2019-2020学年云南省大理州高三(上)11月月考数学试卷(文科)
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2019-2020学年云南省大理州高三(上)11月月考数学试卷
(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={1,?2,?3},B={x|(x+1)(x?2)<0,?x∈Z},则A∪B=( )
A.{1}
B.{1,?2}
C.{0,?1,?2,?3}
D.{?1,?0,?1,?2,?3}
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
并集及其运算
【解析】
先求出集合A,B,由此利用并集的定义能求出A∪B的值.
【解答】
解:∵集合A={1,?2,?3},
B={x|(x+1)(x?2)<0,?x∈Z}={0,?1},
∴A∪B={0,?1,?2,?3}.
故选C.
2. 设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()
A.1 2
B.√2
2
C.√2
D.2
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.
【解答】
解:∵(1+i)z=2i,
∴(1?i)(1+i)z=2i(1?i),z=i+1.
则|z|=√2.
故选C.
3. 某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制了下面的折线图.根据折线图,下列结论正确的是()
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】
D
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数;月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少;月跑步平均里程高峰期大致在9、10月;1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳.
【解答】
由2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制的折线图,知:
在A中,月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数,故A错误;
在B中,月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少,故B错误;
在C中,月跑步平均里程高峰期大致在9、10月,故C错误;
在D中,1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确.
4. 边长为m的正方形内有一个半径为n(n 2 )的圆.向正方形中随机扔一粒豆子(忽 略大小,视为质点),若它落在该圆内的概率为3 4 ,则圆周率π的值为() A.3m 4n B.3m2 4n2 C.3n 4m D.3n2 4m2 【答案】 B 【考点】 几何概型计算(与长度、角度、面积、体积有关的几何概型) 【解析】 由几何概型中的面积型概率的求法,求出圆周率π的值即可得解. 【解答】 设事件A为“向正方形中随机扔一粒豆子(忽略大小,视为质点),它落在该圆内”由几何概型中的面积型可得: P(A)=S S , 即πn2 m2=3 4 , 即π=3m2 4n2 , 5. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为() A.2 B.3 2C.5 3 D.8 5 【答案】 C 【考点】 程序框图 【解析】 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】 当k=0时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,k=1,S=2, 当k=1时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,k=2,S=3 2 , 当k=2时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,k=3,S=5 3 , 当k=3时,不满足进行循环的条件, 故输出结果为:5 3 , 6. 若点P(cosθ,?sinθ)在直线3x?4y=0上,则cos2θ=() A.?7 25B.7 25 C.±7 25 D.16 25 【答案】 B 【考点】 二倍角的三角函数 【解析】 由题意求得tanθ的值,再利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式的余弦公式,求得cos2θ的值. 【解答】 ∵点P(cosθ,?sinθ)在直线3x?4y=0上, ∴3cosθ?4sinθ=0,故有tanθ=3 4 , 则cos2θ=cos 2θ?sin2θ cos2θ+sin2θ=1?tan2θ 1+tan2θ =1? 9 16 1+9 16 =7 25 , 7. 