第三章偏好与效用

MUY U Y 0.5 X 0.5Y 0.5 ， MRS
dY dX

U cons tan t
MU X Y MUY X
5 效用函数举例 1) 柯布-道格拉斯效用（Cobb-Douglas Utility） ：
，其中， , 是常数，且 1 。 U ( x, y) x y Y
X
2) 完全替代效用（Perfect Substitution） ：UXY ( ,)
X Y ， , 是正的
常数。这一函数的无差异曲线是一条直线。边际替代率沿整个无差异曲 线是不变的。这种情形可能是描绘基本相同产品的不同品牌之间的关 系。
Y
X
3) 完全互补效用（Perfect complement） ：
， ) U( X , Y ) m i n (X ,Y , 是正的常数。无差异曲线中的直线表示这
些对商品将以固定的比率来使用。多增加某一种商品是没有效用的。比如 100 克牛奶要配合 2 克糖。只增加牛奶，或只增加糖是没有效用的。
Y
X
4) CES 效用（constant elasticity of substitution function）
Y 20 12.5 5 5 12.5 A B C
U=10
20
X
4 边际效用 1) 定义：效用 U ( x1 , x2 ,..., xn ) ， x1 , x2 ,..., xn 是消费的 N 种商品（X）中每一 种的数量。商品 x1 的边际效用可以表达为：
x1的边际效用＝MU x1
U ，边际效用的值取决于个人消费 x1 , x2 ,..., xn 的 x1
数量，也取决于测量效用所用的特定的标度。
dU
U U U dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
MU x1 dx1 MU x2 dx2 ... MU xn dxn
2) 边际替代律的推导：考虑只有两种商品 X 与 Y 的情况，保持个人效用 的无差异（dU=0） 。
Y
U3 U1 U2 X
一个人的任意两条无差异曲线不会相交。 （画图证明）
我们分析一下 A、B、C、D 点所代表的商品组合，应该说“A 优于 B” ， “C 优于 D” ，但是 B 和 C 在同一条无差异曲线上，则“B 和 C 相同” ，根据传递性 定理， “A 优于 D” ，这与 A 和 D 在同一条无差异曲线上相矛盾。
U f ( x, y)
MRS
fx f dy 1 f y f2 dx
边际替代率递减意味着：
dMRS 0 dx
dMRS f 2 ( f11 f12 dy dx) f1[ f 21 f 22 dy dx ] dx f 22 f 2 [ f11 f12 ( f1 f 2 )] f1[ f 21 f 22 ( f1 f 2 )] f 22
Y ？ 比 A 偏好
比A糟
？ X
3 交易与替代 大多数的经济活动都涉及个人之间的自愿交易。为了考察这种自愿交易，需要 在效用函数范围内提出一种规范的表达方式。 1) 无差异曲线和边际替代率 无差异曲线（indifference curve） ：一条无差异曲线（或在多维时的无差 异表面）显示了个人无差别的消费组合集。也就是说，所有的组合提供 了相同程度的效用水平。 配图说明，假设只考虑两种消费品 X 和 Y 的情况， 边际替代率（marginal rate of substitution MRS） ：无差异曲线（U）某些 点上的斜率为负的术语是这些点的边际替代率。
合并同类项，已知 f12 f 21 ，可知上式

