，求实数a 的取值范围； （2）若0<a ≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx −x)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]23.设函数f(x)＝|x −m|+|x +1|−5(m ∈R)． （1）当m ＝2时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≥−2，求实数m 的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]【解答】由题意得：A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}＝{1, 2, 3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1, 2, 3}，2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 3【解答】∵b <a <0，∴1a <1b ，ab >a 2，由函数y =√x 3在R 上单调递增，可得：√b 3<√a 3．设a ＝−2，b ＝−1时，|a|+|b|＝|a +b|与C 矛盾． 因此只有C 错误．3.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x【解答】由f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不符合题意， C ：函数的定义域x ≠0，不符合题意，A:y ＝x 2在(−∞, 0]单调递减，在[0, +∞)单调递增，不符合题意， 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.15【解答】 由题意得{a 3=a 1+2d =2S 3=3a 1+3×22d =3，∴a 6＝a 1+5d ＝5． 5.已知函数f(x)=2x 2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ）A.−2B.−1C.0D.12【解答】 ∵f(x)=2x2−1，∴f(−x)+f(x)=2−x2−x −1+2x2x −1=11−2x +2x2x −1=1， ∵f(−m)＝2，∴f(m)＝−1．6.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q【解答】由题意得：命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)，由基本不等式成立的条件，y ≥2√2sinx ⋅sinx =2√2，知等号取不到，所以p 命题是假的； 命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，∴b →⋅(a →−c →)=0，b →，a →−c →有可能是零向量或者b →⊥(a →−c →)，所以q 是错误的．∴￢p ∧q ，p ∨q ，p ∧￢q ，是假命题，￢p ∧￢q 为真命题； 7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b【解答】由指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，又a =(13)0.6，b ＝3−0.8=(13)0.8， ∴1>a >b ． c ＝ln3∈(1, 2) ∴c >a >b ．8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A.4B.2C.1D.13先根据x，y满足线性约束条件{2x−y≤0x−y+1≥0x+y−1≥0画出可行域，平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点B(0, 1)时，z取最小值为1．9.设函数f(x)＝ae x−lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A.1B.2C.ae−1D.1−2ae【解答】由f(x)＝ae x−lnx，得f′(x)=ae x−1x，∴f′(1)＝ae−1，又x＝1时，f(1)＝ae，∴f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−(ae)＝(ae−1)(x−1)，取x＝0，得在y轴上截距y＝(ae−1)(0−1)+ae＝1．故选：A．10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（）A.y＝0.25xB.y＝1.002xC.y＝log7x+1D.y=tan(x10−1)【解答】由题意得：有两个条件①奖金y≤5；②奖金y≤0.25x．且10≤x≤1000．A选项，当x≥20时，y≥5，不符合题意．B选项，当x＝1000时，1.0021000≈7.37，也超出了5，不符合题意．D选项，当x＝1000时，y=tan(x10−1)=y＝tan(2)是一个负数，不符合题意．11.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x＝−π对称，则ω的值为（）A.23B.53C.2D.83要使函数f(x)=sin(wx +π6)(w >0)的递增，则−π2+2kπ≤ωx +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，化简得：−2π3ω+2kπω≤x ≤π3ω+2kπω(k ∈Z)，已知在(−π2,π2)单增，所以{−2π3ω≤−π2π3ω≥π2 ，故0≤ω≤23， 又因为图象关于x ＝−π对称，ωx +π6=π2+kπ(k ∈Z)，所以ω=−13−k ， 因为ω>0，此时k ＝−1，所以ω=23，12.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32【解答】由λAB →=AD →−13AC →可得：AD →=λAB →+13AC →， ∵B ，C ，D 三点共线，故λ+13=1，即λ=23． ∴AD →=23AB →+13AC →．以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则D(3, √3)， 设B(m, 0)，C(n, √3n)， 由AD →=23AB →+13AC →得：{3=23m +13n √3=√33n ，解得m ＝3，n ＝3．故B(3, 0)，∴AB →在AD →上的投影为|AB|cos30∘=3√32． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________． 【解答】因为f(x)＝f(x +2)，周期T ＝2， 当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，故答案为：e ．已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________． 【解答】由已知得：|a →|＝2√2，|b →|＝1，|a →−2b →|＝2，a →2−4a →⋅b →+4b →2＝4， ∴设a →与b →的夹角为θ，θ∈[0, π]，a →⋅b →=2＝2√2⋅1⋅cosθ，∴cosθ=√22，θ=π4，2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．【解答】如图由题上条件可得线AC 平行于东西方向 ，∠ABD ＝60∘，∠CBD ＝75∘；AC ＝72√2； ∴∠ABC ＝135∘；∠BAC ＝30∘； 在△ABC 中，BC sin∠BAC=AC sin∠ABC⇒BC sin30=72√2sin135⇒BC =72√2×12√22=72．如图D 1C ⊥平面ABC ，在直角△BD 1 C 中，tan∠D 1 BC =D 1C BC=ℎBC ⇒ℎ＝BC ⋅tan∠D BC ＝72×tan∠30∘=72√3若函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值范围________．【解答】于是u(x)＝x−lnx在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增；最小值为u(1)＝1> 0，∴∀x∈(0, +∞)，x−lnx>0(1)由f(x)＝0，即12x2+m(lnx−x)−x＝0，解得：m=12x2−xx−lnx(2)设g(x)=12x2−xx−lnx，y＝m(3)由于函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点（4）所以直线y＝m与函数g(x)有且只有一个交点（5）由g′(x)=12(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2，此时不能完全判断导函数值的正负（6）再令ℎ(x)＝x+2−2lnx，得ℎ′(x)=x−2x，当x∈(0, 2)时，ℎ′(x)<0；当x∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0(7)于是，ℎ(x)在(0, 2)上递减，(2, +∞)上递增．那么ℎ(x)≥ℎ(2)＝2(2−ln2)>0．由此，g′(x)的正负只同x−1有关，由此得g(x)在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增，且g(x)的极小值为g(1)=−12(8)又x→0时，g(x)→0；x→+∞时，g(x)→+∞(9)g(x)图象大值如图所示，结合g(x)的图象，得m≥0或m=−12．故答案为：{m|m=−12或m≥0}．三、填空题：共70分．已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π2)，求x0的值．