已知等比数列{a n}满足a1+a2=6,a4+a5=48,则数列{a n}前10项的和为S10=() A.1022 B.1023 C.2046 D.2047 【答案】 C 【考点】 等比数列的前n项和 【解析】 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出. 【解答】 设等比数列{a n}的公比为q,∵a1+a2=6,a4+a5=48,∴a1(1+q)=6, a1q3(1+q)=48, 联立解得a1=q=2. 则数列{a n}前10项的和为S10=2(210?1) 2?1 =2046. 8. 若函数f(x)=e x cosx在点(0,?f(0))处的切线与直线2x?ay+1=0互相垂直,则 实数a等于() A.?2 B.?1 C.1 D.2 【答案】 A 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 求出原函数的导函数,得到f′(0),再由两直线垂直与斜率的关系列式求解. 【解答】 ∵f(x)=e x cosx,∴f′(x)=e x cosx?e x sinx, ∴f′(0)=e0cos0?e0sin0=1, 又函数f(x)=e x cosx在点(0,?f(0))处的切线与直线2x?ay+1=0互相垂直, ∴1×2 a =?1,即a=?2. 9. 某几何体的三视图如图所示(单位相同),记该几何体的体积为V,则V=() A.243 2B.243 C.729 2 D.729 【答案】 B 【考点】 由三视图求体积 【解析】 由三视图还原原几何体,该几何体为四棱锥P?ABCD,图中正方体的棱长为9,再由棱锥体积公式求解. 【解答】 由三视图还原原几何体如图, 该几何体为四棱锥P ?ABCD ,图中正方体的棱长为9, 则V P?ABCD =1 3×9×9×9=243. 10. 设F 是双曲线C: y 29 ?x 2b =1(b >0)的一个焦点,若C 上存在点P ,使线段PF 的中点 恰为虚轴的一个端点,则C 的离心率为( ) A.2 B.√2 C.5 D.√5 【答案】 D 【考点】 双曲线的离心率 【解析】 利用双曲线的性质,求出b ,c ,代入即可. 【解答】 令y =c ,则x = b 2a = b 23 =2b , 则b =6,c 2=9+36=45,c =3√5, 所以e =c a =√5, 11. 下列命题正确的是( ) A.函数f(x)=x 1 3?(1 2 )x 的零点在区间(13,1 2)内 B.命题“?x ∈R ,x 2?1>0”的否定是“?x ∈R ,x 2?1<0” C.已知实数a 、b ,则“a >b ”是“a 2>b 2”的必要不充分条件 D.设m ,n 是两条直线,α,β是空间中两个平面.若m ?α,n ?β,m ⊥n ,则α⊥β 【答案】 A 【考点】 命题的真假判断与应用 【解析】 由函数零点判定定理判断A ;写出特称命题的否定判断B ;由充分必要条件的判定方法判断C ;利用空间中的线面关系判断D . 【解答】 ∵ 函数f(x)=x 1 3?(12 )x 为实数集上的增函数, 又f(13)=√133 ?√123 <0,f(12)=√123 ?√1 2 >0∴ 函数的零点在区间(13,?1 2)内,故A 正确; “?x ∈R ,x 2?1>0”的否定是“?x ∈R ,x 2?1≤0”,故B 错误; 已知实数a ,b ,由a >b ,不一定有a 2>b 2,反之由a 2>b 2,不一定有a >b ,则“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件,故C 错误; 设m ,n 是两条直线,α,β是空间中两个平面,若m ?α,n ?β,m ⊥n ,则α与β相交或α?//?β,故D 错误. 12. 设函数f(x)=e x +x ?2,g(x)=lnx +x 2?3.若实数a ,b 满足f(a)=0,g(b)=0,则( ) A.g(a)<0 B.f(b)<0 C.0 D.f(b) 【考点】 函数与方程的综合运用 【解析】 先判断函数f(x),g(x)在R 上的单调性,再利用f(a)=0,g(b)=0判断a ,b 的取值范围即可. 【解答】 ①由于y =e x 及y =x ?2关于x 是单调递增函数,∴ 函数f(x)=e x +x ?2在R 上单调递增, 分别作出y =e x ,y =2?x 的图象,∵ f(0)=1+0?2<0,f(1)=e ?1>0,f(a)=0,∴ 0 同理g(x)=lnx +x 2?3在R +上单调递增,g(1)=ln1+1?3=?2<0,g(√3)=ln √3+(√3)2?3=1 2ln3>0,g(b)=0,∴ 1 ∴ g(a)=lna +a 2?3 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 若向量a →,b → 满足|a →|=√3,|b → |=2,a →⊥(a → ?b → ),则a → 与b → 的夹角为________. 【答案】 π6 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【解析】 根据a →⊥(a →?b → )即可得出a →?(a →?b → )=0,从而可求出a → ?b → =3,这样根据向量夹角的 余弦公式即可求出cos >=√32,根据向量夹角的范围即可求出夹角. 