第二节 常见离散型随机变量的分布
第二节常见离散型随机变量的概率分布
例2.20 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现 在一次运送1200件，试求，(1) 破损件数X的概率分布； (2) 最多破损30件的概率α．
解 (1) 为求破损件数X的概率分布，考虑n=1200次伯努 利试验，每次试验成功的概率为p=0.02，可见X的概率 分布是参数为的二项分布．由于n=1200和p=0.02显然满 足泊松定理的条件，可见近似服从参数为np=24的泊松 分布．
第二节、常见离散型随机变 量的概率分布
一、两点分布（0－1分布）
只有两个可能值的随机变量X的概率分布称做两点分布：
X
~
x1 q
x2 p
(q
1
p,
0
p
1)
特别，若x1 =0 , x2 =1,则称X服从参数为p的0-1分布，亦称伯
努利分布．只计“成功”和“失败”两种结局的试验称做伯
努利
试验．设X是试验成1功 , 的若次试数验：成功 ， X ~ 0 , 若试验失败 ,
n})
；
四、泊松分布、泊松定理和泊松流
称随机变量X服从参数为 0 的泊松分布，如果
PX k λ k eλ (k 0,1,2,)
k!
1、泊松定理 假设X服从二项分布，参数年n充分大，而 p充分小，且 n p 适中，则可以利用泊松分布概率近似计 算二项分布概率．
Ckn
pk (1
p)nk
(np)k k!
因此，至少需要安排3个人值班．
例2.15 假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为0.2．一
周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7
万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工
作日亏损2万元．求所创利润的概率分布．
概率论与数理统计2.2.2 (0-1)分布
P{ X xk } pk , k 1, 2,
（2）列表法
X
x1 x2
xk
pk
p1 p2
pk
二、（0－1）分布：（也称两点分布）
引例1
射手每次射击的成绩在9.5环以上时被认为射击成功.
如果每次射击成功的概率为0.45，令
1, 当射击成功,
X 0,
当射击失败.
分布律为
X
0
1
P 0.55 0.45
则称X 服从（0-1）分布，
引例2
商店里有10张同类CD片，其中6张为一级品，3张为二级品， 1张为不合格品.顾客购买时任取其中一张，求取得合格品的概 率.
解
1, 取得合格品,
X 0, 否则.
分布律为X01 NhomakorabeaPk
0.1 0.6+0.3
则称X 服从（0-1）分布，取得合格品的概率为 PX 1 0.9.
的随机变量．
0,
X X () 1,
当 1, 当 2.
来描述这个随机试验的结果。
检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记， 检验种子是否发芽以及“抛硬币”试验都可以用（0-1）
分布的随机变量来描述．
例1 在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取
一件,假如取到每件产品的机会都相等.
若定义随机变量X为
0, X 1,
当取到次品时 当取到正品时
则有 P{X=0}=0.05, P{X=1}=0.95
若定义随机变量Y为
1, Y 0,
当取到次品时 当取到正品时
则有 P{Y=0}=0.95, P{Y=1}=0.05
从中看到X,Y都服从(0-1)分布.
2离散型随机变量的分布列
X的所有可能取值是0,1,2,3.
P(X=0)=
C36 C130
=
20 120
=
1 6
,
P(X=1)=
C62C14 C130
=
60 120
=
1 2
,
P(X=2)=
C
2 4
C16
C130
=
36 120
=
3 10
,
P(X=3)=
C34 C130
=
4 120
=
1 30
.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
1
1
3
1
P
6
栏目索引
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时
也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
(2)分布列的性质
(i)pi③ ≥0 ,i=1,2,3,…,n;
n
(ii) pi 1. i 1
栏目索引
3.常见的离散型随机变量的概率分布
η
0
1
2
P
0.1
0.3
0.3
栏目索引
3 0.3
栏目索引
1-2 (2015北京朝阳一模改编)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶 图和频率分布直方图都受到了不同程度的污损,其中,频率分布直方图 的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],据此解答以 下问题. (1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生的失分情况,设 抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X,求X的分布列.
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布
以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
2.5第2节离散型随机变量的分布律
3
例６． 将一枚均匀骰子抛掷 ３ 次， 令:X 表示 3 次中出现“4”点的次数
求: X的概率函数
解: 显然，X的概率函数是：
P{
X
=
k
}
=
C
k 3
(
1 6
)k
(
5 6
)3− k
,
k = 0,1,2,3
3
0 .
