数学人教版六年级下册等积变形的解决问题
数学人教版六年级下册等积变形
等积变形教学设计执教人：杨晓林内容：六年级下期关于体积的等积变形目的：1、理解等积变形的含义、并能利用体积相等这一条件灵活地解答相关实际问题。
2、进一步掌握圆柱、圆锥与长方体和正方体的体积计算方法。
3、培养学生通过“转化”思想解决问题的能力。
重点：掌握圆柱、圆锥与长方体和正方体的体积计算方法。
难点：利用体积相等这一条件灵活地解答相关实际问题。
准备：课件过程：很高兴能够和你们六年级的同学共同经历数学学习思考，希望我们有一次愉快而充实的学习体验。
一、复习1、几种常见立体图形的体积公式回忆：正方体体积= 字母表示长方体体积= 字母表示圆柱的体积= 字母表示圆锥的体积= 字母表示正方体、长方体、圆柱体体积都可用（）×（）来计算。
二、过程理解什么叫等积变形师：这是一个棱长1分米的正方体，体积是多少？现在我把4个这样的正方体拼起来，拼成的体积是多少?为什么?师：这样拼呢?师：在这个过程中，什么变了?什么没有变?生：形状变了，但体积没有变。
师：形状变了，体积不变。
(板书)在数学中，我们将这种现象称为等积变形。
板书：等积变形。
齐说。
.师：想一想，你还见过哪些形状改变但体积不变的现象?例1、把一块长31.4厘米，宽20厘米，高4厘米的长方体钢坯，熔化后浇铸成底面半径是4厘米的圆柱体，圆柱体的高是多少厘米？（损耗不计）学生读题后思考并讨论：1、要求圆柱的高必须知道哪些条件？已经知道什么？还需要知道什么？2、 圆柱的体积和什么有关系？什么关系？学生动手列式并解答。
这里是把长方体转化成了圆柱，形状变了，体积没有变。
展示学习成果。
出示例2、有甲、乙两个容器如图所示，（长度单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。
1、甲、乙容器各是什么形体？要求乙容器水柱的高？已经知道什么？还需要知道什么？2、甲容器里的水倒在乙容器中，什么变了？什么没有变？学生动手列式并解答。
这里是把圆锥体转化成了圆柱，形状变了，体积没有变。
等积变形解题技巧
等积变形解题技巧
等积变形是解题过程中常用的一种技巧，主要涉及在物体形状变化过程中，体积保持不变的一种理想状态。
解题时，需要遵循以下步骤：
1. 确定物体形状变化前后的体积。
2. 理解等积变形的含义，即物体形状变化前后体积相等。
3. 根据等积变形原则，判断物体形状变化前后体积相等的条件。
4. 运用等积变形技巧，将问题转化为容易解决的形式。
5. 解答问题时，要细心分析每个步骤，确保思路清晰、计算准确。
以一个例子说明：有一个长方体容器，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。
问如何通过等积变形将水全部导出？
首先，我们需要理解等积变形的含义，即物体的形状变化前后体积不变。
对于这个例子，我们可以考虑将长方体容器中的水倒入另一个容器，使水的高度与容器的底面相平。
然后，我们需要确定水在两个容器中的体积。
由于水的体积不变，所以我们可以计算出长方体容器中水的体积，即为倒入另一个容器的水的体积。
最后，我们可以通过计算来验证是否能够通过等积变形将水全部导出。
根据题目给出的数据，我们可以计算出长方体容器中水的体积为
30×20×6=3600立方厘米。
由于另一个容器的底面面积大于长方体容器的底面面积，所以水的高度会低于10厘米。
因此，我们可以将水全部导出。
以上是等积变形解题技巧的简单介绍和示例，希望能对您有所帮助。
六年级等积变形应用题
六年级等积变形应用题
六年级的学生们学习了等积变形的概念后，接下来他们将应用这个概念来解决一些实际问题。
等积变形是指图形或物体的形状改变，但其面积不变。
在这个阶段，学生们将学会如何应用等积变形来解决一些日常生活中的问题。
例如，他们可能会遇到这样的问题：某个矩形花坛的面积为16平方米，长是3米，那么宽是多少米？学生们可以通过等积变形来解决这个问题。
他们可以将长和宽分别表示为x和y，根据等积变形的原则，有xy=16。
已知x=3，所以可以通过等式求得y的值，从而得到花坛的宽度。
另一个例子是关于房间布局的问题。
假设学生们需要重新布置一个矩形房间的家具，但是要保持房间的面积不变。
他们可以使用等积变形的原理，将房间的长度和宽度表示为x和y，然后设置一个新的长和宽，即x+2和y+1。
通过等积变形，他们可以设置方程xy=(x+2)(y+1)，解这个方程可以得到新的房间尺寸。
此外，学生们还可以应用等积变形来解决有关体积的问题。
他们可以考虑一个长方体的体积为24立方厘米，长为4厘米，那么宽和高各是多少厘米？通过等积变形的原理，他们可以设置方程4xy=24，其中x表示宽，y表示高。
通过解这个方程，他们可以得到宽和高的值。
通过这些应用题，学生们可以更好地理解等积变形的概念，并将其应用到实际问题中。
这不仅可以帮助他们提高解决问题的能力，还可以培养他们的逻辑思维和数学推理能力。