【解答】 ∵ |a →|=√3,|b → |=2,a →⊥(a →?b → ), ∴ a →?(a →?b → )=a →2?a →?b → =3?a →?b → =0, ∴ a →?b → =3, ∴ cos >= a →?b → |a →||b → | =2 √ 3 =√3 2 , 又0≤≤π, ∴ a → 与b → 的夹角为π 6. 已知等差数列{a n }的前n 项为S n ,且a 1+a 5=?14,S 9=?27,则使得S n 取最小值时的n =________. 【答案】 6 【考点】 等差数列的前n 项和 【解析】 由题意,可根据a 1+a 5=?14,S 9=?27解出数列的公差,从而求得数列的通项公式,求出所有负项的个数,即可得出S n 取最小值时,n 所取的值. 【解答】 设等差数列{a n }的公差是d , ∵ a 1+a 5=?14,S 9=?27, ∴ 2a 1+4d =?14,即a 1+2d =?7,① S 9= 9(a 1+a 9) 2=9(a 1+4d)=?27,即a 1+4d =?3,② 联立①②得到:a 1=?11,d =2. 故有a n =a 1+(n ?1)d =2n ?13. 令a n ≤0,可解得n ≤ 132 ,由此知,数列的前6项为负项. 故S n 取最小值时,n 等于6. 已知三点O(0,?0),A(?2,?1),B(2,?1),曲线C 上任意一点M(x,?y),满足|MA → +MB → |=OM → ?(OA → +OB → )+2,则曲线C 的方程为________. 【答案】 x 2=4y 【考点】 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 先由各点坐标求出各向量坐标,代入满足的等式,化简即可得到曲线C的方程. 【解答】 ∵点O(0,?0),点A(?2,?1),点B(2,?1),点M(x,?y), ∴MA→=(?2?x,?1?y),MB→=(2?x,1?y),OM→=(x,?y),OA→=(?2,?1),OB→= (2,?1), ∴MA→+MB→=(?2x,?2?2y),OM→?OA→=?2x+y,OM→?OB→=2x+y, ∵满足|MA→+MB→|=OM→?(OA→+OB→)+2, ∴√(?2x)2+(2?2y)2=OM→?OA→+OM→?OB→+2=?2x+y+2x+y+2=2y+2, 即:4x2+(2?2y)2=(2y+2)2, 化简得:x2=4y, ∴曲线C的方程为:x2=4y, 在三棱锥P?ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC是边长为6的等边三角形,△PAB 是以AB为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为________. 【答案】 48π 【考点】 球的体积和表面积 【解析】 由题意画出图形,由已知求出三棱锥外接球的半径,代入表面积公式得答案. 【解答】 如图, 在等边三角形ABC中,取AB中点F,设其中心为O, CF=2√3. 由AB=6,得CO=2 3 ∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形, ∴F为△PAB的外心,则O为棱锥P?ABC的外接球球心, 则外接球半径R=OC=2√3. ∴该三棱锥外接球的表面积为4π×(2√3)2=48π. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必 考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必 考题:共60分. 为更好地落实农民工工资保证金制度,南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该 市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资,得到这100名农民工的月 工资均在[25,?55](百元)内,且月工资收入在[45,?50)(百元)内的人数为15,并根 据调查结果画出如图所示的频率分布直方图: (1)求n的值; (2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名,非技术工有19名.①完成如下所示2×2列联表 ②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系? 参考公式及数据:K2=n(ad?bc)2 ,其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 【答案】 ∵月工资收入在[45,?50)(百元)内的人数为15, ∴月工资收入在[45,?50)(百元)内的频率为:15 =0.15; 100 由频率分布直方图得:(0.02+0.04+2n+0.01)×5+0.15=1, 解得n=0.05; ①根据题意得到列联表如下; =5.76<10.828, ②由表中数据,计算K2=100×(19×19?31×31)2 50×50×50×50 ∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关. 