定理
设一次试验中事件A发生的概率为 p , (0 < p < 1)
则在 n 次贝努利试验中事件A 恰发生 k 次概率为:
概 [(1
率− pP)+n (kp)x]就n 等的于展二开项式式中
xk
的系数， 这也是二项分布的名称
P(X = k) ≥ 0,
的由来 .
n
∑Cnk pk(1− p)n−k =( p +q)n =1
k=0
例7. 设某炮手射击的命中率为 0.8，为炸毁某个 目标， 经预测只要命中两发就够炸毁.
问 :希望发射5发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大?
路 口3
路 口2
路 口1
P(X=2)=P(
A1
A2
A3
)
=
1⋅ 2
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路 口3
路 口2
路 口1
P(X=3)=
P(
A1
A2
A3
)=
1 2
⋅
1 2
⋅
1 2
=1/8
于是得其分布律为：
X0 1 2 3
例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
第二节 离散型随机变量及其分布
例3.1.3 (进货问题）由某商店过去的销售记录知
道，海尔彩电每月的销售数可用参数为λ =5的泊 松分布来描述，为了以95%以上的把握保证月底不 脱销，问商店在月底至少应进多少台？ 解：设每月的销售数为X，月底进N台，则
其概率分布为 P ( X 1) 3 10 即X服从两点分布。
7 P( X 0) 10
(2) 二项分布 B ( n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量
若P ( A ) = p , 则
Pn ( k ) P ( X k ) C p (1 p)
P{ X 1} 1 P{ X 0} =1 0.99
成功次数服从二项概率
400
0.9820
B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力!
(3) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
k n k
n k
, k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli 分布).记作
X ~ B( n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取
出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
第二节 离散性随机变量及其分布
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
2.2离散型随机变量及其分布律
当1≤x<2时, {X≤x}={X=0}∪{X=1} X 0 1x 2
又{X=0}与{X=1}互不相容 得: F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}
=0.6+0.3=0.9
当x≥2时, {X≤x}为必然事件
X
0 1 2x
8
得: F(x)=P{X≤x}=1
0, x 0
F
(
x)
0.6, 0.9,
P{X k} C5k pk (1 p)5k
k 0,1,..., 5 18
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有
两弹击中目标的概率.
解:.设X为击中目标的次数.
X : B6000,0.001
P X 2 1 P X 2 1 PX 0 PX 1
0 1
x x
1 2
1 0.9
1, x 2 0.6
注: 左闭右开
0 1 2x
9
0, x 0
F(x)
0.6, 0.9,
0 1
x1 x2
1, x 2
(3)
P(X
1 2
)
F
(
1 2
)
0.6
P
(
1 2
X
3 2
)
F
(
3 2
)
F
(
1 2
)
0.9
0.6
0.3
P(1≤X≤2)=P({X=1}∪{1<X≤2})
P
X k
Ck41 C150
(k 5, 6, 7, 8, 9,10)
具体写出,即可得 X 的分布律:
X 5 6 7 8 9 10
2.2离散型随机变量及其分布
例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
第二节离散型随机变量及其分布(精)