【解答】＝1−2sinxcosx−2⋅1−cos2x2＝cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，又函数y＝cosx的单调减区间为[2kπ, 2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z；所以f(x)的单调递减区间为[kπ−π8, kπ+3π8]，k∈Z；若f(x0)＝−1，则√2cos(2x0+π4)＝−1，即cos(2x0+π4)=−√22，再由x0∈(−π,−π2)，可得2x0+π4∈(−7π4, −3π4)；所以2x0+π4=−5π4，解得x0=−3π4．已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，可得a n+2−a n+1＝a n+1−a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d=a4−a14−1=2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2，可得b1＝S1＝4−2＝2；n≥2时，b n＝S n−S n−1＝2n+1−2−2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N∗；c n=2a n+log2b n=22n−1+n，则前n项和T n＝(2+8+...+22n−1)+(1+2+...+n)=2(1−4n)1−4+12n(n+1)=23(4n−1)+12(n2+n)．已知△ABC中三个内角A，B，C满足√2cosB=sin(A+C)+1．（1）求sinB；（2）若C−A=π2，b是角B的对边，b=√3，求△ABC的面积．【解答】∵√2cosB=sin(A+C)+1．sin(A+C)＝sinB，∴√2cosB＝sinB+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sinB−1＝0，1>sinB>0．联立解得sinB=13．C−A=π2，又A+B+C＝π，可得：2A=π2−B，C为钝角．∴sin2A＝cosB．又b=√3，∴asinA =csinC=√313=3√3，∴a＝3√3sinA，c＝3√3sinC，B为锐角，∴cosB=2√23．∴△ABC的面积S=12acsinB=12×3√3sinA×3√3sinC×13=92sinAsin(π2+A)=92sinAcosA=94sin2A=94cosB=94×2√23=3√22．∴∴△ABC的面积S为3√22．已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x1，x2均大于1且满足f(x1)+f(x2)=12，求f(x1x2)的最小值．【解答】由题意得f(x)=lnx+2−4lnx+2=1−4lnx+2，由x≥1，知lnx≥0，于是lnx+2≥2，∴0<1lnx+2≤12，即−2≤−4lnx+2<0，∴−1≤1−4lnx+2<1，∴f(x)的值域为[−1, 1)．f(x1)+f(x2)＝1−4lnx1+2+1−4lnx2+2=12，所以4lnx1+2+4lnx2+2=32，又x1>1，x2>1，∴lnx1x2＝lnx1+lnx2＝lnx1+2+lnx2+2−4=23[(lnx1+2)+(lnx2+2)]⋅(4lnx1+2+4lnx2+2)−4，=23[8+4(lnx2+2)lnx1+2+4(lnx1+2)lnx2+2]−4≥23(8+2√16)−4=203，当且仅当4(lnx2+2)lnx1+2=4(lnx1+2)lnx2+2，即x1＝x2时，取“＝”，故(x1x2)min＝e 20 3，∵f(x)在(1, +∞)上是增函数，∴f(x1x2)min=713．已知函数f(x)＝e x−ax2，a∈R，x∈(0, +∞)．（1）若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若0<a≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx−x)．【解答】：∵f′(x)＝e x−2ax＝x(e xx−2a)，令H(x)=e xx，则H′(x)=(x−1)e xx，当0<x<1时，H′(x)<0，H(x)单调递减，且x→0时，H(x)→+∞，当x>1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，且x→+∞时，H(x)→+∞，∴H(x)min＝H(1)＝e，①当2a≤e即a≤12e时，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增，没有极值，②当a>12e时，存在0<x1<1<x2，使得f′(x1)＝f′(x2)＝0，当x∈(0, x1)，(x2, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(x1, x2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴x2是f(x)的极小值，综上可得，a>12e要证f(x)>ax(lnx−x)，即证e x>axlnx，①当0<x ≤1时，e x >1，axlnx ≤0，显然成立，②当x >1时，xlnx >0，结合已知0<a ≤12e 2可得，0<axlnx ≤12e 2xlnx ，于是问题转化为e x >12e 2lnx ， 即证2e x−2x−lnx >0，令g(x)=2e x−2x−lnx ，则g′(x)=2e x−2(x−1)−xx 2，令ℎ(x)＝2e x−2(x −1)−x ，则ℎ′(x)＝2xe x−2−1，且在(0, +∞)上单调递增， ∵ℎ′(1)=2e −1<0，ℎ′(2)＝3>0，存在x 0∈(1, 2)使得ℎ(x 0)＝0，即2x 0e x 0−2=1， ∴ℎ(x)在(1, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， 又ℎ(1)＝−1<0，ℎ(2)＝0，故当x ∈(1, 2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(2)＝1−ln2>0， 故g(x)>0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长． 【解答】 由{x =cosα+√3sinαy =sinα−√3cosα，两边平方作和得，x 2+y 2=(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2=4， ∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝4．∵x2+y2＝ρ2，∴ρ2＝4，则ρ＝2；把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，可得ρcos(π3−π6)=3，解得ρ=2√3．即B点的极径为ρB=2√3．由（1）得ρA＝2，∴|AB|＝|ρA−ρB|=2√3−2．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−m|+|x+1|−5(m∈R)．（1）当m＝2时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≥−2，求实数m的取值范围．【解答】当m＝2时，f(x)＝|x−2|+|x+1|−5，当x≤−1，f(x)＝−(x−2)−(x+1)−5≥0，解得x≤−2；当−1<x<2，f(x)＝−(x−2)+x+1−5≥0，无解；当x≥2时，f(x)＝x−2+x+1−5≥0，解得x≥3；综上，不等式的解集为(−∞, −2]∪[3, +∞)．由f(x)＝|x−m|+|x+1|−5≥|(x−m)−(x+1)|−5＝|m+1|−5≥−2，所以|m+1|≥3，即m≥2或者m≤−4．。
四川省绵阳市2017届高三上期第一次诊断性考试数学(理)试题 Word版含答案
绵阳市高2014级第一次诊断性考试数学试题(理工类)姓名:__________一、选择题（共60分）1.集合错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
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2.命题错误！未找到引用源。
为A.错误！未找到引用源。
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3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
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4.实数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
最大值为A.错误！未找到引用源。
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，则p是q成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于A.300元B.400元C.500元D.600元7.要得到函数错误！未找到引用源。
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的图象向左平移多少个单位A.错误！未找到引用源。
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2017绵阳一诊理科数学解析版
