气体分子热运动速率和能量统计分布律
第三章气体分子热运动速率
C
0
2021/3/31
v v 0崎山苑工作室
28
（2）常数 C 由归一化条件求得
0v0 f (v)dv 1
0v0 Cdv 1
C v0 1
C
1 v0
（3）平均速率：
v
2021/3/31
0
1
v0
vf (v)dv
v02 2
1 2
v0
崎山苑工作室
0v0
v
1 dv v0
29
例3. 由麦氏分布律导出理想气体分子按平动动能的分布律,并找
f vx ,vy ,vz
m e 2
m
vx2
v
2 y
vz2
2kT
2kT
2021/3/31
dvx、dvy、dvz为速度空间的一个体积元
崎山苑工作室
32
＊速度空间(velocity space)的概念 v 表示分子的速度
以其分量vx、 vy、 vz为轴可构成一直角坐标系，
由此坐标系所确定的空间为速度空间。
崎山苑工作室
15
气体的三种统计速率
(1)最可几速率: 速率分布函数 f (v)中的极大值对应
的分子速率 v p 。
d f (v)
极值条件
0
f
(v)
4
dv
m
2kT
3
2
e
mv2 2kT
v
2
vp
2kT
m
2RT
1.41
RT
温度超高，vp越大；分子的质量越大， vp越小
2021/3/31
崎山苑工作室
h
dN(h) Nf (h)dh
h
《气体分子运动的统计规律》 讲义
《气体分子运动的统计规律》讲义一、气体分子的热运动在我们的日常生活中，气体无处不在，比如我们呼吸的空气、充满气球的氢气等。
那么，这些气体分子是如何运动的呢？气体分子处于永不停息的无规则运动之中，这种运动被称为热运动。
想象一下，在一个封闭的容器中，充满了气体分子，它们就像一群顽皮的孩子，四处乱跑，相互碰撞，没有固定的方向和轨迹。
气体分子的热运动具有以下几个特点：速度的多样性：不同的气体分子具有不同的速度。
有的分子运动速度快，有的则慢。
无规则性：它们的运动方向是随机的，无法预测下一刻某个分子会往哪个方向跑。
频繁的碰撞：分子之间会不断地发生碰撞，这使得它们的运动状态不断改变。
二、气体分子运动的统计规律既然气体分子的运动如此复杂和无规则，那我们要如何去描述和理解它们的整体行为呢？这就需要依靠统计规律。
什么是统计规律呢？简单来说，就是通过对大量个体行为的观察和分析，总结出的总体的、平均的规律。
对于气体分子，我们无法确切知道每个分子在每一时刻的具体运动状态，但我们可以通过统计方法来了解它们的一些总体特征。
比如，我们可以统计在一定温度和压强下，气体分子的速度分布情况。
麦克斯韦速度分布律就是描述气体分子速度分布的重要规律。
它告诉我们，在一定条件下，气体分子的速度分布呈现出一定的规律性，速度较小和较大的分子较少，而具有中等速度的分子较多。
再比如，气体分子对容器壁的压强，也是通过对大量分子撞击容器壁的行为进行统计得出的。
三、麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律是描述气体分子运动速度分布的关键规律。
假设在一个容器中充满了理想气体，处于平衡态。
麦克斯韦速度分布律表明，分子速度在三个方向上（x、y、z）的分量的分布都是独立的，且满足一定的概率分布。
具体来说，速度分量 vx 的分布函数为 f(vx) ， vy 和 vz 的分布函数类似。
通过对这些分布函数的积分，可以得到分子速度的大小 v 的分布函数 f(v) 。
麦克斯韦速度分布律在许多方面都有重要的应用。
热学-统计物理3 第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
v v pv v 2
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例1 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
M
3.方均根速率 v2
v2
N
0
v2dN N
0
v2Nf N
(v)dv
o
v
v2 v2 f (v)dv 4 ( m )3 2 e mv2 2kT v4dv
0
2 kT
0
v4ev2 dv 3
0
8 5
v2 3kT m
v2 3kT 3RT
2kT
v
麦克斯韦速率分布函数的物理意义： f (v) dNv
Nd v
既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率 v 附近单
位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意
一分子的速率出现在 v附近单位速率区间内的概率。
如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画 出的一条表示f(v) —v之间关系的曲线，称为气体分子的麦 克斯韦速率分布曲线。 ，它形象地描绘出气体分子按速率 分布的情况。
大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.
