分式方程中的增根问题

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例析分式方程中有关增根的问题

分析：先求出用含／的式子表示方程的１，解。又因为方程的增根由最简公分母一＝３０
２＋＝＋６ｋ，ｘｘ４－
３＝ｌ－ｘＯｋ，
＝
１（Ｏｋ．１－）
产生。ｘ３即＝是增根。故可求出／的值．１，
解：‘ ・ ’
Ｘ－－．５
・．
‘
原方程的增根为ｘ３＝，
１～
Ｘ－－Ｊ
，
２０年７８月０８ —
维普资讯
全等三角形
巧解几何问题
。
－．．
１（０ｋ＝，１一＝，１一）３０ｋ９
．
．
１ａ５３，１ａ５－５－＝（一）－＝ｘ１，
即ａ１＝．
当ｎ１，＝时分式方程
增根．
Ｘ－Ｊ－
求出含ｎ的式子表示方程的解，代人的值

就可求出０的值．
解：。．－ — ＋ —
Ｘ－３Ｊ－－＂Ｘ
由以上几例可以看出，解决这类问题时，
＝，５
先求出关于某个字母的表达式，再借助增根，就可求出这个字母的值．
ｘ－Ｊ
ｍ＋＝ｌ３，
即 — ＋：．２一Ｉ＝
ｘ－３
即ｍ＝２一．
＋（一）一４，２３＝（一）
例２如果关于的方程
ｘ－３
＝一１
ｘ－．５．
有
＋６４．２一＝一＋
增根。／的值．求１，

分式方程的增根与无解详解(最新整理)

x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※）因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形：（1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6．综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解．例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。

增根

增根一. 增根的意义：当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的公分母乘方程的两边进行去分母。

必须注意的是，解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根叫增根。

二. 分式方程中的增根：例1.若关于x 的方程11-+x ax =0有增根，则a 的值为（）.分析：增根是使分式方程的分母为0的未知数的值，所以增根只能是x=1，它应该是原方程去分母后的整式方程的根.解：因为分式方程有增根，所以增根只能是x=1，原方程去分母，得ax+1-(x-1)=0,将x=1代入并整理得a=﹣1,故应填a=﹣1.例2.若分式方程x x x x m x x1112+=++-+产生增根，则m 的值是（）.解：方程分母分别为x+1和2x +x,由此我们可以得知x=﹣1或x=0.解题时，先将分式方程通分，得到2x -m-1=(x+1)2,再移项得(x-x-1)(x+x+1)=m+1，化简得m=﹣2x-2,将x=﹣1或x=0代入m=﹣2x-2，当x=﹣1时，m=0；当x=0时，m=﹣2.因此我们可以得出m=0或m=﹣2.例3.当m=（）时，关于x 的分式方程32-+x mx =﹣1有增根.解：因为方程有增根，所以x=3.将方程通分得，2x+m=3-x,移项得3x=3-m,所以x=33m-,将x=3代入并整理，所以x=﹣6.例4.当m 为何值时，关于x 的方程35-x +92-x mx =32+x 会产生增根？解：将方程两边通分得5（x+3）+mx=2(x-3),去括号得，5x+15+mx=2x-6，合并同类项得（5+m-2）x=﹣21.因为分母为x+3和x-3，所以当x+3且x-3时会产生增根.此时，我们要分别考虑2种情况，求出与x 相应的m 的值.当x+3时，m=4；当x-3时，m=﹣10.所以当m=4或m=﹣10时方程会产生增根.总结：由以上4道例题可知，增根并不是一块很难的知识，所谓的“增根”口语化就是使分母为0的解。

解分式方程及增根,无解的典型问题含答案

分式方程1. 解分式方程的思路是：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2）解这个整式方程。

（3）把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（4）写出原方程的根。

“一化二解三检验四总结”例1：解方程214111x x x +-=-- （1）增根是使最简公分母值为零的未知数的值。

（2）增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。

例2：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。

解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a =所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把增根代入整式方程求出字母的值。

例3：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。

解：化整式方程的(1)10a x -=-当10a -=时，整式方程无解。

解得1a =原分式方程无解。

当10a -≠时，整式方程有解。

当它的解为增根时原分式方程无解。

把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。

综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。

例4：若分式方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。

解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23>≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 的值是多少？方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。

(完整版)分式方程无解增根专题

分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。

(完整版)分式方程的增根与无解详解

分式方程的增根与无解讲解2 4x 3例1解方程上二—.①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2 .经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解.x 13 x 例2解方程2 .x 22 x解：去分母后化为 x — 1 = 3- x + 2 (2 + x ). 整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程口 = 旦无解，则m 二——x 2 2 x解：原方程可化为方程两边都乘以 x — 2,得x — 3=— m. 解这个方程，得x=3 — m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2 ,所以2=3 — m,解得m=1 故当m=1时，原方程无解.2例4当a 为何值时，关于x 的方程 ---------x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2) 整理得(a — 1) x = — 10②若原分式方程有增根，则 x = 2或—2是方程②的根. 把x = 2或一 2代入方程②中，解得，a = — 4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：此时还要考虑转化后的整式方程(a — 1) x =— 10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2)2当a 为何值时，关于x 的方程门 axx 2 4①无解?axx 2 4①会产生增根?整理得(a—1) x = —10 ②若原方程无解，则有两种情形:（1 ）当a - 1 = 0 （即a = 1）时，方程②为Ox = - 10,此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为 =2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出 a =- 4或6.综上所述，a = 1或a =—4或a = 6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1 分析：使方程的最简公分母（x+1）（x-1）=0 则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零须是所化整式方程的根。

