高二数学 三垂线定理
三垂线定理及逆定理
三垂线定理及逆定理三垂线定理是一个重要的几何定理，它掌握着许多几何形状的性质。
在这里，我们将介绍这个定理及其逆定理，并讨论它们在几何学中的应用。
三垂线定理：对于任意三角形ABC，它的边AB，AC通过C点的垂线BD，CD相交于点D。
那么，D点同时也在BC边上的垂线上。
这个定理的意思是，如果我们在三角形的两侧都有一条垂直线，它们都通过三角形的另一个点，在尖角处相交，那么这个交点也必须在三角形底边上的垂直线上。
这个定理可以用来进行几何证明，以及解决几何运算问题。
为了更好地理解这个定理，让我们看一看下面这张图。
在这个三角形ABC中，我们可以看到点D是通过边AB和边AC的垂线相交而成的。
根据三垂线定理，D点也应该在BC边上的垂线上。
在图中，我们可以看到BC的垂线DE，它与AD相交于点F。
因此，根据三垂线定理，D点也应该在DE线上。
三垂线定理的逆定理是另一个重要的几何定理。
逆定理的意思是，如果我们能够证明一个点同时在三角形的底边上的垂线和其他两条垂直线上，我们就可以推断出这三条线相交于同一个点。
逆定理的表述如下：三垂线定理的逆定理：对于任意三角形ABC，如果BC的垂线DE与AD相交于点F，且DF和EF是三角形底边BC的垂线，则D、E、F三点共线。
这个逆定理与三垂线定理是完全相反的。
它表明，如果我们知道某个点在三条互相垂直的线上，则这些线都必须相交于同一个点。
这个定理可以帮助我们解决几何证明和运算问题。
总之，三垂线定理及其逆定理是几何学中重要的定理。
如果我们能够掌握它们的应用，就可以顺利解决许多三角形的几何问题。
无论是在学术上还是在生活中，这些定理都具有非常大的指导和应用价值。
高中立体几何 三垂线定理
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（6）
• 平行于平面α的直线a，如果垂直于 平行于平面α的直线a
斜线OP在平面α内的射影OA，那么 斜线OP在平面α内的射影OA，那么 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 直线a也垂至于斜线OP，它在解某些 较复杂的问题时可能化难为易
P a
立体几何——三垂线定理 立体几何——三垂线定理
写在前面的话
• 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统
的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及 在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性 的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过 分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。 今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂 线问题。
D1 C1 B1 A1
∴ AC1 ⊥ 平面 A1 BD
D C A B
三垂线定理说明（ 三垂线定理说明（8）
• 应用这两个定理时，首先要明确是针对
哪个平面应用定理，尤其是应注意此平 面非水平面放置的情况，然后再明确斜 线、垂线、斜线的射影及面内直线的位 置，有时需要添加其中某些线，这样可 以确保正确应用定理
建议对其掌握不好的同学，一方面扎 实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种 情况，另一方面所作相关练习，重点 突破
• 祝大家学习成功，高考顺利！
连结CD，由三垂线定理可知，CD ⊥ AB， ∴ CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ∴ ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
P A D B C
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直 证明：由余弦定理，
b2 + c2 − a 2 cos ∠CAB = 2bc ( x2 + z 2 ) + ( x2 + y2 ) − ( y 2 + z 2 ) = 2 x2 + z 2 x2 + y 2 = 2x 2 x +z
高二数学三垂线定理和逆定理
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
证明： ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
A1
D
A D1 B1 D A B B
C
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 由三垂线定理知 A1 A1C⊥BC1
C1
同理可证， A1C⊥B1D1
(3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P A O B C D A
P
D1
C1
A1
C
B1 D
C
(1)
(2)
M B
A (3)
B
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P A B D
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD 证明: ∵ PA⊥平面ABCD ∴ AO是PO在平面ABCD上的射影 ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD 又 BD
O
a
α
A
三垂线定理
说明：
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。
例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
?
?
?
A
C 结 论 成 立
三垂线定理
小
结
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果
三垂线定理
1.直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°，
∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴ CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三 垂线定理知AE⊥DM
能力拓展：
2、过Rt ∆BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC，求证： ∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。
3. 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
求证：∠BAO=∠CAO
P
分析： 要证 ∠BAO=∠CAO
只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC
?
?
?
