第四章 力系的平衡条件及平衡方程

F
SB cos , cos AB2 O2 A2
AB
252 52 0.9798 25
11.50
（2）连杆AB
S A
B
A
SA

S A

SB

F
cos
6 6.13 kN 0.9798
S B
（3）轮2 y
X 0 ： XO2 SA cos Pn sin 0
5.22 kN
（4）轮1
X 0 ：
Pn
y
X O1
O1
YO1
x M
Y 0 ：
MO1 0：
XO1 Pn sin 0 YO1 Pn cos 0 Pn cos r1 M 0
解得 M Pn cos r1 4.26 103 cos 200 5 102 200 N m
Z A Pr ZB T2 sin 0 P a X B (a c) T1(a b c) T2 cos (a c b) 0
X A P X B T1 T2cos 0
16
[例4-10]图示连续梁，A为固定端约束，B为圆柱铰链， C是
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。
[例４-2]图示结构，求A、B处反力。
XA
YA
思考
RA
解：1、取研究对象 整体
2、受力分析 特点：力偶系
NB
3、平衡条件
∑mi=P ·2a－YA ·l=0
NB
YA

2Pa l
∑m i= 0 P ·2a－RB ·cos ·l=0
15
ZA XA


ZB
XB
ZB 297 (N ) Z A 36７ (N )
X B 2175 (N )
X A 1395 (N )
∑mx=0: ∑Z=0: ∑mz=0: ∑X=0:
Pr a ZB (a c) T2sin (a c b) 0
NC

P YB
cos

P 0.5P cos450

P 2 cos450

20 2
14.14
kN
YB

Pa 2a

P 2
10
kN
X B NC sin
20 2
2 10 kN 2
或用二力矩式
XB
YB a
Leabharlann BaiduNC
a
X 0 : X B NC sin 0
MB 0: NC cos 2a P a 0
mC 0 : YB 2a Pa 0
NC

P
2 c os

P 2 cos450

20 2
14.14
kN
YB

Pa 2a

P 2
10
kN
X B NC sin
20 2
2 10 kN 2
2、取AB梁为研究对象
3、根据平衡条件确定全部未知力的大小和方向。
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。
3、投影轴常选择尽量多的力尤其是未知力的垂线，最好使每 个方程中只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
X 0:
X A X B 0
Y 0:
YA YB q 2a 0
mA

X A YA
2a
X B
YB
mA 0: mA 2qa a YB 2a 0
X A X B 10 kN YA YB 2qa 10 2 51 20 kN
Y 0 ： YO2 SA sin Pn cos 0
SA
XO2
YO 2
x Pn

MO2 0： Pn cos r2 SA cos O2 A 0
解得
Pn

O2 A cos r2 cos
SA

O2 A cos r2 cos
YA

q
3a 0.5a 2a

M
100 3 0.5 500 175N 2
思考题：
1、设平面力系向一点简化得一合力。问：如果另选适当的简 化中心，力系能否简化为力偶？为什么？
不能。 因力和力偶都是基本未知量，故力不能和力偶平衡。
2、在刚体上作用有三个力如图所示，力的大小恰好与△ABC 的边长成比例，方向如图。问:这一力系简化的结果是什么？
2 5 12 20 3 1 20 cos450 4 1 30kN m 2
各力方向如图
[例4-11] 已知：往复泵，电机作用于齿轮1上的主动力矩M，通过 齿轮2带动曲柄滑块机构O2AB，从而使活塞在汽缸内作往复运动，
r1=5cm, r2=7.5cm ,O2A=5cm, AB= 25cm,齿轮压力角 200。当曲
2a
a
mA 0: mA 2qa a P 3a NC cos 4a 0

a NC
X A NC sin
20 2
2 2
10 kN
YA

P 2qa
NC
cos

20
251
20 2

2 20 2
kN
mA 2qa a P 3a NC cos 4a
滑块
受力分析如图 S A
B
A
S B
（3） 实际计算时从已知量
依次算出未知量
N
Pn
X O1
O1
YO1
M


SB
F

N
XO2
YO 2
XO1
YO1

S A XO2
YO 2
Pn

2、计算：
（1）研究滑块B

y
SB
F

x N
X 0 ：F SB cos 0
mA 2qa a YB 2a 2 5 12 10 2 1 30kN m
各力方向如图
或 取整体为研究对象
mA
X 0 : X A NC sin 0
XA
Y 0: YA NC cos q 2a P 0
YA
空间一般平衡力系
[例４-7] 图示传动轴AB，皮带轮B的半径R =100mm，胶带拉力 T1=2T2=1300N，胶带的紧边为水平，松边与水平成角 300 ， 齿轮C的节圆半径 r=60mm，压力角=20°。A、 B为向心轴承， a=b=100mm，c=150mm。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计 轮、轴的重量。
miy 0：m3 sin 450 m1 0
解得： m3 2m1 141.4 (N.m) m2 m1 100 (N.m)
[练习1]图示杆系，已知m, l,求A、B处约束力。
N AD
解：1、研究对象二力杆：AD


