题型训练21 规律探索题(答案)

题型训练21 规律探索题（1页） 命题点1 数式规律探索
1. 3（n-2）(或3（n-1）+1) 【解析】通过观察得出：依次为1，4，7，…，的一列数是首项为1，公差为3的等差数列，所以第n 个数为：1+（n-1）×3=3n-
2.
2. 41400
-
3. 82
+92
+722
=732
【解析】∵12
+22
+22
=32
，22
+32
+62
=72
，32
+42
+122
=132
，42
+52
+202
=212
，…，
∴第8个等式为：82+92+（8×9）2=（8×9+1）2，即82+92+722=732
．
【技巧点拨】观察不难发现，两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大1的数的平方，然后写出即可．
4. a 10-b 20【解析】∵第1个多项式为：a 1+b 2×1，第2个多项式为：a 2-b 2×2，第3个多项式为：a 3+b 2×3，第4个多项式为：a 4-b 2×4，…∴第n 个多项式为：a n +（-1）n+1b 2n
，∴第10个多项式为：a 10-b 20．
5 .1
21
2+-n x n 【解析】首先观察发现分母上的：3，5，7，9，…的规律是：2n+1，再观察发
现分子上的规律是：1
2-n x ,∴依照此规律第n 个数据是1
212+-n x n .
6.66 【解析】本题是一个规律探究性题目，第一位同学的报数为3，第二位同学报数为2，
第三位同学报数为
53，第四位报数为64……则第十位同学报数为1210
，所以从第一位同学报数到第十位同学报数的积为56789101112
3266.345678910
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
【技巧点拨】解答本题可以用错位相消法和数字规律发现隔一个数之间前面一个数的分子和后一个数的分母可以约分.
7.
8. 738 【解析】观察图中的数字得出框中右下角的数字计算分别为：2=1×1+1，30=3×9+3， 130=5×25+5，350=7×49+7，所以在最后一个空格中填上适当的数字为：9×81+9=738. 命题点2 图形规律探索
1.（8052，0）
2.【解析】∵第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为（）1=，第3个正方形的边长为（）2=，…，第n个正方形的边长为（）n﹣1，∴第n个正方形的面积为：[（）2]n﹣1=，则第n个等腰直角三角形的面积为：×=，故第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和S n=+=．
3.（9，6）正东（或右）2n+1
4.2
5. （﹣×4n ﹣1，4n
）【解析】 6. （2，﹣4）【解析】如图所示，点P 6与点P 重合，∵2013÷6=335…3，∴点P 2013是第336循环组的第3个点，与点P 3重合，∴点P 2013的坐标为（2，﹣4）．
第6题解图 7. 2
()3
n
8.
【解析】∵点B 1是面积为1的等边△OBA 的两条中线的交点，∴点B 1是△OBA 的
重心，也是内心，∴∠BOB 1=30°，∵△OB 1A 1是等边三角形，∴∠A 1OB=60°+30°=90°，∵每构造一次三角形，OB i 边与OB 边的夹角增加30°，∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OB n A n 的边OA n 与等边△OBA 的边OB 第一次重合，∴构造出的最后一个三角形为等边△OB 10A 10．如图，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，∵cos ∠B 1OM=cos30°=
=
，∴
=
=
=
，即
=
，
∴=（
）2
=，即S △OB1A1=S △OBA =，同理，可得
=（
）2
=，即S △OB2A2=S △OB1A1=（）2
=，…，∴S △OB10A10=S △OB9A9=（）10
=
，即构造出
的最后一个三角形的面积是
第8题解图
【技巧点拨】本题考查了等边三角形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，有一定难度．根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△OB 10A 10及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出△OB 1A 1与△OBA 的面积比为，进而总结出规律是解题的关键．
9. 4n 【解析】∵四边形A 0B 1A 1C 1是菱形，∠A 0B 1A 1=60°，∴△A 0B 1A 1是等边三角形． 设△A 0B 1A 1的边长为m 1，则B 1（
，）；代入抛物线的解析式中得：（）
2
=
，解得m 1=0（舍去），m 1=1；故△A 0B 1A 1的边长为1，同理可求得△A 1B 2A 2的边长
为2，…依此类推，等边△A n ﹣1B n A n 的边长为n ，故菱形A n ﹣1B n A n C n 的周长为4n ．
10. 120【解析】本题考查探究问题.解题思路： 由第一个图形可得共有1+2=3个小五角星，第二个图形中共有3×2+2=8个小五角星，第三个图形中共有4×3+3=15，第四个图形中共有5×4+4=24，由此可猜想第10个图形中共有11×10+10=120. 11. 1
-n 43
【解析】本题综合考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质及规律探究.因为平行四边形对角线互相平分，所以其分割的四个三角形的面积相等，所以S ⊿OCD ＝4，又因为点M 1、N 1、P 1分别为线段OD 、DC 、OC 的中点，根据三角形中位线的性质，S ⊿M 1N 1P 1
＝
41⊿OCD ＝1，依次类推，S ⊿M 2N 2P 2＝41S ⊿M 1N 1P 1＝41,……，S ⊿M n-1N n-1P n-1＝4
1n-2，S ⊿M n N n P n ＝41n-1，所以S n -S n-1＝41n-1－41n-2＝1-n 4
3
-。

【难点突破】利用平行四边形的性质及三角形中位线的性质，先从S 1、S 2、S 3开始依次计
算，在计算的过程中会找到规律。

13. （51,50） 【解析】由跳跃规律，知99坐标为（-50,50），把99向右移动101至100，故100A 点坐标为（51,50）.
14. 16. ππ3
5
2-n 【解析】根据弧长公式，得。