v
vNf (v)dv
0
vf (v)dv
v 4 (
m
)3 e2 mv2 2kT v2dv
N
0
0
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布规律
Ndv
2kT
1.麦克斯韦速率分布函数f()的物理意义
由 dN f (υ)dυ N
f (υ) dN Ndυ
f()表示：在速率附近的单位速率区间内的分子数占总 分子数的百分比。或分子速率出现在附近的单位速率区间内
的概率概率密度。
f (υ)dυ dN
N
—在速率区间 ~ +d 内的分子数占
例 (1) n f()d 的物理意义是什么？(n是分子的数密度)
(2) 写出速率不大于最可几速率p的分子数占总分子数
的百分比。
解 nf (υ)dυ Nf (υ)dυ dN
V
V
n f()d —表示单位体积中，速率在 ~+d 内的分子数。
(2) 写出速率不大于最可几速率p的分子数占总分子数的
dN v y N
g(y )dy
dNvz N
g(z )dz
（2）由独立概率相乘原理，粒子出现在x ~x+dx,y ~y+dy,z ~z+dz的
概率为：
dNv N
g(x )g(y )g(z )dxdydz
F • dxdydz
F就是速度分布函数
（3）由于粒子在任何方向上运动的概率相等，所以F应该与速度的方向 无关，应该是速度的大小的函数。
dNv N
1
3 3
e dv dv dv (vx2 vy2 vz2 ) / 2 xyz
转化成球坐标：
dvxdvydvz v2 sin dddv
vx2
v
2 y
vz2
v2
麦克斯韦速度分布：dNv 1 v2ev2 / 2 sin dddv N 3 3
分子热运动的速度和速率统计分布规律
f (v )
C
o
vo
v
解：
0
f (v)dv Cdv Cvo 1
0
vo
1 C vo
v vf (v)dv
0
vo
0
vo 1 v vo 2 2
2 o
2 vo Cvdv C 2
v v f (v)dv
2 2 0
voΒιβλιοθήκη 01 2 Cv dv vo 3
S1
Ag
例：利用麦克斯韦速率分布求：V
m 3 2 ) e 解： f (V ) 4π( 2πkT m 2 V 2 kT
p
V2 V
V2
kT 1.41 m
1.60 kT m
df (V ) 0 dV
2kT 2 RT Vp m M
8kT 8RT V πm πM
V V 2 f (V )dV
5
P 1.013 10 25 -3 N n 2.7 10 m -23 kT 1.38 10 273.15
M 28 10 kg mol
-3
-3
-1
M 28 10 -26 m 4.65 10 kg 23 N A 6.022 10
2 m N N e 2πkT
2 y
) g (v
2 z
)
2
+ v
2 y
g (v ) e
2 -av x
F (V ,V ,V ) Ae -aV
x y z
2
常数的确定：
---
F(v ,v ,v )dvdv dv 1
x y z x y z
热力学-3.气体分子动理论速率与能量
1.59 RT M
一般用于计算分子运动的平均距离；
同理，方均根速率
v2 v2 f (v)dv
3kT
3RT 1.73 RT
0
m
M
M
方均根速率用来计算分子平均动能。
最概然速率
2kT 2RT
RT
vp
m
1.41
M
M
最概然速率用在讨论分子速率分布。
f(v)
O
vp v v2
•在气体动理论方面，他提出气体分子按 速率分布的统计规律。
1。由于分子受到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的， 要某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某 个速率间隔内出现的概率；
2。哪怕是相同的速率间隔，但是不同的速率附近，其概率是不 等的。
速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小， 而居中速率的可能性则较大。
f (v) dN Ndv
速率分布函数
理解分布函数的几个要点： 1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的；
2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv； 3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
f (v)dv dN N
N v1 v2
v2
f (v)dv
第三章 气体分子热运动 速率和能量的统计分布律
内容回顾
第一章 平衡态和温度 第二章 压强和温度的微观本质
平均效果
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于
1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统 计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子 按速率分布的统计规律。
热学[李椿 章立源 钱尚武]习题解答_第三章气体分子热运动速率与能量的统计分布律