2017绵阳市一诊数学试卷（理科）一、选择题（共60分）1．（5分）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤03．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．114．（5分）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．5．（5分）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元7．（5分）要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个8．（5分）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α9．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为a n（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7 B．C．D．1410．（5分）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（）A．B．C．2 D．111．（5分）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题13．（5分）若向量满足，则x=．14．（5分）公差不为0的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=．15．（5分）函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x 平行，则f（x）的极值点是．16．（5分）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三.解答题（共70分）17．（12分）函数的图象（部分）如图．（1）求f（x）解析式（2）若，求cosα．18．（12分）设数列{a n}前n项和为S n，已知S n=2a n﹣1（n∈N*），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．①若cosA=，求△ABC的面积S；②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．20．（12分）f（x）=xsinx+cosx；（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=e x﹣e．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m 的取值范围．[极坐标与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．2017绵阳市一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分）1．（5分）（2016秋•天水期末）集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{2，3，4}【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，且集合A={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）（2015•唐山二模）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．∀x0∈R，x02﹣x0+1≤0C．∃x0R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（2017春•北市区校级月考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了上厕所了的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：x，y对应的可行域如图：z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A（1，0）时在y轴的截距最大，z最大，所以z的最大值为2×1+0=2；故选C．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是关键．5．（5分）（2016秋•绵阳月考）命题＜1，命题q：lnx＜1，则p是q 成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：＜1，即p：x＞0；命题q：lnx＜1，即：0＜x＜e，则p是q成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．6．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）2016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A．300元B．400元C．500元D．600元【分析】根据条件，分别求出减免钱款，可得结论；利用顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，建立不等式，即可求出他购买的商品的标价的最低价．【解答】解：设标价为x元，则（x﹣200）×20%＞x×10%且（x﹣200）×20%＞30，∴x＞400，即他购买的商品的标价应高于400元．故选B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．（5分）（2016秋•绵阳月考）要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A．个B．个C．个D．个【分析】根据两角和差的正弦公式求得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），故将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得f（x）=2sin（2x+）的图象，故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosαB．cos2β=2cos2αC．cos2β+2cos2α=0D．cos2β=2cos2α【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可得1+sin2θ=4sin2α，再利用二倍角公式化简可得cos2α=cos2β，从而得出结论．【解答】解：∵sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，∴1+sin2θ=4sin2α，即1+2sin2β=4sin2α，即1+2•=4•，化简可得cos2α=2cos2β，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．9．（5分）（2016秋•绵阳月考）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x．设f（x）在[n﹣1，n）上的最大值为a n（n∈N*），则a3+a4+a5=（）A．7 B．C．D．14【分析】f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．可得a1=f（），q=2，可得a n，即可得出．【解答】解：∵f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x∈[0，1）时，f（x）=﹣x2+x=﹣+．a1=f（）=，q=2，∴a n==2n﹣3，∴a3+a4+a5=1+2+22=7．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的单调性、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017春•金牛区校级月考）△ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则∠A的角平分线AD的长为（）A．B．C．2 D．1【分析】由条件利用余弦定理求得BC、cosB的值，根据角平分线的性质求得BD 的值，再利用余弦定理求得AD的值．【解答】解：在△ABC中，因为cosA=，AB=4，AC=2，则由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=16+4﹣16×=18，解得BC=3，所以cosB===，根据角平分线的性质可得：=，所以BD=，CD=，由余弦定理得，AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB=16+8﹣2×4××=4，则AD=2，故选C．【点评】本题考查了余弦定理，以及角平分线的性质的综合应用，考查化简、计算能力．11．（5分）（2016秋•绵阳月考）如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）A．B．C．D．【分析】梅涅劳斯定理，，，，求出m，n的关系，即可利用基本不等式求解2m+3n的最小值．【解答】解：矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，，可得：，，由梅涅劳斯定理，，，可得：，即，⇒2m+3n=5mn，2m+3n≥，解的：mn．当且仅当2m=3n时取等号，∴2m+3n=5mn≥故选C．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用12．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【分析】问题转化为ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，x=0时，成立，x≠0时，a＞﹣﹣4（x﹣）﹣2，求出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1＞0，∴ax2＞﹣x4﹣4x3+4x﹣1，x=0时，成立，x≠0时，a＞﹣x2﹣﹣4（x﹣）=﹣﹣4（x﹣）﹣2，设x﹣=t，则a＞﹣t2﹣4t﹣2=﹣（t+2）2+2，要使x≠0时a恒大于﹣（t+2）2+2，则只需a比﹣（t+2）2+2的最大值大，故a＞2，综上，a＞2，故选：A．