10道经典高中数学题

1.设Sn是等差数列｛An｝的前n项和,又S6=36,Sn=324,S(n-6)=144,则n=?

①Sn是等差数列

S6=a1*6+6(6-1)/2*d=36，则2a1+5d=12......&

最后六项的和S=an*6-6(6-1)/2*d=6an-15d

S(n-6)=Sn-S=324-(6an-15d)=144,则2an-5d=60......@

&+@:a1+an=36

Sn=(a1+an)/2*n

n=18

②解:Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+......an=324-144=180 而 S6=a1+a2+...a6=36

有

Sn-S(n-6)+S6= a1+a2+...a6+ a(n-5)+a(n-4)+....an

=6(a1+an)=180+36=216

那么 (a1+an)=36

Sn=n(a1+an)/2=324

即 36n/2 =324

所以 n=18

2.已知f(x)=(x-1)^2,g(x)=4(x-1),f(an)和g(an)满足，a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0

(1)是否存在常数C，使得数列｛an+C｝为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由。

（2）设bn=3f(an)-[g(an+1)]^2，求数列｛bn｝的前n项和Sn

(1)存在 C=-1

证明如下 (an+1-an)g(an)+f(an)=0 将f(x)、g（x)带入并化简

得4an+1 - 3an -1 =0 变形为4(an+1 -1)=3(an -1)

所以an-1是以3/4为等比 1为首项的等比数列

(2)an-1=(3/4)^n

bn=3f(an)-[g(an+1)]^2 将f(an) g(an+1)带入不要急着化简先将an+1 - 1换成 3/4 (an-1)

化简后bn=-6(an -1)^2=-6*(9/16)^n

bn是首项为-27/8等比是9/16的等比数列

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=54/7(9/16)^n-54/7

已知函数f(x)=x^2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)

pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)

<=> px^2+pax+pb+qy^2+qay+qb>=(px+qy)^2+apx+aqy+b

<=> px^2+qy^2>=(px+qy)^2

<=> px^2+qy^2>=p^2x^2+q^2y^2+2pqxy

<=> (p-p^2)x^2+(q-q^2)y^2>=2pqxy

将q=1-p代入，化简得

(p-p^2)(x^2+y^2)>=2(p-p^2)xy

∵ x^2+y^2>=2xy

∴ p-p^2>0

<=> p>p^2

<=> 0<=p<=1

3.某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使

用的元件要付库存费，假设平均库存量为1

2

x

件，每个元件的

库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，

每年进货几次花费最小？

解：设购进8000个元件的总费用为S，一年总库存费用为E，

手续费为H．

则X=8000/n,E=2*1/2*8000/n,H=500n 所以S＝E+H＝

2*0.5x+500*8000/x=8000/n+500n=500(16/n+n)>=4000

当且仅当16/n=n即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．

4.已知f(x)=ax^2－2ax+1=0有两正根x1,x2,且1

5.(1)求x1的取值范围(2)求a的取值范围

某公路段汽车的

车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为：

。

(1)在该时段内，当汽车的平均速度v是多少时，车流量最大，最大流量是多少（精确到0.1）

(2)要使在该时段内车流量超过10千米/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为：

5.已知正方形ABCD的边长是13,ABCD外一点P到正方形ABCD各顶点的距离是13。M、N分别是PA、BD上的点。PM：MA=BN；ND=5；8，求MN

6.已知函数f(x)=4sinxsin^2(∏/4+x/2)+cox2x1)设w>0为常数,

(1)若y=f(wx)在区间[-∏/2，2∏/3]上是增函数，求w的取值范围

(2)设集合A={x∏/6<=x<=2∏/3},B={xf(x)-m<2}若,A属于B,求实数m的取值范围

解.f(x)=2sinx[1-cos(x+π/2)]+1-2sin²

x=2sinx(1+sinx)+1-2sin²x=2sinx+1

(1)y=f(wx)=2sinwx+1

因在区间[-π/2，2π/3]上是增函数，所以最小正同期T=2π/w≥2(π/2+2π/3)

即0

而-π/2+2kπ≤wx≤π/2+2kπ时，f(x)单调递增

则必有k=0,即-π/2≤wx≤π/2时递增，

则必有2πw/3≤π/2,即w≤3/4

所以w的取值范围(0,3/4]

(2)|f(x)-m|=|2sinx+1-m|<2,则m-3<2sinx<1+m即(m-3)/2

而当π/6≤x≤2π/3时，有1/2≤sinx≤1

因为A属于B，必有

(m-3)/2<1/2且(1+m)/2>1

解得1

fn(x)=a1x+a2x^2+...anx^n fn(-1)=(-1)^n*n

7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C-AB-D 的大小为@，则SIN@=？

由AO垂直于平面BCD,