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第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2V （3）最可几速率Vp解：（1）平均速率：18.32864200.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=V (m/s)(2) 方均根速率37.322≅∑∑=ii i N V N V(m/s)3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RTV P /395103230031.8223=⨯⨯⨯==-μs m RTV /446103214.330031.8883=⨯⨯⨯⨯==-πμs m RTV/483103230031.83332=⨯⨯⨯==-μ3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。
解：μRTV P 2=代入数据则分别为：T=100K 时 s m V P /1028.22⨯= T=1000K 时 s m V P /1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P /1028.23⨯=3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因μRTV32=πμ28RT V =由题意得：μRT3πμ28RT =∴T 2/T 1=83π3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可将dv 近似地取为△v=1m/s ）解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，由麦氏速率分布律：△ N=V V e KTm N V KTm∆⋅⋅⋅-22232)2(4ππ ∵ V p2= 2KTm ，代入上式 △N=VV V ppe V V VN∆--⋅⋅222214ρπ因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又s m V P /402102827331.823≅⨯⨯⨯=- △V=1m/s （vv p=）代入计算得：△N=×10－3N 个3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。
热学-第三章气体分子热运动速率和能量分布
等概率性
在平衡态下，系统从任意一个微观状态转移到另一个 微观状态的概率相等。
宏观态与微观态等概率性的意义
平衡态是系统内部最混乱的状态，即系统内部各个分 子运动状态的分布最均匀，没有明显的有序性。
热力学概率与宏观态的等概率性
热力学概率
宏观态等概率性与热力学概 率的关系
在平衡态下，系统处于各个宏观态的概率相等，即 热力学概率相等。
了解气体分子的能量分布和速度分布有助于深入理解热力学的基本原理，如温度 、内能、熵等概念。
03 气体分子的碰撞和动量传 递
气体分子间的碰撞频率
总结词
气体分子间的碰撞频率与气体分子的速度分布和分子间的距离有关，是气体分子热运动的重要参数。
详细描述
气体分子间的碰撞频率是指在单位时间内，两个分子相互碰撞的次数。由于气体分子的速度分布和分 子间的距离不同，碰撞频率也会有所差异。在理想气体中，碰撞频率可以用公式计算，它与气体分子 的平均自由程和分子速度有关。
定义
气体分子在热运动中具有的 平均能量是指所有气体分子 的总能量除以分子总数。
计算公式
平均能量 = (总能量) / (分子 总数)
影响因素
温度和物质的种类会影响气 体分子的平均能量。
气体分子的最可几能量
01
定义
气体分子在热运动中具有的最可 几能量是指一定温度下，占据一 定数量的分子的主要能量的值。
熵与自然过程的不可逆性
熵与自然过程的不可逆性密切相关，因为高熵状态对应于无序程度较高的状态，低熵状态对应于有序 程度较高的状态。
在自然过程中，由于熵增加原理的作用，系统总是向着高熵状态发展，即从有序向无序发展。因此，许 多自然过程都是不可逆的。
例如，物体受热会膨胀，但自发地收缩；化学反应会进行到底，但自发地逆向反应很困难；生物体衰老 和死亡后不能自发地恢复青春等。这些都是由于系统内部熵增加导致的不可逆过程。
第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
v vxi vy j vzk
速度空间体积元
速率分布是速度矢量大小被限制在一定区间
满足此条件的速度矢量其端点位于半径为 v，厚度为dv的球壳内
球壳体积为
17
用球壳体积
代替
并注意 v2 vx2 v2y vz2 得麦克斯韦速率分布
dN 4π(
n n 1 n
•分子数∆n 越大，涨落的百分数就越小，涨落现象越不显著。
• 麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。 9
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
平均速率（算术平均值）
离散型
v v1N1 v2N2 viNi vnNn i viNi
N
N
连续型
N
v 0 vdN 0 vNf (v)dv
•当R 以一定的角速度转动，铋分子由S3到达G需用一段时间。 • 这段时间内R己转过一角度，铋分子不再沉积在板上P处。 • 不同速率的分子将沉积在不同的地方．速率大的分子由S3到G所需
的时间短，沉积在距P较近的地方，速率小的分子沉积在距P较远 的地方。
34
•设速率为 v的分子沉积在P’处以s 表示弧PP’的长度。 表示R的
N1, N2,…, Ni, …
小球在槽内的分配情况，称为一种分布。
总数足够大，槽内的小球的数目与小球总数之比
..........
.. . .
.......
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. .
. . .
.
. . .
.
. . .