第二节离散型随机变量及其分布如果随机变量所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称这种随机变量为离散型随机变量.容易知道，要掌握一个离散型随机变量X 的统计规律，必须且只须知道X 的所有可能取的值以及取每一个可能值的概率.设离散型随机变量X 所有可能的取值为x k (k =1,2,…),X 取各个可能值的概率,即事件{X =x k }的概率P {X =x k }=p k , k =1,2,… （2.2）我们称（2.2）式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律.分布律也常用表格来表示（表2-1）：表2-1由概率的性质容易推得，任一离散型随机变量的分布律{pk}，都具有下述两个基本性质： 1°p k ≥0，k =1,2,…； （2.3） 2°11=∑∞=k kp. （2.4）反过来，任意一个具有以上两个性质的数列{Pk}，一定可以作为某一个离散型随机变量的分布律.为了直观地表达分布律，我们还可以作类似图2-1的分布律图.图2-1图2-1中x i 处垂直于x 轴的线段高度为p i ，它表示X 取x i 的概率值.例2.1 设一汽车在开往目的地的道路上需通过4盏信号灯，每盏灯以0.6的概率允许汽车通过，以0.4的概率禁止汽车通过（设各盏信号灯的工作相互独立）.以X 表示汽车首次停下时已经通过的信号灯盏数，求X 的分布律.解 以p 表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然X 的可能取值为0，1，2，3，4，易知X 的分布律为或写成P {X =k }=（1-p ）p ，k =0，1，2，3.P {X=4}=（1-p ）4.将p =0.4,1-p =0.6代入上式，所得结果如表2-3所示.表2-3下面介绍几种常见的离散型随机变量的概率分布： （1）两点分布若随机变量X 只可能取x 1与x 2两值，它的分布律是P {X =x 1}=1-p （0＜p ＜1），P {X =x 2}=p ，则称X 服从参数为p 的两点分布.特别，当x 1=0，x 2=1时两点分布也叫（0-1）分布，记作X ~（0-1）分布.写成分布律表形式见表2-4.对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个元素，即Ω={e 1，e 2}，我们总能在Ω上定义一个服从（0-1）分布的随机变量,,,1,0)(21e e e e e X X ==⎩⎨⎧==当当用它来描述这个试验结果.因此，两点分布可以作为描述试验只包含两个基本事件的数学模型.如，在打靶中“命中”与“不中”的概率分布；产品抽验中“合格品”与“不合格品”的概率分布等等.总之，一个随机试验如果我们只关心某事件A 出现与否，则可用一个服从（0-1）分布的随机变量来描述.（2）二项分布若随机变量X 的分布律为P {X =k }=k n C p k (1-p )n -k, k =0,1,…,n ， (2.5)则称X 服从参数为n ，p 的二项分布（Binomial distribution ）,记作X ~b (n ,p ).易知（2.5）满足（2.3）、(2.4)两式.事实上，P （X =k ）≥0是显然的；再由二项展开式知n k n k nk k nn k p p p p k X P )]1([)1(C}{0-+=-==-==∑∑=1.我们知道，P {X =k }=kn k k n p p --)1(C 恰好是[p +(1-p )]n 二项展开式中出现p k 的那一项，这就是二项分布名称的由来.回忆n 重贝努里试验中事件A 出现k 次的概率计算公式P n (k )=k n C p k (1-p )n-k, k =0,1,…,n ,可知，若X ~b (n ,p )，X 就可以用来表示n 重贝努里试验中事件A 出现的次数.因此，二项分布可以作为描述n 重贝努里试验中事件A 出现次数的数学模型.比如，射手射击n 次中，“中的”次数的概率分布；随机抛掷硬币n 次，落地时出现“正面”次数的概率分布；从一批足够多的产品中任意抽取n 件，其中“废品”件数的概率分布等等.不难看出，（0-1）分布就是二项分布在n =1时的特殊情形，故（0-1）分布的分布律也可写成P {X =k }=p k q 1-k (k =0,1)(q =1-p ).例2.2 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案： （1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人.三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案有利？解 设系队得胜人数为X ，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为（1） P {X ≥2}=kkk k -=∑3323)6.0()4.0(C ≈0.352；(2) P {X ≥3}=kkk k -=∑5535)6.0()4.0(C ≈0.317；(3) P {X ≥4}=kkk k -=∑7747)6.0()4.0(C ≈0.290.因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的，因为参赛人数越少，系队侥幸获胜的可能性也就越大.例2.3 某一大批产品的合格品率为98%，现随机地从这批产品中抽样20次，每次抽一个产品，问抽得的20个产品中恰好有k 个（k =1，2，…，20）为合格品的概率是多少？解 这是不放回抽样.由于这批产品的总数很大，而抽出的产品的数量相对于产品总数来说又很小，那么取出少许几件可以认为并不影响剩下部分的合格品率，因而可以当作放回抽样来处理，这样做会有一些误差，但误差不大.