A
三垂线定理
三垂线定理，平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
线面垂直证明
已知：如图，PO在上的射影OA垂直于a。
求证：OPa
证明：过P做PA垂直于
∵PA且a
aPA
又aOA
OAPA=A
a平面POA
aOP
用向量证明
1.已知：PO，PA分别是平面的垂线，斜线，OA是PA在内的射影，向量b包含于，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA
证明：∵PO垂直于，PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=(向量PO+向量OA)
向量PA向量b=(向量PO+向量OA)向量b=(向量PO向量b)+(向量OA向量b )=0，PA 向量b。
2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，AOB=BOC=COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。
解：∵向量OA=(向量OB+向量AB)，O是内心，又∵AB=BC=CA，OA与平面OBC所成的角是30。
三余弦定理
三余弦定理：平面内的一条直线与该平面的一条斜线所成角的余弦值，等于斜线与平面所成角的余弦值乘以斜线在平面上的射影与该直线所成角的余弦值。
例如：OP是平面OAB的一条斜线，且OP在面上的射影是OC。
若POC=(斜线与平面
所成角)，AB与OC所成角为(射影与直线所成角)，OP与AB所成角为(直线与斜线所成角)，则cos=coscos
显然，三垂线定理就是当=90的情况。
直线垂直射影有cos=0，因此cos=0，即直线与斜线也垂直。
三垂线定理证明过程
三垂线定理证明过程三垂线定理是解决三角形垂心位置的一个重要定理。
在本文中，我们将通过证明过程来探讨三垂线定理的原理和应用。
让我们来介绍一下三垂线定理的概念。
在任意三角形ABC中，我们可以通过顶点A、B、C分别作边BC、AC、AB的垂线，分别得到D、E、F三个垂足点。
三垂线定理指出，这三条垂线所交于一点H，该点被称为三角形ABC的垂心。
为了证明三垂线定理，我们将分两步进行推理。
首先，我们需要证明垂心H在BC上。
假设垂线AD与BC的交点是H，我们将证明H在BC上。
根据垂直线的性质，可知∠ABH=90°。
同理，由于垂线CE与AB垂直，我们可以得出∠CBH=90°。
因此，∠ABH和∠CBH都是直角，那么∠ABH+∠CBH=180°。
由此可知，点H在直线BC上。
接下来，我们继续证明垂心H在AC和AB上。
我们已经得出点H在BC上，现在我们需要证明H也在AC上。
假设垂线BE和AC的交点是H'，我们将证明H'和H是同一个点。
根据垂直线的性质，可知∠BAH'=90°。
同理，由于垂线CF与AB垂直，我们可以得出∠CAH'=90°。
因此，∠BAH'和∠CAH'都是直角，那么∠BAH'+∠CAH'=180°。
由此可知，点H'在直线AC上。
同样地，我们可以通过证明垂线CF与AB的交点是H来得出结论，点H也在直线AB上。
我们已经证明了三垂线定理。
在任意三角形ABC中，通过连接顶点A、B、C和分别作边BC、AC、AB的垂线，得到的三个垂足点D、E、F所确定的垂心H是在三角形的三条边上的。
三垂线定理在几何学中有着重要的应用。
通过垂心的位置，我们可以推导出很多与三角形相关的性质。
例如，垂心到三角形三边的距离相等，垂心到三个顶点的连线会互相垂直等等。
这些性质可以帮助我们解决许多与三角形相关的问题，如求三角形的面积、判断三角形的类型等。
高中数学 三垂线定理以及应用
O
B
C
解题回顾
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准 面)以及垂线。射影就可以由垂足、斜足来确定。 从三垂线定理的证明中得到证明a⊥b的一个程 序：一垂、二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线。
第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条 直线与一条斜线。
第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b 垂直。
三垂线定理
P O A
a
α
复习：平面的斜线、垂线、射影
PA是平面α的斜线,
P
O
A为斜足; PO是平面α 的垂线, O为垂足; AO
A
a
是PA在平面α内的射 影. 如果a α, a⊥AO， 思考a与PA的位置关 系如何？
α
a⊥PA
为什么呢？
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
A
a
O
A
a
直线和平 面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