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及转化思想，是一道中档题．二、填空题13．（5分）（2017•甘肃模拟）若向量满足，则x=1．【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得x值．【解答】解：∵，∴，又，且，∴x﹣1=0，即x=1．故答案为：1．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直与坐标之间的关系，是基础的计算题．14．（5分）（2017•全国模拟）公差不为0的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=13．【分析】设等差数列{a n}的公差d≠0，由a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，可得2a1+2d=8，，联立解出即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，∵a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，∴2a1+2d=8，，解得a1=1，d=3．则a5=1+3×4=13．故答案为：13．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2016秋•绵阳月考）函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2））处的切线与直线y=﹣x平行，则f（x）的极值点是x=e．【分析】求出函数的导数，根据f′（e2）=﹣=﹣，求出a的值，从而求出f （x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可．【解答】解：f′（x）=，故f′（e2）=﹣=﹣，解得：a=1，故f（x）=，f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=e，经检验x=e是函数的极值点，故答案为：x=e．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．16．（5分）（2016秋•西昌市校级月考）f（x）定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x3，若对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，不等式f（3x﹣t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）．【分析】由题意f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数知|3x ﹣t|≥|2x|，转化为对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，5x2﹣6xt+t2≥0 恒成立问题．【解答】解：f（x）为R上偶函数，f（x）=x3在x＞0上为单调增函数，f（3x﹣t）≥8f（x）=f（2x）；|3x﹣t|≥|2x|；∴（3x﹣t）2≥（2x）2；化简后：5x2﹣6xt+t2≥0 ①；（1）当t＞0时，①式解为：x≤或x≥t；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：t≤2t﹣1故t≥1；（2）当t＜0时，①是解为：x≤t 或x≥；对任意x∈[2t﹣1，2t+3]，①式恒成立，则需：2t+3≤t故t≤﹣3；（3）当t=0时，①式恒成立；综上所述，t≤﹣3或t≥1或t=0．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪{0}∪[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的基本性质，以及函数恒成立问题，属中等题．三.解答题（共70分）17．（12分）（2016秋•绵阳月考）函数的图象（部分）如图．（1）求f（x）解析式（2）若，求cosα．【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，解出ω，求出，即可得到函数的解析式．（2）利用已知条件转化求出角的正弦函数，利用角的变换，求解即可．【解答】解：（1）由图得：A=2．由，解得ω=π．…（3分）由，可得，解得，又，可得，∴．…（6分）（2）由（Ⅰ）知，∴，由α∈（0，），得∈（，），∴．…（9分）∴===．…（12分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，考查计算能力．18．（12分）（2016秋•绵阳月考）设数列{a n}前n项和为S n，已知S n=2a n﹣1（n ∈N*），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出数列的首项，利用a n=S n﹣S n﹣1，求解数列的通项公式．（2）由k（S n+1）≥2n﹣9，整理得k≥，令，判断数列的单调性，求出最大项，然后求解实数k的取值范围．【解答】解：（1）令n=1，S1=2a1﹣1=a1，解得a1=1．…（2分）由S n=2a n﹣1，有S n﹣1=2a n﹣1﹣1，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1，化简得a n=2a n﹣1（n≥2），∴数列{a n}是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴数列{a n}的通项公式．…（6分）（2）由k（S n+1）≥2n﹣9，整理得k≥，令，则，…（8分）n=1，2，3，4，5时，，∴b1＜b2＜b3＜b4＜b5．…（10分）n=6，7，8，…时，，即b6＞b7＞b8＞…∵b5=＜，∴b n的最大值是．∴实数k的取值范围是．…（12分）【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列与函数相结合，考查构造法以及函数的单调性的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•绵阳月考）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为△ABC的外接圆的圆心．①若cosA=，求△ABC的面积S；②若D为BC边上任意一点，，求sinB的值．【分析】①由，得，代入三角形面积公式求得△ABC的面积S；②由，利用余弦定理求出，再由正弦定理求得sinB的值．【解答】解：①由，得，∴；②由，可得，于是，即，（1）又O为△ABC的外接圆圆心，则，=，（2）将（1）代入（2），得到=，解得||=4．由正弦定理得，可解得sinB=．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理及其意义，训练了正弦定理和余弦定理在求解三角形问题中的应用，是中档题．20．（12分）（2016秋•绵阳月考）f（x）=xsinx+cosx；（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：≈2.4）（2）若存在，使得f（x）＞kx2+cosx成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调性，根据零点的判定定理证明即可；（2）求出．令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，∴x∈（2，3）时，f'（x）=xcosx＜0，∴函数f（x）在（2，3）上是减函数．…（2分）又，…（4分）∵，，∴f（3）=3sin3+cos3＜0，由零点存在性定理，f（x）在区间（2，3）上只有1个零点．…（6分）（2）由题意等价于xsinx+cosx＞kx2+cosx，整理得．…（7分）令，则，令g（x）=xcosx﹣sinx，g'（x）=﹣xsinx＜0，∴g（x）在上单调递减，…（9分）∴，即g（x）=xcosx﹣sinx＜0，∴，即在上单调递减，…（11分）∴，即．…（12分）【点评】本题考查了函数的零点判定定理，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．21．（12分）（2016秋•绵阳月考）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣1，g（x）=e x﹣e．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求导得f'（x）=，对a进行分类讨论，然后解不等式，即可分别求出单调区间；（2）构造新函数h（x）=m（e x﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），利用转化思想，将条件转化为对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，h'（x）=me x﹣（），则h'（1）=me﹣3．若h'（1）＜0，存在x∈（1，+∞），使得h（x）＜0，不符合条件；若h'（1）≥0，则h'（x）≥﹣﹣2x，利用导数可判断φ（x）=﹣﹣2x＞0在（1，+∞）上恒成立，即h'（x）＞0恒成立，则h（x）在（1，+∞）上单调递增，从而h（x）＞h（1）=0恒成立，故m的取值范围为[，+∞）．