微专题——向量在立体几何中的应用

体的体积为( )
A.1 B. 6 C．1 D．2 3 34
答案 A 解析 如图所示，该四面体是棱长均为 2的正四面体 ABCD.设△BCD 的中心为 O，则 AO⊥
平面 BCD，AO 即为该四面体的高．在 Rt△AOB 中，AB＝ 2，BO＝2BE＝2× 3× 2＝ 6，所以 AO＝ 2－6
3 32
B(0,1,0)，C(0,0,0)，
B1(0,1,2)．
→
→
→→
→
→
所以BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，BA1·CB1＝3，|BA1|＝ 6，|CB1|＝ 5，
→→
所以
→→ cos〈BA1，CB1〉＝
BA1·CB1 →→
＝
30. 10
|BA1||CB1|
(3)证明：依题意，得
C1(0,0,2)，M
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向量在立体几何中的应用专题训练
一、选择题 1．向量 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( )
A．a∥b，a∥c
B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b
D．以上都不对
答案 C
解析 因为 c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，所以 a∥c.又 a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以 a⊥b.
EF＝
2 2，
→→
→
→ → EF·DC
DC＝(0,1,0)，∴cos〈EF，DC〉＝ → → ＝－ 2，
2
|EF||DC|
→→
∴〈EF，DC〉＝135°，∴异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°.故选 B.
9．在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中点，AB＝AC
→
|PA·n|
则 sinθ＝ → ＝ 5，∴PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为 5.故选 C.
5
5
|PA||n|
10．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦
值为( )
A.1 B.2 C. 3 D. 2
23 3
0，1，1
→
→ 0，1，0 → －1，1，1
F 2 ，∴PA＝(0,0，－2)，DE＝ 2 ，DF＝ 2 2 .
设平面 DEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
→
n·DE＝0， 则由 →
n·DF＝0，
y＝0， 得
－x＋y＋2z＝0，
取 z＝1，则 n＝(2,0,1)，设 PA 与平面 DEF 所成的角为θ，
y－z＝0， 即 1－1z＝0，
2
y＝2，
∴
∴n1＝(1,2,2)．又平面 ABCD 的一个法向量为 n2＝(0,0,1)，
z＝2.
∴cos〈n1，n2〉＝3×2 1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.故选 B.
11．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，则该四面
2
＝ 3，
2× 3 3
|AE||SD|
故 AE，SD 所成角的余弦值为 3.故选 C. 3
二、填空题
13．在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC 是以 BC 为斜边的等腰直
角三角形，则实数 x 的值为________．
→→
→→ →
→
答案 2 解析 由题意知AB·AC＝0，|AB|＝|AC|，又AB＝(6，－2，－3)，AC＝(x－4,3，－6)，
→ → →→
→
→
由AD⊥BC，得AD·BC＝m－4＝0，∴m＝4，AD＝(－1,1,1)，|AD|＝ 1＋1＋1＝ 3.故选 B.
→ →→
3．[2018·东营质检]已知 A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB的夹角为 120°，则λ的值为( )
A．± 6 B. 6 C．－ 6 D．± 6
→
→
∴AF＝(－1,2,0)，EC＝(0,2,1)，
→→
→ → AF·EC
∴cos〈AF，EC〉＝ → → ＝ 4 ＝4，∴AF 与 CE 所成角的余弦值为4.
5× 5 5
5
|AF||EC|
15.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，则 AC1 与侧面 ABB1A1
(1)求证：GF∥平面 ADE；
(2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值．
解 (1)证明：如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD， 又 G 是 BE 的中点，
6．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B．135° C．45°或 135° D．90°
答案 C 解析 ∵cos〈m，n〉＝ m·n ＝ 1 ＝ 2，∴〈m，n〉＝45°.∴二面角为 45°或 135°.故选 C. |m||n| 2 2
x＋y＝0，
y＝－1，
即
令 x＝1，则
y＋z＝0，
z＝1，
所以平面 BDE 的一个法向量为 n＝(1，－1，1)，
→
则点
D1
到平面
BDE
的距离
d＝|BD1·n|＝2 3.故填2
|n|
3
3
3
三、解答题 17．如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 底面△ABC 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别是
A．60°
B．45°
C．30°
D．135°
答案 B 解析 以 D 为原点，分别以射线 DA，DC，DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角
1，1，1
1，0，1
坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，C(0,1,0)，E 2 2 ，F 2 2 ，
→ 0，－1，－1
A1B1，A1A 的中点．
→
(1)求BN的模；
→→
(2)求 cos〈BA1，CB1〉的值；
(3)求证：A1B⊥C1M.
解 如图，建立空间直角坐标系．
→ (1)依题意，得 B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|BN| ＝ 1－02＋0－12＋1－02 ＝ 3. (2)依题意，得 A1(1,0,2)，
3
9
＝2 3.底面积 3
来自百度文库
S△BCD＝
3×( 4
2)2＝ 3，故其体积为1× 3×2 3＝1.故选 A.
