概率论与数理统计茆诗松1.4等可能概型(古典概型与几何概型

法总数；（3）任意n个箱子各放一球的分法总数；（4）每 个箱子最多放一球的分法总数；（5）第i个箱子不空的分 法总数；（6）第i个箱子恰好放k(k n)个球的分法总数。
解：（1）Nn ,
(2)n!,
(3)C
n N
n!
PNn ,
(4)C
n N
n!
PNn ,
(5)N n ( N 1)n ,
(6)C
k n
(N
1)n k
,
例3：袋中有N个球，其中M个为白球，从中有放回得取出n个 （1）N 10, M 2, n 3; （2）N 10, M 4, n 3 考虑以下排列数：1）全不是白色的球；恰有两个白色的球; 3）至少有两个白色的球；4）至多有两个白色的球； 5）颜色相同的球；6）不考虑球的颜色 以上排列数改为组合数呢？
一.古典概型
古典概型即为满足以下两个假设条件的概率模型：
（1）随机试验只有有限个可能的结果；
（2）每一个可能结果发生的机会相同。
数学表述为：
（1）S {e1，e2， ，en（} 有n个样本点） （2）P（e1 ) P（e2 ) P（en )(每个基本事件
的概率相同)
于是有：P（ei )
1 n
组合数：1)C83C20 (C63C40 ), 2)C22C81(C42C61 ), 3)C22C81 (C42C61 C43C60 ), 4)C130或C22C81 C21C82 C20C83 (C42C61 C41C62 C40C63或C130 C43 , 5)C83 (C43 C63 ) 6)C130 (C130 )
C
3 3
C33
,
P( A)
C43
C
3 3
C130
C
3 3
例2.设有10件产品,其中6件正品, 4件次品,从中任取3 件,求下列事件的概率 : (1)没有次品; (2)只有一件次品; (3)最多一件次品; (4)至少一件次品.
解：设4个事件分别为A，B，C，D.因为产品无 序,用组合数计算m, n.
4 9
5
个球中的任一个被抽取的可能性均
为1/10. 设i表示取到i号球(i=1,2,…,10). 则该试验
的样本空间 S 1,2,,10, 且每个样本点(基本
的样本空间 S 1,2,,10 , 且每个样本点(基本
事件)
i (i 1,2,,10)
出现的可能性相同.
称这样一类随机试验为古典概型.
例4：从3个电阻，4个电感，5个电容，取出9 个元件，问其中有2个电阻，3个电感 ，4个电 容的取法有多少种？
解：C23C43C54
例5：五双不号的鞋，从中任取4只，取出的4只都不配 对（即不成双）求（1）排列数；（2）组合数。
解：排列数：C110C18C16C14或P54C12C12C12C12
,i
1, 2,
, n.
则有：
P( A) mA n
A中元素个数 S中元素个数
A包含的基本事件总数 S基本事件总数
例.书P10例1
例.书P10例2
解：A :取到的两只球都是白球 B :取到的两只球都是红球 C :取到的两只球中至少有一只是白球
(a)有放回抽样
(b)不放回抽样
P( A) 4 4 66
样本空间的样本点总数为n C130 120. （1）事件A包含的样本点数mA C63 20
所以P（A） mA 20 1 , n 120 6
(2)mB
C
41C
2 6
60,
P(B) mB n
60 1 , 120 2
(3)mC
C63
C41C
2 6
80,
P(C ) mC 80 2 , n 120 3
解：排列数(1) 1)83 , 2)3 22 8, 3)3 22 8 23 ,
4)3 22 8 3 2 82 83(103 23 ), 5)23 83 , 6)103 (2) 1)63 , 2)3 42 6, 3)3 42 6 43 , 4)3 42 6 3 4 62 63(103 43 ), 5)43 63 , 6)103
解:
（1）C135 ,
(
2)C
81C
2 7
C82C71
C83C
0 7
,
(3)C81C72
C82C
1 7
(不能为C71C81C113 )
例2.分房问题（放球入箱问题） 设有n个人（n个球）随意放入N个房间（N 个箱子中)
其中每个人（每个球）等可能放入任意一个房间中（箱子）
求：（1）所有的分法总数；2 指定的n个箱子各放一球的分
P(B) 2 2 66
P( A) 4 3 65
P(B) 21 65
P(C ) 1 P(B)
课堂练习：掷两颗质地均匀的骰子，计算两
颗的点数之和等于5的概率。
答案：样本空间为：S {1，2， 36 }, n 36,
A {(1, 4),(4,1),(2, 3),(3, 2)}, mA 4.
P( A) 4 36
课堂练习：从 1 , 2 , , 9 九个号码中任取四个，求其
中只有一个号码小于5的概率
答案：n
C94
,
m
Hale Waihona Puke C41C3 5
,
P( A)
C41C
3 5
C
4 9
课堂练习：袋中有4 个红球、3个白球、3个黑球， 从中任取3个，计算取出的3 个球颜色相同的概率。
答案：n
C130
,
m
C
3 4
(4)mD
C41C62
C
C2 1
46
C43C
0 6
100
P(D)
mD
100
5 .
n 120 6
其实，D A，
所以P（D） P（A） 1-P（A） 1- 1 5 66
注：在概率的计算中常常用第二种方法
例3.一学生宿舍有6名学生，问（1）六人生日 都在星期天的概率是多少？（2）6个人的生日 都不在星期天的概率是多少？（3）六个人的 生日不都在星期天的概率是多少？ 解：每个人的生日可在7天中的任何一天, 且是等可能的，
组合数：C45C12C12C12C12
引例 一个纸桶中装有10个大小, 形状完全相同
的球. 将球编号为1-10.把球 搅
匀, 蒙上眼睛从中任取一球. 因
为抽取时这些球被抽到的可能性
是完全平等的, 所以我们没有理 由认为这10个球中某一个会比另 一个更容易抽得, 也就是说, 这10
87 12
3 6 10
§4等可能概型（古典概型） 几何概型（补充）
计算古典概率的方法
基本计数原理
加法原理
乘法原理
排列组合方法 排列公式 组合公式
应用举例 应用举例
二项式
例1.某医院有8名医生7名护士，星期日选3人值班。 （1）有多少种不同的选法；（2）其中至少有一 名医生的选法有多少种；（3）其中至少有一名医 生一名护士的选法有多少种。