(仅供参考)自动控制原理第七章习题答案
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第七章 线性离散系统的分析与校正
7-1 试根据定义
∑∞
=-*
=0
)()(n nTs e nT e s E
确定下列函数的)(s E *
和闭合形式的)(z E ：
⑴ t t e ωsin )(=；
⑵ )
)()((1
)(c s b s a s s E +++=
，b a ≠，c a ≠，c b ≠。
解：Ts e z =；
⑴ )()sin()(0z E e
nT s E n nTs
==
∑∞
=-*
ω；
1)cos(2)sin(21}{21)(2
0+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=-=
-∞
=--∑z T z z T e z z e z z j e e e j z E T j T j n nTs
jwnT jwnT ωωωω。 ⑵ )
)()((1
))()((1))()((1)(c s c b c a b s b c b a a s a c a b s E +--+
+--++--=； ∑∑∑∞
=--∞=--∞=--*--+--+--=0
00))((1))((1))((1)(n nTs cnT n nTs
bnT n nTs anT e e c b c a e e b c b a e e a c a b s E ； )
)()(())()(())()(()(cT
bT aT e z c b c a z
e z b c b a z e z a c a b z z E ------+---+---=； 记))()((c b c a b a ---=∆，∆-=b a k 1，∆
-=c
a k 2，∆-=c
b k 3；
))()(()()()()(3)(2)(12321cT
bT aT T c b T c a T b a aT bT cT e z e z e z z
e k e k e k z e k e k e k z E ---+-+-+-------+-++-=。 7-2 采样周期为T ，试求下列函数的Z 变换：
⑴ n a nT e =)(； ⑵ t e t t e 32)(-=；
⑶ 3
!31)(t t e =
； ⑷ 21
)(s
s s E +=；
⑸ )
1(1)(2+-=-s s e s E s
T 。
解：求解⑵和⑶小题可应用Z 变换的偏微分定理或乘以时间变量的函数的Z 变换：
偏微分定理 已知函数),(a t f 的Z 变换为),(a z F ，a 是与t 及Z 无关的变量或常数，则：
),()],([
a z F a
a t f a Z ∂∂=∂∂。 证明：由Z 变换的定义及等值变换进行证明得，
),(),(),()],([00a z F a z a nT f a z a nT f a
a t f a Z n n n n ∂∂=∂∂=∂∂=∂∂∑∑∞=-∞
=-。
乘以时间变量的函数的Z 变换 已知函数)(t f 的Z 变换为)(z F ，则：
)()]([z F z
d d
z
T t f t Z -=⋅。 证明：由Z 变换的定义及等值变换进行证明得，
)()()()()]([0
00
z F z d d z T z nT f z d d z T z nT f z d d z T z
nT f nT t f t Z n n
n n n n
-=-=-==⋅∑∑∑∞=-∞
=-∞
=-。 ⑴ a
z z
z E -=
)(； ⑵ 解1：因t a t
a e a e t --∂∂=222及T t
e z z e Z 33][---=，得到 3
3332)()()(T T
T e z e z z e
T z E ----+=。 解2：3
33322333)()(])([][)(T T
T T T T e z e z z e T e z z Te z d d z T e z z z d d z T z d d z T z E -------+=--=---=。 ⑶ 解1：因t a e a t 333
∂∂=，0=a ；即 4
2333)1()14(!3!31)(-++=-∂∂=
z z z z T e z z a z E aT 。 解2：4
23)
1()
14(!3]}1[{!3)(-++=----=z z z z T z z z d d z T z d d z T z d d z T z E 。 ⑷ 2022)1()
1(]1[)(--+=-+∂∂==z T z z e z z s s s s z E s Ts ；或 22)1(1]1[]1[)(-+-=+=z z T z z s
Z s Z z E 。 ⑸ )1}())(1({)1]()
1(1[)(1
012
--=---+-+∂∂=-+=z e z z e z s z s z s s Z z E T
s Ts )
)(1()1(1)1(T T T e z z e T z e T -----+-+--=。
7-3 试用部分分式法、幂级数(长除)法和反演积分(留数计算)法，求下列函数的Z 反变换：
⑴ )2)(1(10)(--=
z z z
z E ；
⑵ 2
11
213)(---+-+-=z
z z z E 。 解：部分分式法
⑴ }12{10)(---=z z z z z E ，)12(10)(-=n nT e ，0≥n ； ⑵ 1)
1(2)(2
2----=z z
z T z T z E ，32)(--=n nT e ，0≥n ； 幂级数(长除)法
⑴ })12(830{103110)(3212
11
+-+++++=+-=-------n n z z z z z
z z z E ， )12(10)(-=n nT e ，0≥n ；
⑵ -+------=+-+-=-------n
z n z z z z
z z z E )32(9753213)(3212
11， 32)(--=n nT e ，0≥n ；
反演积分(留数计算)法