量子力学中的代数解法

合集下载

量子力学中要用到的数学知识大汇总

量子力学中要用到的数学知识大汇总第一章矩阵1.1矩阵的由来、定义和运算方法1.矩阵的由来2.矩阵的定义3.矩阵的相等4.矩阵的加减法5.矩阵和数的乘法6.矩阵和矩阵的乘法7.转置矩阵8.零矩阵9.矩阵的分块1.2行矩阵和列矩阵1.行矩阵和列矩阵2.行矢和列矢3.Dirac符号4.矢量的标积和矢量的正交5.矢量的长度或模6.右矢与左矢的乘积1.3方阵1.方阵和对角阵2.三对角阵3.单位矩阵和纯量矩阵4.Hermite矩阵5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵6.方阵的迹7.方阵之逆8.酉阵和正交阵9.酉阵的性质10.准对角方阵11.下三角阵和上三角阵12.对称方阵的平方根13.正定方阵14.Jordan块和Jordan标准型1.4行列式求值和矩阵求逆1.行列式的展开/doc/4b14802796.html,place展开定理3.三角阵的行列式4.行列式的初等变换及其性质5.利用三角化求行列式的值6.对称正定方阵的平方根7.平方根法求对称正定方阵的行列之值8.平方根法求方阵之逆9.解方程组法求方阵之逆10.伴随矩阵11.伴随矩阵法求方阵之逆1.5线性代数方程组求解1.线性代数方程组的矩阵表示2.用Cramer法则求解线性代数方程组3.Gauss消元法解线性代数方程组4.平方根法解线性代数方程组1.6本征值和本征矢量的计算1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量2.GayleyHamilton定理及其应用3.本征矢量的主定理4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换1.线性变换的矩阵表示2.矢量的酉变换3.相似变换4.等价矩阵5.二次型6.标准型7.方阵的对角化参考文献习题第二章量子力学基础2.1波动和微粒的矛盾统一1.从经典力学到量子力学2.光的波粒二象性3.驻波的波动方程4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式5.de Broglie波的实验根据6.de Broglie波的统计意义7.态叠加原理8.动量的几率——以动量为自变量的波函数2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程1.Schrdinger方程第一式2.Schrdinger方程第一式的算符表示3.Schrdinger方程第二式4.波函数的物理意义5.力学量的平均值(由坐标波函数计算)6.力学量的平均值(由动量波函数计算)2.3算符1.算符的加法和乘法2.算符的对易3.算符的平方4.线性算符5.本征函数、本征值和本征方程6.Hermite算符7.Hermite算符本征函数的正交性——非简并态8.简并本征函数的正交化9.Hermite算符本征函数的完全性10.波函数展开为本征函数的叠加11.连续谱的本征函数12.Dirac δ函数13.动量的本征函数的归一化14.Heaviside阶梯函数和δ函数2.4量子力学的基本假设1.公理方法2.基本概念3.假设Ⅰ——状态函数和几率4.假设Ⅱ——力学量与线性Hermite算符5.假设Ⅲ——力学量的本征状态和本征值6.假设Ⅳ——态随时间变化的Schrdinger方程7.假设Ⅴ——Pauli互不相容原理2.5关于定态的一些重要推论1.定态的Schrdinger方程2.力学量具有确定值的条件3.不同力学量同时具有确定值的条件4.动量和坐标算符的对易规律5.Hesienberg测不准关系式2.6运动方程1.Heisenberg运动方程——力学量随时间的变化2.量子Poisson括号3.力学量守恒的条件4.几率流密度和粒子数守恒定律5.质量和电荷守恒定律6.Ehrenfest定理2.7维里定理和HellmannFeynman定理1.超维里定理2.维里定理3.Euler齐次函数定理4.维里定理的某些简化形式5.HellmannFeynman定理2.8表示论1.态的表示2.算符的表示3.另一套量子力学的基本假设参考文献习题第三章简单体系的精确解3.1自由粒子1.一维自由粒子2.三维自由粒子3.2势阱中的粒子1.一维无限深的势阱2.多烯烃的自由电子模型3.三维长方势阱4.圆柱体自由电子模型3.3隧道效应——方形势垒1.隧道效应2.Schrdinger方程3.波函数中系数的确定(E＞V0)4.贯穿系数与反射系数(E＞V0)5.能量小于势垒的粒子(E＜V0)3.4二阶线性常微分方程的级数解法1.二阶线性常微分方程2.级数解法3.正则奇点邻域的级数解法4.若干二阶线性微分方程3.5线性谐振子和Hermite多项式1.线性谐振子2.幂级数法解U方程3.谐振子能量的量子化4.Hermite微分方程与Hermite多项式5.Hermite多项式的递推公式6.Hermite多项式的微分式定义——Rodrigues公式7.Hermite多项式的母函数展开式定义8.谐振子的波函数——Hermite正交函数9.矩阵元的计算参考文献习题第四章氢原子和类氢离子4.1Schrdinger方程1.氢原子质心的平移运动2.氢原子中电子对核的相对运动3.氢原子作为两个质点的体系4.坐标的变换5.变量分离6.球坐标系7.球坐标系中的变量分离8.Φ方程之解9.θ方程之解10.R方程之解11.能级4.2Legendre多项式1.微分式定义2.幂级数定义3.母函数展开式定义和递推公式4.母函数的展开5.正交性6.归一化4.3连带Legendre函数1.微分式定义2.递推公式3.正交性4.归一化4.4laguerre多项式和连带Laguerre函数1.母函数展开式定义2.微分式定义3.级数定义4.积分性质5.连带Laguerre多项式和连带Laguerre函数6.连带Laguerre多项式的母函数展开式定义7.连带Laguerre多项式的级数定义8.连带Laguerre函数的积分性质4.5类氢原子的波函数1.类氢原子的波函数2.氢原子的基态3.径向分布4.角度分布5.电子云的空间分布6.波函数的等值线图和立体表示图参考文献习题第五章角动量和自旋5.1角动量算符1.经典力学中的角动量2.角动量算符3.对易规则4.Hamilton算符与角动量算符的对易规则5.三??算符具有相同本征函数的条件6.角动量的本征函数5.2阶梯算符法求角动量的本征值1.角动量算符的对易规则2.阶梯算符的性质3.阶梯算符的作用4.角动量的本征值5.3多质点体系的角动量算符1.经典力学中多质点体系的角动量2.总角动量算符及其对易规则3.多电子原子的Hamilton算符的对易规则5.4电子自旋1.电子自旋2.假设Ⅰ——自旋角动量算符的对易规则3.假设Ⅱ——单电子自旋算符的本征态和本征值4.电子自旋的阶梯算符5.自旋算符的矩阵表示6.假设Ⅲ——自由电子的g因子参考文献习题第六章变分法和微扰理论6.1多电子体系的Schrdinger方程1.原子单位2.多电子分子的Schrdinger方程3.BornOppenheimer原理4.多电子体系的Schrdinger方程举例5.多电子体系的Schrdinger方程的近似解法6.2变分法1.最低能量原理2.变分法3.氦原子和类氦离子的变分处理(一)4.氦原子和类氦离子的变分处理(二)5.激发态的变分原理6.线性变分法7.变分法的推广6.3定态微扰理论1.非简并能级的一级微扰理论2.基态氦原子或类氦离子3.简并能级的一级微扰理论4.微扰法在氢原子中的应用5.二级微扰理论6.4含时微扰理论与量子跃迁1.含时微扰理论2.光的吸收与发射3.激发态的平均寿命4.光谱选律5.偶极强度与吸收系数的关系参考文献习题第七章群论基础知识7.1群的定义和实例1.群的定义2.群的几个例子3.乘法表和重排定理4.同构和同态7.2子群、生成元和直积1.子群2.生成元3.直积7.3陪集、共轭元素和类1.陪集/doc/4b14802796.html,grange定理3.共轭元素和类4.置换群的类7.4共轭子群、正规子群和商群1.共轭子群2.正规子群(自轭子群)3.商群和同态定理7.5对称操作群1.对称操作2.操作的乘积3.对称操作群4.共轭对称元素系，同轭对称操作类和两个操作可对易的条件5.生成元、子群和直积7.6分子所属对称群的确定1.单轴群2.双面群3.立方体群4.分子对称群的生成元和生成关系5.晶体学点群6.分子所属对称群的确定参考文献习题第八章群表示理论8.1对称操作的矩阵表示1.基矢变换和坐标变换2.物体绕任意轴的旋转，Euler角3.对称操作的矩阵表示4.函数的变换8.2群的表示1.群表示的定义2.等价表示和特征标3.可约表示和不可约表示，不变子空间4.Schur引理5.正交关系6.正交关系示例7.投影算符和表示空间的约化8.直积群的表示9.实表示和复表示8.3表示的直积及其分解1.表示的直积2.对称积和反对称积3.直积表示的分解4.ClebschGordan系数8.4某些群的不可约表示1.循环群2.互换群3.点群4.回转群5.旋转群6.双值表示8.5群论在量子化学中的应用1.态的分类和谱项2.能级的分裂3.时间反演对称性和Kramers简并4.零矩阵元的鉴别和光谱选律5.矩阵元的计算，不可约张量方法6.久期行列式的劈因子7.不可约表示基的构成8.杂化轨道的构成9.轨道对称性守恒原理这些可是爱考的专业课老师（如果俺考研成功她可就是俺滴学姐啦）珍藏不外漏的当年的笔记啊。