对三垂线定理的说明： 1.三垂线定理描述的是斜线(PA)、射影(AO)、 直线(a)之间的垂直关系。 P 2.三垂线定理的实质 a 是平面的一条斜线和平面 内的一条直线垂直的判定 O A α 定理。其中直线a与PA可以 相交，也可以异面。 3. 三垂线定理中垂线、斜线、射影、直线都是 相对于一个平面而言，即四线一面，所以把该平面 称为基准平面。 但基准 平面不一定是水平的。
A A1 D1 B1 C1
D
B
C
三垂线定理
三垂线定理
三垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
具体如下：1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射影),a(直线)之间的垂直关系.2,a与PO 可以相交,也可以异面.3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,二射,三证.即第一,找平面(基准面)及平面垂线第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与一条斜线.第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。
扩展资料：三垂线定理与逆定理的核心就是两两垂直。
其中射影就是斜线的一端到另一端到平面的垂线段的连线。
三垂线定理：影垂不怕线斜(形影不离)，即垂直射影垂斜线。
三垂线定理逆定理：斜垂影随其身(影随其身)，即:垂直斜线垂射影。
高二数学三垂线定理
结论：
①若一个角所在平面外一点到角的两边距离相 等,则这一点在平面上的射影在这个角的平分线 上
②过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等,
则这条射线在平面内的射影是角平分线
若∠COA= ∠ COB
C
则CO在平面AOB内的射影
A
为角AOB的平分线
O
B
第十八页，共31页。
练习题：正方体ABCD-A’B’C’D’
的 内 心。
G
D
O
F E
C
第二十一页，共31页。
例1.空间四边形ABCD中, AB CD, AH 平面BCD, 求证 : BH CD.
证明 : AH 平面BCD, AB在平面BCD内的射影为BH , 又 AB CD,且CD在平面BCD内, 由三垂线定理的逆定理知, BH CD.
第二十二页，共31页。
三垂线定理及其逆定理可合起来表述为 :
设l是平面的斜线, l '是l在内的射影,直线a ,
则a l ' a l
第二十七页，共31页。
三垂线定理总结
（1）定理涉及到的五个元素是 “一面四线”
（2）三垂线定理（或逆定理），实质上是平面的一条斜线（或其射 影）和平面内的一条直线垂直的判定定理，这两条 直线可以是相交直 线，也可以是异面直线
(1) 用途不同，原定理用来证明空间两线垂直； 而逆定理用来证明同一平面上两直线垂直；
(2) 条件与结论不同， 原定理是：“与射影垂直 逆定理是：“与斜线垂直
与斜线垂直”； 与射影垂直”.
第二十九页，共31页。
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面内
的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么，它 就和这条斜线垂直。
三垂直定理立体几何
三垂直定理立体几何三垂线定理（也称三垂直定理）是立体几何中一个重要的定理，通常用于计算三角形的面积或其他几何量。
在三维空间中，如果一个点P在三角形ABC所在平面上，那么它到三角形的三个顶点的连线所在的直线都与三角形的平面垂直。
换句话说，点P到三角形的三个边AB、BC、CA 所在平面的距离都是垂直距离。
证明：设点P在平面ABC上，向量a、b、c分别表示边向量AB、BC、CA，则向量n=a×b表示平面ABC的法向量（叉积）。
点P到平面ABC的距离（设为h）满足n·OP=h|n|，其中OP 为点P到原点O的向量。
考虑向量PA在向量n上的投影PA'，即PA'=(PA·n/|n|)n/|n|。
根据余弦公式，PA·PB=PA^2+PB^2-AB^2/2，因此PA·n=PA·(a×b)=PA·c^2/2SABC。
将上述若干式子代入n·OP=h|n|中，得到PA'=PA·c^2/(2SABC)|n|/|c×(PA×c)|同理，PB'和PC'也可以表示为三垂线上的垂直距离分别为h=PA'，h=PB'和h=PC'。
应用：利用三垂线定理，可以方便地计算三角形的面积。
设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其半周长为s=(a+b+c)/2，则三角形的面积S可以表示为S=abc/4R=1/2absinC=1/2crsinA=1/2basinC其中R为三角形外接圆半径，A、B、C为三角形的角度。
由于三条垂线的长度都可以用三条边的长度表示，因此可以通过这些式子计算出三角形的面积。
三垂线还可以用于计算三角形垂心（三条垂线交点）、oktane棱锥的体积等相关几何量。
需要注意的是，在三维空间中绝大多数点不在三角形所在平面上，因此计算其垂距要用到点到平面的距离公式。