2
32 3 3
12．已知正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成角的余弦值为
()
A.1 B. 2 C. 3 D.2
33
33
答案 C 解析 以两对角线 AC 与 BD 的交点 O 作为原点，以 OA，OB，OS 所在直线分别为 x，y，z 轴建
BC 中点，则△AMD 是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
→ →→
→ → → → → →→ →→
答案 C 解析 ∵M 为 BC 中点，∴AM＝1(AB＋AC)．∴AM·AD＝1(AB＋AC)·AD＝1AB·AD＋1AC·AD＝0，
2
2
2
2
∴AM⊥AD，△AMD 为直角三角形．故选 C.
所成的角为________．
答案 π 6
解析 以 C 为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2，0,0)，C1(0,0,2 2)．点 C1 在侧面 ABB1A1 内的射影为
3， 3，2 2
点 C2 2 2
.
→
→ －1
所以AC1＝(－2,0,2 2)，AC2＝ 2
， 3，2 2
2，设直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为θ，
7．[2018·金华模拟]在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n＝(2，－2,1)，已知点 P(－1,3,2)，
则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( )
A．4 B．2 C．3 D．1
→
答案 B 解析 由已知平面 OAB 的一条斜线的方向向量OP＝(－1，3,2)，
→
→
→
所以点 P 到平面 OAB 的距离 d＝|OP|·|cos〈OP，n〉|＝|OP·n|＝ |－2－6＋2| ＝2.故选 B.
|n|
22＋－22＋1
8．[2018·邯郸模拟]如图所示，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，E，F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中
心，则 EF 和 CD 所成的角是( )
1，1，2 22
→
→
，A1B＝(－1,1，－2)，C1M＝
1，1，0 22
→→ .所以A1B·C1M＝－1
2
→→ ＋12＋0＝0，A1B⊥C1M.所以 A1B⊥C1M.
18．[2017·福建模拟]如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB⊥平面 BEC，BE⊥EC，AB＝
BE＝EC＝2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点．
66
6
→→
答案 C 解析 OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，
cos120°＝ λ＋λ ＝－1，得λ＝± 6.经检验λ＝ 6不合题意，舍去，∴λ＝－ 6.故选 C.
1＋2λ2· 2 2
6
6
6
→
→
→
4．如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
2
答案 B 解析 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设棱长为 1，
1，0，1
则 A1(0,0,1)，E
2 ，D(0,1,0)，
→
∴A1D＝(0,1，－1)，
→ 1，0，－1
A1E＝
2，
设平面 A1ED 的一个法向量为 n1＝(1，y，z)，
→ n1·A1D＝0， 则→ n1·A1E＝0，
→
则下列向量中与BM相等的向量是( )
A．－1a＋1b＋c 22
B.1a＋1b＋c 22
C．－1a－1b＋c 22
D.1a－1b＋c 22
答案 A
→ → → → →→
解析 BM＝BB1＋B1M＝AA1＋1(AD－AB)＝c＋1(b－a)＝－1a＋1b＋c.故选 A.
2
2
22
→→
→→
→→
5．[2018·广西模拟]A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M 为
→→
则
cosθ＝
AC1·AC2 →→
＝1＋0＋8＝
3.又θ∈
0，π 2
，所以θ＝π.
|AC1||AC2| 2 3×3 2
6
16．[2018·沈阳检测]已知正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点 E 为 CC1 的中点，则点 D1 到平
面 BDE 的距离为
.
答案 2 3 3
解析 如图所示，以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角
→
→
→
坐标系，则 D(0，0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，E(0,1,1)，所以DB＝(1,1,0)，DE＝(0,1,1)，BD1＝(－1，－1,2)．
→
→
设 n＝(x，y，z)是平面 BDE 的法向量，所以 n⊥DB，n⊥DE，
→
n·DB＝x＋y＋0×z＝0， 所以 →
n·DE＝0×x＋y＋z＝0，
故选 C.
→→ →
2．[2018·珠海模拟]已知 A(1，－1,3)，B(0,2,0)，C(－1,0,1)，若点 D 在 z 轴上，且AD⊥BC，则|AD|等于( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
→
→
答案 B 解析 ∵点 D 在 z 轴上，∴可设 D 点坐标为(0,0，m)，则AD＝(－1,1，m－3)，BC＝(－1，－2,1)，
立空间直角坐标系，设边长为 2，则有 O(0,0,0)，A( 2，0,0)，B(0， 2，0)，S(0,0， 2)，D(0，－ 2，0)，
→→
0， 2， 2 → － 2， 2， 2 →
→ → |AE·SD|
E 2 2 ，AE＝
2 2 ，SD＝(0，－ 2，－ 2)，|cos〈AE，SD〉|＝ → → ＝
6x－4－6＋18＝0，
∴
解得 x＝2.
x－42＝4，
14.如图，在正方形 ABCD 中，EF∥AB，若沿 EF 将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶ 2，
则 AF 与 CE 所成角的余弦值为________．
答案 4 5
解析 ∵AE∶ED∶AD＝1∶1∶ 2，∴AE⊥ED，即 AE，DE，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间 直角坐标系，设 AB＝EF＝CD＝2，则 E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0，2,1)，
＝1，PA＝2，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为( )
A.1 B.2 5 C. 5 D.2
55
55
答案 C 解析 以 A 为原点，AB，AC，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角
1
1，1，0
坐标系，由 AB＝AC＝1，PA＝2，得 A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D 2 ，0,0，E 2 2 ，