我们将抽检一个产品看其是否为合格品看成一次试验，显然，抽检20个产品就相当于做20次贝努里试验，以X 记20个产品中合格品的个数，那么X ~b （20，0.98），即P {X =k }=k k k -2020)02.0()98.0(C ，k =1,2,…,20. 若在上例中将参数20改为200或更大，显然此时直接计算该概率就显得相当麻烦.为此我们给出一个当n 很大而p （或1-p ）很小时的近似计算公式.定理2.1（泊松(Poisson)定理） 设np n =λ（λ>0是一常数，n 是任意正整数），则对任意一固定的非负整数k ,有e lim (1)!k k k n knn n n C p p k λλ-→∞-=-.证 由p n =λ/n ，有().111121111!)1()(!)1()1(1C knk kn k kn n kn k n n n n k n n k nn k k n n n p p ---⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-+--=-λλλλλ对任意固定的k ，当n →∞时，11121111→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅n k n n ，11,e 1→⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎭⎫ ⎝⎛---kn n n λλλ故e lim (1).!k kk n knn n n C p p k λλ--→∞-=由于λ=np n 是常数，所以当n 很大时p n 必定很小，因此，上述定理表明当n 很大p 很小时，有以下近似公式,!e )1(C k p p k kn k k nλλ--≈- (2.6)其中λ=np .从表2-5可以直观地看出（2.6）式两端的近似程度.表2-5由上表可以看出，两者的结果是很接近的.在实际计算中，当n ≥20,p ≤0.05时近似效果颇佳，而当n ≥100,np ≤10时效果更好.!e k k λλ-的值有表可查（见本书附表3）二项分布的泊松近似，常常被应用于研究稀有事件（即每次试验中事件A 出现的概率p 很小），当贝努里试验的次数n 很大时，事件A 发生的次数的分布.例2.4 某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.解 设X 表示发生交通事故的汽车数，则X ~b (n,p ),此处n =5000，p =0.001，令λ=np =5， P {X ≥2}=1-P {X ＜2}=1-{}∑==1k k X P=1-(0.999)5000-5(0.999)4999≈1!e 50!e 51550----. 查表可得P {X ≥2}=1-0.00674-0.03369=0.95957.例2.5某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率.解将一次射击看成是一次试验.设击中次数为X，则X~b(400,0.02)，即X的分布律为P{X=k}=k400C(0.02)k(0.98)400-k, k=0,1, (400)故所求概率为P{X≥2}=1-p{X=0}-p{X=1}=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.这个概率很接近1，我们从两方面来讨论这一结果的实际意义.其一，虽然每次射击的命中率很小（为0.02)，但如果射击400次，则击中目标至少两次是几乎可以肯定的.这一事实说明，一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但只要试验次数很多，而且试验是独立地进行的，那么这一事件的发生几乎是肯定的.这也告诉人们决不能轻视小概率事件.其二，如果在400次射击中，击中目标的次数竟不到两次，由于P{X<2}≈0.003很小，根据实际推断原理，我们将怀疑“每次射击的命中率为0.02”这一假设，即认为该射手射击的命中率达不到0.02.（3）泊松分布若随机变量X的分布律为P{X=k} =e!kkλλ-，k=0，1，2，…，（2.7）其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布（Poisson distribution），记为X~P（λ）. 易知（2.7）满足（2.3）、（2.4）两式，事实上，P{X=k}≥0显然；再由∑∞=-0!ekkkλλ=e-λ·eλ=1，可知∑∞==} {kkXP=1.由泊松定理可知，泊松分布可以作为描述大量试验中稀有事件出现的次数k=0,1,…的概率分布情况的一个数学模型.比如：大量产品中抽样检查时得到的不合格品数；一个集团中生日是元旦的人数；一页中印刷错误出现的数目；数字通讯中传输数字时发生误码的个数等等，都近似服从泊松分布.除此之外，理论与实践都说明，一般说来它也可作为下列随机变量的概率分布的数学模型：在任给一段固定的时间间隔内，①由某块放射性物质放射出的α质点，到达某个计数器的质点数；②某地区发生交通事故的次数；③来到某公共设施要求给予服务的顾客数（这里的公共设施的意义可以是极为广泛的，诸如售货员、机场跑道、电话交换台、医院等，在机场跑道的例子中，顾客可以相应地想象为飞机）.