解析几何中的三垂线定理解析
解析几何中的三垂线定理解析解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了点、线、面等几何图形在坐标系中的性质和关系。
在解析几何中，三垂线定理是一个基本而重要的定理，它揭示了三角形内部垂线的性质和关系。
本文将对三垂线定理进行解析，探讨其含义和应用。
一、三垂线定理的表述三垂线定理是指对于任意一个三角形ABC，它的三条垂线AD、BE、CF相交于一个点O，并且这个点O到三个顶点的距离满足以下关系：OA^2 + OB^2 +OC^2 = OD^2 + OE^2 + OF^2。
二、三垂线定理的证明要证明三垂线定理，我们可以利用向量的性质来进行推导。
首先，设三角形ABC的顶点A、B、C的坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)。
设垂足D的坐标为(Dx, Dy)。
根据向量的性质，我们可以得到向量AD、BD和CD的表达式：AD = (Dx - Ax, Dy - Ay)BD = (Dx - Bx, Dy - By)CD = (Dx - Cx, Dy - Cy)由于AD与向量AB的夹角为90度，所以它们的点积为0。
同理，BD与向量BC的点积也为0，CD与向量CA的点积也为0。
根据点积的性质，我们可以得到以下方程：(AB)·(AD) = 0(BC)·(BD) = 0(CA)·(CD) = 0将向量的表达式带入上述方程，可以得到：(Ax - Bx)(Dx - Ax) + (Ay - By)(Dy - Ay) = 0(Bx - Cx)(Dx - Bx) + (By - Cy)(Dy - By) = 0(Cx - Ax)(Dx - Cx) + (Cy - Ay)(Dy - Cy) = 0将上述方程展开并整理，可以得到：Ax^2 + Ay^2 - 2(Ax * Dx + Ay * Dy) + Dx^2 + Dy^2 - AB^2 = 0Bx^2 + By^2 - 2(Bx * Dx + By * Dy) + Dx^2 + Dy^2 - BC^2 = 0Cx^2 + Cy^2 - 2(Cx * Dx + Cy * Dy) + Dx^2 + Dy^2 - CA^2 = 0将上述方程相加得到：2(Dx^2 + Dy^2) = AB^2 + BC^2 + CA^2进一步整理可以得到：OD^2 + OE^2 + OF^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2因此，三垂线定理得证。
三垂线定理
谢谢
C A1 α O B1 D A B
三垂线定理说明（7）
• 大家往往习惯于在水平放置地平面上运 用三垂线定理，而在竖直或倾斜放置的 平面上需用三垂线定理解题时，即使是 很明显的问题，有时也会感到力不从心。 应明确的是，三垂线定理及其逆定理的 适用与平面所在的位置无关。可做一些 练习加深这种印象
举一个例子说明
A B
C A1 α O B1 D
例题分析
分析：①因为AB 平面，又因为AB AC , AB BD，则应想到AB也垂直于AC、BD 在平面内的射影A1C、B1 D ②因为AA1 BB1 7cm且AA1 BB1， 所以A1 B1 AB 5cm ③因为直角 A1CO 直角 B1 DO （锐角、直角边）， 所以A1O 2.5cm ④因为A1C AC 2 AA12 15cm 所以CD 2CO 2 A1C 2 A1O 2 2 85cm
P a O α
A
例 题（1）
如图，已知在直角三角形ABC中，C=90o，AC=18， BC=32，D是AB的中点，DE 平面ABC，DE=12, 求：E到AC、BC的距离
E A F
D
ห้องสมุดไป่ตู้
C
G
B
例题（1）
解：作DF AC，DF AC F，连接EF， 根据三垂线定理可知EF AC， 1 DF BC 16，DE 12 2 Rt DEF，EF DF 2 DE 2 20 即E点到AC的距离是20，同理可求得 E到BC的距离是15。
A F E
D
C
G
B
例题（2）
如图，已知在四面体ABCD中，AB CD， AC BD，求证：AD BC
三垂线定理证明
三垂线定理证明导言三垂线定理是平面几何学中的重要定理之一，它是解决三角形垂心相关问题的基础。
三垂线定理指出，三角形的三条垂线交于一个点，并且该点与三个顶点构成一个特殊的几何形状，即垂心。
本文将给出三垂线定理的证明过程，展示其几何思想和数学推理。
三垂线定义在开始证明之前，我们先给出三垂线的定义。
给定一个三角形ABC，我们假设BC边上有一点D，并且AD与BC垂直相交。
那么AD线段就是三角形ABC中的垂线。
同样地，我们可以定义其他两条垂线BE和CF，它们分别与AC和AB垂直相交。
证明过程为了证明三垂线定理，我们需要一些基本的几何定理和推理。
下面将给出证明的详细过程。
步骤一：证明CF与AB垂直我们先证明CF与AB垂直。
假设CF与AB不垂直，即存在一点E在AB上，使得CF与AE相交于E点。
我们将证明这种情况是不可能的。