掌握量子力学问题的解题技巧

掌握量子力学问题的解题技巧量子力学是一门研究微观粒子行为的学科，也是现代物理学中的重要组成部分。

在学习和应用量子力学时，我们经常会遇到一些复杂的问题和挑战。

为了更好地解决这些问题，我们需要掌握一些解题技巧。

一、深入理解基本概念要想解决量子力学问题，首先必须对一些基本概念有深入理解。

包括波函数、算符、测量、态矢量等。

波函数描述了量子系统的状态，算符是描述量子系统性质的数学运算符号，测量是通过观察量子系统来获得信息的过程，态矢量表示量子系统的状态等。

只有对这些基本概念有深入理解，才能正确地解答问题。

例如，当我们遇到一个涉及到波函数的问题时，我们应该先仔细阅读题目描述，明确题目要求求解的是什么。

通过分析题目中提供的信息，我们可以根据波函数的定义进行推导，找出正确的解答。

二、理解量子力学的数学工具量子力学是一门建立在数学基础上的学科，正确运用量子力学的数学工具是解题的关键。

常见的数学工具包括线性代数、微积分、泛函分析等。

掌握这些工具，有助于我们理解量子力学理论并解决相关问题。

例如，在处理一个涉及到算符的量子力学问题时，我们需要熟悉线性代数的概念和定理，以便正确地进行计算。

在应用量子力学的数学工具时，需要根据具体情况选择合适的方法和技巧，以解决问题。

三、应用化学知识辅助量子力学问题解答化学与量子力学密切相关，很多化学现象和性质都可以通过量子力学理论解释和预测。

因此，应用化学知识可以辅助我们解决量子力学问题。

举例来说，考虑一个涉及到电子结构计算的问题。

我们可以借助化学中电子排布的规则，如泡利不相容原理、洪特规则等，来推导出正确的电子排布方案。

通过将化学的知识与量子力学理论结合起来，可以更加方便地解决问题。

四、进行各种数学近似和适当简化在解决复杂的量子力学问题时，有时候我们需要进行数学近似和简化，以便更好地解决问题。

这需要我们对各种数学方法和近似技巧有所了解。

例如，在处理一个含有相互作用的多体量子系统时，我们可能需要使用平均场理论进行简化。

量子力学中的旋转群与角动量代数

量子力学中的旋转群与角动量代数量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而旋转群和角动量代数是量子力学中重要的数学工具。