泊松分布是概率论中一种很重要的分布.例2.6由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ＝5的泊松分布来描述.为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解设该商店每月销售这种商品数为X，月底进货为a件，则当X≤a时不脱销，故有P{X≤a}≥0.95.由于X~P(5),上式即为∑=-ak kk 05!5e ≥0.95. 查表可知∑=-95!5e k kk ≈0.9319<0.95, ∑=-105!10e k kk ≈0.9682>0.95 于是，这家商店只要在月底进货这种商品10件（假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月不会脱销.下面我们就一般的离散型随机变量讨论其分布函数.设离散型随机变量X 的分布律如表2-1所示.由分布函数的定义可知F (x )=P {X ≤x }=∑∑≤≤==xx kxx kk k px X P }{，此处的∑≤xx k 和式表示对所有满足x k ≤x 的k 求和，形象地讲就是对那些满足x k ≤x 所对应的p k 的累加.例2.7 求例2.1中X 的分布函数F （x ）. 解 由例2.1的分布律知 当x ＜0时，F （x ）=P {X ≤x }=0；当0≤x ＜1时，F （x ）=P {X ≤x }=P {X =0}=0.4；当1≤x ＜2时，F （x ）=P {X ≤x }=P （{X =0}∪{X =1}）=P {X =0}+P {X =1}=0.4+0.24=0.64； 当2≤x ＜3时F （x ）=P {X ≤x }=P （{X =0}∪{X =1}∪{X =2}）=P {X =0}+P {X =1}+P {X =2} =0.4+0.24+0.144 =0.784；当3≤x ＜4时F （x ）=P {X ≤x }=P （{X =0}∪{X =1}∪{X =2}∪{X =3}）=0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704；当x ≥4时F （x ）=P {X ≤x }=P （{X =0}∪{X =1}∪{X =2}∪{X =3}∪{X =4}） =0.4+0.24+0.144+0.0864+0.1296=1.综上所述F （x ）=P {X ≤x }=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<.4,1,43,8704.0,32,784.0,21,64.0,10,4.0,0,0x x x x x x F (x )的图形是一条阶梯状右连续曲线，在x =0，1，2，3，4处有跳跃，其跳跃高度分别为0.4,0.24,0.144,0.0864,0.1296，这条曲线从左至右依次从F （x ）=0逐步升级到F （x ）=1.对表2-1所示的一般的分布律，其分布函数F （x ）表示一条阶梯状右连续曲线，在X =x k (k =1,2,…)处有跳跃，跳跃的高度恰为p k =P {X =x k }，从左至右，由水平直线F （x ）=0，分别按阶高p 1，p 2，…升至水平直线F （x ）=1.以上是已知分布律求分布函数.反过来，若已知离散型随机变量X 的分布函数F （x ），则X 的分布律也可由分布函数所确定：p k =P {X =x k }=F (x k )-F (x k -0).。
2-2离散型随机变量及其分布律
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
第二节离散型随机变量及其分布
这时X的分布函数为：
F
(
x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
例3 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取
一件,那末,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
P( A1 )P( A2 )P( Ak1 )P( Ak )
55%k145%，k 1,2,
P{ X取偶数} P{ X 2k} 55%2k145%
k 1
k 1
11 31
)
21 36
1. 2
注：一般，设离散型随机变量X的分布律为：
P( X xi ) pi，i 1，2，
则X的分布函数为： F ( x) P( X x) P( X xi )，
即
F ( x) pi .
xi x
xi x
例2. 将3封信随机地投入3个信箱(每个信箱至少可容纳3 封信)，
设X表示装了信的信箱个数，求(1) X的分布律，(2) X的分布函数.
若用泊松定理作近似计算, 这时 np 6.
于是C610000.09.9090610000.96090!9e5996916e!e6
6
0.00248, 6e6 0.01487,
p 0.98269.
故 P( X 2) 1 0.00248 0.01487 0.98265.