人教版数学六年级下册体积的等积变形
人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。
包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。
圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。
教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。
几何知识一向是小学生学习的难点。
特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。
造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。
不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。
我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。
围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。
“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。
生活中大量存在其身影。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。
围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。
“面积变形”是为了使计算简便。
“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。
利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。
教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。
2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。
3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。
体会转化的思想价值。
教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。
难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。
六年级数学等积变形
六年级数学等积变形在六年级数学学习中，等积变形是一个重要的知识点。
通过等积变形，我们可以将一个数学问题转化为另一种形式，从而更容易解决。
本文将介绍等积变形的定义、常用方法和实例，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。
等积变形是指在求解数学问题时，通过对等式两边同时乘以或除以相同的数，使得等式的形式改变，但等式的解并未改变。
常用的等积变形方法包括倍数变形、倒数变形和分解因式等。
首先，我们来看一下倍数变形。
倍数变形是指通过等式两边同时乘以或除以相同的数，从而改变等式中数的大小，但保持等式的成立性。
举个例子，假设有一个等式：2x = 10，我们可以将等式两边同时乘以2，得到4x = 20。
通过倍数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解仍然保持不变。
其次，倒数变形也是一种常用的等积变形方法。
倒数变形是指通过等式两边同时乘以或除以数的倒数，从而改变等式中数的倒数，但保持等式的成立性。
例如，对于一个等式：3y = 9，我们可以将等式两边同时除以3，得到y = 3。
通过倒数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解依然是相同的。
最后，分解因式也是一种常见的等积变形方法。
分解因式是指将等式中的一个或多个数进行因式分解，从而改变等式的形式。
例如，对于一个等式：2x + 4 = 10，我们可以将等式中的2进行因式分解，得到2(x + 2) = 10。
通过分解因式，我们改变了等式的结构，使得解决问题更为简便。
接下来，让我们通过一些实例来进一步理解等积变形的应用。
假设有一个问题：小明买了一些苹果，若每个苹果的价格为2元，总共花费10元。
现在，若每个苹果的价格变为3元，小明只能买到几个苹果？我们可以通过等积变形来解决这个问题。
首先，我们设小明原本买了x个苹果，根据题意，我们可以列出等式：2x = 10。
现在，苹果的价格变为3元，我们可以设小明能够买到的苹果数量为y，列出等式：3y = 10。
通过倍数变形，我们可以得到3(2x) = 2(3y)。
等积变形解决问题
（水没有溢出），求圆锥的底面积?