本文将介绍旋转群和角动量代数在量子力学中的应用，以及它们的基本概念和性质。

旋转群是指在空间中保持距离和角度不变的变换集合。

在量子力学中，旋转群描述了粒子在空间中的旋转对称性。

旋转群的元素可以表示为旋转矩阵，它们作用在量子态上，使其发生旋转变换。

旋转群的性质决定了旋转变换对量子态的影响，从而影响粒子的测量结果。

旋转群的表示理论是描述旋转群作用在量子态上的数学工具。

表示理论将旋转群的元素表示为矩阵形式，使其作用在量子态上。

这些矩阵称为旋转算符，它们描述了旋转变换对量子态的影响。

旋转算符是幺正算符，保持量子态的归一性和内积不变。

旋转群的表示可以通过角动量代数来描述。

角动量代数是一种代数结构，描述了旋转群的对称性。

在量子力学中，角动量代数是描述粒子角动量的数学工具。

角动量代数包括角动量算符的对易关系和升降算符的定义。

角动量算符的对易关系决定了角动量的量子化规律，即角动量的取值只能是一系列离散的值。

角动量代数的基本概念是角动量算符和升降算符。

角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用J表示。

角动量算符有三个分量，分别对应于粒子在三个坐标方向上的角动量。

升降算符是改变角动量态的算符，通常用J+和J-表示。

升降算符使角动量态在角动量空间中上升或下降一个单位。

利用角动量代数，可以推导出角动量算符的本征值和本征态。

角动量算符的本征值表示粒子的角动量大小，本征态表示粒子的角动量方向。

角动量算符的本征值是离散的，且满足一定的选择定则。

本征态是旋转群的不可约表示，具有一定的对称性。

角动量代数在量子力学中有广泛的应用。

例如，它可以用来描述电子的自旋角动量。

自旋角动量是电子固有的角动量，不依赖于电子的运动状态。

自旋角动量的本征值可以解释电子在磁场中的行为，例如朗德因子和塞曼效应。

另外，角动量代数还可以用来描述多电子系统的角动量耦合和分裂。

第9章力学量本征值问题的代数解法

对应的能量本征值为
。 /2

利用式(8)的前一式，可证明与式(11)类似的式子
ˆ ˆ n (n 1)a ˆ n Na

(14)
ˆ ˆ 的本征态，本征值为(n+1)。这说明 a n 也是N
7

联合式(13)与(14)，从 0 出发，逐次用 a ˆ 运算， ˆ 的全部本征态可得出 N
0, 1, 2, j m j,, j 1 / 2, 3 / 2, 5 / 2, ˆ J ˆ iJ ˆ a ˆ (J ˆ ) a ˆ ˆ ˆ ˆ J a , J x y 1 2 2 a1 (14)

2 ˆ J jm j ( j 1) jm ˆ J z jm m jm
( 6)
14

利用声子对易关系可证 ˆ ,J ˆ ] i J ˆ ( , , 1,2,3 1) [J
这正是角动量的基本对易式，进一步可证 ˆ ˆ N N ˆ2 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ 2 ( 1) J (7) x y z 2 2 ˆ N ˆ N ˆ a 其中 N ˆ a ˆ a ˆ a ˆ

ˆ 0 0 a
( x ip) 0 0
在坐标表象中基态波函数 0 ( x) x 0 满足 d x2 / 2 ( x ) 0 ( x) 0 0 ( x) e dx
10

将自然单位换为SI单位，并归一化则得 2 1 / 4 2 x 0 ( x) ( ) e
ˆ n n n N
(10)
5

利用
ˆ, a ˆ ] a ˆ 有 [N
ˆ,a ˆ ] n a ˆn [N

量子力学(第九章本征值的代数解法)

2
0 (x)=A e

2 x2
2
0 ( x ) e
2 14

2 x2
2
(38)
19
激发态 | n 的波函数可由(34)式求得。用 x | 左
乘(34)式两边，得： 1 n ( x) x | n x | (a )n | 0
n!
1 )n | x x | 0 n ( x) dx x | (a n! 1 dx(a ) n ( x x) 0 ( x) xx n! 1 n (a ) 0 ( x) n!
an-1,n = n-1|a | n = n a
亦即
+ n+1,n
= n+1|a | n = n+1
+
(23)
an,n = n|a | n = n n -1,n a
+ n,n
= n|a | n = n+1 n +1,n
+
(24)
13
和 a 称为量子数升,降算符。在二次量子 a
值为。令：
| Cn ( ) | n
n 0
(41) (42)
代入本征方程 a | | 利用(22)式第一式，得到：
22
a | Cn ( ) n | n 1 Cn ( ) | n
比较两个项中 | n 1 项系数，得到 n
1

p
(Q 2 P 2 ) H 2 Q , P 满足对易式
(6) (7)
[Q, P] i
＋
引入两个新的算符
a 1(Q iP ) 2 , a 1(Q－iP ) 2

量子力学和李代数

量子力学和李代数
量子力学和李代数
量子力学是物理学中的重要分支，用来描述微观粒子的行为规律和性质，对物理学和工程学的发展起到了重要的推动作用。

而李代数是一种抽象的数学工具，主要用来描述对称性和对称变换。

在量子力学中，李代数起到了非常重要的作用。

量子力学最早出现于20世纪初，它用数学的方法描述了微观粒子的性质和行为。

量子力学中的粒子被描述为波函数，波函数可以用矩阵来表示。

量子力学的特点是粒子的运动不能用经典物理学的牛顿定律来描述，而是需要用概率的方式来描述。

这就导致了量子力学中的很多奇特现象，比如量子纠缠、测不准关系等等。

李代数，在抽象的数学层面上研究对称性和变换，李代数的本质是在于研究某种特殊结构的代数数学对象之间的关系。

李代数是一种数学结构，它由一个向量空间或者代数以及一个二元运算组成。

李代数的定义包括结合律、分配律、对称性等等性质。

在量子力学中，李代数被用来描述对称性和对称变换。

在量子力学中，对称变换是非常重要的概念。

比如，一个粒子的波函数在不同方向上旋转不会改变其物理性质，这就是空间对称性。

李代数的作用就是用数学的方式描述这种对称变换的性质和相互作用关系。

李代数在量子力学中的应用非常广泛，比如在量子场论、固体物理学、物质科学等方面都有重要的应用。

总之，量子力学和李代数是物理学和数学学科中非常重要的两个领域。

量子力学是研究微观粒子行为的规律和性质，而李代数是用来描述对称性和对称变换。

在量子力学中，李代数的应用非常广泛，对理解各种奇特现象和推动科学的发展都起到了重要的作用。

[理学]量子力学第1讲

Quantum Mechanics
主要参考书
量子力学，科学出版社曾谨言
量子力学原理，北京大学出版社王正行
量子力学原理，科学出版社 P.A.M. 狄拉克
高等量子力学， Quantum Theory
P. Roman Quantum Mechanics – Symmetries
矢量空间的元素称为矢量。
如果a是实数，则空间称为实数域上的矢量空间。
如果a是复数，则空间称为复数域上的矢量空间。
二、内积空间
内积：在矢量空间L 中按顺序任意取两个矢量和
，总有一个数c与之对应，记为：
(, ) c
称c为这两个矢量的内积或数积。内积运算要满足：
(1) (,) (,)*
(2) (, ) (,) (, )
左矢空间和右矢空间合在一起，与原来由矢量
构成的希尔伯特空间L 等价。
基矢的正交归一关系： ei | e j i j
| | ei ei |
i
| | ei ei |
| ei ei | 1
i
i
| | ei ei |
i
七、函数空间
对区间[a,b]上的所有连续的、平方可积的
证：
[
Aˆ (
n1)
,
Bˆ ]
Aˆ ,
[
Aˆ (
n)
,
Bˆ
]
设 Fˆ () e Aˆ Bˆe Aˆ
dFˆ () d
e
Aˆ
(
Aˆ Bˆ
Bˆ Aˆ )e
Aˆ
e Aˆ [Aˆ, Bˆ]e Aˆ
d2Fˆ () d2
d
d
e
Aˆ [
Aˆ,
Bˆ ]e