【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）==a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；a＜0时，由f'（x）＞0，得0＜x＜；由f'（x）＜0，得x＞，故f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；（2）a=1时，f（x）=lnx+x2﹣1记h（x）=mg（x）﹣f（x）=m（e x﹣e）﹣（lnx+x2﹣1），x∈（1，+∞），则h （1）=0，∵对于任意的x∈（1，+∞），mg（x）＞f（x）恒成立，∴对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，h'（x）=me x﹣（），则h'（1）=me﹣3若h'（1）＜0，即m＜，则存在x0∈（1，+∞），使得x∈（1，x0）时，h'（x）＜0，即h（x）在（1，x0）上单调递减，此时h（x）＜h（1）=0，不符合条件；若h'（1）≥0，即m≥，则h'（x）≥﹣﹣2x，令φ（x）=（x＞1），∵φ'（x）=＞＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（1）=0，即h'（x）≥φ（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，即对于任意的x∈（1，+∞），h（x）＞0恒成立，综上可得，m≥．【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题求解，再利用导数研究函的数最值，同时要注意对参数进行分类讨论．[极坐标与参数方程]22．（10分）（2016秋•西昌市校级月考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可．（2）参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义求解即可．【解答】解：（1）由曲线C的原极坐标方程可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，化成直角方程为y2=4x．…（4分）（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，…（7分）∵t1•t2=﹣15＜0，于是点P在AB之间，∴．…（10分）【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•西昌市校级月考）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+a（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）≤6的解集．（Ⅱ）函数f（x）的图象与直线y=x有3个不同的交点，数形结合可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|+1，∴当x≤﹣1时，f（x）=﹣1，不可能非负．当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得x≥，于是≤x＜1．当x≥1时，f（x）=3＞0恒成立．∴不等式f（x）≥0的解集．…（5分）（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为a=x+|x﹣1|﹣|x+1|．令作出图象如右．…（8分）于是由题意可得﹣1＜a＜1．…（10分）【点评】本题主要绝对值的意义，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：gongjy；qiss；sxs123；changq；刘老师；lcb001；caoqz；沂蒙松；左杰；wzhlq；叶老师（排名不分先后）菁优网2017年5月22日。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数精彩试题及问题详解(超清)
省市2017届高三第一次诊断性考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每一小题5分,共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，如此=B A 〔 〕A ．}2,1{B ．}3,2{C ．}3,2,1{D ．}4,3,2{p ：01,2>+-∈∀x x R x ，如此p ⌝为〔 〕A ．01,2>+-∉∀x x R x B ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x3.《九章算术》是我国古代容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，如此第九日所织尺数为〔 〕A ．8B ．9C ．10D ．11y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，如此y x z +=2的最大值为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．23 命题p ：1)21(<x，命题q ：1ln <x ，如此p 是q 成立的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.2016年国庆节期间，市某大型商场举行“购物送券〞活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三商场的优惠券，商场规定每购置一件商品只能使用一优惠券.根据购置商品的标价，三优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：假如商品标价超过100元，如此付款时减免标价的10%； 优惠券B ：假如商品标价超过200元，如此付款时减免30元；优惠券C ：假如商品标价超过200元，如此付款时减免超过200元局部的20%.假如顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，如此他购置的商品的标价应高于〔 〕A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移〔 〕A ．6π个单位B ．3π个单位C ．4π个单位 D ．12π个单位αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，如此〔 〕A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos = C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos =),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，如此=++543a a a 〔 〕A ．7B ．87C ．45D ．14ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，如此A ∠的角平分线D A 的长为〔 〕 A ．22 B ．32 C ．2 D ．111.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.假如DA m DM =，DC n DN =)0,0(>>n m ，如此n m 32+的最小值是〔 〕A ．56 B ．512C ．524 D ．548144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，如此实数a 的取值围是〔 〕A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞-二、填空题〔每题4分，总分为20分，将答案填在答题纸上〕)0,1(=a ，)1,2(=b ，)1,(x c =满足条件b a -3与c 垂直，如此=x .}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，如此=5a .x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x ey 41-=平行，如此)(x f 的极值点是.16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.假如对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，如此实数t 的取值围是.三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象〔局部〕如下列图.〔1〕求函数)(x f 的解析式； 〔2〕假如），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .}{n a 的前n 项和为n S ，)(12*N n a S n n ∈-=.〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕假如对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，数k 的取值围.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心.〔1〕假如54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； 〔2〕假如点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.x x x x f cos sin )(+=.〔1〕判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；〔参考数据：4.12≈，4.26≈〕〔2〕假如存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，数k 的取值围.1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x -=)(.