解设：圆锥的底面积是x平方厘米。
1 3 x×10=15×12×2
x=108 答：圆锥的底面积是108平方厘米。
4.一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高8分米，里面盛满水，
把水倒在棱长是8分米的正方体容器中，水深多少分米？
x=12
答：零件的高是12厘米。
2.一个圆锥形沙堆，底面半径是4m，高是1.5m，用这堆沙在5
m宽的小路上铺4cm厚的路面，可以铺几米？
解设：可以铺x米. 4cm = 0.04m 1
5×0.04x = 3 ×3.14×4²×1.5 x=125.6
答：可以铺125.6米。
做一做
3.在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的
小结：例2题中的我们运用到了“等积变形”的数学思想，物体变化前后体积相等，你喜欢哪种做法？
5分钟后，比谁能正确运用等积变形解决问题
做一做
1.有一段钢可做一个底面直径4厘米，高3厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成底面积是9.42平方厘米的圆锥形零件，零件的高
是多少厘米？
解设：零件的高是x厘米 1 ×9.42x=3.14×(4÷2)²×3 3 3.14x=3.14×12
面上升0.1分米，量得个长方体的长为3.14分米，宽为2分米，它的高是多少？
解设：它的高是 x dm。 25.12÷3.14÷2=4（dm） 3.14×2x = 3.14×4²×0.1
3.一个长方体木块，长50cm，宽x40=cm0.8，高30cm，将其加工成一个最大的圆锥形木块，
圆锥形木块的体积是多少立方厘米？
解设：水深x分米。 8×8x=3.14×4²×8
等积变形应用题
等积变形应用题等积变形应用题一“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.等积变形类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积)＝变形后的体积(容积）.二练习题1、用直径为4cm的圆钢（截面为圆形的实心长条钢材）铸造3个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件，则需要截取多长的圆钢?2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯,需要截取地面积为130 mm2的方钢多长？3、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱,下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长?4、将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？5、一个直径为1。
2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米。
6、有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米(不计损耗）？7 某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水,再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中,能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.8 有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米,把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。
9 用一个底面半径为5厘米的圆柱形储油器，油液中浸有钢珠,若从中捞出546π克钢珠，问液面下降了多少厘米?(1立方厘米钢珠7.8克）10 小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆柱体体积的2。
5倍，则大圆柱的高是多少厘米？11 一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体,其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高(π取3。
等积变形问题
等积变形问题引言等积变形问题是数学中的一个重要概念，涉及到几何图形的形状变化和面积的关系。
在这个问题中，我们考虑一个固定面积的图形，在保持面积不变的情况下，改变图形的形状。
这个问题有着广泛的应用背景，例如在工程设计、物理学和经济学中都能找到对等积变形问题的研究。
