2019-2020学年云南省大理州高三(上)11月月考数学试卷(文科)
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2019-2020学年云南省大理州高三（上）11月月考数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={1,?2,?3}，B={x|(x+1)(x?2)<0,?x∈Z}，则A∪B=( )
A.{1}
B.{1,?2}
C.{0,?1,?2,?3}
D.{?1,?0,?1,?2,?3}
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
并集及其运算
【解析】
先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．
【解答】
解：∵集合A={1,?2,?3}，
B={x|(x+1)(x?2)<0,?x∈Z}={0,?1}，
∴A∪B={0,?1,?2,?3}．
故选C．
2. 设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=()
A.1 2
B.√2
2
C.√2
D.2
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵(1+i)z=2i，
∴(1?i)(1+i)z=2i(1?i)，z=i+1．
则|z|=√2．
故选C.
3. 某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】
D
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少；月跑步平均里程高峰期大致在9、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳．
【解答】
由2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制的折线图，知：
在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；
在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；
在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；
在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．
4. 边长为m的正方形内有一个半径为n(n 2 )的圆．向正方形中随机扔一粒豆子（忽 略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为3 4 ，则圆周率π的值为（） A.3m 4n B.3m2 4n2 C.3n 4m D.3n2 4m2 【答案】 B 【考点】 几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】 由几何概型中的面积型概率的求法，求出圆周率π的值即可得解． 【解答】 设事件A为“向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），它落在该圆内”由几何概型中的面积型可得： P(A)=S S ， 即πn2 m2=3 4 ， 即π=3m2 4n2 ， 5. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A.2 B.3 2C.5 3 D.8 5 【答案】 C 【考点】 程序框图 【解析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】 当k＝0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝1，S＝2， 当k＝1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝2，S=3 2 ， 当k＝2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k＝3，S=5 3 ， 当k＝3时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：5 3 ， 6. 若点P(cosθ,?sinθ)在直线3x?4y＝0上，则cos2θ＝（） A.?7 25B.7 25 C.±7 25 D.16 25 【答案】 B 【考点】 二倍角的三角函数 【解析】 由题意求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的余弦公式，求得cos2θ的值． 【解答】 ∵点P(cosθ,?sinθ)在直线3x?4y＝0上， ∴3cosθ?4sinθ＝0，故有tanθ=3 4 ， 则cos2θ=cos 2θ?sin2θ cos2θ+sin2θ=1?tan2θ 1+tan2θ =1? 9 16 1+9 16 =7 25 ， 7. 