2.3.4 平面向量共线的坐标表示

第二章平面向量

2．3平面向量的基本定理及坐标表示

2．3.4平面向量共线的坐标表示

[A组学业达标]

1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，－2y)．若a∥b，则y的值是() A．2B．－2

C．－1 D．1

解析：因为a∥b，所以(－1)×(－2y)＝2×1，解得y＝1.

答案：D

2．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()

A.1

4 B.

1

2

C．1 D．2

解析：由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，

解得λ＝1 2.

答案：B

3．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是() A．(4，8) B．(8，4)

C．(－4，－8) D．(－4，8)

解析：∵a＝(1，－2)＝－1

4(－4，8)，|b|＝4|a|，

∴b可能是(－4，8)．

答案：D

4．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝______．解析：∵a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，a∥b，

∴2λ－6×(－1)＝0，∴λ＝－3.

答案：－3

5．已知A ，B ，C 三点共线，BA →

＝－38AC →，点A ，B 的纵坐标分别为2，5，则点C 的纵坐标为________．

解析：设点C 的纵坐标为y .∵A ，B ，C 三点共线，BA

→＝－38AC →，A ，B 的纵

坐标分别为2，5，∴2－5＝－3

8(y －2)，∴y ＝10. 答案：10

6．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝25，且a ∥b ，则b ＝________．

解析：设b ＝(x ，y )，由已知可得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25，－2x ＝y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎨⎧x ＝－2，

y ＝4，所

以b ＝(2，－4)或(－2，4)． 答案：(2，－4)或(－2，4)

7．已知a ＝AB

→，点B 的坐标为(1，0)，b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，且a ＝3b －

2c ，求点A 的坐标．

解析：∵b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，∴3b －2c ＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a ＝(－7，10)＝AB

→.

又点B 的坐标为(1，0)，设点A 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1－x ，0－y )＝(－7，

10)，

∴⎩⎨⎧1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－10， 即点A 的坐标为(8，－10)． 8．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．

(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；

(2)若AB

→＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解析：(1)∵a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，∴k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－1

2.

(2)AB →

＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC

→＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →，

∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝3

2.

[B 组 能力提升]

9．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m

n 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2

D ．2

解析：m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)． ∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0， ∴2m ＝－n ，即m n ＝－1

2. 答案：A

10．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为 ( )

A ．(2，0)

B ．(0，－2)

C ．(－2，0)

D ．(0，2)

解析：∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)． 设a 在m ，n 下的坐标为(x ，y )， ∴a ＝x m ＋y n ，

∴(2，4)＝x (－1，1)＋y (1，2)， ∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.故选D. 答案：D

11．已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，则点P 的坐标为________．

解析：设P (x ，y )，则由|AP →|＝2|PB →|，得AP →＝2PB →或AP →＝－2PB →

. 若AP

→＝2PB →，则(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )． 所以⎩⎨⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.

若AP →＝－2PB →

，同理可解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝8，故P (－5，8)．

综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

13，0或(－5，8)．

答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫

13，0或(－5，8)

12．平面上有A (2，－1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝

12BC →，连接DC 并延长至点E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________． 解析：∵AC

→＝12BC →，∴OC →－OA →＝12

(OC →－OB →)． ∴OC

→＝2OA →－OB →＝(3，－6)，∴点C 的坐标为(3，－6)．

又∵|CE

→|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，∴CE →＝－14ED →. 设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－1

4(4－x ，－3－y )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14（4－x ），

y ＋6＝－14（－3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，

y ＝－7，

∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

83，－7.

答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫

83，－7

13．已知ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE .

证明：建立如图所示的直角坐标系．