气体分子热运动速率和能量统计分布律
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第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下：
试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2
V
（3）最可几速率
Vp
解：（1）平均速率：
18.32
864200
.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
V (m/s)
(2) 方均根速率
37.32
2
≅∑∑=
i
i i N V N V
(m/s) 3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RT
V P
/39510
32300
31.8223
=⨯⨯⨯=
=
-μ
s m RT
V /446103214.3300
31.8883
=⨯⨯⨯⨯=
=
-πμ
s m RT
V
/4831032300
31.8333
2
=⨯⨯⨯=
=
-μ
3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K
和10000K 。
解：μ
RT
V P
2=
代入数据则分别为：
T=100K 时 s m V P
/1028.22⨯= T=1000K 时 s m V P
/1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P
/1028.23⨯=
3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因
μ
RT
V
32
=
πμ
2
8RT V
=
由题意得：
μ
RT
3πμ
2
8RT =
∴T 2/T 1=8
3π
3-5 求0℃时1.0cm 3
氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的
分子数（在计算中可将dv 近似地取为△v=1m/s ） 解：设1.0cm 3
氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间
内的分子数为△N ，由麦氏速率分布律： △
N=V
V e KT
m N V KT
m
∆⋅⋅⋅-2223
2)2(4ππ
∵ V p2= 2KT
m
，代入上式
△N=
V
V V p
p
e V V V
N
∆-
-⋅⋅2
221
4ρπ
因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ，
又s m V P
/4021028273
31.823
≅⨯⨯⨯=
- △V=1m/s
（v v p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3
N 个
3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s
之间的分子数△N 1与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。
解： 取分子速率为V 1=3000m/s V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s 由5题计算过程可得： △V 1=1
22
12214V V V p p
p
e V V V
N
∆-
-⋅⋅π
△N 2=
2
2
222
14V V V p
p
p
e V V V
N
∆-
-⋅⋅π
∴ △N/△N 2=
2
12
1
)(2
1)(21)()(p
p
p V V V V p e V V e V V --⋅
其中V P =
3
3
1018.210
257331.82⨯=⨯⨯⨯-m/s
v 1v p =1.375，v 2
v p
=0.687
∴ 969.0687.0375.12
2
687.02375
.1221≅⨯⨯=∆∆--e
e N N 解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，
用积分法求△N 1，△N 2
dN=
dV
V V V p P
e
V N
22
2
34-
-⋅π
△N 1=⎰⎰⎰-=12
2
1
V V V V dN dN dN
△N 2=⎰⎰⎰-=3
44
3
V V V V
dN dN dN
令X i =v i
v p
i=1、2、3、4利用16题结果:
2
2
)([0
i
i
x i i V e x x erf N dN --
=⎰
π
∴ △N 1=]2
)([]2
)([2
12
2112x x i e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（1） △N 2=
]2
)([]2
)([2
32
43344x x e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（２）
其中V P =
s m RT
/10182.223⨯=μ
375.111==
P V V x 379.122==P V V
x 687.033==
P V V x 6722.044==P
V V
x 查误差函数表得：