已知等比数列{a n}满足a1+a2＝6，a4+a5＝48，则数列{a n}前10项的和为S10＝（） A.1022 B.1023 C.2046 D.2047 【答案】 C 【考点】 等比数列的前n项和 【解析】 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】 设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝6，a4+a5＝48，∴a1(1+q)＝6， a1q3(1+q)＝48， 联立解得a1＝q＝2． 则数列{a n}前10项的和为S10=2(210?1) 2?1 =2046． 8. 若函数f(x)＝e x cosx在点（0,?f(0)）处的切线与直线2x?ay+1＝0互相垂直，则 实数a等于（） A.?2 B.?1 C.1 D.2 【答案】 A 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 求出原函数的导函数，得到f′(0)，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解． 【解答】 ∵f(x)＝e x cosx，∴f′(x)＝e x cosx?e x sinx， ∴f′(0)＝e0cos0?e0sin0＝1， 又函数f(x)＝e x cosx在点（0,?f(0)）处的切线与直线2x?ay+1＝0互相垂直， ∴1×2 a =?1，即a＝?2． 9. 某几何体的三视图如图所示（单位相同），记该几何体的体积为V，则V＝（） A.243 2B.243 C.729 2 D.729 【答案】 B 【考点】 由三视图求体积 【解析】 由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥P?ABCD，图中正方体的棱长为9，再由棱锥体积公式求解． 【解答】 由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四棱锥P ?ABCD ，图中正方体的棱长为9， 则V P?ABCD =1 3×9×9×9=243． 10. 设F 是双曲线C: y 29 ?x 2b =1(b >0)的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点 恰为虚轴的一个端点，则C 的离心率为（ ） A.2 B.√2 C.5 D.√5 【答案】 D 【考点】 双曲线的离心率 【解析】 利用双曲线的性质，求出b ，c ，代入即可． 【解答】 令y ＝c ，则x = b 2a = b 23 =2b ， 则b ＝6，c 2＝9+36＝45，c ＝3√5， 所以e =c a =√5， 11. 下列命题正确的是（ ） A.函数f(x)=x 1 3?(1 2 )x 的零点在区间(13,1 2)内 B.命题“?x ∈R ，x 2?1>0”的否定是“?x ∈R ，x 2?1<0” C.已知实数a 、b ，则“a >b ”是“a 2>b 2”的必要不充分条件 D.设m ，n 是两条直线，α，β是空间中两个平面．若m ?α，n ?β，m ⊥n ，则α⊥β 【答案】 A 【考点】 命题的真假判断与应用 【解析】 由函数零点判定定理判断A ；写出特称命题的否定判断B ；由充分必要条件的判定方法判断C ；利用空间中的线面关系判断D ． 【解答】 ∵ 函数f(x)=x 1 3?(12 )x 为实数集上的增函数， 又f(13)=√133 ?√123 <0，f(12)=√123 ?√1 2 >0∴ 函数的零点在区间(13,?1 2)内，故A 正确； “?x ∈R ，x 2?1>0”的否定是“?x ∈R ，x 2?1≤0”，故B 错误； 已知实数a ，b ，由a >b ，不一定有a 2>b 2，反之由a 2>b 2，不一定有a >b ，则“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，故C 错误； 设m ，n 是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m ?α，n ?β，m ⊥n ，则α与β相交或α?//?β，故D 错误． 12. 设函数f(x)＝e x +x ?2，g(x)＝lnx +x 2?3．若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则（ ） A.g(a)<0 B.f(b)<0 C.0 D.f(b) 【考点】 函数与方程的综合运用 【解析】 先判断函数f(x)，g(x)在R 上的单调性，再利用f(a)＝0，g(b)＝0判断a ，b 的取值范围即可． 【解答】 ①由于y ＝e x 及y ＝x ?2关于x 是单调递增函数，∴ 函数f(x)＝e x +x ?2在R 上单调递增， 分别作出y ＝e x ，y ＝2?x 的图象，∵ f(0)＝1+0?2<0，f(1)＝e ?1>0，f(a)＝0，∴ 0 同理g(x)＝lnx +x 2?3在R +上单调递增，g(1)＝ln1+1?3＝?2<0，g(√3)=ln √3+(√3)2?3=1 2ln3>0，g(b)＝0，∴ 1 ∴ g(a)＝lna +a 2?3 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 若向量a →,b → 满足|a →|=√3,|b → |=2,a →⊥(a → ?b → )，则a → 与b → 的夹角为________． 【答案】 π6 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【解析】 根据a →⊥(a →?b → )即可得出a →?