天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年度第一学期高二年级数学期末考试模拟试卷(含解析)

塘沽一中高二数学期末综合练习卷（二）1．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=0【答案】D2．在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +yOB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )A ．111,,444⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,444⎛⎫⎪⎝⎭ C ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．222,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A3．已知双曲线的渐近线为2y x =±，且过点(P ，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．22114x y -=C ．22112x y -=D ．22122y x -=【答案】B4．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．a 1>0C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】D5．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C D 【答案】C6．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则5678a a a a +++=（ ） A ．80 B ．20C ．32D ．2553【答案】A7.已知点F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，点F 到渐近线的距离是点F 到左顶点的距离的一半，则双曲线C 的离心率为A 或53B ．53C ．2 D【答案】B8．已知方程22bx ay ab +=和ax by c +=（其中0ab ≠，a b ，0c >），则它们所表示的曲线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B9．如图，圆22:(4)1C x y +-=上一动点M ，抛物线212y x =上一动点()00,N x y ，则0||x MN +的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】A10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20C ．25D ．30【答案】B11．若两条直线l 1：x +2y ﹣6＝0与l 2：2x +ay +8＝0平行，则l 1与l 2间的距离是_____．【答案】12．点()2,2,3A -是空间直角坐标系O -xyz 中的一点，点A 关于坐标平面xoz 对称的点A '的坐标为_______________；'=OA ______________【答案】()2,2,3--13．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织 尺布【答案】162914．已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .【答案】22(3)4x y -+= 15．若直线x +y ﹣m ＝0与曲线2y =m 所的取值范围是【答案】(-∞，)∪，+∞) 16．已知圆C 的方程为224x y +=．（1）求过点()2,1P 且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线l 过点()2,1P ，且与圆C 交于A 、B两点，若AB =l 的方程； 【答案】（1）2x =或34100x y +-=；（2）4350x y --=或1y =. 【分析】（1）根据题意，分斜率不存在和斜率存在两种情况，根据直线与圆相切，列出方程求解，即可得出结果；（2）先由题意，得到圆心到直线的距离1d ==（其中r 为圆C 的半径），判断出直线l 的斜率一定存在，设直线方程：()12y k x -=-，由点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出斜率，从而可得直线方程. 【详解】（1）根据题意，分2种情况讨论：当斜率不存在时，过点()2,1P 的直线的方程是2x =，显然与圆224x y +=相切，满足条件；当斜率存在时，设直线方程：()12y k x -=-，即210kx y k --+=，2=，解得34k =-，此时，直线l 的方程为34100x y +-=；所以，满足条件的直线方程是2x =或34100x y +-=； （2）根据题意，若AB =1d ==，则直线l 的斜率一定存在，设直线方程：()12y k x -=-，即210kx y k --+=，则1d ==，即2340k k -=，解得0k =或43k =， 所以满足条件的直线方程是4350x y --=或1y =．17．如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且//AB EF ，//CD BE ，2AB BE ==，1BC CD EF ===.（1）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：//CG 面ADF ； （2）若点M 在线段BE 上，当直线DM 与平面ADF所成角的正弦值为14时，求线段DM 的长；（3）求锐二面角B DF A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2；（3）7. 【分析】构建以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，得到,,,,A C D E F ，G 的坐标，求面ADF 的法向量n ，（1）应用向量数量的坐标公式求数量积CG n ⋅，即可证//CG 面ADF ；（2）设(0,,0)M λ，应用向量夹角与线面角θ的关系得到sin 14θ=求λ，再求向量DM 的模即为DM 的长；（3）根据平面法向量的夹角与二面角关系，结合空间向量的坐标表示求二面角B DF A --的余弦值即可. 