5.4.5分式方程的增根

一．选择题（共35小题）1．（2005•扬州）若方程=1有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．﹣1D．1和﹣1【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，所以增根可能是x=1或﹣1．【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，可知增根可能是x=1或﹣1．当x=1时，m=3，当x=﹣1时，得到6=0，这是不可能的，所以增根只能是x=1．故选：B．【点评】求增根只需将最简公分母等于0即可，但有两个或两个以上的增根时需进行检验．2．（2017秋•常熟市期末）若关于x 的分式方程有增根，则m的值为（）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x+m﹣2m=3（x﹣2），∵方程有增根，第1页（共29页）∴x=2，将x=2代入整式方程，得：2+m﹣2m=0，解得：m=2，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3．（2017•聊城）如果解关于x 的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．第2页（共29页）4．（2017•毕节市）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（）A．1B．3C．4D．5【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣1）=0，解得x=1，当x=1时，7=2m﹣1，解得m=4，所以m的值为4．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5．（2017•河南模拟）若关于x的分式方程+=1有增根，则m的值是（）A．m=0或m=3B．m=3C．m=0D．m=﹣1第3页（共29页）【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣m=x﹣4，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：3﹣4﹣m=0，解得：m=﹣1，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．（2017春•灌云县期末）若关于x 的方程+=0有增根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣3C．5D．3【分析】根据分式方程增根的定义进行选择即可．【解答】解：∵关于x 的方程+=0有增根，∴x﹣5=0，∴x=5，∴2﹣x+m=0，∴m=3，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解题的关键．第4页（共29页）7．（2017春•辉县市期末）若关于x 的方程=有增根，则m的值为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：m﹣1=﹣x，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：m=﹣1，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．（2017春•建德市期末）若分式方程﹣=3有增根，则m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：分式方程去分母得：x+2m=3x﹣6，由分式方程无解，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：2+2m=0，解得：m=﹣1，故选：A．第5页（共29页）【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．9．（2017春•新城区校级期末）若关于x 的分式方程有增根，则m的值为（）A．3B．﹣C．D．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出值m的值．【解答】解：去分母得：x﹣2x+6=m2，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：m2=3，解得：m=±，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．10．（2017春•泗阳县期末）解关于x 的分式方程﹣1=时会产生增根，则增根可能为（）A．0或3B．3C．0D．以上都不对【分析】根据分式方程增根的定义得出x=0或3，再检验是不是整式方程x（2m+x）﹣x（x ﹣3）=2（x﹣3）的根即可解决问题．【解答】解：去分母得到x（2m+x）﹣x（x﹣3）=2（x﹣3）①第6页（共29页）∵关于x 的分式方程﹣1=时会产生增根，∴x（x﹣3）=0，∴x=0或x﹣3=0，∴x=0或3，x=0代入①，左右不等，说明x=0不是整式方程①的根，0不可能是增根，∴增根只能是3，故选：B．【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键，11．（2017春•吉安县期末）若解分式方程=产生增根，则m=（）A．1B．0C．﹣4D．﹣5【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x+4），得x﹣1=m，∵原方程增根为x=﹣4，∴把x=﹣4代入整式方程，得m=﹣5，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；第7页（共29页）②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．12．（2017春•任城区期末）若分式方程有增根，则m等于（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：分式方程去分母得：x﹣3=m，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，把x=1代入整式方程得：m=﹣2，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．13．（2017春•宝安区校级期末）解方程会产生增根，则m等于（）A．﹣10B．﹣10或﹣3C．﹣3D．﹣10或﹣4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：2x﹣2﹣5x﹣5=m，即﹣3x﹣7=m，由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，即x=1或x=﹣1，把x=1代入整式方程得：m=﹣10，把x=﹣1代入整式方程得：m=﹣4，故选：D．第8页（共29页）【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．（2016秋•娄星区期末）已知关于x的方程﹣=0的增根是1，则字母a的取值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】去分母得出整式方程，把x=1代入整式方程，即可求出答案．【解答】解：﹣=0，去分母得：3x﹣（x+a）=0①，∵关于x的方程﹣=0的增根是1，∴把x=1代入①得：3﹣（1+a）=0，解得：a=2，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的增根，能理解增根的意义是解此题的关键．15．（2017春•锦江区期末）解关于x 的方程=产生增根，则常数a的值等于（）A．2B．﹣3C．﹣4D．﹣5【分析】先把分式方程化为整式方程得到x=a+6，由于原分式方程有增根，则增根只能为2，然后在整式方程中当x=2时，求出对应的a的值即可．【解答】解：去分母得x﹣6=a，第9页（共29页）解得x=a+6，因为关于x 的方程=产生增根，所以x=2，即a+6=2，解得a=﹣4．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的增根：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．16．（2016秋•孝南区期末）如果方程有增根，那么m的值为（）A．1B．2C．3D．无解【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得x=3m．∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣3）=0，解得x=3．m=x=1，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．第10页（共29页）17．（2016秋•肇源县期末）去分母解关于x 的方程=时产生增根，则m的值为（）A．m=1B．m=﹣1C．m=2D．m无法求出【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：x﹣3=m，解得：x=m+3，由分式方程有增根，得到x=2，则有m+3=2，解得：m=﹣1，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．18．（2017春•东阳市期末）已知关于x 的方程有增根，则k=（）A．﹣1B．1C．﹣2D．除﹣1以外的数【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x﹣1=0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．【解答】解：去分母得：k+1=﹣x，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，把x=1代入整式方程得：k=﹣2，故选：C．第11页（共29页）【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．19．（2017春•历下区期末）若关x 的分式方程﹣1=有增根，则m的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：2x﹣x+3=m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：m=6，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．（2017春•普宁市期末）若分式方程=2+有增根，则a的值为（）A．5B．4C．3D．0【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：x+1=2x﹣8+a，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：a=5，第12页（共29页）故选：A．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21．（2017春•昆山市期末）若分式方程+1=有增根，则a的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据分式方程增根的定义进行选择即可．【解答】解：∵分式方程+1=有增根，∴x﹣3=0，∴x=3，∴1+x﹣3=a﹣x，∴a=4，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解题的关键．22．（2017秋•滦南县期中）若关于x 的分式方程=有增根，则m的值是（）A．﹣3B．1C．2D．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．【解答】解：去分母得：x﹣2=m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，第13页（共29页）把x=3代入整式方程得：m=1，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．23．（2017秋•新泰市期中）若关于x 的方程﹣=0有增根，则m的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：m﹣1﹣x=0，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，把x=1代入整式方程得：m=2，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．24．（2017秋•文登区期中）关于x 的方程有增根，则m的值为（）A．﹣4B．6C．﹣4和6D．0【分析】把所给方程转换为整式方程，进而把可能的增根代入求得m的值即可．【解答】解：最简公分母为x2﹣4，当x2﹣4=0时，x=±2．去分母得：2（x+2）+mx=3（x﹣2），第14页（共29页）当增根为x=2时，8+2m=0，解得m=﹣4；当增根为x=﹣2时，﹣2m=3×（﹣4），解得m=6；故选：C．【点评】考查增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．25．（2017秋•环翠区校级期中）若关于x 的方程+1=0有增根，则a的值是（）A．1B．﹣1C．3D．4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：分式方程去分母得：ax﹣1+x﹣1=0，整理得：（a+1）x=2，由分式方程有增根，得到a+1=0，即a=﹣1，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．26．（2017春•桑植县期中）若分式方程有增根，则a的值是（）A．1B．0C．﹣1D．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计第15页（共29页）算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：1+3x﹣6=a﹣x，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入得：1+6﹣6=a﹣2，解得：a=3，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．27．（2017春•江阴市期中）若关于x 的分式方程=2﹣有增根，则m的值为（）A．﹣3B．2C．3D．不存在【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得x=2（x﹣3）+m，方程化简，得m=﹣x+6∵原方程增根为x=3，∴把x=2代入整式方程，得m=3，故选：C．第16页（共29页）【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．28．（2017春•江阴市校级月考）若关于x的分式方程=3﹣有增根，则m的值为（）A．﹣5B．5C．2D．不存在【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：x=3x﹣15+m，由分式方程有增根，得到x﹣5=0，即x=5，把x=5代入整式方程得：m=5，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．29．（2017春•吴江区校级月考）如果关于x 的方程=1﹣有增根，那么m的值等于（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．3【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边同乘以x﹣3，得第17页（共29页）2=x﹣3﹣m①．∵原方程有增根，∴x﹣3=0，即x=3．把x=3代入①，得m=﹣2．故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．30．（2017秋•太仓市校级月考）若分式方程=﹣2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．1D．﹣1【分析】先把分式方程化为整式方程得到m=x﹣1﹣2（x﹣2），再利用增根的定义得到x=2，然后把x=2代入m=x﹣1﹣2（x﹣2）中可计算出m的值．【解答】解：去分母得m=x﹣1﹣2（x﹣2），因为原方程有增根，则增根为x=2，把x=2代入m=x﹣1﹣2（x﹣2）得m=2﹣1=1．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．第18页（共29页）31．（2017春•南关区校级月考）若分式方程+2=0有增根，则a的值是（）A．a=2B．a=C．a=﹣D．a=﹣3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：ax+2a+1+2x2﹣8=0，由分式方程有增根，得到x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4a+1=0，即a=﹣；把x=﹣2代入整式方程，无解，则a的值为﹣，故选：C．