f 2 f11 2 f1 f12 ( f 22 f1 ) 2 / f 2 f 22 f 22 f11 2 f1 f 2 f12 f12 f 22 f 23
假 设 （ f 2 >0 ， 边 际 效 用 为 正 ） ，那么边际替代率递减，有
MRS
Y
dY dX
，这个概念指出沿着无差异曲线 U1 来计算斜率。
U U1
Y1 Y2
U1 X
X1
X2
根据图形解释无差异曲线斜率为负，且边际替代率递减的原因。 2) 无差异曲线图 在 X-Y 平面上的每一点都有一条无差异曲线通过。 每一条无差异曲线及 记录了 X 与 Y 商品的一种组合，这种组合给个人带来某已确定水平的 满足。曲线移向东北，表示更高满足程度。
源自文库
f 22 f11 2 f1 f 2 f12 f12 f 22 0 。
因此边际效用递减 f11 0, f 22 0 ， 不能保证不等式成立， 必须关注 f12 项。 即了解 y 的减少对 x 边际效用影响。通常对这项的预测是不可能的。 举例说明：假设一个人对汉堡包（Y）和饮料（X）的偏好可以用下列效用 函数来表达：效用＝ XY X 0.5Y 0.5 ， 边际效用为：MU X U X 0.5 X 0.5Y 0.5 ，
Y
U1 X
画图 举例说明：假设一个人对汉堡包（Y）和饮料（X）的偏好可以用下列效用 函数来表达： 效用＝ XY ，我们随意假设改组合集的效用是 10，则无差异曲线 可以表示为：100 XY ，边际替代率为： MRS dY dX 100 / X 2 ，这显示在 无差异曲线的 A 点上有许多汉堡包（比如，X=5,Y=20）时，边际替代率为 4， 消费者愿意放弃 4 个汉堡包去换取 1 瓶饮料。而在 B 点，他只有很少的汉堡包 （X=20,Y=5） ，边际替代率为 1/4，他只愿意为换取一瓶饮料放弃 1/4 个汉堡包。 在 C 点，即 A 和 B 两点的中点，他有 12.5 个汉堡包和 12.5 瓶饮料，这时他的效 用为 12.5，超过了 A 和 B 点的效用。
3) 无差异曲线的凸性 凸集： 如果集内任何两点可以用直线相连， 直线完全在集内。 就可以说， 这个点集是凸的。边际替代率递减的假定相等于这样一个假定：优于或 无差异于特定的（ X * , Y * ）组合的所有的 XY 的组合形成一个凸集。 如果无差异曲线是凸的（即服从边际替代率递减的假定） ，曲线上任两 点的连线上的点所表示的组合都优于初始组合，直观地看，平衡组合优 于不平衡组合。
dU 0
U U dx dy MU x dx MU y dy x y

MU x u x dy dx U cons tan t MU y u y
虽然边际效用不独立于效用的测度单位，但边际替代率独立于效用的测 度单位。 3) 边际效用递减与边际替代率（MRS）递减
第三章 偏好与效用
偏好可以说是每个人对各种物品的喜好程度。在经济学中，我们假设偏好有下面 的几个性质。举例， “苹果和梨、橘子” 1 理性选择定理 偏好（preference）的三个基本性质： 1) 完全性（completeness） ：如果 A 与 B 是任何两种情况，个人总是准确地 指定下列三种可能性中的一种： a) “A 优于 B” b) “B 优于 A”或者 c) “A 与 B 的吸引力相等” 2) 传递性（transitivity） ：如果一个人认为“A 优于 B” ，同时又认为“B 优 于 C” ，那么一定意味着它也认为“A 优于 C” 3) 连续性（continuity） ：如果一个人认为“A 优于 B” ，那么“接近”A 的 情况也一定优于 B 当我们针对个人行为对收入或价格一个相对很小的变化的反应进行分析 时，这一技术性的假定是必要的。 2 效用 当给定完全性、 传递性和连续性的假设之下， 就可以规范的表达偏好的次序， 从最合心意的到最不合心意的。19 世纪的政治理论家 Jeremy Bentham 引入了经 济学家称之为效用序列的术语。如果一个人认为情形 A 优于情形 B，我们就说 选择 A （用 U（A）来表示）的效用超过了选择 B（用 U（B）来表示）的效用。 1) 效用测度的非唯一性（Non-Uniqueness of Utility Measures） 。我们可以用 数字来表示效用，但这些数字不是唯一的。任意指定的可以准确反映最 初偏次序的任何一组数字，都意味同样的选择。 2) 其他情况不变的假设（the Ceteris Paribus Assumption） ：由于效用涉及人 们的总体满足程度。因此对效用的测度会受到多种因素的影响（个人经 历、文化环境） 。通常在经济分析中，假定其他影响因素不变，集中精力 值分析可计量、可挑选的物品之间的选择，从而确保分析形式简单。 3) 效用定义：假定以下效用函数形式代表了个人的偏好。 U ( x1 , x2 ,..., xn ) ， 这里 x1 , x2 ,..., xn 分别代表了一个时期消费的每一种商品的数量。仅在消 费者保持的偏好序发生变化之前，这个函数是唯一的。同时这个函数的 任意单调正转换都代表了同样的偏好。 4) goods（经济品） ：无论它们所表示的数量是多少，我们都假定在一个时 期，任何较多的特定的 xi 都优于较少的 xi 。