【详解】以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F ，30,0,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有31,0,2CG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=-，设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则：2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简得32x y z y =⎧⎨=⎩，令1y =，得(3,1,2)n =，（1）3(1)301202CG n ⋅=-⨯+⨯+⨯=，即CG n ⊥，又CG ⊄平面ADF ， ∴//CG 面ADF（2）设点(0,,0)M λ，则(1,1,0)DM λ=--，设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有2sin 230(DM n DM nθλλ⋅===⇒--=⋅-， 32λ∴=，1λ=-（舍），即1(1,,0)2DM =-有5DM =， DM ∴.（3）由已知平面ADF 的法向量1(3,1,2)n =，而(0,2,1)BF =，(1,1,0)BD =，设平面BDF 的一个法向量2(,,)n x y z =，∴2200BF BD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1y =-，则2(1,1,2)n =-， 设锐二面角B DF A --的平面角为θ，则1212cos ||||||14n n n n θ⋅===⋅∴锐二面角B DF A --的余弦值为7． 18．已知等差数列{}n a 满足公差0d >，且1427a a =，424S =，数列{}n b 的前n 项和n S 满足21n n S b =-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明数列{}n b 为等比数列； （3）若*n ∀∈N ，1122(21)1n n a b a b a b n t +++≥-+恒成立，求实数t 的最大值.【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析；（3）最大值为2. 【分析】（1）由424S =可得1412a a +=，又1427a a =（0d >）可求出14a a ，，从而得出通项公式.（2）当1n =时, 得11b =,当2n ≥时，1121n n S b --=-，21n n S b =-,两式相减，得122n n n b b b -=-,从而可证.(3) 由（2）可得1(21)2n n n a b n -=+⨯,利用错位相减法求出其前n 项和(21)21nn T n =-⨯+，将不等式化为：(21)2(21)nn n t -⨯≥-，可得答案. 【详解】解：（1）由题意可知，()1444242a a S +==，∴1412a a +=. 又1427a a =，0d >， ∴13a =，49a =，2d =， 故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）对于数列{}n b ，当1n =时，11121b S b ==-，解得11b =. 当2n ≥时，1121n n S b --=-，21n n S b =-， 两式相减，得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=， 当1n =时，11121S b b ==-，解得110b =≠.所以{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b -=.（3）由（2）可得1(21)2n n n a b n -=+⨯.令1122n n n T a b a b a b =+++，则21315272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯， ∴232325272(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，两式相减，得2132(222)(21)2n n n T n --=+⨯+++-+⨯12(12)32(21)2(12)2112n n n n n --=+⨯-+⨯=-⨯--，得(21)21nn T n =-⨯+，故题中不等式可化为(21)2(21)nn n t -⨯≥-，∵*n ∈N ，∴210n ->，∴2n t ≤， 因为数列{}2n是递增数列，所以2t ≤，综上，实数t 的最大值为2.19．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值； （3）设(),0M m 是线段OF （O 为坐标原点）上一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围.【答案】（1）2215x y +=；（2（3）8(0,)5 【分析】（1）根据椭圆的一个顶点为()0,1，可得1b =，利用离心率求得a 和c 关系进而求得a ，则椭圆的方程可得； （2）设直线l 的方程为1(2)2y x =-，代入椭圆方程，消去y 可得22009x x -=则21200,9x x ==，利用弦长公式可得结果． （3）设直线l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量积公式可得2085mk m=>-，即可求得m 的取值范围；【详解】（1）由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆C 的方程为22221(0)x ya b a b+=>>，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即1b =由c e a ===25a =，所以椭圆C 的标准方程为2215x y +=；（2）由得(2,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线l 的方程为1(2)2y x =-，代入椭圆方程，消去y 可得22009x x -= 则21200,9x x ==，209AB == （3）由(),0M m 是线段OF （O 为坐标原点）上一个动点可得02m ， 直线l 的方程(2)(0)y k x k =-≠，代入椭圆方程，消去y 可得2222(51)202050k x k x k +-+-=则21222051k x x k +=+，212220551k x x k -=+， 1212(4)y y k x x +=+-,1212()y y k x x -=-,12(2MA MB x x m +=+-，12)y y +，21(AB x x =-，21)y y -()MA MB AB +⊥， ()0MA MB AB ∴+⋅=，12212112(2)()()()0x x m x x y y y y ∴+--+-+=∴2222204205151k k m k k --=++ 285mk m∴=-，2085mk m∴=>-， 解得：805m <<， ∴当805m <<时， 故m 的范围为8(0,)5塘沽一中数学组。