热学[李椿章立源钱尚武]习题解答_第三章气体分子热运动速率与能量的统计分布律
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第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2V （3）最可几速率Vp解：（1）平均速率：18.32864200.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=V (m/s)(2) 方均根速率37.322≅∑∑=ii i N V N V(m/s)3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RTV P /395103230031.8223=⨯⨯⨯==-μs m RTV /446103214.330031.8883=⨯⨯⨯⨯==-πμs m RTV/483103230031.83332=⨯⨯⨯==-μ3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。
解：μRTV P 2=代入数据则分别为：T=100K 时 s m V P /1028.22⨯= T=1000K 时 s m V P /1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P /1028.23⨯=3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T 2/T1。
解：因μRTV32=πμ28RTV=由题意得：μRT3πμ28RT=∴T2/T1=83π3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s）解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律：△N=VVeKTmN VKTm∆⋅⋅⋅-22232)2(4ππ∵ Vp2=2KTm，代入上式△N=VVVppeVVVN∆--⋅⋅222214ρπ因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s，又smVP/402102827331.823≅⨯⨯⨯=-△V=1m/s（vvp=）代入计算得：△N=×10－3N个3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。
气体分子热运动速率和能量的统计分布律
f (v)
dS
o v v dv
物理意义
表示在温度为 T 的平衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的
v 百分比 .
热学
3
dN f (v)dv dS N
表示速率在 v v dv
区间的分子数占总分子数的 百分比 .
归一化条件
N
0
dN N
0
f
(v)dv
1
f (v)
速率位于 v v dv 内分子数
热学
11
麦克斯韦（James Clerk
Maxwell 1831-1879)
1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统
地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著
《论电和磁》，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立
的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，
麦克斯韦是19世纪伟大的英国物理学家、数 学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡， 自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯 韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学 学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一 篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众 的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物 理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习， 1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业 留校任职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里 沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院 任自然哲学和天文学教授。
vp
2kT m
2 RT M
v
8kT πm
v2 3kT m
热学
9
f (v)
热学第三章
3/ 2
1
1
1
1/ 2
1
1/ 2
1
1 y m −2v2 / kT f (vy ) = e 2πkT 1 m −2vz2 / kT f (vz ) = e 2πkT 1/ 2
1/ 2
f (v) = f (vx ) f (vy ) f (vz )
积分公式：
translation rotation
2
如果某种气体的分子有t个平动自由度，r个转 动由度，s个振动自由度，则分子的平均平动 s t kT ， kT 能，平均转动能和平均振动能就分别为 2 2 r 1 kT 和 2 ，而分子的平均总动能即为 (t + r + s)kT
2
注意：能量均分定理是一种统计规律。对于个别分子，在任一瞬时 它的各种形式动能不具有上述关系。大量粒子通过碰撞，使各种形 式的动能发生传递和转换，从而实现能量均分的统计结果。
e
v dv
m = 4π 2πkT 3RT = M v =
__ 2
3/ 2
∫
1 ∞ − mv2 / kT 4 2 0
e
v dv
3RT M
积分公式：
∫
∞
0
e
−λv2 3
1 v dv = 2 2λ
,
∫
∞
0
e
−λv2 4
v dv =
3 π 8 λ5
比较：
vp =
2RT M
, v=
8RT πM
§2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律（1）
一、分子射线
S 金属蒸气
S1
S2
准直器
§2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律（2）