量子力学 09力学量本征问题的代数解法

[N ， ] a a

（18）
可得到：

N a | n n +1)a | n （

（19）
即有：

N | n 1 n +1)| n 1 （

a | n c1 | n 1
由于

n | a a | n n 1| c1c1 | n 1 | c1 |
0 ( x) x | 0 (x
x
2
x
) 0 ( x) 0
由此可得
0 ( x) ce
2

利用归一化条件可得再将参数带上，
mw 0 (x)
1/ 4 mw 1 2 x
2
0 ( x)
p
2
1

x
2

n | a a | n | c |

2
n | N | n | c |
2
2
|c| n 即 c
所以,有

n
a | n
n | n 1
（14）

由此我们定义
a 为降算符，或湮灭算符。

另，由前面（10）式可知，在任意态中，N
的平均值为
正定的，
那么在 | n 中的取值也应该式正定的，即
n

故
n x
1 n!
2
d 2 x 2 / 2 x e dx
（23）

n | N | n 0
n0
（15）
而由（14）式以及（15）式，可得出

a | 0 0

量子力学中的量子力学算符与算符代数

量子力学中的量子力学算符与算符代数量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为和性质。

在量子力学中，算符是一种非常重要的概念，它用来描述物理量的测量和演化。

本文将探讨量子力学中的算符以及算符代数的一些基本概念。

一、算符的基本概念在量子力学中，算符是一种数学对象，它对应于物理量的测量和演化。

算符可以看作是一种操作，它作用在量子态上，产生新的量子态。

在量子力学中，算符通常用希腊字母表示，如哈密顿算符H、动量算符p等。

算符的本质是一个线性变换，它将一个量子态映射为另一个量子态。

算符的作用可以通过其作用在量子态上的效果来理解。

例如，动量算符作用在一个波函数上，可以得到该波函数的动量分布。

算符可以分为厄米算符和非厄米算符。

厄米算符是自伴算符，它的本征值都是实数。

非厄米算符的本征值可以是复数。

厄米算符在量子力学中有着重要的地位，它的本征值对应于物理量的测量结果。

二、算符的代数运算在量子力学中，算符之间可以进行代数运算。

算符的代数运算包括加法、乘法、求导等。

这些运算可以用来描述量子系统的演化和相互作用。

算符的加法运算是指将两个算符相加，得到一个新的算符。

加法运算满足交换律和结合律。

例如，两个动量算符相加可以得到总动量算符。

算符的乘法运算是指将两个算符相乘，得到一个新的算符。

乘法运算满足结合律，但不满足交换律。

例如，位置算符和动量算符的乘积是一个非厄米算符。

算符的求导运算是指对算符进行微分。

求导运算可以用来描述量子系统的演化。

例如，时间演化算符描述了量子系统随时间的演化过程。

三、算符代数的应用算符代数在量子力学中有着广泛的应用。

它可以用来描述量子系统的对称性和守恒量。

例如，角动量算符代数描述了自旋和轨道角动量的性质。

算符代数还可以用来解决量子力学中的问题。

例如，薛定谔方程可以通过算符代数的方法来求解。

算符代数的方法可以简化求解过程，提供更深入的理解。

算符代数还可以用来研究量子力学中的量子纠缠和量子计算等前沿课题。

2024年考研数学量子力学中的数学方法解析与答案

2024年考研数学量子力学中的数学方法解析与答案量子力学是现代物理学中的重要分支，广泛应用于各个领域。

作为考研数学中重要的一部分，量子力学中的数学方法也备受关注。

本文将分析并解析2024年考研数学中与量子力学相关的数学方法，并给出相应答案。

第一部分：线性代数基础在量子力学中，线性代数是必不可少的基础。

通过线性代数的工具，我们可以描述和计算量子体系的性质和演化。

以下是一些与线性代数相关的数学方法。

1.1 矢量空间矢量空间是量子力学中的基本概念之一。

在考研数学中，我们需要了解矢量空间的定义和基本性质，能够识别和构造矢量空间的例子，并掌握其各种运算。

1.2 矩阵与线性变换矩阵和线性变换是量子力学中常用的数学工具。

我们需要熟悉矩阵的加法、乘法及其性质，了解线性变换的定义和基本性质，并学会计算矩阵的特征值和特征向量。

1.3 内积与正交性内积是量子力学中非常重要的概念，它可以用来定义矢量的长度和夹角，并且与测量、求解问题等密切相关。

我们需要掌握内积的定义和性质，以及正交性概念的运用。

第二部分：量子力学基础量子力学基础是考研数学中的重点内容，涉及到波函数、算符、测量等概念。

以下是一些与量子力学基础相关的数学方法。

2.1 波函数与薛定谔方程波函数是量子力学中描述粒子状态的数学工具，而薛定谔方程是描述波函数演化的基本方程。

我们需要了解波函数的物理意义，掌握薛定谔方程的解法，并能够应用波函数与薛定谔方程解决实际问题。

2.2 算符及其本征值问题算符是量子力学中描述物理量的数学工具，本征值问题是解决算符特征值和特征向量的方法。

我们需要熟悉常见算符的定义和性质，理解算符的本征值与本征函数的物理意义，并能够求解本征值问题。

2.3 算符的表示与矩阵力学算符在量子力学中具有不同的表示方式，其中矩阵力学是最常用的表示方法之一。

我们需要了解算符在不同表示下的矩阵形式，学会在算符表示中进行计算，并能够应用矩阵力学求解实际问题。

第三部分：量子力学应用量子力学在现实世界中有广泛的应用，包括原子、分子、固体等领域。

量子力学的解析解与近似方法

量子力学的解析解与近似方法量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论，其具有广泛的应用范围，包括原子、分子、固体物质和基本粒子等领域。

