小学奥数数的进制

数的进制

相关概念

同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制即“满10进一”，对于其他进制则感

到陌生。实际上，你只要留惦一下，在我们日常生活中，不仅使用十进制还使用其他许多进制呢！你信不信我举一些例子。

两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个

月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于一平方米，100平方厘米等

于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于一千米，1000克等于1千克，这里使

用的是一千进制；……。怎么样实际上还可以发现更多的这样的例子。

随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打

交道，应该懂一些二进制数方面的知识。

1、什么叫二进制

所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“ 1

表示就够了）。例如：2在二进制中是10；3写成二进制是11；4写成二进制数便是100, 那么5呢应该是101。

同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字

的对照表：

表1

2、二进制的优缺点

二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态一一0或1。这样，我们便可

以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。下表中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。

表2

当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样， 同一个数和在二进制中要比在十进制中 位数多得多。

二进制转十进制

为了叙述的方便，我们约定：用（ ）2表示括号内写的数是二进制数，如（

1011）2；

用（）10表示括号中写的数是十进制数，如（

37） 10。

步骤：

（1） 将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数；

（2） 将各数位上对应的十进制数求和，所得结果就是相应的十进制数。 例1将（10110）2改成十进制数 在表1中可以看到：二进制数

10表示十进制数2;二进制数100,表示十进制数4;二

进制数1000,表示十进制数 8;二进制数10000表示十进制数16;…；可以看出规律；二 进制数100000应该表示十进制数 32,…。那么我们写下一个二进制数 10110,则应表示它

含有一个16, 一个4与一个2,也就是

（10110） 2= 1 X 16+ 0 X 8+ 1X 4 + 1X 2+ 0X 1= （ 22） w

例2 将(101101) 2改成十进制数。

(101101) 2=1 X 32+0X 16+1 X 8+1 X 4+0X 2+1X 1= (45) 10

十进制转二进制

将十进制数写成二进制数的常用方法一一除二倒取余法。

例如要将（71） 10写成二进制数，参见右式。我们将 71除以 2,余数1相应写在右边（如果除尽，余数则写 0）;再将商35 除以2,余数1相应写在右边；再将这步的商

17除以2，重复上

述过程，直到商等于1为止。并且最后一步的商 “ 1”也写到右边 余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这 行数便是（71） 10的二进制数表示法。即

（71） 10 =（ 1000111） 2 即：38 (10) =100110 (2)

二进制的四则运算

二进制四则运算和十进制四则运算原理相同，

所不同的是十进制有十个数码，

“满十进

，二进制只有两个数码 0和1,“满二进一”。二进制运算口诀则更为简单。 加法

二进制加法，在同一数位上只有四种情况：

例2:把十进制数38改写成二进制数。

分析与解答：把十进制数改写成二进制数，可以根据二进制 数“满

二进一”的原则，用 2连续去除这个十进制数，直到商为零 为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来，就是所化成的二进 制数，这种方法叫做“除以二倒取余数”。

2 38

19

0 1 1 0 0 1

0+ 0 = 0, 0+ 1= 1, 1 + 0= 1 , 1 + 1= 10。只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很容易地完成加法运算。

例1 二进制加法

（1）10110+ 1101；（2）1110+101011。

解加法算式和十进制加法一样，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满二向上一位进一。

10110+1101=100011 1110+101011=111001

通过计算不难验证，二进制加法也满足“交换律” ，如101+1101=1101+101=10010。多个数相加，先把前两个数相加，再把所得结果依次与下一个加数相加。

例2 二进制加法

（1）101+1101+1110；（2）101+（1101+1110）。

解

（1）101+1101+1110 （2）101+（1101+1110）

= 10010+ 1110 = 101+ 11011

= 100000； = 100000

从例2 的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。

减法二进制减法也和十进制减法类似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位借位，

例3 二进制减法

（1）11010－11110；

（2）10001－1011。

解（1）110101－11110=10111；

（2）10001－1011=110。

例4 二进制加减混合运算

（1）110101+1101－11111；

（2）101101－11011+11011。解（1）110101+1101－11111

= 1000010－11111

= 100011

（2）101101－11011+11011

= 10011 + 11011

= 101101 。

乘法

二进制只有两个数码0 和1，乘法口诀只有以下几条：

O x 0 = 0, o x 1= 0, 1 x 0= 0, 1 x 1= 1 概括成口诀：零零得零，一零得零，一一得一。

二进制乘法算式和十进制写法也一样。

例5 二进制乘法

（1）1001x 101；

（2）11001x 1010。