气体的分子速率与动能分布计算
气体的分子速率与动能分布计算气体的分子速率与动能分布计算是研究气体分子在给定温度下的运动特性的重要方法。
通过计算分子速率和动能分布，可以揭示气体分子的速度分布情况、动能转移和分子碰撞等基本动力学过程。
本文将介绍气体的分子速率与动能分布计算的基本原理和方法，并给出相关公式和计算实例。
【概述】气体分子速率与动能分布计算是通过统计力学和热力学理论推导而来的，主要基于以下假设和原理：1. 气体分子是质点：气体分子在宏观尺度上可以看作质点，忽略其内部结构和形状。
2. 分子间相互作用：气体分子之间的相互作用主要通过碰撞传递能量和动量，对于稀薄气体来说，分子间的相互作用可以被视为弹性碰撞。
3. 热力学平衡：气体分子达到热力学平衡状态，分子速率和动能分布保持一定的统计规律。
【分子速率的计算】在给定温度下，气体分子的速率服从麦克斯韦-波尔兹曼分布。
麦克斯韦-波尔兹曼速率分布函数表示了不同速率下分子的数量分布。
分子速率的计算公式为：f(v) = 4π(μ/2πkT)^(3/2)v^2e^(-μv^2/(2kT))其中，f(v)表示速率为v的分子数量，μ为分子的摩尔质量，T为温度，k为玻尔兹曼常数。
通过计算分子速率分布函数，可以得到不同速率区间内分子数量的分布情况。
这对于研究气体分子的能量转移、速率相关物性和反应动力学等问题具有重要意义。
【动能分布的计算】气体分子的动能分布可以通过速率分布函数进一步计算得到。
动能分布表示了不同分子速率下的动能分布情况。
动能分布的计算公式为：g(E) = (2πμ/(kT))^(3/2)(2/3)√(E/πμ)^(1/2)e^(-E/(kT))其中，g(E)表示动能为E的分子数量，μ为分子的摩尔质量，T为温度，k为玻尔兹曼常数。
通过计算动能分布函数，可以得到不同动能区间内分子数量的分布情况。
这对于研究气体的能量转移和反应动力学过程具有重要意义。
【计算实例】以氢气(H2)分子在300K温度下为例，计算其分子速率和动能分布。
热学第三章气体分子速率和能量统计分布律
vz ~vz dvz 内的分子数 dNvx ,vy ,vz
即：在速度空间中，在速度分
量 v x ，附v y近，v的z 小立方体
区间dv范xd围vy内dv的z 代表点数（即分 子数）就是麦克斯韦速度分布
中的
d Nvx ,vy ,vz
d N v x ,v y ,v z N f(v x ,v y ,v z)v x d d v y d v z
kT1.59 m
RT
3）方均根速率 v 2
N v2dN v2Nf(v)dv
v2 0
0
f (v)
N
N
v2 f (v)dv 0
o
v
v2 3kT m
v2
3kT m
3R T1.73R T
vp v v2
v1.59
kT1.59 m
RT
vp
2kT m
2R T1.41RT
方均根速率
1m2 3kT
2
解： 速率在 v vdv间的分子数 dNN(v f)dv
1）
v v Nf( )dv
vp
2）
v p 1 2mv2Nf(v)dv
3）
2 Nf ()d
1~2
ห้องสมุดไป่ตู้
1
2 Nf ()d
1
例 如图示两条 f(v)~v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最概然速率 .
解：
1、必要的假设：
取直角坐标系 xyz
在垂直于 x 方向上取面积 d A
设单位体积内的气体分子数为
n
n
N
V
vx ~vx dvx 2、求一段时间 d t 内速度分量在 vy :~范围内
《气体分子运动的统计规律》速率分布曲线
《气体分子运动的统计规律》速率分布曲线《气体分子运动的统计规律——速率分布曲线》当我们谈论气体时，往往会想到它们的自由扩散、压力和温度等特性。
而这些宏观现象的背后，其实是无数气体分子微观运动的结果。
在研究气体分子的运动时，速率分布曲线是一个非常重要的概念。
要理解速率分布曲线，首先得明白气体分子的运动是极其复杂和无序的。
想象一下，在一个封闭的容器中，充满了大量的气体分子，它们以不同的速度和方向在空间中自由移动，相互碰撞，不断改变着运动状态。
那么，这些分子的速率是如何分布的呢？简单来说，速率分布曲线就是用来描述在一定温度下，气体分子速率的分布情况的图形。
假设我们能够测量容器中每一个气体分子的速率，并将它们按照大小进行分类统计。
我们会发现，大多数分子的速率并不是集中在某个特定的值上，而是呈现出一种“中间多、两头少”的分布特点。
具体来看，速率较小和速率较大的分子数量相对较少，而速率处于中间某个范围内的分子数量则相对较多。
这就像是在一场考试中，成绩特别好和特别差的学生是少数，成绩中等的学生占了大多数。
为什么会出现这样的分布呢？这其实与分子的热运动有关。
在一定温度下，分子具有一定的平均动能。
但是由于分子之间的碰撞和能量交换，使得它们的速率存在差异。
速率分布曲线通常是一条光滑的曲线。
它的横坐标表示分子的速率，纵坐标则表示对应速率的分子数占总分子数的比例。
通过这条曲线，我们可以得到很多有用的信息。
比如，曲线的峰值对应的速率，就是在这个温度下出现概率最大的速率，我们称之为最概然速率。
它反映了在该温度下分子运动的一种典型情况。
另外，曲线下的面积表示分子的总数。
这意味着，如果我们对曲线进行积分，就可以得到分子的总数。
不同温度下的速率分布曲线也是有所不同的。
一般来说，温度越高，曲线会变得更加平坦和宽阔。
这是因为温度升高，分子的平均动能增大，运动速度加快，速率的分布范围也就更广了。
除了温度，气体的种类和压强等因素也会对速率分布曲线产生影响。
§3.1 气体分子的速率分布
mv 2 Av 2 exp 2kT
可以通过归一化可求出系数 A 。
0
m v2 Av2 exp dv 1 2kT
m 3/ 2 A 4 ( ) 2kT
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
(1) 平均速率
v vf (v)dv
1/ 2
mv i2 exp 2kT
dvi
其中i 可分别代表x、y、z。
x 方向速度分量的概率
分布曲线如图所示,它对 称于纵轴，图中打上斜线 狭条面积即
2 m vx dN (vx ) m 1/ 2 f (vx )dvx ( ) exp dvx N 2kT 2kT
v v2
v p : v : v 2 1 : 1.128: 1.224
四、 麦克斯韦速度分布
前面已指出，麦克斯韦是先导出速度分布，然后再 从速度分布得到速率分布的。
本节中介绍麦克斯韦速度分布。
为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念。
速度矢量
要描述气体分子的速度大小和方向，
需引入速度矢量这一概念.