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．32．（2017春•惠安县校级月考）若关于x 的分式方程+1=有增根，则k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．3【分析】去分母化分式方程为整式方程，将增根x=2代入整式方程即可得．【解答】解：去分母，得：3+x﹣2=k，∵分式方程有增根，∴增根为x=2，第19页（共29页）将x=2代入整式方程，得：k=3，故选：D．【点评】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键．33．（2017春•下城区校级月考）若分式方程=3+有增根，则a的值为（）A．4B．2C．1D．0【分析】根据分式方程的解法即可求出a的值．【解答】解：去分母可得：x=3（x﹣4）+ax=把x=代入x﹣4=0，由于方程有增根，∴x﹣4=0∴﹣4=0，解得：a=4故选：A．【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．34．（2017秋•浦东新区月考）关于x 的分式方程有增根，则m的值为（）第20页（共29页）A．2B．﹣1C．0D．1【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得2x+m﹣3=3x﹣6∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2=0，解得x=2，当x=2时，4+m﹣3=0．解得m=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．35．（2017春•雁塔区校级月考）已知关于x 的方程有增根，则m的值为（）A．﹣3B．1C．1或0D．3或﹣5【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x（x﹣1）=0，得到x=0或x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘x（1﹣x），得3（x﹣1）+6x=x﹣m，第21页（共29页）化简，得8x=3﹣m．∵原方程有增根，∴最简公分母x（1﹣x）=0，解得x=0或x=1，当x=0时，m=3，当x=1时，m=﹣5．故m的值为3或﹣5．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．二．填空题（共13小题）36．（2013秋•祁阳县校级期中）若方程有增根，则a的值可能是6．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣5）（x﹣6）=0，得到x=5或6，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣5）（x﹣6），得x（x﹣6）=（x﹣a）（x﹣5）∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣5）（x﹣6）=0，第22页（共29页）解得x=5或6，当x=5时，﹣1=0，这是不可能的．当x=6时，a=6，故a的值可能是6．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．37．（2009•邵东县自主招生）38．（2007•福州校级自主招生）若方程有增根x=2，则m=﹣6．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x﹣m﹣x（x+2）=2（x+2）（x﹣2）∵原方程增根为x=2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣6．【点评】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．第23页（共29页）39．（2005•烟台）已知方程有增根，则k=﹣．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（2+x）（2﹣x）=0，所以增根是x=2或﹣2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【解答】解：方程两边都乘（2+x）（2﹣x），得1+2×（2+x）（2﹣x）=﹣k（2+x）∵原方程有增根，∴最简公分母（2+x）（2﹣x）=0，∴增根是x=2或﹣2，当x=2时，k=﹣；当x=﹣2时，k无解．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．40．已知分式方程有增根，则a=0．【分析】先求得增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入求得a的值即可．【解答】解：∵有增根，第24页（共29页）∴x=﹣3或3，3a﹣a|x|=x2+4x+3，即x2+4x+3=0，解答x=﹣1或﹣3，∴﹣3为增根，原方程的解为：x=﹣1，当x=﹣1时，原分式方程为：，∴a=0．故答案为：0．【点评】本题考查分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．41．（2017•沭阳县校级二模）42．（2017•宿迁）若关于x 的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程可得：m=1，故答案为：1．第25页（共29页）【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．43．（2017•黄石港区校级模拟）若关于x 的方程有增根，则m的值是4．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣2）=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得x+2=m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）=0，解得x=2，当x=2时，m=2+2+4，故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．46．（2017春•姑苏区期末）47．（2017春•金堂县期末）若关于x 的分式方程+=3有增根，则a=4．【分析】根据解分式方程的步骤可得到一个一元一次方程，由条件可知该方程的根即分式的第26页（共29页）分母为0的值，可求得a的值．【解答】解：方程两边同时乘（x﹣1），可得1﹣ax+3x=3（x﹣1），整理可得ax=4，∵分式方程有增根，∴方程的根为x=1，∴a=4，故答案为：4【点评】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根使其分母为0是解题的关键．48．（2017春•峄城区期末）三．解答题（共2小题）49．当k为何值时，关于x 的方程=+1，（1）有增根；（2）解为非负数．【分析】（1）根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为非负数求出k 的范围即可．【解答】解：（1）分式方程去分母得：（x+3）（x﹣1）=k+（x﹣1）（x+2），由这个方程有增根，得到x=1或x=﹣2，第27页（共29页）将x=1代入整式方程得：k=0（舍去）；将x=﹣2代入整式方程得：k=﹣3，则k的值为﹣3．（2）分式方程去分母得：（x+3）（x﹣1）=k+（x﹣1）（x+2），去括号合并得：x=k+1，根据题意得：k+1≥0且k+1≠1，k+1≠﹣2，解得：k≥﹣1且k≠0，k≠﹣3．故当k≥﹣1且k≠0时，关于x 的方程=+1解为非负数．【点评】此题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，弄清题意是解本题的关键．50．（2017秋•凤庆县期末）若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出m的值即可．【解答】解：去分母得：2x+4+mx=3x﹣6，由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）=0，解得：x=2或x=﹣2，当x=2时，4+4+2m=0，即m=﹣4；当x=﹣2时，﹣2m=﹣12，即m=6，综上，m的值是﹣4或6．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式第28页（共29页）方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．第29页（共29页）。