等积变形问题的定义等积变形问题是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变图形的尺寸或者形状，使得其它属性发生相应的改变。
通常情况下，我们会固定一个属性（例如周长、直径等），然后通过调整另外一个属性（例如宽度、长度等）来实现对图形进行等积变形。
等积变形问题的解法1. 基于比例关系的解法在等积变形问题中，最常见且直观的解法就是基于比例关系。
假设我们有一个矩形，并且知道其面积为A。
如果我们要将这个矩形进行等积变换，并且保持其宽度不变，那么我们可以通过调整其长度来实现。
根据矩形的面积公式，我们可以得到长度与宽度之间的比例关系：长度/宽度 = A/宽度。
通过这个比例关系，我们可以计算出新的长度。
同样地，如果我们要保持矩形的长度不变，而调整其宽度来实现等积变换，我们也可以利用比例关系进行计算。
这种基于比例关系的解法适用于各种图形，包括矩形、圆形、三角形等。
2. 基于微积分的解法除了基于比例关系的解法外，我们还可以使用微积分方法来解决等积变形问题。
这种方法通常需要使用到函数的导数和积分等概念。
考虑一个简单的例子：一个圆形区域的面积为A。
现在我们要将这个圆形区域进行等积变换，并且保持其半径不变。
我们可以通过求解一个方程来找到新的半径。
设原始圆的半径为r，新圆的半径为R。
根据圆的面积公式，我们有πr^2 = πR2，即r2 = R^2。
由此可得R = ±r。
根据几何意义可知，R不能取负值，因此新圆的半径为r。
这意味着，在保持圆的半径不变的情况下，进行等积变换得到的仍然是一个圆形。
3. 基于几何变换的解法除了基于比例关系和微积分方法的解法外，我们还可以使用几何变换来解决等积变形问题。
六年级下册小升初等积变形人教版人教版
则满足条件的三角形有：
重要 例6：如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米。
角形的底是另一个三角形的几倍，那么，这个三角形 (1)等底等高的三角形面积相等。
结论 (2)等高看底：若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么，这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
例5：如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米，求△ABC的面积？
S△ACD=S△BCD
S△ABD=S△ACD+S△ABC=b+ b= b
那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
例3：（平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的？为什么？
例5：如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米，求△ABC的面积？
S△ABD=S△ACD=25-15=10 S△DFC=2S△DEF=2×24=48(cm2)
的面积也是另一个三角形面积的几倍。
等积变形的几个重要结论：
(3)等底看高：若两个三角形的底相等，其中一个三 同学们，你们能想出什么办法把这块土地分成面积相等的两个三角形吗？开动你们的脑筋吧！
思 例4：如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面
维 积相等的三角形有哪几对？
探
索 根据结论：同底等高的三角形面积相等 A
D
则满足条件的三角形有：
0
△ABD和△ACD
B
C
△ABC和△DBC
数学人教版六年级下册立体图形的等积变形
《立体图形的等积变形》教学设计教学目标：1、通过演示、操作、动手活动让学生理解并掌握“等积变形”的特点；2、让学生学会运用“等积变形”的特点来解决现实生活的问题。
3、在回顾旧知中，让学生沟通知识的联系，培养学生归纳、整合知识的能力。
4、培养学生运用转化的数学思想解决数学问题。
教学重点：根据“等积变形”的特点来解决实际问题。
教学难点：理解“立体图形的等积变形”的特点教学方法：直观演示法，操作发现法，设疑诱导法教具准备：圆柱、圆锥、长方体、正方体容器各一个、水、橡皮泥、电脑课件等教学过程：一、铺垫引题1、出示圆柱、圆锥、长方体、正方体，复习立体图形的体积计算公式。
2、出示“水”，说说它是什么形体？（没有固定的形状）3、教师操作演示，学生观察发现（1）教师先在圆柱形量杯里倒上水。
提问：现在的水有多少？这时的水是什么形状的？（2）教师把圆柱形量杯里的水依次倒入圆锥形、长方体、正方体容器里，学生仔细观察提问：你们发现了什么？（水的体积没变，形状改变）4、揭示课题——立体图形的等积变形5、提出学习目标提问：看着这个课题你想知道什么？教师根据回答板书：特点、方法，用处。