§1 . 气体分子的速率分布律 大数分子无规则运动及它们之间频繁地相互碰撞;
分子以各种大小不同的速率随机地向各个方向运动;
在频繁的碰撞过程中，分子间不断交换动量和能量，使 每一分子的速度不断变化。
处于平衡态的气体，虽然每个分子在每一瞬时的 速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多数分子 之间存在一种统计相关性，这种统计相关性表现为平 均说来气体分子的速率（指速度的大小）介于任何 v 到v + dv 的概率（即速率分布函数）是不会改变的。
右图示意表示了麦克斯韦速率
第三章 气体分子热运动速率和分布函数_电子教案白
第 一 节 气体分子的速率分布律
一、 速率分布函数 1．分子速率分布 平衡态下，分布在各速率区间内的分子数占总 分子数的百分率。令 N 为分子数，平衡态下在速率 v : v + dv 内
dN dN = f (v) dv ⇒ f (v) = Ndv N 2、物理意义：在速率 v 附近，单位速率间隔内出现的分子数占总
2
N = 2.6875 ×1019 个 ∆N = 2.484 ×1017
（2） v = vp＝
2 kT m0
3
∆v =
− m0 v 2 2 kT
vp 100 4 −1 11 = 4π ( 2 ) 2 e N vp
例：理想气体，求 v = 的分子数的比值。
v 2 ∆v =
解： （1） f (v) =
dN 4πA 2 = v = kv 2 Ndv N
vF
（2）
∫
∞
0
f (v)dv = ∫
∞ 2
0
4π Av 2 vF 3 dv = 1 = 4π A N 3N
vF 2
A=
3N 4π vF 3
（3） v =
2
∫
0
v f (v)dv = ∫
0
2 vF 4π Av2 3 2 3v v dv = ∫ v 3 dv = vF 2 0 N vF 5
2 2 =1:2:4 ，则 p : p : p =？ : v 2 2 : vC C B A B
1
解：
pA : pB : pC = nkTA : nkTB : nkTC
∵ (v ) : (v ) : (v ) =
1 2 2 A
1 2 2 B
热学 (3 第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布率)
f ()d dN
N
dN
2
＝
f
( )d
N 1
表示速率分布在→+d内的
分子数占总分子数的概率
表示速率分布在1→2内的分
子数占总分子数的概率
N
0
dN N
0
f
d
1
归一化条件
应注意的问题:
分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：
1、作速率分布曲线。 2、由N和vo求常数C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。
f (v)
C ( vo> v > 0) 0 ( v > vo )
f (v)
解：
f (v)dv
0
vo 0
Cdv
Cvo
1
C
C 1 vo
o
vo v
o f ()d o Cd C o2
3. 方均根速率
2
2
f
d
0
3
2
4
m
2 kT
2
e
m 2 2kT
4
d
3kT
3RT
0
mM
2 3kT 3RT
m
M
4. 三种速率的比较
最概然速率
p
2kT m
2RT M
平均速率
8kT 8RT m M
方均根速率
一、速率分布函数
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §4 能量按自由度均分定理
2
§1 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
设总分子数N，速率区间v ~ v+dv内分子数 dN占总 分子数的比率为： dN f (v)dv ，其中：
1mol理想气体内能为：
Um
1 2
(r
t
2s)RT
，因此：
CV ,m
1 2
(r
t
2s)R
只与自由度有关
单原子分子气体：
CV ,m
3 2
R
双原子分子气体：
7 CV ,m 2 R
35
五、经典理论的缺陷
CV ,m
根据经典理论：
7R 2
一切双原子分子CV,m相同
5R 2
CV,m与温度无关
3R 2
T/K
理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量 连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。
单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vx~vx+dv之间的分子数为：
nvx
f
(vx )dvx
nvx
m
2kT
1/ 2
e dv mvx2 / 2kT x
单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：
0 nvx f (vx )dvx
n
m
1/ 2
2kT
e v dv mvx2 / 2kT
0
xx
n
kT
气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
第三章气体分子热运动速率
3.1 气体分子的速率分布律 3.2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 3.4 能量按自由度均分定理
1
3.1 气体分子的速率分布律
统计规律性： 统计规律性： 分子运动论从物质微观结构出发， 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的 系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下） 系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是 无规则的 存在着极大的偶然性。但是， 无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确 定的规律性。（例 理想气体压强） 规律性。（ 定的规律性。（例：理想气体压强） 人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性 称为统计规律性 统计规律性。 称为统计规律性。 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶 然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分 然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下， 子的速度分布也遵从一定的统计规律。 子的速度分布也遵从一定的统计规律。为研究气体分子速度 分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概念。 分布函数的概念 分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概念。