根据角的定义，我们知道∠CFA与∠AEB互补，因为它们是一个钝角和一个锐角。
又因为CF与AE相交，根据线与交角相等的性质，我们可以得到∠CFA = ∠AEB。
同样地，我们有∠EFA = ∠ACB，因为它们是相对的内角。
进一步地，我们可以得到∠CFA + ∠EFA = ∠AEB + ∠ACB，即∠CFE = ∠ABC。
根据角的定义，我们知道∠CFE与∠ABC互补。
由于∠CFE与∠ABC互补，而∠ABC是一个锐角，所以∠CFE 是一个钝角。
然而，根据三角形的性质，一个三角形的所有内角之和应为180°，即∠CFE + ∠EFA + ∠CFA = 180°。
将之前得到的∠CFA = ∠AEB和∠CFE + ∠EFA + ∠CFA = 180°代入上式，可以得到∠AEB + ∠EFA + ∠AEB = 180°，即2∠AEB + ∠EFA = 180°。
根据∠EFA与∠ACB互补的性质，∠EFA是锐角，所以2∠AEB + ∠EFA是一个锐角。
然而，根据三角形的性质，一个三角形的所有内角之和应为180°，所以2∠AEB + ∠EFA不可能等于180°。
三垂线定理
三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直内心：三角形的三内角平分线交于一点。
（内心定理）外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
（外心定理）中心：等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心：三角形的三条高交于一点。
（垂心定理）重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（重心定理）重心：三角形重心是三角形三边中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心（几何中心）重合。
1 重心的性质及证明方法1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一三角形ABC，E、F是AC，AB的中点。
EB、FC交于O。
证明：过F作FH平行BE。
∵AF=BF且FH//BE∴AH=HE=1/2AE（中位线定理）又∵ AE=CE∴HE=1/2CE∴FG=1/2CG（⊿CEG∽⊿CHF）2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+ y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
高二数学三垂线定理和逆定理
作业：《教学与测试》53
《创新作业》14
感谢莅临指导!
再见！
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/category/safety/ 防爆柜 ；
融入到其中/混沌青气随着马开の法落融入到液滴中/紫金色の液滴中交织着青色/液滴越来越多/马开の心神完全融入到其中/法冲击在其中/马开就坐在那里/整佫人身上依旧有血珠浮现/但却壹直没有刀疤男想象の那样/马开爆裂而亡/钟薇着面前近乎成血人の马开/拳头也紧紧の握着/心中生起咯壹 丝希望/就在所有人の注视中/马开入定壹般/就静静の坐在那里/周身血珠和煞气不断の喷涌而出/恐怖非凡/"如此煞气它如何能承受/刀疤皇难以理解/这样の煞气足以轻而易举要人命咯/要确定换做确定它/生机早就磨灭咯/可这佫少年/肉身好像无惧这样の煞气/这怎么可能/就算确定煞灵者都无法做 到啊/马开气海之中/紫龙帝金在煞气和法の淬炼下/消融の很快/很快就全部化作液滴/其中即使有规则/但都被混沌青气包裹/"青莲成/"马开吼叫/无穷の法交织而成/液滴慢慢の塑造/煞气冲入其中/紫金色の鼎上/出现壹种种纹理/这纹理有马开感悟出来の/也有黑铁上の/甚至黑铁中の文字也烙印其 中/让马开惊奇の确定/黑铁幽泉中出现の诡异文字/居然可以烙印在上面不消失/很快/壹颗紫金色の青莲出现浮现/周身确定漆黑の煞气和青光交织の纹理/它作为器物和落在马开の青莲元灵中/青莲成/气海顿时有轰轰の巨响/巨响冲击之间/有着雷光闪现壹般/而在马开の头顶上/也有乌云遍布/遮滴 盖地/要压迫苍穹壹般/但这种乌云刚刚出现/没有多久就消散咯/其中の雷光都来不及凝聚/马开不知道这点/它此刻身体在疯狂の吸收着煞气/以煞灵术锻炼煞气/不断の融入气海中/又有自己の窍穴/阴阳转化煞气/把煞气化为灵气/不断の壮大马开の能量/马开法在气海中不断の舞动/舞动之间/分出壹 股元灵力/融入到煞气中/成为煞气の元灵/煞气锻
三垂线定理
P
连AH交BC于E，连PE
∵PA、PB、PC两两垂直 ∴PA⊥平面PBC ∴PA⊥BC
AH为PA在平面ABC内的射影 A
∴BC⊥AH
C H
B E
4×6 = ---12 在Rt△PBC中，PE= -----42+62 13 144 = ---2 29 在Rt△APE中，AE= PA2+PE2= 9+ --13 13
三垂线定理
例题分析：
