4. 已知函数].1,0[,27
4)(2∈--=
x x
x x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；
（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.
解： （1）对函数f(x)=],1,0[x ,x
27x 42∈--求导，得f /
(x)=
,)x 2()7x 2)(1x 2()x 2(716x 4222----=--+-，令f /
(x)=0解得x=
1或x=7. 当x 变化时，f /
(x), f(x)的变化情况如下表所示：
所以，当)21,0(x ∈时，f(x)是减函数；当)1,2
1
(x ∈时，f(x)是增函数，
当]1,0[x ∈时，f(x)的值域是[-4，-3]
（II ）对函数g(x)求导，则g /(x)=3(x 2-a 2). 因为1a ≥，当)1,0(x ∈时，g /(x)<5(1-a 2
)≤0, 因此当)1,0(x ∈时，g(x)为减函数， 从而当x ∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)], 又g(1)=1-2a-3a 2
,g(0)=-2a, 即当x ∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a 2
,-2a], 任给x 1∈[0,1],f(x 1)∈[-4,-3],存在x 0∈[0,1]使得g(x 0)=f(x 1),
则[1-2a-3a 2
,-2a]]3,4[--⊃， 即⎩⎨⎧-≥--≤--3
a 24a 3a 212 ②①
,
解①式得a ≥1或a 3
5
-≤, 解②式得23a ≤ 又1a ≥,故a 的取值范围内是23a 1≤≤。
（二）
1. 设x x x x f cos sin cos )(23-+=，当R x ∈时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 27
32>
m 2. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿(
e
1
,+∞) 3. 设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3。若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，则实数a 的取值范围是 .
当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点 4. 已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+， 其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．
解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．
()2f x x a '=+∵，23()a g x x
'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．
即2
20002
00123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，，由200
32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215
23ln 3ln 22b a a a a a a a =
+-=-． 令22
5()3ln (0)2
h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是
当(13ln )0t t ->，即13
0t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13
t e >时，()0h t '<．
故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在1
3e ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，
∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，
∞的最大值为12
333
2
h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设2
21()()()23ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->， 则()F x '23()(3)
2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，
∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，
∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．
（三）
1. 设函数3
()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是_________
[3,)-+∞
2. 方程ln 620x x -+=的解为x ，则满足x x ≤ 的最大整数解是___________2