〔1〕讨论)(x f 的单调区间；〔2〕假如1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，数m 的取值围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题记分. 22.〔本小题总分为10分〕选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.〔1〕求曲线C 的直角坐标方程；〔2〕假如直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521〔t 为参数〕，设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.23.〔本小题总分为10分〕选修4-5：不等式选讲 函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. 〔1〕假如1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集； 〔2〕假如方程()f x x =有三个实数根，数a 的取值围.省市2017届高三第一次诊断性考试理数试题答案一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、B7、A8、D9、A 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、1 14、 13 15、e 16、3t ≤-或1t ≥或0t = 三、解答题17、【答案】〔1〕)6sin(2)(ππ+=x x f 〔2〕6215+ 【解析】试题分析：〔1〕由图像最值关系确定振幅2=A ，由最值点与相邻零点之间横坐标距离为四分之一周期得213165424=-==ωπT ，解得πω=，最后根据最值坐标求初始角：由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，62ππϕ+=k 又2πϕ<，可得6πϕ=〔2〕先根据34)(=παf 得32)6sin(=+πα，再根据给值求值，将欲求角化为角]6)6cos[(cos ππαα-+=，最后根据同角三角函数关系以与两角差余弦公式求结果：35)32(1)6cos(2=-=+πα，]6)6cos[(cos ππαα-+=6sin)6sin(6cos)6cos(ππαππα+++=6215+考点：求三角函数解析式，给值求值18、【答案】〔1〕12-=n n a 〔2〕)643[∞+，【解析】试题分析：〔1〕由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项〔2〕先化简不等式，并变量别离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥nn 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，如此1112211292272+++-=---=-n n n n n nn n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ．(2)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥nn 292-， 令n n n b 292-=，如此1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ， ………………………8分 n=1，2，3，4，5时，0221111>-=-++n n n nb b ，∴54321b b b b b <<<<．………10分n=6，7，8，…时，0221111<-=-++n n n nb b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ．∵b 5=321<6436=b ， ∴n b 的最大值是6436=b ．∴实数k 的取值围是)643[∞+，．…………………………………………12分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值19、【答案】〔11442〔2〕552sin =B试题解析：(1)由54cos =A 得53sin =A ， ∴5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分 (2)由AC AB DA DO 4131+=-， 可得AC AB AO 4131+=，于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131， ……………………………………5分即OAC AO AC OAB AO AB AO ∠∠=41312，①又O 为△ABC 的的外接圆圆心，如此AB OAB AO 21∠OAC AO ∠AC 21，②…………………………7分 将①代入②得到28161AC AB AO +=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=AO ．……………………………………………………………10分 由正弦定理得10422sin ===AO R B b ， 可解得552sin =B ．…………12分 考点：向量投影，正弦定理20、【答案】〔1〕有且只有1个零点〔2〕π22<k【解析】试题分析：〔1〕判定函数零点个数从两个方面，一是函数单调性，二是函数零点存在定理，先求函数导数()cos f x x x '=，确定函数在(2，3)上是减函数，即函数在(2，3)上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，得函数在(2，3)上至少一个零点，综上可得函数在(2，3)上有且仅有一个零点〔2〕先将不等式变量别离得：xxk sin <，再根据不等式有解问题转化为对应函数最值：x xk sin <的最大值，然后利用导数求函数x x x h sin )(=在)2,4(ππ∈x 上最大值试题解析：(1)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴)32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ，∴函数)(x f 在(2，3)上是减函数． ……2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ， ……4分∵75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos -≈+-=--=-=<ππππ，∴03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解21、【答案】〔1〕a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a -，；单调递减区间是)21(∞+-，a．〔2〕m ≥e 3． 〔2〕先化简不等式：2()ln 10x m e e x x ---+>，再变量别离转化为求对应函数最值：2ln 1x x x m e e +->-的最大值，利用导数求函数2ln 1x x x y e e+-=-最值，但这样方法要用到洛必达法如此，所以直接研究=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x 单调性与最值，先求导数=')(x h x xme x 21--，再研究导函数符号变化规律：当m ≤0时，导函数非正，所以)(x h 在)1(∞+，上单调递减，注意到(1)=0h ，)(x h <h(1)= 0，不满足条件．当m>0时,讨论x x q xme x p x 2)(1)(=-=，大小关系，即确定导函数符号规律，注意到(1)=0h ，(),()p x q x 皆为单调递增函数，所以3(1)(1)p q m e≥⇒≥，从而导函数符号为正，即满足条件(2)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ，令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，如此=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m=e 3． ①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x x me x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴)(x h <h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 假如)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 假如)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0， 当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x xme x x 21)(--=ϕ，如此21)(2-+='x me x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e， 故x x me x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增，于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值围为m ≥e3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值围22、【答案】〔1〕24y x =〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据sin ,cos y x ρθρθ==将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：24y x =〔2〕根据直线参数方程几何意义得12PA PB t t +=-入曲线方程24y x =，利用韦达定理代入化简得结果试题解析：(1)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分(2)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+， 整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分∵01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间， ∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23、【答案】〔1〕)21[∞+-，〔2〕11a -<<试题解析：(1)∵1=a 时，111)(+--+=x x x f ， ∴当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．