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差(学生)
常见的离散型随机变量的分布列、均值与方差【知识要点】一、离散型随机变量及其分布列 1、随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。
长用希腊字母ηξ，来表示。
若ξ是随机变量，b a +=ξη，其中b a ，是常数，则η也是随机变量。
2、离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值，可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
3、离散型随机变量的分布列（1）若离散型随机变量X 可能取的不同值为n i x x x x ，，，，，⋅⋅⋅⋅⋅⋅21，X 取每一个值)21(n i x i ，，，⋅⋅⋅=的概率i i p x X P ==)(，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的分布列，简称X 的分布列。
有时为了表达简单，也用等式i i p xX P ==)(，n i ，，，⋅⋅⋅=21，表示X 的分布列。
（2）性质：①n i p i ，，，，⋅⋅⋅=≥210；②11=∑=ni i p ；③在某个范围内取值的概率等于这个范围内每个随机变量值的概率的总和。
4、常见离散型随机变量 （1）两点分布若随机变量X 的分布列是则这样的分布列称为两点分布列。
如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布（也称伯努利分布），而称)1(==x P p 为成功概率。
其EX=p ，DX=p(1-p). （2）超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k}发生的概率为m k C C C X P nNkn MN k M ，，，，，⋅⋅⋅=⋅==--210)k (，其中}min{n M m ，=，且*∈≤≤N N M n N M N n 、、，，，称分布列为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。
记作：1)1()(---•==N nN N M N nM DX N nM EX n M N H X ，，其，，—。
第二节 离散型随机变量及其分布1
广
东
工
业
广
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主讲教师：
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
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(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}
2-2常见离散型随机变量
（1）求同时开动的机床台数的概率分布；
（2）若开动时每台耗电10单位，现因只能提供50单位 电能，求10台机床能正常工作的概率。
解 （1）设 ξ 表示10台机床同时开动的台数，则
ξ ~ B(10, 0.4)
P{ξ
=
k} =
Ck 10
0.4
k
0.610−
k
,
k = 0,1,2,,10
概率分布表：
ξ 012 34 5
概率统计理工常见的离散型随机变量内容提要教学要求常见的离散型随机变量的分布掌握常见的离散型随机变量的分布了解二项分布与泊松分布超几何分布的关系01分布例如
概率统计（理工）
常见的离散型随机变量
内容提要 常见的离散型随机变量的分布
教学要求 掌握常见的离散型随机变量的分布，了解 二项分布与泊松分布、超几何分布的关系
=
0.834
k=0
或求 P{10ξ ≤ 50} = P{ξ ≤ 5}
二项分布的最可能值
（1）中的 pk 先增后减，
使P{ξ = k} 取最大值的k
称为二项分布的最可能
值，记为 k0
结论：
k0
=
np + p 和 [np + p],
np +
p－1， 当np + p是整数时； 否则。
例中，n=10, p=0.4, np+p=4.4不是整数，所以 k0=4,
有4台同时开动的可能性最大。
又如：保险公司为10000人保险，每人的死亡的概率 为0.005，则死亡人数的最可能值
k0 = [10000 × 0.005 + 0.005] = 50(人)
其概率为：
P{ξ
高等数学-概率2.2随机变量的分布
1 4 且 P ＝ ，求常数a，b。 2 5
复习与总结
(1) F(x)=P{X≤x} 求概率: P{a<X≤b}=F(b)-F(a)； (2) 离散型r.v.X，常用分布列描述
X
x1 p1
x2 p2
…… ……
xn pn
…… ……
pk
F(x)与分布列的关系（略） 求概率: P{a<X≤b} Pk
第二章 随机变量
第二节 随机变量的分布
一、离散型随机变量的分布
设X是一个离散型随机变量，它可能取的 值是 x1, x2 , …, xn,… 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要 知道随机变量X取哪些值，而且还应知道 X取每个值的概率.