二、探究解决问题1、通过动手感知“立体图形的等积变形”（1）检查课前用橡皮泥制作的手工作品（2）学生用这块橡皮泥依次捏出圆柱、圆锥、长方体、正方体提问：你们感受到了什么？（橡皮泥体积不变，形状改变）（3）小结“等积变形”的特点（体积相等，形状改变）2、在解决问题中体会“立体图形的等积变形”（1）课件依次出示1—4题学生读题→找等量关系→解答→汇报（2）小结解决“等积变形”问题的方法（找等量关系→正确灵活运用体积公式）3、回顾旧知中寻找、领悟“等积变形”学生回顾、教师总结（电脑依次出示）（1）数学运算律（2）等式变形（3）排水法求不规则物体的体积（4）圆面积公式推导（5）圆柱体积公式推导4、小结“等积变形”的用途（十分广泛）5、巩固练习四、课堂总结。
六下形体的等积变形
形体的等积变形
把一个圆锥状油泥块，经过揉搓之后可变成一个圆柱或一个长方体，无论它的形状如何变化，它们的体积大小是恒等不变的，这就是等积变形。
例题：如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形容器， 水中放着一个底面直径为12厘米、高为10厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了几厘米？
[思路]铅锤取出后，水面就会下降，下降的体积与圆锥状铅锤的体积相同，这样依据等积变形的方法可知水的体积，从而可求得水面高度变化的情况。
[详解]铅锤的体积为 ）立方厘米(8.3761021214.3312
=⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯ 圆柱体的底面积为()平方厘米31422014.32=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯ 所以水面下降的高度为376.8÷314=1.2（厘米）
答：容器中水面高度下降了1.2厘米。
[诀窍]形体的等积变形的解题关键是确定两个体积相等的物体，或两个体积相等的部分，从而从体积相等中推算出另一个物体或部分的底或高。
A 用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长？（精确到0.1厘米）
B 、把一块长15.7厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体铝锭，和一块底面直径6厘米、高24厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形铝块，求这个圆锥形铝块高是多少厘米？。
数学人教版六年级下册等积变形教学设计
等积变形的教学设计学习目标：1. 通过“转化”的思想，会解决等积变形问题。
2.会灵活运用所学知识，解决生活中的实际问题。
教学过程：一、回顾旧知。
1、圆柱、圆锥、长方体和正方体的体积公式。
2、计算:(1) 圆柱：d=4dm h=10dm V=?(2) 圆锥： V=15立方分米 s底=3平方分米 h=?（3）长方体：V=150立方米 b=10米 h=3米 a=？二、探究新知。
把一块长方体钢坯铸造成一根直径为4分米的圆柱形钢筋，钢筋的长是多少分米？思考：1.题中的变和不变分别是什么？2.可得到怎样的等量关系？3.怎样求圆柱钢筋的长度呢？做一做:1.一个圆锥形沙堆，底面积是25.12平方米，高是1.8米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺3厘米厚的路面，能铺多少米？2.一个圆柱形铁块，底面半径10厘米，高5厘米，把它熔铸成一个底面积是157平方厘米的圆锥形铁块，圆锥的高是多少？三、课堂小结。
解决等积变形问题：1.物体的形状改变，体积不变。
2.长方体、正方体、圆柱体，求体积时，通用公式V=sh。
3.利用圆锥体积公式求底面积或高时，体积的3倍除以高或底面积。
四、拓展延伸。
一个圆柱形容器与一个圆锥形容器的底面积都是15平方厘米，用圆锥形容器盛水倒入圆柱形容器中，4次正好装满。
已知圆锥形容器的高是9厘米，圆柱形容器的高是多少？五、课堂检测。
1.一个棱长是3分米的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是9平方分米的圆锥形容器里正好装满，这个圆锥的高是（）分米。
2.把一个棱长是6厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是10平方厘米的圆柱形铁块，这个圆柱形铁块的高是多少厘米？。
数学人教版六年级下册立体图形的等积变形
解决问题 1
把一个长方体钢坯铸造成一个圆形钢柱，钢柱有 多高？（单位：厘米，结果保留整数）
长方体体积=圆柱体积
50×20×10=10000（立方厘米）
3.14 × (20÷2)2=314(平方厘米)
10000÷314≈32（厘米） 答：钢柱高约32厘米。