【考点】 独立性检验 【解析】 (1)根据题意,利用频率和为1列方程求出n的值; (2)①根据题意填写列联表即可; ②由表中数据计算观测值,对照临界值得出结论. 【解答】 ∵月工资收入在[45,?50)(百元)内的人数为15, ∴月工资收入在[45,?50)(百元)内的频率为:15 100 =0.15; 由频率分布直方图得:(0.02+0.04+2n+0.01)×5+0.15=1, 解得n=0.05; ①根据题意得到列联表如下; ②由表中数据,计算K2=100×(19×19?31×31)2 50×50×50×50 =5.76<10.828, ∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若A=π 4,a=3,C=π 3 ,求b; (2)若A=π 3 ,a=2,求△ABC的周长的范围.【答案】 ∵A=π 4,a=3,C=π 3 , ∴sinB=sin(π 4+π 3 )=sinπ 4 cosπ 3 +cosπ 4 sinπ 3 =√2+√6 4 , ∴b sinB =a sinA ?b=a sinA sinB=3+3√3 2 . ∵由正弦定理得b sinB =c sinC =a sinA =2 sinπ 3 =4√3 3 , ∴可得b=4√3 3sinB,c=4√3 3 sinC, ∴b+c=4√3 3sinB+4√3 3 sinC=4√3 3 (sinB+sin(B+π 3 ))=4(√3 2 sinB+1 2 cosB)= 4sin(B+π 6 ), ∵B∈(0,2 3π),B+π 6 ∈(π 6 ,?5π 6 ),可得sin(B+π 6 )∈(1 2 ,?1], ∴2 ∴△ABC的周长的范围(4,?6]. 方法二:∵cosπ 3=b2+c2?a2 2bc , ∴1 2=b2+c2?4 2bc , ∴bc=(b+c)2?4?2bc,可得:3bc=(b+c)2?4, ∴3bc≤3(b+c 2 )2, ∴(b+c)2≤16?b+c≤4,当且仅当b=c=2时,取“=”号. ∵b+c>2, ∴2 ∴△ABC的周长的范围(4,?6]. 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 (1)由已知利用特殊角的三角函数值,两角和的正弦函数公式可求sinB的值,进而根据正弦定理可求b的值. (2)法一:由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求b+c=4sin(B+π 6 )的值,结合B的范围,利用正弦函数的性质可求其范围; 法二:由余弦定理,基本不等式可求b+c≤4,利用三角形两边之和大于第三边可得b+c>2,进而可得解△ABC的周长的范围. 【解答】 ∵A=π 4,a=3,C=π 3 , ∴sinB=sin(π 4+π 3 )=sinπ 4 cosπ 3 +cosπ 4 sinπ 3 =√2+√6 4 , ∴b sinB =a sinA ?b=a sinA sinB=3+3√3 2 . ∵由正弦定理得b sinB =c sinC =a sinA =2 sinπ 3 =4√3 3 , ∴可得b=4√3 3sinB,c=4√3 3 sinC, ∴b+c=4√3 3sinB+4√3 3 sinC=4√3 3 (sinB+sin(B+π 3 ))=4(√3 2 sinB+1 2 cosB)= 4sin(B+π 6 ), ∵B∈(0,2 3π),B+π 6 ∈(π 6 ,?5π 6 ),可得sin(B+π 6 )∈(1 2 ,?1], ∴2 ∴△ABC的周长的范围(4,?6]. 方法二:∵cosπ 3=b2+c2?a2 2bc , ∴1 2=b2+c2?4 2bc , ∴bc=(b+c)2?4?2bc,可得:3bc=(b+c)2?4, ∴3bc≤3(b+c 2 )2, ∴(b+c)2≤16?b+c≤4,当且仅当b=c=2时,取“=”号.∵b+c>2, ∴2 ∴△ABC的周长的范围(4,?6]. 如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC=AA1=2,D为棱CC1的中点,AB1∩A1B=O.(1)证明:C1O?//?平面ABD; (2)已知AC⊥BC且AC=BC,E为线段A1B上一点,且三棱锥的体积为C?ABE,求 BE BA1 . 【答案】 证明:取AB的中点F,连接OF,DF. ∵侧面ABB1A1为平行四边形, ∴O为AB1的中点, ∴四边形OFDC1为平行四边形,则C1O?//?DF, ∵C1O平面ABD,DF?平面ABD, ∴C1O?//?平面ABD. 设E到平面ABC的距离为?, 则V C?ABE=V E?ABC=? 3×1 2 ×2×2=2 3 , ∴?=1, ∴E与O重合, ∴BE BA1=1 2 . 【考点】 柱体、锥体、台体的体积计算 直线与平面平行 点、线、面间的距离计算 【解析】 (1)取AB的中点F,连接OF,DF.证明四边形OFDC1为平行四边形,推出C1O?//?DF, 然后证明C1O?//?平面ABD. (2)设E到平面ABC的距离为?,通过V C?ABE=V E?ABC=? 3×1 2 ×2×2=2 3 ,转化求解 即可. 