dNv m mv 2 2kT 2 v dv = 4π e N 2πkT
dNv = f (v)dv N
3 2
麦克斯韦速率分布函数
3 2
m mv 2 2kT 2 f (v) = 4π v e 2πkT
9
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O
v vp
v
10
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
N N N = ∴n f (v)dv= v1 V N V 表示分布在单位体积内， 表示分布在单位体积内，速率区间 v1 →v2
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第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律3-1 设有一群粒子按速率分布如下：试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2V（3）最可几速率Vp解：（1）平均速率：18.32864200.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=V (m/s)(2) 方均根速率37.322≅∑∑=ii i N V N V(m/s) 3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：s m RTV P/395103230031.8223=⨯⨯⨯==-μs m RTV /446103214.330031.8883=⨯⨯⨯⨯==-πμs m RTV/483103230031.83332=⨯⨯⨯==-μ3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K和10000K 。
解：μRTV P2=代入数据则分别为：T=100K 时 s m V P/1028.22⨯= T=1000K 时 s m V P/1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P/1028.23⨯=3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。
解：因μRTV32=πμ28RT V=由题意得：μRT3πμ28RT =∴T 2/T 1=83π3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可将dv 近似地取为△v=1m/s ） 解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，由麦氏速率分布律： △N=VV e KTm N V KTm∆⋅⋅⋅-22232)2(4ππ∵ V p2= 2KTm，代入上式△N=VV V ppe V V VN∆--⋅⋅22214ρπ因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ，又s m V P/402102827331.823≅⨯⨯⨯=- △V=1m/s（v v p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s之间的分子数△N 1与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。
解： 取分子速率为V 1=3000m/s V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s 由5题计算过程可得： △V 1=12212214V V V p ppe V V VN∆--⋅⋅π△N 2=2222214V V V pppe V V VN∆--⋅⋅π∴ △N/△N 2=2121)(21)(21)()(ppp V V V V p e V V e V V --⋅其中V P =331018.210257331.82⨯=⨯⨯⨯-m/sv 1v p =1.375，v 2v p=0.687∴ 969.0687.0375.122687.02375.1221≅⨯⨯=∆∆--ee N N 解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求△N 1，△N 2dN=dVV V V p PeV N22234--⋅π△N 1=⎰⎰⎰-=1221V V V V dN dN dN△N 2=⎰⎰⎰-=3443V V V VdN dN dN令X i =v iv pi=1、2、3、4利用16题结果:22)([0iix i i V e x x erf N dN --=⎰π∴ △N 1=]2)([]2)([2122112x x i e x x erf N e x x erf N -----ππ（1） △N 2=]2)([]2)([23243344x x e x x erf N e x x erf N -----ππ（２）其中V P =s m RT/10182.223⨯=μ375.111==P V V x 379.122==P V Vx 687.033==P V V x 6722.044==PV Vx 查误差函数表得：erf(x 1)=0.9482 erf(x 2)=0.9489erf(x 3)=0.6687 erf(x 4)=0.6722将数字代入（１）、（２）计算，再求得：703.021=∆∆N N3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间v p ～1.0v p 1内 （2） 速度分量v x 在区间v p ～1.0v p 1内（3） 速度分量v p 、v p 、v p 同时在区间v p ～1.0v p 1内 解：设气体分子总数为N ，在三种情况下的分子数分别为△N 1、△N 