在研究量子体系时，求解薛定谔方程是一项重要任务。

然而，由于薛定谔方程的复杂性，通常很难找到解析解，因此人们常常使用近似方法来研究量子体系。

本文将介绍量子力学中的解析解和常见的近似方法。

一、量子力学中的解析解量子力学中的解析解是指可以通过代数运算得到的方程的解。

然而，由于薛定谔方程的复杂性，能够找到精确解析解的情况相对较少。

下面介绍一个常见的具有解析解的量子力学模型——简谐振子。

简谐振子是一种理想化的量子力学模型，它的薛定谔方程可以通过代数运算求解得到解析解。

简谐振子的薛定谔方程为：$-\frac{{\hbar^2}}{{2m}}\frac{{d^2\psi}}{{dx^2}}+\frac{{1}}{{2}}m\ome ga^2x^2\psi = E\psi$其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子质量，$\omega$为振动频率，E为能量。

通过变量替换和代数运算，可以得到简谐振子的解析解：$\psi(x) = Ne^{-\frac{{m\omega}}{{2\hbar}}x^2}H_n(\sqrt{\frac{{m\omega}}{{\hbar}}}x )$其中，N为归一化常数，$H_n$为厄米多项式，n为整数，代表简谐振子的能级。

除了简谐振子，量子力学中还存在一些其他具有解析解的模型，如无限深势阱、氢原子等。

这些模型的解析解给我们提供了一些基础的量子力学理论，有助于我们深入理解量子世界的奥秘。

二、量子力学中的近似方法对于大多数复杂的量子力学系统，很难找到精确的解析解。

因此，人们常常采用各种近似方法来研究这些系统。

下面介绍几种常见的近似方法。

1. 平均场近似平均场近似是一种常用的近似方法，它将复杂的多体相互作用问题简化为单体问题。

该方法假设粒子在平均势场下运动，并忽略粒子之间的相互作用。

量子力学中的能谱分析与角动量代数

量子力学中的能谱分析与角动量代数量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而能谱分析与角动量代数是量子力学中的两个重要概念。

本文将深入探讨这两个概念，并介绍它们在量子力学中的应用。

一、能谱分析能谱分析是研究物体的能量分布的一种方法。

在量子力学中，能谱分析是通过求解薛定谔方程来得到物体的能级和能量。

在量子力学中，薛定谔方程描述了粒子的波函数随时间的演化。

薛定谔方程的一般形式为：Hψ = Eψ其中，H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的能级和能量。

在实际应用中，能谱分析常常用于研究原子、分子和固体材料的能级结构。

通过测量物体的能谱，我们可以了解物体的能级分布、能量差和跃迁行为。

能谱分析在材料科学、化学和物理学等领域具有广泛的应用。

二、角动量代数角动量代数是描述粒子角动量性质的数学框架。

在量子力学中，角动量代数是通过对角动量算符的代数运算来描述粒子的角动量。

在量子力学中，角动量算符有三个分量：Lx、Ly和Lz。

这三个分量满足以下的对易关系：[Lx, Ly] = iħLz[Ly, Lz] = iħLx[Lz, Lx] = iħLy其中，ħ是普朗克常数除以2π。

这些对易关系表明，角动量算符之间存在一种代数关系。

通过对角动量算符的代数运算，我们可以得到角动量算符的本征值和本征函数。

本征值表示粒子的角动量大小，本征函数描述了粒子的角动量方向。

角动量代数在量子力学中具有重要的应用。

它不仅用于解释原子、分子和固体材料的角动量性质，还用于描述粒子的自旋、轨道角动量和总角动量等。

三、应用实例能谱分析和角动量代数在量子力学中有着广泛的应用。

以下是一些应用实例：1. 原子能级结构分析：通过能谱分析，我们可以研究原子的能级结构和能量跃迁行为。

这对于理解原子的光谱现象和化学反应机制非常重要。

2. 分子振动和转动分析：通过能谱分析，我们可以研究分子的振动和转动行为。

这对于理解分子的结构和性质具有重要意义。

量子体系本征值问题的解法

量子体系本征值问题的解法关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。

本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。

对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。

另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。

Solution methods of the eigenvalues for Quantum SystemKeywords:Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillator Abstract:Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmonic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution..引言我们在初学量子力学时解决本征值问题我们通常选择分析解法或者矩阵解法，而在物理学的前沿领域广泛使用代数的方法处理本征值问题也是一种很重要的方法和思想，运用代数解法解决本征值问题可能会得到意想不到的效果，因此对于本征值问题的代数解法及其应用的研究具有重要的理论和实际意义.这就是这篇文章所要达到的要求.此外，这篇文章还在已知的用升降算符处理一维、二维线性谐振子求本征值问题的基础上，讨论是否在三维线性谐振子的算符解法求本征值进而为处理多维线性谐振子本征值问题提供了思路.1.量子体系本征值问题的分析解法运用分析方法求解本征值，其本质是讨论定态问题求出体系有可能存在的波函数以及在这些定态所对应的能量，归根到底可以概括为解定态薛定谔方程，下面通过研究无限深势阱来讲解分析解法求本征值.假设现在有一维无限深势阱为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<∞≤≤-=.22,,22,0a x a x ax a x U 或者（1-1）我们知道一维无限深势阱的特点是在22ax a ≤≤-时，它的势能是零；在22ax a x >-<或时，其势能为无限大（如图①所示）. 定态薛定谔方程为：()()()()x E x x U x m dxd ψψψ=-222-2在阱内⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22a x a时，()()()x E x x m dxd ψψψ=⋅+02-222 （1-2）在阱外⎪⎭⎫ ⎝⎛>-<22a x a x 或者时，()()()x E x x m U dx d ψψψ=+⋅02222- （1-3）在（1-3）式∞→U.由波函数的标准条件我们知道应满足连续性和有限性，那么只有在0=ψ时，③式才成立.于是有 0=ψ， 22ax a x >-<或者（1-4）显然，（1-4）式是求解（1-2）式的边界条件. 为了运算方便，我们通常引入符号2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= mE k （1-5）则有 0222=ψψk x d d ， 22ax a ≤≤- .方程的解为 kx B kx A sin cos +=ψ， 22ax a ≤≤-. （1-6）由边界条件（即0=ψ， 22a x a x >-<或者）知： 02=⎪⎭⎫⎝⎛±a ψ 于是，时，2ax = 02sin 2cos 2=+=⎪⎭⎫⎝⎛a k B a kA a ψ 时，2ax -= 02sin 2cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a k B a k A a ψ 由此解得.02sin ;02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛k a B k a A （1-7）① 0,0==B A ;此时不管x 为何值ψ恒为零，因此应将这组解舍去.② 02sin ,0,0=⎪⎭⎫⎝⎛≠=k a B A 即（1-8）由此解得222π⋅=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-9） ③ 02cos ,0,0=⎪⎭⎫⎝⎛=≠k a B A 即（1-10）由此解得 2222ππ⋅+=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-11）对第②种情况的解，显然m 为偶数；对于第③ 种情况的解，显然m 为奇数.0=m 对应的解ψ恒为零.而m 等于负整数时方程的解和m 等于正整数时方程的解只相差一个负号，即二者线性相关.因此，综合②、③ 得 22π⋅=n k a ， ⋅⋅⋅=,3,2,1n （1-12）则 an k π=（1-13）由（1-5）式和（1-13）式可得22222mEan =π根据上式可以解得体系的能量为 a nE m n 222221π=（1-14）上式对应于量子数n 的所有取值，有无穷多个n E 与之对应。

