高二数学理综合卷1(含答案)

高二数学（理）综合试卷1一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知命题p ：13x <<，q ：31x>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.在三棱锥A -BCD 中，E 是CD 的中点，且2=，则=（ ）A ．212121++ B ．212121++- C. 313131++ D ．313131++-3.设数列{a n }满足32111232n n a a a a n +++=-，则a n =（ ） A. 112n -B. 312n -C. 12nD. 2n n4.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边， cosA=54，c =2，△ABC 的面积S=6，则a 的值为（ ）A. 234B.45C. 62D. 725. 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是 A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．01232=-+y xD ．082=-+y x6.下列有关命题的叙述错误的是（ ）A 、对于命题P ：R x ∈∃，使得x 2+x+1＜0，则 ¬P 为：R x ∈∀，均有x 2+x+1≥0B 、命题“若x 2-3x+2=0，则x=1的逆否命题为“若x≠1，则x 2-3x+2≠0””C 、若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D 、“x ＞2”是x 2-3x+2＞0的充分不必要条件 7.若两个正实数x ,y 满足141x y +=,且不等式234yx m m +<-有解,则实数m 的取值范围是( ) A.(－1,4) B.(－∞,－1)∪(4,+∞) C. (－4,1) D. (－∞,0)∪(3,+∞)8.函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图像大致是( )A. B.C. D.9.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为A．2B．1 2C．1 3D．1 410.设x，y满足约束条件60330x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x yzx++=+的取值范围是A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C．[－8，1]D．[－10，－1]11.已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）=（）A．B．C．1 D．012.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.数列{}n a 的通项公式为2141n a n =-，则其前n 项和为_______________.14.已知实数x ＞0，y ＞0，且满足24xy x y ++=，则x ＋2y 的最小值为________。

15.已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP △的面积为______．16.已知函数f (x )=x (ln x ﹣ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,其它每题12分，共70分）17.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且m ∥n .（1）求锐角B 的大小;（2）若2b =,求△ABC 面积的最大值.18.已知数列{a n }满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足12n nnb a =⋅，求数列{b n }的前n 项和S n .19.四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，P A =2，PB =PD =22，E ，F ，G ，H 分别为棱P A ，PB ，AD ，CD 的中点．（1）求CD 与平面CFG 所成角的正弦值；（2）探究棱PD 上是否存在点M ，使得平面CFG ⊥平面MEH ，若存在，求出PDPM的值；若不存在，请说明理由．20.已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点()()001,0P y y >在椭圆上，且2PF x ⊥轴，12PF F △的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）E ，F 是椭圆C 上异于点P 的两个动点，如果直线PE 与直线PF 的倾斜角互补，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………21.某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π．设圆柱体的底面半径为x ，圆柱体的高为h ，瓶体的表面积为S ． （1）写出S 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积S 最小，并求出最小值．22.设函数2()ln =-f x a x bx ，,a b R ∈ （1）若函数)(x f 在1x =处与直线21-=y 相切； ①求实数,a b 的值；②求函数],1[)(e ex f 在上的最大值;（2）当0b =时，若不等式x m x f +≥)(对所有的(]2,1],23,0[e x a ∈∈都成立，求实数m 的取值范围.试卷答案1.A2.C故选C。