分式方程的无解与增根(用)

Fra bibliotek（×）
2、无例解的分如式方：程就一x定-有3增根。 0；
（ ×）
X=-3
3、分式方程(若x有增3)根(，x-增1根) 代入最简公
分母中，例其值如一定：为20。=0 0X=2
（√）
x 4、使分式方程的分母等于0的未知数的值
一定是分式方程的增根。
（×）
1 4x2
2
k x2
例3：已知关于x的方程有增根，求实数K的值。
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化二解
目标
a是分式方程的解
最简公分母不为０
X=a
检验最简公分母为０
三检验
a不是分式方程的解
a就是分式方程的增根
例1 解方程：
2 4x 3
x2 x 4 x2 解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得
2
2(x+2)-4x=3(x-2)．
解这个方程，得x=2．
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，
所以x=２是增根，原方程无解．
所以原分式方程无解．
例2 解方程：
x -1=3-x +2 x+2 x+2
解：方程两边都乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2)
整理得 0x＝8．
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。
01
分式方程的增根是在分式方程化为整式方程的过程中，整式方程的解使最简公分母为0的未知数的值。

分式方程中增根问题的探究(教案)

-难点2：求解含增根方程时，需要先将方程化为同分母，然后通过分析可能产生增根的值，排除这些值，得到正确解。例如，在上述方程中，先将方程两边同时乘以$(x-2)(x+1)$，然后排除$x=2$和$x=-1$这两个值。
-难点3：针对实际问题，如速度、浓度等问题，学生需要根据实际情况构建分式方程，并注意避免增根。例如，在求解两个物体同时从不同地点出发，相向而行的问题时，学生需要建立正确的分式方程，并考虑到物体相遇时的时间不能为零。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了分式方程中的增根问题。这个概念对学生来说可能有些抽象，但我发现通过实际例子的引导，学生们能够逐渐理解增根的含义及其在方程求解过程中的影响。我尝试了不同的教学方法，有一些收获和反思。
首先，我发现当学生们面对具体的分式方程时，他们能够更好地理解增根的概念。通过将抽象的理论与具体的案例结合起来，学生们能够看到增根是如何产生的，以及我们如何避免它们。这种方法有助于学生将理论知识与实际应用联系起来，增强了他们对知识点的记忆和理解。
（4）培养学生分析问题、解决问题的能力，特别是在面对含增根的分式方程时。
2.教学难点
（1）识别增根产生的具体原因，如分母为零的情况，以及如何通过变换避免；
（2）对于含增根的分式方程，如何进行有效求解，特别是在涉及到多个增根的情况下；
（3）在实际问题中，如何构建分式方程并避免增根问题。
举例：
-难点1：分析产生增根的原因，如对于方程$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{x+1}$，学生需要理解当$x=2$或$x=-1$时，分母为零，从而导致增根。难点在于引导学生发现并排除这些值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调增根的定义和避免增根的方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和对比来帮助大家理解。

分式方程的增根与无解问题专题练习(解析版)