量子力学导论第九章chap9力学量本征值问题的代数解法

第九章力学量本征值问题的代数解法§9.1 一维谐振子的Schrödinger 因式分解法升、降算符一、Hamilton 量的代数表示一维谐振子的Hamilton 量可表为2222121x p H μωμ+=采用自然单位（1===ωμ ），（此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位）则222121x p H +=而基本对易式是[]i p x =,。

令)(21ip x a +=，)(21ip x a -=+ 其逆为)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+。

利用上述对易式，容易证明(请课后证明)1],[=+a a将两类算符的关系式)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+ 代入一维谐振子的Hamilton 量222121x p H +=，有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+21ˆ21N a a H上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N+=ˆ。

由于N Nˆˆ=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ψψψψa a a a N所以Nˆ为正定厄米算符二、Hamilton 量的本征值下面证明，若N ˆ的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值nE 为（自然单位，ω ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ， ,2,1,0=n证明：设|n >为Nˆ的本征态( n 为正实数)，即 n n n N=ˆ 利用1],[=+a a 及a a N+=ˆ容易算出 ++=a a N],ˆ[，a a N -=],ˆ[ 因此n a n a N-=],ˆ[。

但上式左边n na n a N n N a n a N-=-=ˆˆˆ 由此可得n a n n a N)1(ˆ-=。

这说明，>n a |也是Nˆ的本征态，相应本征值为)1(-n 。

如此类推，从Nˆ的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ˆ的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2，…相应的本征值为n ，1-n ，2-n ，…因为Nˆ为正定厄米算子，其本征值为非负实数。

量子力学中代数解法之若干升降算符

量子力学中代数解法之若干升降算符的应
用
在量子力学中，代数解法之若干升降算符的应用可以极大地提高计算效率，简化计算过程，提高计算精度。

升降算符是一种特殊的算符，可以在一个基础上增加或减少一个数量。

它们可以用来计算量子力学中的算符的矩阵元素。

升降算符的应用可以将计算量子力学中的算符的矩阵元素的任务简化为计算一个基本矩阵元素的任务。

这样，只需要计算一个基本矩阵元素，就可以计算出更多的矩阵元素。

这样可以大大简化计算过程，提高计算精度。

另外，升降算符还可以用来计算量子力学中的操作矩阵。

例如，可以使用升降算符来计算量子力学中的操作矩阵，从而计算出操作矩阵的特征值和特征向量。

这样可以节省大量的计算时间，提高计算精度。

此外，升降算符还可以用来计算量子力学中的多体系统。

例如，可以使用升降算符来计算多体系统的能量，从而计算出多体系统的总能量。

这样可以大大简化计算过程，提高计算精度。

总之，升降算符在量子力学中的应用可以极大地提高计算效率，简化计算过程，提高计算精度。

因此，它们在量子力学计算中是非常有用的工具。

量子力学中的线性代数和量子逻辑

量子力学中的线性代数和量子逻辑量子力学在现代物理学中扮演着至关重要的角色。

它不仅深刻地影响了我们对自然界的理解，也对人类的技术进步产生了巨大的影响。

在探索量子世界中的现象时，物理学家们发现，与常规世界中的经典物理规律不同，一个重要的要素便是线性代数和量子逻辑。

在量子力学中，线性代数的概念被广泛应用。

量子力学描述了微观领域中的自然现象，例如原子和分子间的相互作用，以及粒子间的相互作用等等。

而这些过程在其本质上是在高维空间进行的，如果我们想描述它们，我们需要一种有效的数学工具，这就是线性代数。

量子力学中的物理量通常可以被表示为向量。

这些向量被称为量子态。

对于电子，它们的量子态可以由一个二元组表示，描述电子的自旋状态和它在坐标空间中的位置。

然而，与传统物理学不同的是，由于测量的不可避免性，电子的位置和自旋状态不能同时被精确测量。

这就要求我们对量子态进行更加细致的研究。

我们可以用矩阵来描述量子力学中一些重要的现象，例如量子态的演化。

在量子力学中，物理系统的演化是通过应用算子来实现的。

这些算子通常也可以被表示为矩阵。

正如线性代数中一样，矩阵可以被用来实现线性变换，也可以被用来表示系统的状态。

量子逻辑是另一个在量子力学中被广泛应用的数学分支。

在经典逻辑中，我们使用概率和布尔运算来描述现实世界中的事物。

而在量子逻辑中，我们使用概率幅度代替概率，同时引入一些新的运算符来描述物理现象。

例如，有一个十分重要的运算符，即Hadarnard变换。

这个变换可以将一个量子态从一个基底中转换到另一个基底。

另外，在量子逻辑中，我们还需要考虑到量子态的纠缠现象。

纠缠是一种量子现象，当两个或多个粒子处于纠缠态时，它们的状态将是不可分的，并且它们之间存在着一种看似超距的相互作用。

这种纠缠现象对于量子通信和量子计算等领域的发展具有重要意义。

我们可以用量子逻辑来描述量子计算机的行为。

量子计算机是一种利用量子力学原理构造的新型计算机。

与经典计算机不同，量子计算机可以在某些情况下比经典计算机更快地解决某些问题。

线性代数在量子力学中的应用

线性代数在量子力学中的应用量子力学是一个哥本哈根学派的分支，主要从研究微观物理的角度来研究自然界的规律。

而线性代数则是一门数学课程，用于研究线性方程组、向量空间、矩阵等内容。

量子力学和线性代数之间有着密不可分的联系，线性代数为量子力学提供了强有力的数学工具和理论支持。

量子力学中的态矢和波函数在量子力学中，我们所研究的对象是粒子，但这些粒子不再具有我们在日常生活中所熟知的经典粒子的部分特性。

一个粒子在量子力学中可以描述为一种“态”，并用一个数学对象来表示它们，这个数学对象即为态矢量。

态矢量用列向量的形式来表示，例如：$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix}\psi_1 \\\psi_2 \\\vdots \\\psi_N\end{pmatrix}$$其中$\psi_i$为一个复数。