【解答】 证明:取AB的中点F,连接OF,DF. ∵侧面ABB1A1为平行四边形, ∴O为AB1的中点, ∴四边形OFDC1为平行四边形,则C1O?//?DF,∵C1O平面ABD,DF?平面ABD, ∴C1O?//?平面ABD. 设E到平面ABC的距离为?, 则V C?ABE=V E?ABC=? 3×1 2 ×2×2=2 3 , ∴?=1, ∴E与O重合, ∴BE BA1=1 2 . 已知函数g(x)=1 sinθ?x +lnx在[1,?+∞)上为增函数,且θ∈(0,?π),f(x)=mx?m?1 x ? lnx,(其中m>0). (1)求θ的值; (2)设函数F(x)=f(x)?g(x),若F(x)在(0,?2)上有两个极值点,求m的取值范围.【答案】 由题意,g′(x)=?1 sinθ?x2+1 x ≥0在[1,?+∞)上恒成立, 即sinθ?x?1 sinθ?x2 ≥0.∵θ∈(0,?π),∴sinθ>0.故sinθ?x?1≥0在[1,?+∞)上恒成立, ∴sinθ≥(1 x )max=1, 又sinθ≤1, 只有sinθ=1. 结合θ∈(0,?π), 得θ=π 2 . 由(1)得F(x)=mx ?m x ?21nx . ∴ F ′(x)= mx 2?2x+m x 2 令?(x)=mx 2?2x +m , 由题意?(x)在(0,?2)上有两个不相等的零点, ∴ { m >0 △>0 0<1 m <2?(0)>0?(2)>0 ,即{ m >04?4m 2>00<1m <24m ?4+m >0 所以,m 的取值范围是(5 4,1). 【考点】 利用导数研究函数的极值 【解析】 (1)g ′(x)=?1sinθ?x 2+1x ≥0在[1,?+∞)上恒成立,sinθ≥(1 x )max =1,又sinθ≤1,只有sinθ=1.结合θ∈(0,?π),可以得到θ的值. (2)由(1)得F(x)=mx ? m x ?21nx .F ′(x)=mx 2?2x+m x ,令?(x)=mx 2?2x +m , 由题意?(x)在(0,?2)上有两个不相等的零点,所以{ m >0△>00<1 m <2?(0)>0?(2)>0 ,即可得出答案. 【解答】 由题意,g ′(x)=?1 sinθ?x +1 x ≥0在[1,?+∞)上恒成立, 即 sinθ?x?1sinθ?x 2 ≥0.∵ θ∈(0,?π),∴ sinθ>0. 故sinθ?x ?1≥0在[1,?+∞)上恒成立, ∴ sinθ≥(1 x )max =1, 又sinθ≤1, 只有sinθ=1. 结合θ∈(0,?π), 得θ=π 2. 由(1)得F(x)=mx ?m x ?21nx . ∴ F ′ (x)= mx 2?2x+m x 2 令?(x)=mx 2?2x +m , 由题意?(x)在(0,?2)上有两个不相等的零点, ∴ { m >0 △>0 0<1 m <2?(0)>0?(2)>0 ,即{ m >04?4m 2>00<1m <24m ?4+m >0 所以,m 的取值范围是(5 4,1). 已知P(?3,?0),椭圆C: x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a >b >0)的离心率为1 2,直线l 与C 交于A ,B 两点,AB 长度的最大值为4. (1)求C 的方程; (2)直线l 与x 轴的交点为M ,当直线l 变化(l 不与x 轴重合)时,若|PA| |PB|=|MA| |MB|,求点M 的坐标. 【答案】 椭圆C:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的离心率为1 2, 直线l 与C 交于A ,B 两点,AB 长度的最大值为4.可得2a =4,所以a =2,c =1,则b = √3, 所以C 的方程为 x 24 + y 23 =1. 设A(x 1,?y 1),B(x 2,?y 2),l 的方程为x =ky +m , 代入椭圆方程并整理得(3k 2+4)y 2+6kmy +3m 2?12=0, △=(6km)2?4(3k 2+4)(3m 2?12)>0 解得m 2<3k 2+4,y 1+y 2=?6km 3k 2+4,y 1y 2=3m 2?123k 2+4 因为|MA||PB|=|MB||PA|即|PA||PB|=|MA| |MB|, 由角平分定理或正弦定理,即可得到∠MPA =∠MPB , 即∠OPA =∠OPB ,所以k PA =?k PB ,即k PA +k PB =0, 又k PA +k PB =y 1 x 1 +3 +y 2 x 2+3 =0, 所以y(x 2+3)+y 2(x 1+3)=0, 即2k 3m 2?123k 2+4 ? 6km 3k 2+4 (m +3)= ?6k(4+3m)3k 2+4 =0, 所以?6k(4+3m)=0,因为k 为变量,所以m =?4 3, 所以点M 的坐标为(?4 3,0). 【考点】 椭圆的应用 直线与椭圆的位置关系 【解析】 (1)利用已知条件求出a ,结合离心率求出c ,然后求解b ,得到椭圆方程. (2)设A(x 1,?y 1),B(x 2,?y 2),l 的方程为x =ky +m ,代入椭圆方程,利用判别式以及 韦达定理,通过|PA| |PB|=|MA| |MB|,由角平分定理或正弦定理,得到k PA =?k PB ,即k PA +k PB =0,然后求解m ,推出直线系结果的定点即可. 