当-1<x<1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x<1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立． ∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ．令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分 于是由题意可得11a -<<．…………10分 考点：绝对值定义。
绵阳市高中2020届第一次诊断性考试 理科数学(含答案)
绵阳市高中 2017 级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．ACDBB DBCAC AD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．e 14．4 15． 2 35 16． 1 m = − 或 m ≥0 2三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．17．解：（1） f (x ) = (cos x −sin x )2 − 2sin 2x = − − 21 2sin x cos x 2sin x= cos 2x − sin 2x= 2 c os(2x + ) ， ……………………………………………4 分 4∴ T = 2 =， 2即 f (x ) 的最小正周期为 . ……………………………………………………5 分 ∵ y = cos x 的单调递减区间为[ 2k， 2k + ]，k ∈Z ，∴ 由 2k ≤2x + 4 ≤ 2k + ，k ∈Z ，解得 k − ≤x ≤ 8 3 k + ，k ∈Z ， 8∴ f (x ) 的单调递减区间为[ k − ， 8 3 k + ]，k ∈Z ． ……………………7 分 8（2）由已知 f (x 0 )= −1，可得 2 c os(2x + ) = −1， ………………………10 分 04即 2 cos(2x + ) = − ， 0 42再由 x 0 (−，− ) ，可得 2 7 3 2x + (− ，− ) ， 0 4 4 4∴2x5+=−，4 4解得x=3−．………………………………………………………………12 分4理科数学答案第1页（共6 页）18．解：（1）∵ a n +2+a n =2a n +1，n ∈N *，即 a n +2-a n +1=a n +1-a n ，∴ 数列{a }是等差数列.n由 a 1 =1，a 4 = a 1+3d = 7 ，解得a = ，d = ， 1 1 2 ∴ a =a +(n −1)d = 2n −1. ………………………………………………………4 分n 1 当 n =1时， b 1 = 2，当 n ≥2 时，1 2 1 2 (2 2) b = S − S= n + − − n −n n n − =2n + − 2n = 22n − 2n = 2n . 1∴ 数列{b }的通项公式为 b = 2n ．……………………………………………8 分nn（2）由（1）得， c = 22n −1 + n ，………………………………………………9 分n T = (2+1) + (2 + 2) + (2 +3) + + (2 n − + n ) 3 5 2 1 n= (2+ 2 + 2 + + 2 n − ) + (1+ 2+3+ + n )3 5 2 12(1− 4n ) n (1+ n )= +1− 4 22 12n + − n + n 2 2= + ． ……………………………………………………12 分 32 19．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即 B =π-(A +C )，∴ sin B =sin(A +C )，由题意得 2 cos B =sin B +1． …………………………………………………3 分 两边平方可得 2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，根据 sin 2B +cos 2B=1，可整理为 3sin 2B+2sin B -1=0，解得 1 sin B = 或 sin B =-1（舍去）．……………………………………………5 分 3 ∴ 1 sin B = ． ……………………………………………………………………6 分3−=，且A+B+C=，（2）由C A2可得2A=−B，C为钝角，2∴sin 2A=cos B，理科数学答案第2页（共6 页）又b= 3 ，a b c由正弦定理得===3 3 ，sin A sin B sin C∴a=3 3 s in A，c=3 3sin C．又C为钝角，由（1）得cos2 2B=．………………………………………9 分3∴△ABC的面积为1 1 1S=ac sin B= 3 3 s in A 3 3sin C2 2 39 9=sin A sin( +A) =sin A cos A2 2 29 9 9 2 2 3 2=sin 2A=cos B==，4 4 4 3 2综上所述，△ABC的面积为3 22．…………………………………………12 分20．解：（1）由题意得ln x+2 −4 4f(x) ==1−ln x+2 ln x+2，………………………2 分由x≥1，知ln x≥0，于是ln x+2≥2，∴0 1ln x+2≤12，即4−2 −ln x+2，∴-1≤1−4ln x+2<1，∴f(x)的值域为[-1，1)．……………………………………………………5 分(2) f(x1)+f(x) =21−ln4 4 1+1−=，x1+2 l n x+2 22所以ln4 4+x+2 l n x+1 22=32．又x 1 1，x 2 1，∴l n x1x=l n x+l n x l n 1 +2+l n+2−4=x x………………………………8 分2 1 2 2=23[(ln4 4x1+2 +)] −) (ln x+2 ( +)42 +ln x+2 ln x 21 2= 24(ln x+2) 4(ln x+2)[8 ] 4+ 2 + 1 −3 ln x+2 ln x+21 2理科数学答案第3页（共6 页）。
2020级绵阳一诊理科数学参考答案
绵阳市高中2020级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． BDABC BBCDA DC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．3115．10.516．(-2，1)三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）2()2cos f x x x =-cos2122x x +=-1sin(2)62x π=--．……4分 令3222262≤≤k x k πππππ+-+(k ∈Z )，……………………………………………6分 解得536≤≤k x k ππππ++(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递减区间为5[]36，k k ππππ++(k ∈Z )．…………………………8分（2）由()1f x =-，得1sin(2)62x π-=-，∵[0]，x π∈，∴112[]666，x πππ-∈-．………………………………………………9分 ∴71126666，，x ππππ-=-，……………………………………………………………11分 解得203x ππ=，，． …………………………………………………………………12分18．解：（1）证明：∵*2145n n n a a a n +++=∈N ，， ∴*2114()，n n n n a a a a n +++-=-∈N ， 即2114n n n na a a a +++-=-． ……………………………………………………………………3分∵12112，a a ==，∴2112a a -=，……………………………………………………4分∴数列{1n n a a +-}是以12为首项，4为公比的等比数列． …………………………6分（2）由（1）知，12311422n-n n n a a -+-=⨯=， ………………………………………8分∴112211()()()+n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-2527291122222n n n -----=+++++．………………………………………11分当n =1时，1111(21)32a -=+=.综上所述，n a =23*1(21)()3n n N -=+∈. ………………………………………12分19．