解决问题 2
有一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高 是2米。将这些沙子铺在一个长是4米，宽是2米的 长方体沙坑里，能铺多厚？
圆锥体积长方体沙子体积解决问题22将底面半径为3厘米高为10厘米的圆锥形铝块和一个底面半径为2厘米高为5厘米的圆柱形铝块块熔铸成一个底面半径为5厘米的圆柱形铝块这个圆柱形铝块的高是多少
人教版小学数学六年级下册
甘肃省民勤县东关小学：马玉连
人教版小学数学六年级下册
甘肃省民勤县东关小学：马玉连
学习任务单一
答：这个圆柱形铝块的高为2厘米。
解决问题 4
将一个底面半径是2分米，高3分米的圆锥 形铁块铸造成底面半径是1分米，高2分米的小 圆柱，可以铸多少个？
圆锥体积=小圆柱体积的和
等积变形“身影何在？
数学运算律
算式变形
a×b=b×a
0.125×32×25=0.125×8×4×25
排水法求体积 圆面积公式的推导 圆柱体积公式的推导
×
等积变形
3 5
9 × 4
3 5 × ＝ 5 7
5 × 7
9 × 4
6.87×99 ＝ 6.87×（100－1） 52.7×101 ＝ 52.7×（100＋1）
把一个西红柿完全浸没在底面直径是2分米的圆柱形 容器里，水面上升了0.5厘米。这时 西红柿 的体积就转 化为 上升了的圆柱形水的体积，西红柿的体积是 157立方 厘米。
人教版六下数学新题型专题30等积变换
人教版六下数学新题型专题30 等积变换1.解决问题我们知道，同底等高的三角形面积相等，这样就可以对三角形进行等积变形（即面积不变，形状改变），结合以上知识，乐乐将对下面网格中的三角形进行这样的“变换改造”，利用同底等积变换，同时满足该“底”所对的角是直角．你觉得哪几个能进行这样的变换？2.看图填空操作示例：如图①，在三角形ABC中，D为BC边的中点，则S三角形ABD =S三角形ADC．（S表示面积）实践探究：(1) 在图②中，E，F分别为长方形ABCD的边AD，BC的中点，则S阴影和S长方形ABCD之间满足的关系式为．(2) 在图③中，E，F分别为平行四边形ABCD的边AD，BC的中点，则S阴影和S平行四边形ABCD之间满足什么样的关系式？(3) 在图④中，E，F分别为四边形ABCD的边AD，BC的中点，则S阴影和S四边形ABCD之间满足什么样的关系式？答案1. 【答案】A，B．如下图，图A中，以三角形水平的边为底，在直线l1上找一点使得底所对的角是直角即可．图B中，以三角形左边为底，在直线l2上找一点使得底所对的角是直角即可．2. 【答案】(1) S阴影=12S长方形ABCD(2) 平行四边形的高和阴影部分的高相等，平行四边形ABCD的面积=BC×高，阴影部分的面积=BF×高=12×BC×高，所以S阴影=12S平行四边形ABCD．(3) 如图所示，连接BD，因为E，F分别是边AD和BC的中点，所以S三角形ABE =S三角形BED，S三角形BDF =S三角形FCD，S阴影=S三角形BED+S三角形BDF，S四边形ABCD =S三角形ABE+S三角形BED+S三角形BDF+S三角形FCD=2(S三角形BED+S三角形BDF)，所以S四边形ABCD =2S阴影，即S阴影=12S四边形ABCD．【解析】(1) 长方形ABCD的面积=BC×CD，阴影部分的面积=BF×CD=12×BC×CD，所以S阴影=12S长方形ABCD．。
等积变形问题
等积变形问题——一元一次方程的应用题
一知识点
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.
常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积=成品体积.
二试试身手
1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形,折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是45000。
,求原来正方形铁皮的边长。
2、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0。
62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7。
8g，应截圆钢多长？
3、把直径6cm,长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。
求锻造后的圆钢的长.
4、直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯,求小杯子的高。
5 现有直径为0。
8米的圆柱形钢坯长30米，可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴多少根?