【解答】 椭圆C:x 2 a +y 2 b =1(a >b >0)的离心率为1 2, 直线l 与C 交于A ,B 两点,AB 长度的最大值为4.可得2a =4,所以a =2,c =1,则b = √3, 所以C 的方程为 x 24 + y 23 =1. 设A(x 1,?y 1),B(x 2,?y 2),l 的方程为x =ky +m , 代入椭圆方程并整理得(3k 2+4)y 2+6kmy +3m 2?12=0, △=(6km)2?4(3k 2+4)(3m 2?12)>0 解得m 2<3k 2+4,y 1+y 2=?6km 3k 2+4,y 1y 2=3m 2?123k 2+4 因为|MA||PB|=|MB||PA|即|PA||PB|=|MA| |MB|, 由角平分定理或正弦定理,即可得到∠MPA =∠MPB , 即∠OPA =∠OPB ,所以k PA =?k PB ,即k PA +k PB =0, 又k PA +k PB =y 1 x 1 +3 +y 2 x 2+3 =0, 所以y(x 2+3)+y 2(x 1+3)=0, 即2k 3m 2?123k 2+4 ?6km 3k 2+4(m +3)= ?6k(4+3m)3k 2+4 =0, 所以?6k(4+3m)=0,因为k 为变量,所以m =?4 3, 所以点M 的坐标为(?4 3,0). (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中,射线l:θ=π 6与圆C:ρ=2交于点A ,椭圆Γ的方程为:ρ2=3 1+2sin 2θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角标系xOy . (1)求点A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程; (2)若B 为椭圆Γ的下顶点,M 为椭圆Γ上任意一点,求AB → ?AM → 的最大值. 【答案】 射线l:θ=π 6与圆C:ρ=2交于点A(2,π 6), 点A 的直角坐标(√3,1); 椭圆Γ的方程为ρ2=3 1+2sin 2θ,直角坐标方程为x 23 +y 2=1, 参数方程为{x =√3cosθy =sinθ (θ 为参数). 设M(√3cosθ,sinθ), ∵ B(0,??1), ∴ AB → =(?√3,?2),AM → =(√3cosθ?√3,sinθ?1), ∴ AB → ?AM → =?3cosθ+3?2(sinθ?1)=√13sin(θ+φ)+5,其中sinφ=?3√13 13 ,cosφ=? 2√13 13 , ∴ 当sin(θ+φ)=1时,AB → ?AM → 的最大值为√13+5. 【考点】 圆的极坐标方程 【解析】 (1)直接由射线和圆的极坐标方程联立即可求出点A 的极坐标,再转化为直角坐标;要求椭圆的参数方程,需要先将椭圆的极坐标方程转化为直角坐标方程. (2)可设点M 的参数坐标,转化为三角函数求最值 【解答】 射线l:θ=π 6与圆C:ρ=2交于点A(2,π 6), 点A 的直角坐标(√3,1); 椭圆Γ的方程为ρ2=3 1+2sin 2θ,直角坐标方程为x 23 +y 2=1, 参数方程为{x =√3cosθy =sinθ (θ 为参数). 设M(√3cosθ,sinθ), ∵ B(0,??1), ∴ AB → =(?√3,?2),AM →=(√3cosθ?√3,sinθ?1), ∴ AB → ?AM →=?3cosθ+3?2(sinθ?1)=√13sin(θ+φ)+5,其中sinφ=?3√1313 , cosφ=? 2√13 13 , ∴ 当sin(θ+φ)=1时,AB → ?AM → 的最大值为√13+5. [选修4-5:不等式选讲] 已知a >0,b >0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a +b)(a 5+b 5)≥4; (2)a +b ≤2. 【答案】 证明:(1)(a +b)(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b +b 6=(a 3+b 3)2?2a 3b 3+ab(a 4+b 4) =4+ab(a 2?b 2)2≥4. (2)因为(a +b)3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3 =2+3ab(a +b) ≤2+3(a +b)2 4 (a +b) =2+3(a+b)3 4 , 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 【考点】 不等式的证明 【解析】 本题考查不等式的证明. 【解答】 证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2?2a3b3+ab(a4+ b4) =4+ab(a2?b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b) ≤2+3(a+b)2 4 (a+b) =2+3(a+b)3 4 , 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.