解：（1）∵cos (1cos )a B b A ⋅=+， 由正弦定理，得sin cos sin (1cos )A B B A ⋅=+，………………………………………1分 即sin cos cos sin sin A B A B B ⋅-⋅=，∴sin sin A B B -=（）， …………………………………………………………………3分 ∴A B B -=或A B B π-+=（）（舍），即2A B =，…………………………………4分 ∴3C A B B ππ=--=-，∴sin sin(3)sin3C B B π=-=． ………………………………………………………6分 （2）由锐角△ABC ，可得02B π<<，022A B π<=<，032C B ππ<=-<．即64B ππ<<，cos B <．………………………………………………9分 ∵sin sin3sin sin 2c C B a A B ==sin 2cos cos2sin sin 2B B B B B ⋅+⋅=12cos 2cos B B=-． ………11分∴c a ∈． …………………………………………………………………12分 20．解：由题意得2()(4)4(4)()f x x k x k x x k '=-++=--． …………………………1分（1）当4k =时，由2()(4)0f x x '=-≥，函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增． 当4k >时，函数()f x 在(4)k ，上单调递减，在(4)-∞，和()，k +∞上单调递增． ………………………3分 当4k <时，易知函数()f x 在(k ，4)上单调递减，在()k -∞，，(4)+∞，上单调递增． ……………………5分（2）当k ≤0或k ≥3时，函数()f x 在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点． 当03k <<时，函数()f x 在(0，k )上单调递增，在(k ，3)上单调递减． …………7分 要使函数()f x 在(0，3)上有两个零点，则需满足：03k <<且()0(0)0(3)0f k f f >⎧⎪<⎨⎪<⎩，，，解得1319k <<．………………………………………………9分∴{}min ()min (0)(3)f x f f =，． ………………………………………………………10分 又15(3)(0)92f f k -=-，∴当65k >时，(3)(0)f f >；当65k <时，(3)(0)f f <． 又61359< ，∴min 11613659()156561.265k f x k k ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，≤，，………………………………………12分21．解：（1）由题意得()2e 2x f x x a '=--．令g (x )=2e 2x x a --，则()2e 20x g x '=->． ∴函数()f x '在区间[0)+∞，上单调递增，则函数()f x '的最小值为(0)2f a '=-．………………………………………………3分 ①当2-a ≥0，即a ≤2时，可得()(0)0f x f ''≥≥， ∴函数f (x )在[0)+∞，上单调递增．又f (0)=0，∴f (x )≥f (0)=0恒成立．……………………………………………………4分 ②当2-a 0<，即a >2时，函数()f x '的最小值为(0)2f a '=-<0， 且存在x 0>0，当0[0)x x ∈，时，()f x '<0． 又f (0)=0，∴当0[0)x x ∈，时，()f x <0，这与x ≥0时，f (x )≥0相矛盾． ……………………………………………………5分 综上，实数a 的取值范围是(2]-∞，．…………………………………………………6分 （2）由(1) 得当a =2时，不等式f (x )=2e x -x 2-2x -2≥0恒成立， ∴2e x -1≥x 2+2x +1．令x =n ，得2e n -1≥n 2+2n +1． ……………………………………………………8分 ∴2222112121(2)2n n n n n n n <=--++++≤e ． …………………………………9分 令()ln 1h x x x =-+，则1()xh x x-'=， (01)，x ∈时，()0h x '>，()h x 为(01)， 上的增函数； (1)，x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 为(1)， +∞上的增函数；∴()(1)0h x h ≤=，则ln 1≤x x -.∴2211ln(1)2e 12e 12n n n n +<<---+， ………………………………………10分 ∴232222ln(1)(1)(1)(1)2e 12e 12e 12e 1n ++++----=232222ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)2e 12e 12e 12e 1n+++++++----<111111111(1)()()()()32435112n n n n -+-+-++-+--++=311212n n --++32ln e ln5<=． ∴232222(1)(1)(1)(1)52e 12e 12e 12e 1n++++<----． ………………………………12分 22．解：（1）由题意得圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=．直线l 60y -+=．…………………………………………………4分∵圆心C 到直线l 的距离3d =>， ∴直线l 和圆C 相离．…………………………………………………………………5分 （2）设[)33cos 3sin )(02)（，，Pθθθπ+∈．=，∴|2cos()26πθ+++=cos()16πθ+=-． ………………………………7分∴6πθ+=π，则56πθ=， …………………………………………………………8分∴3(3)2，P ， …………………………………………………………………9分∴CA CP ⋅=． ……………………………………………………………10分 23．解：（1）11()222f x x x x =+++++ ≥11(2)()22x x x +-+++=3122x ++ …………………………………3分≥32．(当且仅当12x =-时，取等) ………………………………………4分 ∴函数f (x )的最小值为32．……………………………………………………………5分（2）∵f (a )＋f (b )＋f (c )＝18，∴3a b c ++=．…………………………………………………………………………6分由111()()a b c a b c ++++111a a b b c c b c a c a b=++++++++()()()3a b c a c bb a ac b c =++++++≥9，得1113a b c++≥．………………………………………………………………………8分 ∵2()a b c ++222222a b c ab bc ac =+++++2223()≤a b c ++，∴2233a b c ++≥． ……………………………………………………………………9分 ∴22111()()9≥a b c a b c，∴2221119≥a b c a b c ++++． …………………………………………………………10分。
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2020届四川省绵阳市2017级高三上学期一诊考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、选择题
1.已知{*|3}A x x =∈≤N ,{}2|40B x x x =-≤,则A B =I ( )
A. {1,2,3}
B. {1,2}
C. (0,3]
D. (3,4]
【答案】A
【解析】
【分析】 先求解集合,A B ,然后求解A B I .
【详解】因为{}{*|3}1,2,3A x x ==∈≤N ,{}{}2|40|04B x x x =x x =-≤≤≤,
所以{}1,2,3A B =I .故选：A.
2.若0b a <<,则下列结论不正确的是( ) A.
11a b < B. 2ab a > C. |a|+|b|>|a+b| D.
>【答案】C
【解析】
【分析】
结合不等式的性质或特殊值,逐个选项验证.
【详解】因为0b a <<,所以11a b
<,选项A 正确； 因为0b a <<,所以2ab a >,选项B 正确；
因为0b a <<,所以|a|+|b|=|a+b|,选项C 不正确；
因为13
y x =为增函数,>选项D 正确.
故选：C.
3.下列函数中定义域为R ,且在R 上单调递增的是( )
A. 2()f x x =
B. ()f x =
C. ()ln ||f x x =
D.
2()e x f x = 【答案】D
【解析】
【分析】
先求解选项中各函数的定义域,再判定各函数的单调性,可得选项.
【详解】因为()f x =[0,)+∞,()ln ||f x x =的定义域为{}0x x ≠,所以排除选项B,C.
因为2()f x x =在(,0]-∞是减函数,所以排除选项A,故选：D.
4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若32a =,33S =,则6a =( )
A. 4
B. 5
C. 10
D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
先由3S 求2a ,再求公差d ,最后可得6a .
【详解】因为3233S a ==,所以21a =,可得32211d a a =-=-=,所以6335a a d =+=, 故选：B.
5.已知函数2()21
x
x f x =-,若()2f m -=,则()f m =( ) A. -2
B. -1
C. 0
D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】 先由()f x 写出()f x -,再由二者关系可得()f m 与()f m -的关系,易得()f m .。