通过这个列向量，我们可以计算出众多重要的物理量（如能量、动量等）在不同方向上的期望值。

但是，如果我们希望更直观地理解态矢量，就需要引入另一个概念——波函数。

我们把某个粒子的波函数看做是一个函数$\Psi(x)$，其中$x$表示空间位置。

波函数是可以表示为一个线性组合的形式的，即：$$\Psi(x) = c_1\psi_1(x) + c_2\psi_2(x) + \cdots + c_N\psi_N(x)$$其中$c_i$为复数系数，$\psi_i(x)$为基函数。

这里的基函数可以看做是类似于三维空间中的基向量的概念，用来描述某个波函数的特定性质。

基函数一般取正交归一的函数集合，典型的例如平面波、高斯波等。

借助波函数，我们可以更加直观地理解粒子的行为，如粒子在空间的分布、运动状态等。

态矢和波函数建立了量子力学的数学框架，它们可以描述物理量的变化和性质的演变，但是在实际问题中，我们需要用到更加复杂的数学工具，例如矩阵和向量空间的概念。

矩阵在量子力学中的应用在物理学中，我们经常需要将某些物理量表示为矩阵的形式，从而更好地描述其性质。

量子力学的数学基础与数学方法

量子力学的数学基础与数学方法量子力学作为现代物理学的基石，其研究对象是微观世界中的粒子和物理现象。

对于量子力学的理解和应用，数学起着至关重要的作用。

本文将探讨量子力学的数学基础和数学方法，帮助读者更好地理解和应用量子力学。

一、量子力学的数学基础1. 线性代数量子力学中，态矢量用向量表示，而算符则相当于向量到向量的线性变换。

因此，线性代数是量子力学数学基础的重要部分。

线性代数中的向量、矩阵和线性变换的概念在量子力学中有广泛的应用，例如，描述量子态变化的幺正算符和厄米算符等。

2. 多元复变函数量子力学中，波函数是描述量子体系状态的数学表达式，其通常是复数形式。

多元复变函数的理论和方法为量子力学提供了重要的数学工具。

例如，复变函数的积分、级数和解析性质等，对于求解薛定谔方程及解释量子态的统计性质有着重要的作用。

3. 微分方程薛定谔方程是量子力学中描述量子体系时间演化的基本方程。

它是一个二阶线性偏微分方程。

量子力学的数学基础之一就是研究和理解薛定谔方程的解的性质和意义。

微分方程的理论与方法为研究和求解薛定谔方程提供了重要的数学工具。

二、量子力学的数学方法1. 矩阵表示量子力学中，算符的表示常常使用矩阵。

通过将物理量与矩阵相联系，可以方便地求解各种物理量的期望值和能级等。

矩阵表示为量子力学的计算提供了有效的数学方法。

2. 矩阵对角化对角化是求解薛定谔方程和解释物理现象的重要方法之一。

通过将算符对应的矩阵对角化，可以得到与特定物理量相对应的本征值和本征态。

对角化方法在量子力学中发挥着重要的作用，帮助我们理解和解释量子体系的性质。

3. 波函数展开波函数展开是量子力学中的一种常用数学方法。

通过将波函数表示为一组已知基函数的线性组合，可以将复杂的波函数分解为简单的基函数，并得到相应的系数。

波函数展开方法为求解薛定谔方程和研究量子态的统计性质提供了有效的数学手段。

4. 狄拉克符号狄拉克符号是量子力学中一种重要的数学表示方法。

经典力学和量子力学的代数方法

经典力学和量子力学的代数方法经典力学和量子力学是两种不同的物理学范畴，在解析方法和物理规律上也存在很大的差异。

经典力学主要研究宏观物体的运动和力学性质，而量子力学研究微观粒子的量子态及其演化。

虽然这两种物理学在形式上有根本差异，但是它们的一些数学和统计方法却有很多相似之处。

在这篇文章中，我们将会讨论一些代数方法在经典力学和量子力学中的应用。

一、经典力学中的代数方法经典力学的基本公理是牛顿力学，其中最主要的内容是牛顿第二定律，即物体的加速度与物体所受的力成正比。

牛顿第二定律是一个二阶微分方程，因此在求解运动方程时需要运用一些代数方法。

其中最基本的方法是拉格朗日方程和哈密顿方程。

拉格朗日方程是由意大利数学家拉格朗日于18世纪末提出的，它是一种较为经典的描述力学系统的方法。

拉格朗日方程通过将系统的所有广义坐标和广义速度表示为拉格朗日函数的偏导数的形式，从而可以将动力学问题转换为求解一个关于时间的二阶微分方程。

这种方法可以极大地简化求解复杂系统的运动方程的难度，同时也可以避免许多困难和冗长的计算。

除了拉格朗日方程，哈密顿方程也是经典力学中一个非常重要的代数方法。

哈密顿方程是由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿于19世纪提出的，它是通过对系统的动能和势能进行相应的代数变换，从而得到系统在运动中的哈密顿量，并利用哈密顿量的守恒性质推导出了哈密顿方程。