例1
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
P X x
k
k :xk x
pk
x x1 0, p , x1 x x2 1 p1 p2 , x2 x x3 F x p1 p2 pk , xk x xk 1
（1）连续型随机变量X的所有可能取值 充满一个区间, 不可列； （2）X取某一个具体的值的概率为零， 意义不大。
例如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽 车通过，一位乘客对该汽车的通车时间 一无所知，则该乘客的候车时间是一个 连续型随机变量X。
（1）X的取值充满区间[0,5]. （2）P{X=2.859}=0，无太大意义. （3）考虑P{a<X≤b} = P{X≤b}－ P{X≤a}
（5）连续型r.v.X取单点值的概率为0，即
对 a ，P{X=a}=0。 （6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b} b =P{a<X≤b} a f x dx
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第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
二、二项分布 （ 一 ） n 重 伯 努 利 试 验 (n-fold Bernoulli trials) 将伯努利试验独立地重复进行n 次就 称为 n 重伯努利试验。
第章 第二节 常见离散型随机变量的分布
n 重伯努利试验的特点： （1）只有两个结果，要么 A 发生， 要么 A 不发生； （2）每次试验事件 A 发生的概率都 等于p。 （3）n 次试验之间是相互独立的；
Pn (k ) C p q
k n k
nk
(k 0,1,, n)
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
(二) 二项分布(binomial distribution) 若随机变量 X 的概率函数为
P( X k ) C p q
k n k nk
(k 0,1,, n)
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
雅各 .伯努利(Bernoulli Jacob)瑞士 数学家，他在十七世纪末，在重复独立 试验概率模型研究方面，做了大量的工 作，以他命名的Bernoulli 分布是概率论 中最基本，也是最重要的分布，在它的 基础上，发展了 Poisson 分布，Normal 分布。
三、Poisson分布 四、超几何分布
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
一、二点分布 （一）伯努利试验(Bernoulli trials) 进行一次试验，如果我们只关心某 事件A发生还是不发生，试验结果 只有两个，A和 A ，令
P( A) p, P( A) 1 p q,
这样的试验就称为伯努利试验。
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
分布函数 设 X 是一随机变量，x 是 任意的一个实数，则函数 F(x)=P(Xx) 称为随机变量 X 的分布函数。 分布函数适用于离散型和连续型
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
对离散型随机变量：
对于任意实数x1, x2 ( x1 < x2),
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
问题：在一次试验中，事件A发 生的概率为p,则在n次独立重复的 试验中，事件A恰好发生k次的概 率为多少？
答案：事件A恰好发生k次的概率
Pn (k ) C p q
k n k
nk
(k 0,1,, n)
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
例 设随机变量X的分布律为： X P 3 4 5 1/10 3/10 6/10
求X的分布函数，并求P(X7/2)， P(3 <X9/2), P(3 X9/2)
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
第二节 常见离散型 随机变量的分布
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
一、二点分布
二、二项分布
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
Poisson 定理 设 是一常数，n是任意正整数， 设npn ，则对于任意固定的非负整数
k，有
当n很大，且p很小时，令 np 则
(一般要求n≥10, p≤0.1)
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
例 据以往经验，新生儿染色体异常 率为1%，试求100名新生儿中有0、 1、2个染色体异常的概率？
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
(二)、二点分布(two point distribution)
在伯努利试验中，分别用0,1表示事 件A发生与不发生，这样X就是一个只能 取0或1的随机变量，其概率分布为： X P 0 1 p 1 p
其中0<p<1，则称 X 服从参数为 p 的二 点分布或0-1分布。
例 射击，n=3,k=2,用Ai表示“第i 次射中”，记B为射击3次恰好击 中2次，求P(B)
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
n 重伯努利试验的计算公式 在 n 重伯努利试验中，事件 A 发生的概率为 p ，不发生的概率为 q=1p，则在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 k 次（0≤k≤n）的 概率为：
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
解： 有反应的人数X服从二项分布
P( X k )
0
1
2
3
4
5
X k
0.59049 0.32805 0.72090 0.00810 0.00045 0.00001
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
例 据以往经验，新生儿染色体异常率 为1%，试求100名新生儿中有0、1、2 个染色体异常的概率？ 解：n=100,p=0.01则100名新生儿中 发生染色体异常例数的概率为
k n k n k
0
n
（ 2） P ( X k ) C
k 0 k 0
k n
p q
k
nk
( p q) 1
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
例 据报道，有10％的人对某药有 胃肠道反应。为考察某厂的产品质 量，现任选5人服用此药。试求： （1）k 个人有反应的概率 （k=0,1,2,3,4,5）； （2）不多于2人有反应的概率； （3）有人有反应的概率。
则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布， 记为 X~B(n,p)。
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
P( X k ) C p q
k n k
n k
n 恰好是二项展开式(p+q) 的通项
显然，二项分布满足离散型变量 分布律的条件：
（1）P ( X k ) C p q
解：n=100,p=0.01则100名新生儿 中发生染色体异常例数的概率为
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
三.Poisson 分布(Poisson distribution) 若随机变量 X 的概率函数为 k P( X k ) e ( 0, k 0,1,2,) k! 则称 X 服从参数为 的 Poisson 分布， 记作 X~P()。
第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
显然，泊松分布满足离散型变量 分布律的条件：
（ 1） P ( X k )
k
P( X k ) （ 2） k 0 k 0