6 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）,向一个由底面积为125*125mm,内高为81mm的长方体铁盒倒满水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数, π=3。
14)
7 把内径为200mm，高为500mm的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为160mm，高为400mm 的空木桶装满水后，铁桶内水位下降了多少？
8 要锻造一个直径为8cm高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm.。
六年级解决问题(二等积变换)
六年级解决问题（二）等积变换姓名：
1、一辆货车，车厢长3米，宽.1.5米，高1.2米。
里面装了0.8米高的河沙到学校去，学校
的沙坑长8米，宽6米，沙坑里的河沙能铺多少厘米厚？如果沙坑里的沙最低要15厘米厚，至少应该装多少车才够？
2、把一个边长为6米的正方形体块，锻造成横截面边长是2米的方钢，这个方钢有多长？如
果锻造成长2.5米，宽1.8米的铁条，铁条有多高？
3、一个长8分米，宽2.5分米，高2米的长方形容器中，里面装有1.5米高的水，放入一个
边长为5分米的正方形铁块，容器里面的水应该上升多少分米？容器里面的水应该是多高？
4、一个底面半径是4厘米的圆柱形容器，容器里装有10厘米高的水，放入一个底面半径为
3厘米，高4厘米的圆锥后，容器里面的水应该高多少厘米？
5，一个长20分米、宽15分米、高15分米的长方形的容器，里面放有一个直径为6分米，高5分米的圆锥（完全浸没），这时候容器里面的水高10分米，如果把圆锥拿出来，容器的水高是多少分米？。
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圆锥的体积教学设计
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教学目标
1.通过动手操作实验，推导出圆锥体体积的计算方法，并能运用公式计算圆锥体的体积。
2.通过学生动脑、动手，培养学生的思维能力和空间想象能力。
教学重点和难点圆锥体体积公式的推导。
教学过程设计
（一）复习准备
1.我们每组桌上都摆着几何形体，哪种形体的体积我们已经学过了？举起来。
这是什么体？（圆锥体）
（板书：圆锥）
上节课我们已经认识了圆锥体，这里有几个画好的几何形体。
（出示幻灯）
一起说，几号图形是圆锥体？（2号）
（指着圆锥体的底面）这部分是圆锥体的什么？（底面）
（指着顶点）这呢？
哪是圆锥体的高？（指名回答。
）
（用幻灯出示几个图形。
）
在这几个圆锥体中，几号线段是圆锥体的高，就举几号卡片。
（学生举卡片反馈）
你为什么选2号线段呢？为什么不选3号、4号呢？（指名回答）
那么这个圆锥体的高在哪呢？（在幻灯上打出圆锥体的高。
）
看来，同学们对于圆锥体的特征掌握得很好，这节课我们就重点研究圆锥的体积。
（板书，在“圆锥”二字的后面写“的体积”。
）
（复习内容紧扣重点，由实物到实间图形，采用对比的方法，不断加深学生对形体的认识。
）
（二）学习新课
（老师拿出一大一小两个圆锥体问学生）这两个圆锥体哪个体积大，哪个体积小？
（再拿出不等底、不等高，但体积相等的一个圆柱体和一个圆锥体）这两个形体哪个体积大，哪个体积小？（引起学生争论，说法不一。
）
看来我们只凭眼睛看是不能准确地得出谁的体积大，谁的体积小，必须通过测量计算出它们的体积。
圆柱体的体积我们已经学过了，等我们学完了圆锥的体积再来解决这个问题。
为了我们研究圆锥体体积的方便，每个组都准备了一个圆柱体和一个圆锥体。
你们小组比比看，这两个形体有什么相同的地方？
（学生得出：底面积相等，高也相等。
）
底面积相等，高也相等，用数学语言说就叫“等底等高”。
（板书：等底等高）
既然这两个形体是等底等高的，那么我们就跟求圆柱体体积一样，就用“底面积×高”来求圆锥体体积行不行？（不行）
为什么？（因为圆锥体的体积小）
