高二数学 三垂线定理

三垂线定理
复习回顾
下图中哪些直线是平面的斜线、直线的射影？
已知直线PO是平面α的垂线, O为垂足;
直线PA是平面α的斜线, A 为斜足; 直线OA是PA在平 面α内的射影.
P
A
a
α
O
如果a , a OA,
那么a与PA 的位置关系 如何呢?
新课讲解
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知: PO、PA分别是平面的垂线、斜线,
AB OE, AC OF PE PF , PO PO,
OE OF .
Rt PEO Rt PFO.
又AO AO, Rt EAO RtFAO.
(三垂线定理的逆定理)
P
B E
BAO CAO.

A F
O C
课堂练习
如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D为AB 1、
的中点，求证AB⊥PC。
P
证明： ∵AC=BC，D是BC的中点，
∴AB⊥CD， ∵PD⊥平面ABC，
A D C
B
∴CD是PC在平面ABC内的射影， ∴ AB⊥PC（三垂线定理）
2．如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB、PC、P 指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由．
解: PA 平面AC, PA AB,PA AD. P PAB, PAD都是直角三角形.
P O (1) a A
2、a与PA可以异面，也可以相交。
P a O (2)
P
a A (3) O A
α
α
(4)
三垂线定理
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直． 已知: PO、PA分别是平面的垂线、斜线,
OA是PA在内的射影,a ，且a PA. 求证 : a PA.
判定定理
三垂线定理的逆定理 a PO a OA a PA
垂射必垂斜 垂斜必垂射
性质定理
线线垂直
线面垂直
三垂线定理 三垂线定理 的逆定理
线线垂直
线线垂直
线线垂直
OA是PA在内的射影,a ，且a OA.
证明: PO , a ,
PO a.
又 a OA, PO OA O,
P O A
求证:a PA.
a 平面POA. a PA.
a
α
三垂线定理
对三垂线定理的说明： 1、三垂线定理描述的是 PA(斜线)、OA(射影)、a(直线) α 之间的垂直关系，它们都是相对 同一个平面而言的。
又 BC AB,AB为PB在平面 ABCD的射影 BC PB PBC是直角三角形. B 同理, PDC也是直角三角形.
A
D
C
课时小结
三垂线定理
三垂线定理
a PO a PA a OA
a , PO a OA a PA
证明: PO , a ,
PO a.
又 PA a, PA PO P,
P
O
A
a
a 平面PAO. a AO
α
例题分析：
例1、已知点O是△ABC的BC边的高上的任 意一点，且PO⊥平面ABC，求证PA ⊥BC。
证明： ∵PO⊥平面ABC
P
A ∴ OA是PA在平面 O ABC内的射影， B 又∵BC⊥OA， ∴BC ⊥PA（三垂线定理）
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C
三垂线定理
已知：∠BAC在平面α内，点P ，PE⊥AB， PF⊥AC，PO ⊥α，垂足分别是E、F、O，PE=PF。
例2 求证: 如果一个角所在平面外一点到角的 两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在 这个角的平分线上．
求证：∠BAO = ∠CAO． 证明: PO , PE AB, PF AC,