浙教版八下数学各章节知识点及重难点整理

浙教版八下数学各章节知识点及重难点

第一章二次根式

知识点一：二次根式的概念

二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，

所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当时，有意义，

是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有

意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的

算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

1

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：

若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即

；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平

方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而

2

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，

而.

知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。

知识点八:同类二次根式：

化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。

知识点九: 二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

二次根式的乘法：

二次根式的除法：

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．强调：二次根式具有双重非负性。

（4）二次根式的混合运算：

先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．

注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成

假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．

（5）有理化因式：

一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①与；②与；

3

4③

与

； ④

与

．

说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化． （6）分母有理化：

分母有理化也称为有理化分母。就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。

(1)形如：

a a

b a

a a

b a

b =

•=

或

b

a b

a c b

a b a b a c b

a c

±±=

±•±±•=± (2)形如：

b

a b a c b a b a b a c b

a c ±=

±•=

±2)

()

)(()( 或 b

a b a c b a b a b a c b

a c -=

±•=

±)

()

)(()(

【难点指导】

1、如果是二次根式，则一定有；当

时，必有

；

2、当时，

表示的算术平方根，因此有

；反过来，也可以将一个

非负数写成

的形式；

3、表示

的算术平方根，因此有，可以是任意实数；

4、区别

和

的不同：

中的可以取任意实数，

中的只能是一个非负数，否则

无意义．

5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若

，则将负号留在根号外．即：

．

（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：

6、二次根式的比较： （1）若

，则有

；（2）若

，则有

．

说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．