分式方程的增根与无解问题专题练习一、分式方程的增根问题 1、关于x 的分式方程522x mx x -=++有增根，则m 的值为（）．A. 0B. -5C. -2D. -7答案：D解答：原分式方程去分母得：x -5=m ， ∵方程有增根， ∴x +2=0即x =-2， ∴m =-2-5=-7．选D.2、关于x 的方程1xx --1=()()21a x x +-有增根，那么a =（）．A. -2B. 0C. 1D. 3答案：D解答：去分母得：x （x +2）-（x +2）（x -1）=a ，由分式方程有增根，得到x +2=0或x -1=0，解得：x =-2或x =1，把x =-2代入整式方程得：a =0，经检验不合题意，舍去；把x =1代入整式方程得：a =3，选D3、已知关于x 的方程22x mx +-=3有增根，则m 的值为______．答案：-4 解答：∵22x mx +-=3， ∴2x +m =3x -6， ∴x =m +6．又∵有增根， ∴m +6=2， ∴m =-4．4、若分式方程2111x m x x ----=1有增根，则m 的值是______．答案：3 解答：2111x m x x ----=1，同乘以x -1得： 2x -（m -1）=x -1， 2x -x =-1+m -1， x =m -2．∵该分式方程存在增根，即x -1=0，x =1， ∴m -2=1， ∴m =3．5、已知关于x 的分式方程1x mx +-=2有增根，则m 的值为______．答案：-1解答：原方式可化为2（x -1）=m +x ．当原分式方程有增根时，x =1．将x =1代入得m +1=0．解得m =-1． 6、已知关于x 的方程311x kx x ----=2有增根，则增根为______，k 的值为______．答案：1；-2解答：原方程去分母，整理，得k =-x -1． ∵原方程有增根，而原方程的最简公分母为x -1． ∴由x -1=0可知原方程的增根为x =1．当x =1时，k =-1-1=-2．因此，原方程的增根为1，k 的值为-2．故答案为：1；-2． 7、若关于x 的分式方程12x x ++=2mx -有增根，则增根为______．答案：2或-2解答：∵原方程有增根， ∴最简公分母（x +2）（x -2）=0，解得x=-2或2．故答案为2或-2．8、已知方程21 4x-+2=2kx-有增根，则k=______．答案：1 4解答：原方程去分母，得1+2（x2-4）=k（x+2）①，∵原方程有增根，∴x+2=0或x-2=0，∴x=-2或2．把x=-2代入①，得，方程无解．把x=2代入①，得，1+2×（22-4）=k（2+2），解得k=14．故答案为14．9、若关于x的方程21x x -+25kx x-+=211kx--有增根，则k的值为______．答案：3，6或9解答：去分母，得：x+1+（k-5）（x-1）=（k-1）x ①若x=1为增根，则：1+1+0=k-1，k=3，②若x=-1为增根，则：-1+1-2（k-5）=-（k-1），得：k=9，③若x=0为增根，则：0+1-（k-5）=0，k=6，综上，k的值为3，6或9．10、若关于x 的分式方程2611mx x ---=1有增根，则增根是______．答案：x =1解答：去分母，得：6-m （x +1）=x 2-1，移项，得：7-m （x +1）=x 2，当x =-1时，原方程无解，则x =1为原方程的增根． 11、关于x 的分式方程12mx x +-=-1有增根，求m 的值．答案：-12．解答：方程两边都乘（x -2），得mx +1=-（x -2）， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -2=0，解得x =2，当x =2时，2m +1=-（2-2），解得m =-12． 12、若关于x 的方程33x -+29ax x -=43x +有增根，求a 的值．答案：a =-6或a =8．解答：化为整式方程得：3（x +3）+ax =4（x -3），整理得ax =x -21，再将x =3，x =-3分别代入ax =x -21中，得a =-6或a =8．二、分式方程的无解问题 13、关于x 的方程321x x -+=2+1mx +无解，则m 的值为（）．A. -5B. -8C. -2D. 5答案：A解答：去分母得：3x -2=2x +2+m ，由分式方程无解，得到x +1=0，即x =-1，代入整式方程得：-5=-2+2+m ，解得：m =-5，选A.14、若分式方程31xx+=1mx++2无解，则m=（）．A. -3B. -2C. -1D. 0答案：A解答：31xx+=1mx++2，3x=m+2x+2，x=m+2，∵x=-1是原方程的增根，原方程无解，∴m+2=-1，∴m=-3．选A.15、关于x的分式方程23m xx+--1=2x无解，则m的值为（）．A. -1.5B. 1C. -1.5或2D. -0.5或-1.5答案：D解答：23m xx+--1=2x，方程两边都乘以x（x-3），得：x（x+2m）-x（x-3）=2（x-3），整理，得：（2m+1）x=-6，x=-621 m+，∵原分式方程无解，∴2m+1=0或-621m+=3或-621m+=0．解得：x=-0.5或x=-1.5，选D.16、关于x的方程12xx--=1mx-+1无解，则m的值是（）．A. 0B. 0或1C. 1D. 2答案：B解答：解分式方程12xx--=1mx-+1，整理得（x-1}）2}=m（x-2）+（x-1）（x-2），（1-m ）x =1-2m ，当m =1时，整式方程无解；当m ≠1时，x =121mm--． ∵当x =1或x =2时，x 为原方程的増根，当x =1时，解得m =0；当x =2时，方程121mm--=2无解． ∴当m =0或1时，原方程无解，选B.17、若关于x 的方程323x x --+23mxx+-=-1无解，则m 的值为（）．A. 3B. -3C. -53或-1 D. 0答案：C解答：去分母得：3-2x -2-mx =-x +3整理为：（）（1+m ）x =-2 该整式方程无解时，原分式方程无解，此时m =-1该整式方程有解，此解恰好是原分式方程的增根，此时m =-53． 18、若分式方程31a x --=2无解，则a =______．答案：3 解答：31a x --=2，解得：a =2x +1， ∵x =1时，方程无解， ∴a =2×1+1=3． 19、若方程52m x --+1=12x -无解，则m =______．答案：4 解答：52m x --=12x --1． 52m x --=()122x x ---．52m x --=32x x --．5-m =3-x ． x =-2+m ．当x =2时，方程无解． ∴-2+m =2． ∴m =4．20、若关于x 的方程3m x -+2=43xx --无解，则m 的值为______．答案：1 解答：3m x -+2=43xx -- m +2（x -3）=4-x m +2x -6=4-x 3x =10-m∵方程无解，可知x =3． ∴9=10-m ， ∴m =1．21、若关于x 的分式方程1x k x +-=4x+1无解，则k 的值是______．答案：3或-1解答：化整式方程得：x 2+kx =4x -4+x 2-x ，化简得：（k -3）x =-4．当k -3=0时，整式方程无解，即k =3时，分式方程无解．当k -3≠0时，整式方程的解x =43k-为分式方程增根1时，即k =-1时分式方程无解， ∴k =3或-1．22、若关于x 的分式方程23kx x -+532x-=4无解，则k 的值为______．答案：8或103解答：去分母，得：kx -5=4（2x -3）， kx -5=8x -12， kx -8x =-7，当k =8时，原方程无解，当k ≠8时，x =78k --， ∵无解， ∴2x -3=0，∴x =32， ∴78k --=32， ∴k =103，综上，k 的值为8或103． 23、关于x 的方程2ax x -=42x -+1无解，求a 的值．答案：a =1或2．解答：方程去分母得：ax =4+x -2，解得：（a -1）x =2，∴当a -1=0即a =1时，整式方程无解，分式方程无解，当a ≠1时，x =21a -， x =2时分母为0，方程无解，即21a -=2，a =2时方程无解，综上，当a =1或2时，原分式方程无解． 24、已知关于x 的分式方程2211a a x x x x---++=0无解，求a 的值．答案：a =12，0，-1时，原方程无解．解答：方程两边同时乘x （x +1），得： ax -（2a -x -1）=0，整理得（a +1）x =2a -1，当a =-1时，整式方程无解，原分式方程无解；当整式方程的解是原分式方程的增根时，将x =0或x =-1代入整式方程，解得a =12或a =0．综上所述，a =-1，12或0．。