(a →?b → )=0，从而可求出a → ?b → =3，这样根据向量夹角的 余弦公式即可求出cos >=√32，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 【解答】 ∵ |a →|=√3,|b → |=2，a →⊥(a →?b → )， ∴ a →?(a →?b → )=a →2?a →?b → =3?a →?b → =0， ∴ a →?b → =3， ∴ cos >= a →?b → |a →||b → | =2 √ 3 =√3 2 ， 又0≤≤π， ∴ a → 与b → 的夹角为π 6． 已知等差数列{a n }的前n 项为S n ，且a 1+a 5＝?14，S 9＝?27，则使得S n 取最小值时的n ＝________． 【答案】 6 【考点】 等差数列的前n 项和 【解析】 由题意，可根据a 1+a 5＝?14，S 9＝?27解出数列的公差，从而求得数列的通项公式，求出所有负项的个数，即可得出S n 取最小值时，n 所取的值． 【解答】 设等差数列{a n }的公差是d ， ∵ a 1+a 5＝?14，S 9＝?27， ∴ 2a 1+4d ＝?14，即a 1+2d ＝?7，① S 9= 9(a 1+a 9) 2=9(a 1+4d)＝?27，即a 1+4d ＝?3，② 联立①②得到：a 1＝?11，d ＝2． 故有a n ＝a 1+(n ?1)d ＝2n ?13． 令a n ≤0，可解得n ≤ 132 ，由此知，数列的前6项为负项． 故S n 取最小值时，n 等于6． 已知三点O(0,?0)，A(?2,?1)，B(2,?1)，曲线C 上任意一点M(x,?y)，满足|MA → +MB → |=OM → ?(OA → +OB → )+2，则曲线C 的方程为________． 【答案】 x 2＝4y 【考点】 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 先由各点坐标求出各向量坐标，代入满足的等式，化简即可得到曲线C的方程． 【解答】 ∵点O(0,?0)，点A(?2,?1)，点B(2,?1)，点M(x,?y)， ∴MA→=(?2?x,?1?y)，MB→=(2?x,1?y)，OM→=(x,?y)，OA→=(?2,?1)，OB→= (2,?1)， ∴MA→+MB→=(?2x,?2?2y)，OM→?OA→=?2x+y，OM→?OB→=2x+y， ∵满足|MA→+MB→|=OM→?(OA→+OB→)+2， ∴√(?2x)2+(2?2y)2=OM→?OA→+OM→?OB→+2＝?2x+y+2x+y+2＝2y+2， 即：4x2+(2?2y)2＝(2y+2)2， 化简得：x2＝4y， ∴曲线C的方程为：x2＝4y， 在三棱锥P?ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB 是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为________． 【答案】 48π 【考点】 球的体积和表面积 【解析】 由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【解答】 如图， 在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O， CF＝2√3． 由AB＝6，得CO=2 3 ∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形， ∴F为△PAB的外心，则O为棱锥P?ABC的外接球球心， 则外接球半径R＝OC＝2√3． ∴该三棱锥外接球的表面积为4π×(2√3)2=48π． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必 考题：共60分. 为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该 市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工的月 工资均在[25,?55]（百元）内，且月工资收入在[45,?50)（百元）内的人数为15，并根 据调查结果画出如图所示的频率分布直方图： （1）求n的值； （2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名．①完成如下所示2×2列联表 ②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？ 参考公式及数据：K2=n(ad?bc)2 ，其中n＝a+b+c+d． (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 【答案】 ∵月工资收入在[45,?50)（百元）内的人数为15， ∴月工资收入在[45,?50)（百元）内的频率为：15 =0.15； 100 由频率分布直方图得：(0.02+0.04+2n+0.01)×5+0.15＝1， 解得n＝0.05； ①根据题意得到列联表如下； =5.76<10.828， ②由表中数据，计算K2=100×(19×19?31×31)2 50×50×50×50 ∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关． 