RC
N AD
练习：
RB
2、研究对象： 整体
N AD

RB 2a q 3a 1.5a M 0
RB

q 3a 1.5a M 2a
100 31.5 500 475N 2
XA
YA
RB
∴
XA 0 YA 175N
RB 475N
校核
mB(F ) 0
YA 2a M q 3a 0.5a 0
支座反力。
解：1、研究AB梁，受力分析。

XA
分布载荷：合力 P ql
YA
RB
作用线距A端
d

1 2
l
1.5a
X 0
XA 0
XA
YA 1.5a
P=ql=3qa RB
Y 0
YA RB 3qa 0
YA 3qa RB
3100 475 175N mA(F) 0
→不可解
BC杆三个反力 →可解
故先分析BC杆，再分析整体或AB杆，可解。
解：1、取BC杆为研究对象
XB
YB a
NC
X 0 : X B NC sin 0
a
Y 0 : YB NC cos P 0

mC(F) 0 : YB 2a Pa 0
即 M min 200 N m
XO1 Pn sin 4.26 sin 200 1.46 kN YO1 Pn cos 4.26 cos 200 4.00 kN [负号表示力的方向与图中所设方向相反]
B
FA

FB
A
FC
C
力偶
3、下图中，A、B、C、D是正方形(边长为a)的四个顶点，所
受力如图，问：哪个力系平衡？不平衡，最终简化结果是什
么？ D F
A
FC
F
F
B

DF C
F
F
A
F
B
D
F1
F
C F

A F1 B
(a) 力偶 2Fa
(b) 平衡
(c) 平衡
柄O2A在铅垂位置时，F＝6kN，略去各处摩擦和各构件的重量。
求： ①克服工作阻力所需要的Mmin=？
②轴承O1 、 O2的约束反力？ ③连杆AB内力？
解：1、分析： （1）整体 有六个未知量N ，
XO2 ， YO2 ， XO1 ， YO1 ， M，
整体无法解。
（2）从未知量到已知量：从轮1
轮2 连杆
RB

m l
思考：CB杆受力情况如何？
RC

m
RB
AD杆
m RC
N AD
解：1、研究对象二力杆：BC
RC

RB

RB

2、研究对象： 整体
N AD
N AD

RB

l
m sin 450

2m l
[例4-5] 已知：M=500N·m, q=100N/m，a=1m。 求：A、B的
RB
RB

RA

2Pa l cosα
例４－3在三棱柱的三个侧面分别作用三个力偶m1、 m2 、 m3， m1
=100N.m， 求：如要保持平衡，力偶m2 、 m3的大小应为多少？
m3
y
解：研究三棱柱
m2
m1
m3
m2O
450
m1
x
由力偶系平衡条件
mix 0：m3 cos450 m2 0
[例4－1] 结构如图，已知P=2kN 求杆CD的受力及A处的反力 解：①研究AB杆
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 RAcos SCDcos4500 （1）
Y 0 PRA sin SCD sin450 0 （2）
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解得：tg

EB AB
可动铰链支座。已知：P=20kN,q=5kN/m, a=1m， 450 。
求：支座A、C处、中间铰链B的约束反力。
mA
XA
YA
2a
分析： 整体：四个反力

a a NC
→不可直接解出 拆开： AB杆五个反力
mA

X A YA
2a
X B
YB
XB
YB a
NC
a

0.4 1.2

1 3

SCD

sin
450

P cos450
tg
4.24 kN
；
R
A

SCD

cos450
cos
3.16 kN
静力分析要点： 1、根据问题的性质和要求选取合适的研究对象。 2、取分离体画受力图。在画受力图时应综合应用：
①、约束的性质 ②、平衡的条件 ③、作用力与反作用力关系
求：平衡时齿轮所受的切向力P及轴承A , B的约束反力。


13
分析：
1、几个未知力？

P

XA
ZA
XB ZB
Pr P tg
ZA XA
2、几个平衡方程？ 3、可用整体求解 最好使每一个方程只有一个未知数
4、确定列方程次序


ZB

XB
∑my=0 ∑mx=0 ∑Z=0 ∑mz=0 ∑X=0
→P
→ZB →ZA →XB →XA 14

ZA


ZB
解：1 研究整体 （轮及轴）

2 受力如图


XA
XB
3 列平衡方程
∑my=0 P r T1 R T2 R 0
P (T1 T2 ) R 1300 650 0.1 1083 (N )
r
0.06
Pr Ptg P tg 1083 tg200 394 .18 (N )

F
cos

56 7.5 cos 200
4.26
kN
XO2


F
cos
cos Pn sin
YO 2


F
cos
sin Pn cos
6 4.26 sin 200
6 tan11.50 4.26 cos 200
4.55 kN