2、△N 3（1） 由麦氏速率分布律： △ N=⎰⎰⎰-=1221V V V VdN dN dN令v 2=1.01v p ，v i =v p ，pi i v v x =，则111==p v v x ，01.122==pv vx ，利用16题结果可得；2122112212)(2)(x x e x x erf e x x erf N N --+--=∆ππ查误差函数表：erf （x 1）=0.8427 erf （x 2）=0.8468 ∴008.01=∆NN（2） 由麦氏速率分布律：x v v p x dv ev NdN px221--=π∴x v v v p x v v v p dv ev Ndv ev NN px px 2122)(1)(12----⎰⎰-=∆ππ)(])(exp[1)(])(exp[12020212px p x v v p x p x v v v vd v v v v d v v N N p p ⎰⎰---=∆ππ令p x v v x =， 111==p v v x ，01.122==pv vx ∴dx edx eN N x x x x ⋅-=∆--⎰⎰2122211ππ利用误差函数：dx x xp e x erf x)(2)(20-=⎰π%21.0]8427.08468.0[21)()([21122=-=-=∆x erf x erf N N （3）令px v v x =，由麦氏速度分布律得：zy x v v v v p dv dv dv e v N dN pzy x ⋅=++--2222331ππ833230033108.0)002.0()(][)1(211222---⨯==∆=-=∆⎰⎰NN dx e dx e N N x x x x π3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv 为纵坐标，v 为横坐标，作1摩尔氧气在100K 和400K 时的分子速率分布曲线。
解：由麦氏速率分布律得：22232)2(4v e KTm N dv dN v KTm-=ππ 将π=3.14，N=N A =6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数： A=e KT m N A 23)2(4ππ KT mB 2=∴22V Ae dvdNBV ⋅=- （1）为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为： 令22V Ae dvdNy BV ⋅==-则 0)]2(2[222=-⋅+⋅=--BV e V V e A dvdyBV BV 得BV VP 1==又在V=0时，y=0，V →∞时，y →0 又mKT B V P 11121==mKT B V P 22221==∵T 1=100K ＜T 2=400K ∴1P V ＜2P V 由此作出草图3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值v1。
解：VKT m e mKT KT m V KTm d V e m KT KT m VdVeKTmdv V f Vv KTmV KT mKTmv ππππππππ42)()2(4)2()()2(4)2(4)(110223220223223022==⋅-⋅=-⋅⋅-===∞-∞-∞-∞⎰⎰⎰3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm 的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg 。
（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。
（2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？解：（1）)/(1098.11020114.337331.88823s m RTV ⨯=⨯⨯⨯⨯==-πμ（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：t s V n N⋅⋅=41其中KTV P Vn ⋅=4141是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2)2(d s π=是小孔面积，t=3600s ，故t s V KTP N ⋅⋅⋅=41，代入数据得：N=4.05×1019（个） ∴)(1035.11005.41002.610201219233g N N m N M A--⨯=⨯⨯⨯⨯===μ3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p 1、n 1、p 2、n 2。
两部分气体的温度相同，都等于T 。
摩尔质量也相同，均为μ。
试证明：如隔板上有一面积为A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：)(221P P A RTM -=πμ证明：设p 1＞p 2，通过小孔的分子数相当于和面积为A 的器壁碰撞的分子数。
从1跑到2的分子数：t A V n N ⋅⋅=11141从2跑到1的分子数：t A V n N ⋅⋅=22241实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）)221121(41V n V n At N N N -=-=∆ 因t=1秒，KTP n =，πμRTV8=T 1=T 2=T∴)(2)(841)(841212121P P A RTP P RTRTA KT P KT PRT Am n m M -=-=-==∆=πμπμμπμ若P 2＞P 1，则M ＜0，表示分子实际是从2向1转移。
3-12 有N 个粒子，其速率分布函数为)0()(0〉〉==v v C NdvdNv f )(0)(0v v v f 〈=(1) 作速率分布曲线。
(2) 由N 和v 0求常数C 。
(3) 求粒子的平均速率。
解：（1） )0()(0〉〉=v v C v f)(0)(0v v v f 〈=得速率分布曲线如图示（2）∵1)(0=⎰∞dv v f∴10)(0==⎰⎰∞v cdv dv v f 即10=cv 01v c =（3）02002121)(v cv dv v vf v ===⎰∞3-13 N 个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v ＞v 0时，粒子数为零）。