分式方程有增根的例题

1、分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫做分式方程2、解分式方程（1）解分式方程的基本思想:“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了．（2）解分式方程的步骤：①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．3、分式方程的应用其方法和步骤可归纳如下（1）审清题意，分清已知量和未知量；（2）设未知数；（3）根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；（4）解方程，并验根；（5）写出答案．【例1】如果关于x 的方程2133m x x =---有增根，则m 的值为（）．A ．2B ．3C ．2-D ．3-【难度】★★【答案】C【解析】方程两边同时乘以3x -，可得：m x --=32，因为方程有增根，所以3=x 是这个方程的解，所以m --=332，则2-=m ．【总结】考察分式方程的解法和增根的定义．【例2】解方程：2236111x x x +=+--；【难度】★★【答案】无解；【解析】方程两边同时乘以12-x 可得：()()61312=++-x x 整理可得：55=x ，解得：1=x 经检验，1=x 是原方程的增根，所以方程无解．知识精讲例题解析【例3】若关于x 的方程223242mx x x x -=--+会产生增根，求m 的值．【难度】★★★【答案】64-=或m ．【解析】方程两边同时乘以()()22+-x x ，可得：()()2322-=-+x mx x ，因为方程有增根，所以2=x 或2-=x 是这个方程的解当2=x 是这个方程的解，则可得028=-m ，所以4=m 当2-=x 是这个方程的解，则可得122-=m ，所以6-=m 所以方程的解为64-=或m ．【总结】本题主要考察分式方程的增根的定义．【作业1】方程361(1)x m x x x x ++=--有增根，求m 的值？【难度】★★★【答案】53或-=m ．【解析】方程两边同时乘以()1-x x 可得：()m x x x +=+-613，解得：83+=m x ，因为方程有增根，所以0=x 或1=x ，当0=x ，所以083=+m ，则3-=m ，当1=x ，所以183=+m ，则5=m ，所以53或-=m ．【总结】考察分式方程增根的定义课后作业。

分式方程解法及增根问题例题

分式方程解法及增根问题例题分式方程解法及增根问题例题在代数学中，分式方程是指方程中含有分式的方程。

在解分式方程时，通常需要使用增根和减根的方法。

本文将介绍分式方程的解法以及增根问题，并提供一些例题进行讲解。

一、分式方程的解法解分式方程的一般步骤如下：1. 化简分式：将分式方程中的分式进行化简，使方程变得更加简单。

2. 通分：将方程中的分式通分，使得方程中的分母相同，便于计算和化简。

3. 求解：利用通分后的方程，进行运算和求解，得出方程的解。

对于分式方程 3/(x+2) = 1/(x-1)，首先可以将分式进行通分，得到3(x-1) = (x+2)。

然后进行计算和求解，得出 x 的值。

二、增根问题在解分式方程时，经常会遇到增根问题。

增根指的是在解出方程的根之外，还需要添加一些特殊的值，以满足方程的条件。

解决增根问题的一般步骤如下：1. 求解得到普通根：按照正常的解方程方法，求解得到方程的普通根。

2. 分析增根条件：分析方程中是否存在增根的条件，例如分式方程中的分母不能为零等条件。

3. 添加增根：根据增根的条件，添加符合条件的增根，让方程能够满足所有条件。

对于分式方程 1/(x-3) = 2/(x+2)，首先可以求解得到普通根 x=4。

然后分析发现，当 x=3 时，方程中的分母为零，因此需要添加增根 x=3，才能满足方程的条件。

三、例题讲解现在，我们通过一些例题来具体讲解分式方程的解法和增根问题。

例题1：解方程 2/(x-1) - 3/(x+2) = 1/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：2(x+2) - 3(x-1) = (x-3)2. 化简得到普通根：2x+4 - 3x+3 = x-33. 求解得到普通根：-x+7 = x-3，得到 x=54. 分析增根条件：当 x=1 时，分式中的分母为零。