【考点】 独立性检验 【解析】 （1）根据题意，利用频率和为1列方程求出n的值； （2）①根据题意填写列联表即可； ②由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】 ∵月工资收入在[45,?50)（百元）内的人数为15， ∴月工资收入在[45,?50)（百元）内的频率为：15 100 =0.15； 由频率分布直方图得：(0.02+0.04+2n+0.01)×5+0.15＝1， 解得n＝0.05； ①根据题意得到列联表如下； ②由表中数据，计算K2=100×(19×19?31×31)2 50×50×50×50 =5.76<10.828， ∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若A=π 4，a＝3，C=π 3 ，求b； （2）若A=π 3 ，a＝2，求△ABC的周长的范围．【答案】 ∵A=π 4，a＝3，C=π 3 ， ∴sinB=sin(π 4+π 3 )=sinπ 4 cosπ 3 +cosπ 4 sinπ 3 =√2+√6 4 ， ∴b sinB =a sinA ?b=a sinA sinB=3+3√3 2 ． ∵由正弦定理得b sinB =c sinC =a sinA =2 sinπ 3 =4√3 3 ， ∴可得b=4√3 3sinB，c=4√3 3 sinC， ∴b+c=4√3 3sinB+4√3 3 sinC=4√3 3 (sinB+sin(B+π 3 ))=4(√3 2 sinB+1 2 cosB)= 4sin(B+π 6 )， ∵B∈(0,2 3π)，B+π 6 ∈(π 6 ,?5π 6 )，可得sin(B+π 6 )∈(1 2 ,?1]， ∴2 ∴△ABC的周长的范围(4,?6]． 方法二：∵cosπ 3=b2+c2?a2 2bc ， ∴1 2=b2+c2?4 2bc ， ∴bc＝(b+c)2?4?2bc，可得：3bc＝(b+c)2?4， ∴3bc≤3(b+c 2 )2， ∴(b+c)2≤16?b+c≤4，当且仅当b＝c＝2时，取“＝”号． ∵b+c>2， ∴2 ∴△ABC的周长的范围(4,?6]． 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 （1）由已知利用特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，进而根据正弦定理可求b的值． （2）法一：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b+c＝4sin(B+π 6 )的值，结合B的范围，利用正弦函数的性质可求其范围； 法二：由余弦定理，基本不等式可求b+c≤4，利用三角形两边之和大于第三边可得b+c>2，进而可得解△ABC的周长的范围． 【解答】 ∵A=π 4，a＝3，C=π 3 ， ∴sinB=sin(π 4+π 3 )=sinπ 4 cosπ 3 +cosπ 4 sinπ 3 =√2+√6 4 ， ∴b sinB =a sinA ?b=a sinA sinB=3+3√3 2 ． ∵由正弦定理得b sinB =c sinC =a sinA =2 sinπ 3 =4√3 3 ， ∴可得b=4√3 3sinB，c=4√3 3 sinC， ∴b+c=4√3 3sinB+4√3 3 sinC=4√3 3 (sinB+sin(B+π 3 ))=4(√3 2 sinB+1 2 cosB)= 4sin(B+π 6 )， ∵B∈(0,2 3π)，B+π 6 ∈(π 6 ,?5π 6 )，可得sin(B+π 6 )∈(1 2 ,?1]， ∴2 ∴△ABC的周长的范围(4,?6]． 方法二：∵cosπ 3=b2+c2?a2 2bc ， ∴1 2=b2+c2?4 2bc ， ∴bc＝(b+c)2?4?2bc，可得：3bc＝(b+c)2?4， ∴3bc≤3(b+c 2 )2， ∴(b+c)2≤16?b+c≤4，当且仅当b＝c＝2时，取“＝”号．∵b+c>2， ∴2 ∴△ABC的周长的范围(4,?6]． 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC＝AA1＝2，D为棱CC1的中点，AB1∩A1B＝O．（1）证明：C1O?//?平面ABD； （2）已知AC⊥BC且AC＝BC，E为线段A1B上一点，且三棱锥的体积为C?ABE，求 BE BA1 ． 【答案】 证明：取AB的中点F，连接OF，DF． ∵侧面ABB1A1为平行四边形， ∴O为AB1的中点， ∴四边形OFDC1为平行四边形，则C1O?//?DF， ∵C1O平面ABD，DF?平面ABD， ∴C1O?//?平面ABD． 设E到平面ABC的距离为?， 则V C?ABE=V E?ABC=? 3×1 2 ×2×2=2 3 ， ∴?＝1， ∴E与O重合， ∴BE BA1=1 2 ． 【考点】 柱体、锥体、台体的体积计算 直线与平面平行 点、线、面间的距离计算 【解析】 （1）取AB的中点F，连接OF，DF．证明四边形OFDC1为平行四边形，推出C1O?//?DF， 然后证明C1O?//?平面ABD． （2）设E到平面ABC的距离为?，通过V C?ABE=V E?ABC=? 3×1 2 ×2×2=2 3 ，转化求解 即可． 