（把圆锥体套在透明的圆柱体里）是啊，圆锥体的体积小，那你估计一下这两个形体的体积大小有什么样的倍数关系？（指名发言）
的大米、水和圆柱体、圆锥体做实验。
怎样做这个实验由小组同学自己商量，但最后要向同学们汇报，你们组做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上有什么样的倍数关系。
注意，
用大米做实验的同学不要浪费一粒粮食。
（学生分组做实验。
）
谁来汇报一下，你们组是怎样做实验的？
你们做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上有什么倍数关系？
（学生发言。
）
同学们得出这个结论非常重要，其他组也是这样的吗？
我们学过用字母表示数，谁来把这个公式整理一下？（指名发言）
（不是）
是啊，（老师拿起一个小圆锥、一个大圆柱）如果老师把这个大圆锥体里装满了米，往这个小圆柱体里倒，倒三次能倒满吗？（不能）
为什么你们做实验的圆锥体里装满了水或米往圆柱体里倒，倒三次能倒满呢？
（因为是等底等高的圆柱体和圆锥体。
）
呢？（在等底等高的情况下。
）
（老师在体积公式与“等底等高”四个字上连线。
）
现在我们得到的这个结论就更完整了。
（指名反复叙述公式。
）
今后我们求圆锥体体积就用这种方法来计算。
（老师在教学中，注意调动学生的学习积极性，采用分组观察，操作，讨论等方法，突出了学生的主体作用。
）
（三）巩固反馈
1.口答。
填空：
2.板书例题。
例一个圆锥体，它的底面积10cm2，高6cm，它的体积是多少？
（指名回答，老师板书。
）
=20（cm3）
答：它的体积是20cm3。
3.练习题。
一个圆锥体，半径为6cm，高为18cm。
体积是多少？（学生在黑板上只列式，反馈。
）
4.我们已经学会了求圆锥体的体积，现在我们会求前面遗留问题中的比大小的圆锥体体积了。
（幻灯出示其中之一）这个圆锥体，直径为10cm，高为12cm，求体积。
（学生在小黑板上只写结果，举黑板反馈。
）
你们求出这个圆锥体的体积是314cm3。
现在告诉你们另一个圆柱体的体积我已经计算出来了，它的体积也是314cm3。
这两个形体体积怎样？（一样）刚才我们留下的问题就解决了，看来判断问题必须要有科学依据。
5.选择题。
每道题下面有3个答案，你认为哪个答案正确就举起几号卡片。
（1）一个圆锥体的体积是a（dm3），和它等底等高的圆柱体体积是（）（dm3）。
②3a（dm3）
③a3（dm3）
（举卡片反馈，订正。
）
（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6cm3，圆锥体体积是（）cm3。
（学生举卡片反馈，订正。
）
6.刚才都是老师给你们数据，求圆锥体体积，你们能不能直接告诉我你们桌上的圆锥体
体积是多少呢？（不能）
为什么？（因为不知道底面积和高。
）
需要测量什么？（底面半径和高。
）
怎么测量？（小组讨论。
）
（指名发言）
今天回家后，把你们测量的数据写在本子上，再计算出体积。
这节课我们学了什么知识？
出思考题：
现在我们比一比谁的空间想象能力强。
看看我们的教室是什么体？（长方体）
要在我们的教室里放一个尽可能大的圆锥体，想一想，怎样放体积最大？（小组讨论）指名发言。
当争论不出结果时，老师给数据：教室长12m，宽6m，高4m。
并板书出来，再比较怎样放体积最大。
（四）指导看书，布置作业
（略）
课堂教学设计说明
本节课的主要特点有以下几点：
一是始终注意激发学生的求知欲。
新课一开始就让学生观察，猜测两组圆锥的大小，激发学习的欲望。
在公式推导过程中又引导学生估计两个等底等高的圆柱和圆锥的体积之间的倍数关系，使学生的学习兴趣进一步高涨。
在应用公式的教学中，又把问题转向了课初学生猜测体积大小的两个圆锥，并引导学生边测量，边计算，终于使悬念得出了满意的结果，使学生获得了成功的喜悦。
二是在教学中重视以学生为学习活动的主体，整个公式的推导，是建立在学生分组观察、实验操作、测量的基础上的，学生不仅参与了获取知识的全过程，更重要的是参与了获取知识的思维过程。
三是教学层次清楚，步步深入，重点突出。
四是练习有坡度，形式多，教学反馈及时、准确、全面、有效。