哈密顿方程是一个一阶偏微分方程组，它比拉格朗日方程更为常用，特别是在较为复杂的系统中，可以方便地利用哈密顿量和相空间来描述系统的运动状态。

二、量子力学中的代数方法在量子力学中，经典概率论不再适用，因为粒子的运动是由波函数演化而来的，而波函数的本质是一个复数波幅。

量子力学主要研究微观粒子的量子态及其研究方法，在这方面我们会用到矩阵和算符的代数方法。

量子力学中最基本的代数工具是矩阵，它在量子力学中的应用主要是在描述态空间的框架中。

在哈密顿算符的含义中，基本上是一个矩阵运算。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

��)
+
��,Ax]=0
[Ax,
Ay]=[(
��−��−��+�� 2��2��4��
关键词：代数解法氢原子能级 Runge-Lenz 矢量
Niels Bohr，1911 年于哥本哈根大学获博士学位。1912 年他来到 Rutherford 实验室工作，开始思考原子中电子绕核运动问题。1913 年，Bohr 在 Philosophical magazine 上发表三篇论文，开启量子时代大门。
在量子力学中，氢原子虽然没有了经典的“轨道”概念，但 Runge-Lenz 矢量仍为守恒量*2，但要相应地对物理量改写成量子化的算符。在量子力学中，
可观测量必须为实数，而厄米矩阵的本征值都是实数。经典的 Runge-Lenz
矢量��
=
��×�� 2��
��)
+
��,Az]=
��ℎ 2��2��
Lx
即
Â
×
Â
=
��ℎ 2��2��
��̂��
相同的计算方式，可得
L̂
×
Â
=
��ℎ 2��2��
Â
令K̂ = √��2��4�� Â
=
��
=
��2 h√��3��
由
∫ �� = ∫ ��dn
h√��2��3��
得
��
=
量子力学中能级的代数解法
——追寻昔日的英雄 Bohr、Pauli、Schrodinger、Dirac
以及 Landau。
张轩中（爱因斯坦网络学校教务处）黄宇傲天（爱因斯坦网络学校学习部）
摘要：从早期 Bohr 的旧量子论开始，回顾了量子力学大师 Bohr、Pauli、 Schrodinger、Dirac 以及 Landau 在代数法求能谱问题上留下的睿智才思。给出了 Bohr 的圆轨道氢原子能级公式、类氢原子能级公式、一维谐振子能级公式以及 Landau 能级公式的代数推导过程。
其中 a、b 分别为轨道的半长轴、半短轴。可以证明*1
e2
=
（
√��2 − ��
��2
2
）
=
|��|2
由以上四个式子可以得到
1
−
��2
=
−
2�� 2��4��
��2
*1 赵凯华罗蔚茵新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
本征矢量
|��⟩，J+|��⟩， J+2 |��⟩，…
的本征值
��， �� + 1，�� + 2，…
+
��中，��
��
×
��不是厄米的，取其
x
分量验证即知：
因为(�� × ��)+x=（LyPz-LzPy）+=PzLy-PyLZ 不等于它本身。故而，将经
典的�� × ��改写为量子化的1 （��̂�� × ��̂�� − ��̂�� × ��̂��）；因为(��̂�� × ��̂�� − ��̂�� × ��̂��) =
Ĵ × Ĵ = iĴ
同理，
N̂ × N̂ = iN̂
因为 Runge-Lenz 矢量平行于轨道平面而角动量与该平面垂直。所以
L∙A=0
可得
Ĵ2
=
(
1
2
)
(��̂��2
+
K̂ 2)
=
N̂ 2
因此
⇒
2ℎ
��̂��2 + K̂2 = 4ℎ2Ĵ2
由于以上的量子对易关系，我们可以得到相应的
1
让我们追寻 Pauli 的足迹，还要从一个隐藏在中心势场的矢量说起。
我们知道，在经典力学里，中心势场有能量、动量、角动量三个显而易见
的守恒量，但是 Runge-Lenz 矢量的守恒就不是那么显见了。其实，这些
守恒量都是中心势场的动力学对称性子势场中的定义为：
−2��
再定义
��̂�� = L̂+K̂，��̂�� = L̂−K̂
2ℎ
2ℎ
则[Jx, Jy]=(21ℎ)2[(LxLy- LyLx)+ (KxKy- KyKx)+ ( KxLy-LyKx)+ ( LxKy- KyLx)]=iJz
[Jx, Jz]=-i Jy
[Jy, Jz]=i Jx 即
量子化的
Runge-Lenz
矢量算符Â
=
��̂��×��̂��−��̂��×��̂�� 2��2��
+
��̂��也满足这样一些关系：
��
[Ax,
Ax]=[(
��−��−��+�� 2��2��4��
（一）Bohr 圆轨道的氢原子理论计算 1913 年，Bohr 根据 Planck 的量子假说、Einstein 的光子假说以及 Rutherford 的有核模型，提出了著名的原子理论的两条假设：
① 原子具有能量不连续的定态，原子在定态中不发射也不吸收电磁辐射能。
② 原子在能级 En 与 Em 之间跃迁时发射或吸收特定频率的ν的光子；满
[J2, Jx]=[ J��2��+ J��2��+ J��2�� , Jx]=0 [J2, Jy]=[ J��2��+ J��2��+ J��2�� , Jy]=0 [J2, Jz]=[ J��2��+ J��2��+ J��2�� , Jz]=0 因为对易算符有共同的本征矢量*3，所以我们要求取Ĵ2的本征值之前可以从 Jz 入
因为 Jz|��⟩=��|��⟩ 所以上式为得到
Jz J+|��⟩=(�� + 1)J+|��⟩
其中 J+|��⟩作为一个矩阵，也是 Jz 的本征矢量，相应的本征值为(�� + 1)。连续重
复上述步骤，可得相应的
*1 赵凯华罗蔚茵新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
足下式：En-Em=（n-m）hν
（A1）
此外，早在 1912 年他给 Rutherford 的备忘录中即初步提出了假设：(A1)
式中的频率ν即电子绕核旋转的圆频率ω。
静电单位制下，当电子在 rn 轨道做匀速圆周运动时，有
��2 ��2��
=
mω2��
rn-1→rn,ωn-1→ωn
*1 赵凯华罗蔚茵新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
��2 �� − ��−1 = h√��3��
lim
n−1→n
(n��−�� −(n��−��−11))
−
��2��4�� 2ℎ2��2
此即 Bohr 得到的氢原子能级公式。该公式能很准确地符合氢原子的谱线
规律，也适合核外仅有单电子的类氢离子。但是在公式推导的过程中，还
存在经典的“轨道”概念，并且没有引入正确的量子化条件。后来
Sommerfeld 将圆轨道推广到椭圆轨道，并给出了氢原子的两个量子化条
2
[��̂��, ��̂��] = ih��̂��
所以它是厄米的。
证明上式的对易式我们用了著名的 Heisenberg 对易关系：
[x̂, p̂] = ih 此外，我们用此基本对易关系证明 L̂ × L̂ = ihL̂
首先，L = r × P，写成分量的形式即：
Lx=yPz-zPy Ly=zPx-xPz Lz=xPy-yPx 因为[Lx,x]=[ yPz-zPy,x] = (yPz-zPy)x-x(yPz-zPy) 由于坐标是对易的，上式可以整理为：
��)
+
��,Ay]=
��ℎ 2��2��
Lz
*1 赵凯华罗蔚茵新概念物理教程《力学》 *2 参考文献 4 *3 参考文献 1 附录
[Ax,
Az]=[(
��−��−��+�� 2��2��4��