【解答】 证明：取AB的中点F，连接OF，DF． ∵侧面ABB1A1为平行四边形， ∴O为AB1的中点， ∴四边形OFDC1为平行四边形，则C1O?//?DF，∵C1O平面ABD，DF?平面ABD， ∴C1O?//?平面ABD． 设E到平面ABC的距离为?， 则V C?ABE=V E?ABC=? 3×1 2 ×2×2=2 3 ， ∴?＝1， ∴E与O重合， ∴BE BA1=1 2 ． 已知函数g(x)=1 sinθ?x +lnx在[1,?+∞)上为增函数，且θ∈(0,?π)，f(x)=mx?m?1 x ? lnx，（其中m>0）． （1）求θ的值； （2）设函数F(x)＝f(x)?g(x)，若F(x)在(0,?2)上有两个极值点，求m的取值范围．【答案】 由题意，g′(x)=?1 sinθ?x2+1 x ≥0在[1,?+∞)上恒成立， 即sinθ?x?1 sinθ?x2 ≥0．∵θ∈(0,?π)，∴sinθ>0．故sinθ?x?1≥0在[1,?+∞)上恒成立， ∴sinθ≥(1 x )max=1， 又sinθ≤1， 只有sinθ＝1． 结合θ∈(0,?π)， 得θ=π 2 ． 由（1）得F(x)=mx ?m x ?21nx ． ∴ F ′(x)= mx 2?2x+m x 2 令?(x)＝mx 2?2x +m ， 由题意?(x)在(0,?2)上有两个不相等的零点， ∴ { m >0 △>0 0<1 m <2?(0)>0?(2)>0 ，即{ m >04?4m 2>00<1m <24m ?4+m >0 所以，m 的取值范围是(5 4,1)． 【考点】 利用导数研究函数的极值 【解析】 （1）g ′(x)=?1sinθ?x 2+1x ≥0在[1,?+∞)上恒成立，sinθ≥(1 x )max =1，又sinθ≤1，只有sinθ＝1．结合θ∈(0,?π)，可以得到θ的值． （2）由（1）得F(x)=mx ? m x ?21nx ．F ′(x)=mx 2?2x+m x ，令?(x)＝mx 2?2x +m ， 由题意?(x)在(0,?2)上有两个不相等的零点，所以{ m >0△>00<1 m <2?(0)>0?(2)>0 ，即可得出答案． 【解答】 由题意，g ′(x)=?1 sinθ?x +1 x ≥0在[1,?+∞)上恒成立， 即 sinθ?x?1sinθ?x 2 ≥0．∵ θ∈(0,?π)，∴ sinθ>0． 故sinθ?x ?1≥0在[1,?+∞)上恒成立， ∴ sinθ≥(1 x )max =1， 又sinθ≤1， 只有sinθ＝1． 结合θ∈(0,?π)， 得θ=π 2． 由（1）得F(x)=mx ?m x ?21nx ． ∴ F ′ (x)= mx 2?2x+m x 2 令?(x)＝mx 2?2x +m ， 由题意?(x)在(0,?2)上有两个不相等的零点， ∴ { m >0 △>0 0<1 m <2?(0)>0?(2)>0 ，即{ m >04?4m 2>00<1m <24m ?4+m >0 所以，m 的取值范围是(5 4,1)． 已知P(?3,?0)，椭圆C: x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a >b >0)的离心率为1 2，直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 长度的最大值为4． （1）求C 的方程； （2）直线l 与x 轴的交点为M ，当直线l 变化（l 不与x 轴重合）时，若|PA| |PB|=|MA| |MB|，求点M 的坐标． 【答案】 椭圆C:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的离心率为1 2， 直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 长度的最大值为4．可得2a ＝4，所以a ＝2，c ＝1，则b = √3， 所以C 的方程为 x 24 + y 23 =1． 设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，l 的方程为x ＝ky +m ， 代入椭圆方程并整理得(3k 2+4)y 2+6kmy +3m 2?12＝0， △＝(6km)2?4(3k 2+4)(3m 2?12)>0 解得m 2<3k 2+4，y 1+y 2=?6km 3k 2+4，y 1y 2=3m 2?123k 2+4 因为|MA||PB|＝|MB||PA|即|PA||PB|=|MA| |MB|， 由角平分定理或正弦定理，即可得到∠MPA ＝∠MPB ， 即∠OPA ＝∠OPB ，所以k PA ＝?k PB ，即k PA +k PB ＝0， 又k PA +k PB =y 1 x 1 +3 +y 2 x 2+3 =0， 所以y(x 2+3)+y 2(x 1+3)＝0， 即2k 3m 2?123k 2+4 ? 6km 3k 2+4 (m +3)= ?6k(4+3m)3k 2+4 =0， 所以?6k(4+3m)＝0，因为k 为变量，所以m =?4 3， 所以点M 的坐标为(?4 3,0)． 【考点】 椭圆的应用 直线与椭圆的位置关系 【解析】 （1）利用已知条件求出a ，结合离心率求出c ，然后求解b ，得到椭圆方程． （2）设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，l 的方程为x ＝ky +m ，代入椭圆方程，利用判别式以及 韦达定理，通过|PA| |PB|=|MA| |MB|，由角平分定理或正弦定理，得到k PA ＝?k PB ，即k PA +k PB ＝0，然后求解m ，推出直线系结果的定点即可． 