3.D①当n 时，②，①- ②：，故（n ），当n=1时，，故选D.4.C5.D6.C7.B8.A9.C○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………10.A 11.C【考点】63：导数的运算；3T ：函数的值． 【分析】为一常数，所以先对f （x ）求导，在将x=代入即可求出，进一步可求出【解答】解：， 所以=﹣，所以，所以故选C 12.A【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算．【分析】根据函数求导法则，把x ＞0时xf′（x ）﹣f （x ）＜0转化为在（0，+∞）内单调递减；由f （2）=0，得f （x ）在（0，+∞）内的正负性； 由奇函数的性质，得f （x ）在（﹣∞，0）内的正负性． 从而求得x 2f （x ）＞0的解集．【解答】解：∵当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴＜0，即[]′＜0，∴在（0，+∞）内单调递减．∵f （2）=0，∴在（0，2）内f （x ）＞0；在（2，+∞）内f （x ）＜0． 又∵f （x ）是R 上的奇函数，∴在（﹣∞，﹣2）内f （x ）＞0；在（﹣2，0）内f （x ）＜0． 又不等式x 2f （x ）＞0的解集，即不等式f （x ）＞0的解集．∴解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选：A ． 13. 21nn + 14.，则，设，则由已知可得 解得 ，当且仅当即时等号成立即答案为15.36设抛物线的解析式()220y px p =>，则焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2px =-，直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点， 又AB x ⊥轴，212AB p ∴==，6p ∴=，又点P 在准线上，设过点P 的垂线与AB 交于点D ，622p pDP p ∴=+-==， 116123622ABP S DP AB ∴=⋅⋅=⨯⨯=△．故答案为36．16. (0，21)f (x )=x (ln x ﹣ax )，．令，○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∵函数f (x )=x (ln x ﹣ax )有两个极值点，则在区间上有两个实数根． ，当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去．当a ＞0时，令，解得．令，解得，此时函数单调递增； 令，解得，此时函数单调递减．∴当时，函数取得极大值．当x 趋近于0与趋近于时，→，要使在区间上有两个实数根，则，解得．∴实数的取值范围是(0，21). 17.（1）∵//m n ,∴02cos 3)1cos 2(sin 22=+-B B B , +1分 ∴tan 23B = +3分 又∵B 为锐角,∴()20,B π∈, ∴223B π=,∴3B π=. +5分 ∵3B π=,2b =,由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=,得2240a c ac +--=. +7分又222a c ac +≥,代入上式,得4ac ≤,当且仅当2a c ==时等号成立. +9分 故13sin 324ABC S ac B ac ∆==≤当且仅当2a c ==时等号成立,即ABC S ∆的最大值为3. +10分 18.（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n na a +-=，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， ∴()111122n n n a a =+-=，即12n a n=； （2）∵22n n nb =， ∴1221231222n n n n S b b b -=+++=++++， 则23112322222n n n S =++++， 两式相减得23111111112122222222n n n nn n nS -⎛⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭， ∴1242n n nS -+=-. 19.（1）∵四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，∴PA 2+AB 2=PB 2，PA 2+AD 2=PD 2，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ， 2分 ∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，∵E ，F ，G ，H 分别为棱PA ，PB ，AD ，CD 的中点． ∴C （2，2，0），D （0，2，0），B （2，0，0）， P （0，0，2），F （1，0，1），G （0，1，0）， =（﹣2，0，0），=（﹣1，﹣2，1），=（﹣2，﹣1，0），设平面CFG 的法向量=（x ，y ，z ）， 4分…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 则，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3）， 设CD 与平面CFG 所成角为θ， 则sinθ=|cos ＜＞|===． ∴CD 与平面CFG 所成角的正弦值为． 6分（2）假设棱PD 上是否存在点M （a ，b ，c ），且，（0≤λ≤1），使得平面CFG ⊥平面MEH ，则（a ，b ，c ﹣2）=（0，2λ，﹣2λ），∴a=0，b=2λ，c=2﹣2λ，即M （0，2λ，2﹣2λ）， E （0，0，1），H （1，2，0），=（1，2，﹣1），=（0，2λ，1﹣2λ）， 设平面MEH 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取y=1，得=（，1，）， 9分 平面CFG 的法向量=（1，﹣2，﹣3）， ∵平面CFG ⊥平面MEH ， ∴=﹣2﹣=0， 解得∈[0，1]． ∴棱PD 上存在点M ，使得平面CFG ⊥平面MEH ，此时=． 12分 20.（1）22143x y +=；（2）12． （1）由题意，()11,0F -，()21,0F ，1c =， 12PF F △的周长为6，122226PF PF c a c ∴++=+=， 2a ∴=，3b =，∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）由（1）知31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PE 方程：()312y k x =-+，联立22341232x y y kx k +=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩， 消y 得()()22233443241202k x k k x k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭， 设(),E E E x y ，(),F F F x y ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，2234122134E k x k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴⋅=+，22412334E k kx k --∴=+，32E E y kx k =+-，又直线PF 的斜率与PE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，22412334F k k x k +-∴=+，32F F y kx k =-++，()()222862213424234F E F E EF F E F E k k kk x x k y y k k k x x x x k --⋅+-++-+∴====--+，即直线EF 错误!未找到引用源。