1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面α 的斜线、直线b垂直于a在平面 α 内的射影，则a⊥b。 ( ×)
(2)若a是平面α 的斜线，b是平面α 内的直线， 且b垂直于a在β 内的射影，则a⊥b。 强调：1°四线是相对同一个平面而言 2°定理的关键找“平面”这个参照学。 ( ×)
PA⊥α a α
PA⊥a ② a⊥平面PAO AO⊥a
P
a α
①
①
a⊥PO PO 平面PAO
③
A
o
②
③
线线垂直 线线垂直 线面垂直 线面垂直 性质定理 判定定理 性质定理
三垂线定理
对三垂线定理的说明：
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射
影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。
三垂线定理
小
结
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。 1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”
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证明: PO , a ,
PO a.
又 PA a, PA PO P,
P
O
A
a
a 平面PAO. a AO
α
例题分析：
例1、已知点O是△ABC的BC边的高上的任 意一点，且PO⊥平面ABC，求证PA ⊥BC。
证明： ∵PO⊥平面ABC
P
A ∴ OA是PA在平面 O ABC内的射影， B 又∵BC⊥OA， ∴BC ⊥PA（三垂线定理）
AB OE, AC OF PE PF , PO PO,
OE OF .
Rt PEO Rt PFO.
又AO AO, Rt EAO RtFAO.
(三垂线定理的逆定理)
P
B E
BAO CAO.
A F
O C
课堂练习
如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D为AB 1、
OA是PA在内的射影,a ，且a OA.
证明: PO , a ,
PO a.
又 a OA, PO OA O,
P O A
求证:a PA.
a 平面POA. a PA.
a
α
三垂线定理
对三垂线定理的说明： 1、三垂线定理描述的是 PA(斜线)、OA(射影)、a(直线) α 之间的垂直关系，它们都是相对 同一个平面而言的。
三垂线定理
复习回顾
下图中哪些直线是平面的斜线、直线的射影？
已知直线PO是平面α的垂线, O为垂足;
直线PA是平面α的斜线, A 为斜足; 直线OA是PA在平 面α内的射影.
P
A
a
α
O
如果a , a OA,
那么a与PA 的位置关系 如何呢?
新课讲解
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知: PO、PA分别是平面的垂线、斜线,
又 BC AB,AB为PB在平面 ABCD的射影 BC PB PBC是直角三角形 B 同理, PDC也是直角三角形.
A
D
C
课时小结
三垂线定理
三垂线定理
a PO a PA a OA
a , PO a OA a PA
C
三垂线定理
已知：∠BAC在平面α内，点P ，PE⊥AB， PF⊥AC，PO ⊥α，垂足分别是E、F、O，PE=PF。
例2 求证: 如果一个角所在平面外一点到角的 两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在 这个角的平分线上．
求证：∠BAO = ∠CAO． 证明: PO , PE AB, PF AC,
判定定理
三垂线定理的逆定理 a PO a OA a PA
垂射必垂斜 垂斜必垂射
性质定理
线线垂直
线面垂直
三垂线定理 三垂线定理 的逆定理
线线垂直
线线垂直
线线垂直
的中点，求证AB⊥PC。
P
证明： ∵AC=BC，D是BC的中点，
∴AB⊥CD， ∵PD⊥平面ABC，
A D C
B
∴CD是PC在平面ABC内的射影， ∴ AB⊥PC（三垂线定理）
2．如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB、PC、P 指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由．
解: PA 平面AC, PA AB,PA AD. P PAB, PAD都是直角三角形.
P O (1) a A
2、a与PA可以异面，也可以相交。
P a O (2)
P
a A (3) O A
α
α
(4)
三垂线定理
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和 这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直． 已知: PO、PA分别是平面的垂线、斜线,
OA是PA在内的射影,a ，且a PA. 求证 : a PA.