【解答】 椭圆C:x 2 a +y 2 b =1(a >b >0)的离心率为1 2， 直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 长度的最大值为4．可得2a ＝4，所以a ＝2，c ＝1，则b = √3， 所以C 的方程为 x 24 + y 23 =1． 设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，l 的方程为x ＝ky +m ， 代入椭圆方程并整理得(3k 2+4)y 2+6kmy +3m 2?12＝0， △＝(6km)2?4(3k 2+4)(3m 2?12)>0 解得m 2<3k 2+4，y 1+y 2=?6km 3k 2+4，y 1y 2=3m 2?123k 2+4 因为|MA||PB|＝|MB||PA|即|PA||PB|=|MA| |MB|， 由角平分定理或正弦定理，即可得到∠MPA ＝∠MPB ， 即∠OPA ＝∠OPB ，所以k PA ＝?k PB ，即k PA +k PB ＝0， 又k PA +k PB =y 1 x 1 +3 +y 2 x 2+3 =0， 所以y(x 2+3)+y 2(x 1+3)＝0， 即2k 3m 2?123k 2+4 ?6km 3k 2+4(m +3)= ?6k(4+3m)3k 2+4 =0， 所以?6k(4+3m)＝0，因为k 为变量，所以m =?4 3， 所以点M 的坐标为(?4 3,0)． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，射线l:θ=π 6与圆C:ρ＝2交于点A ，椭圆Γ的方程为：ρ2=3 1+2sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角标系xOy ． （1）求点A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程； （2）若B 为椭圆Γ的下顶点，M 为椭圆Γ上任意一点，求AB → ?AM → 的最大值． 【答案】 射线l:θ=π 6与圆C:ρ＝2交于点A(2,π 6)， 点A 的直角坐标(√3,1)； 椭圆Γ的方程为ρ2=3 1+2sin 2θ，直角坐标方程为x 23 +y 2=1， 参数方程为{x =√3cosθy =sinθ （θ 为参数）． 设M(√3cosθ,sinθ)， ∵ B(0,??1)， ∴ AB → =(?√3,?2)，AM → =(√3cosθ?√3,sinθ?1)， ∴ AB → ?AM → =?3cosθ+3?2(sinθ?1)=√13sin(θ+φ)+5，其中sinφ=?3√13 13 ，cosφ=? 2√13 13 ， ∴ 当sin(θ+φ)＝1时，AB → ?AM → 的最大值为√13+5． 【考点】 圆的极坐标方程 【解析】 （1）直接由射线和圆的极坐标方程联立即可求出点A 的极坐标，再转化为直角坐标；要求椭圆的参数方程，需要先将椭圆的极坐标方程转化为直角坐标方程． （2）可设点M 的参数坐标，转化为三角函数求最值 【解答】 射线l:θ=π 6与圆C:ρ＝2交于点A(2,π 6)， 点A 的直角坐标(√3,1)； 椭圆Γ的方程为ρ2=3 1+2sin 2θ，直角坐标方程为x 23 +y 2=1， 参数方程为{x =√3cosθy =sinθ （θ 为参数）． 设M(√3cosθ,sinθ)， ∵ B(0,??1)， ∴ AB → =(?√3,?2)，AM →=(√3cosθ?√3,sinθ?1)， ∴ AB → ?AM →=?3cosθ+3?2(sinθ?1)=√13sin(θ+φ)+5，其中sinφ=?3√1313 ， cosφ=? 2√13 13 ， ∴ 当sin(θ+φ)＝1时，AB → ?AM → 的最大值为√13+5． [选修4-5：不等式选讲] 已知a >0，b >0，a 3+b 3=2．证明： (1)(a +b)(a 5+b 5)≥4； (2)a +b ≤2． 【答案】 证明：（1）(a +b)(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b +b 6=(a 3+b 3)2?2a 3b 3+ab(a 4+b 4) =4+ab(a 2?b 2)2≥4． (2)因为(a +b)3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3 =2+3ab(a +b) ≤2+3(a +b)2 4 (a +b) =2+3(a+b)3 4 ， 所以(a+b)3≤8，因此a+b≤2． 【考点】 不等式的证明 【解析】 本题考查不等式的证明． 【解答】 证明：（1）(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2?2a3b3+ab(a4+ b4) =4+ab(a2?b2)2≥4． (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b) ≤2+3(a+b)2 4 (a+b) =2+3(a+b)3 4 ， 所以(a+b)3≤8，因此a+b≤2．