5. 添加增根：添加增根 x=1，使得方程满足所有条件。

例题2：解方程 1/(x-2) + 2/(x+1) = 3/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：(x-2) + 2(x-3) = 3(x+1)2. 化简得到普通根：x-2 + 2x-6 = 3x+33. 求解得到普通根：3x-8 = 3x+3，得到矛盾4. 分析增根条件：由于方程中出现了矛盾，需要分析增根条件。

知识点143 分式方程的增根(解答)

知识点143 分式方程的增根(解答)1、m2、m3的关系是m3=m1+m2﹣15 ．考点：分式方程的增根。

专题：计算题。

分析：解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a，b，c 且a+b=c，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．解答：解：探究1：方程两边都乘（x﹣3），得3x+5（x﹣3）=﹣m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣3）=0，解得x=3，当x=3时，m=﹣9，故m的值是﹣9．探究2：方程两边都乘（x﹣3），得3x+5（x﹣3）=﹣m∵原方程的根为x=﹣1，∴m=23，探究3：由（1）（2）得x=，方程的三个对应根为a，b，c且a+b=c，即可得出对应的m，m1=15﹣8a，m2=15﹣8b，m3=15﹣8c，探究4：∵a+b=c，∴+=，整理得m3=m1+m2﹣15，故答案为m3=m1+m2﹣15．点评：本题考查了分式方程的增根，解分式方程要验根，但解含有字母参数的分式方程不用验根．17．解方程：=1+．考点：分式方程的增根。

专题：计算题。

分析：找到最简公分母（y+2）（y﹣2），方程两边同乘以最简公分母，然后化为整式方程求解．解答：解：去分母得：y+2=y2﹣4+4，…（2分）∴y2﹣y﹣2=0，…（1分）∴y1=2，y2=﹣1，…（2分）经检验知：y1=2是增根，舍去，y2=﹣1是原方程的根，…（1分）∴原方程的根是y=﹣1．点评：本题考查了分式方程的解法以及分式方程的增根，注：解分式方程要检验．18．已知方程有增根x=1，求k的值．考点：分式方程的增根。

专题：计算题。

分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，得到x=1或﹣1，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．解答：解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+k（x+1）=6∵原方程有增根x=1，∴当x=1时，k=3，故k的值是3．点评：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．19．使分式方程产生增根，则k的值为﹣8或8 ，增根为x=﹣4或4 ．考点：分式方程的增根。

解分式方程及增根,无解的典型问题含答案

分式方程1. 解分式方程思路是：（1）在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2）解这个整式方程。

（3）把整式方程根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零根是原方程增根，必须舍去。

（4）写出原方程根。

“一化二解三检验四总结”例1：解方程（1）增根是使最简公分母值为零未知数值。

（2）增根是整式方程根但不是原分式方程，所以解分式方程一定要验根。

例2：解关于x 方程有增根，则常数a 值。

解：化整式方程(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a =所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把增根代入整式方程求出字母值。

例3：解关于x 方程无解，则常数a 值。

解：化整式方程(1)10a x -=-当10a -=时，整式方程无解。

解得1a =原分式方程无解。

当10a -≠时，整式方程有解。

当它解为增根时原分式方程无解。

把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。

综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程解为增根。

例4：若分式方程解是正数，求a 取值范围。

解：解方程且2x ≠，由题意得不等式组：解得2a <且4a ≠-思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 值是多少？方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。

2.根据题意列不等式组。

当堂检测1. 解方程答案：2x =是增根原方程无解。

2. 关于x 方程有增根，则a =-------答案：73. 解关于x 方程下列说法正确是（C ）A.方程解为5x m =+B.当5m >-时，方程解为正数C.当5m <-时，方程解为负数D.无法确定4.若分式方程无解，则a 值为-----------答案：1或-15. 若分式方程有增根，则m 值为-------------答案：-16.分式方程有增根，则增根为------------答案：2或-17. 关于x方程有增根，则k值为-----------答案：18. 若分式方程无解，则a值是----------答案：09.若分式方程无解,则m取值是------答案：-1或1 -210. 若关于x方程无解，则m值为-------答案：6，1011. 若关于x方程无解，求m值为-------答案：12.解方程答案13．解方程14. 解方程15. 解方程16. 关于x方程有增根，则m值-----答案：m=2或-217.当a为何值时，关于x分式方程无解。

(完整版)分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解甲：增根是什么？乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如例1、解方程：。

①为了去分母，方程两边乘以，得②由②解得。

甲：原方程的解是.乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。

哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦?乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。

甲:那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。

这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。

甲:如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？乙:很简单,两个字：检验。

可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。

甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。

甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此,这个方程也无解.甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看：例2、解方程,去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程,去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。

乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：例3、已知关于x的方程有增根，求k的值.首先把原方程去分母，化为。