凸函数的等价命题及其应用举例

凸函数的等价命题及其应用举例

一、凸函数的定义及其等价命题

定义1：f 在区间I 上有定义，如果对[]1,0,,,2121∈∀<∈∀t x x I x x ， 有)()()1())1((2121x tf x f t tx x t f +-≤+-，则f 称在I 上为凸函数。

这个一般定义下，我们得到了凸函数的几个等价命题： 命题1：下面几个命题等价： （1）)(x f 为区间上的凸函数；

（2）对,,,2121x x I x x <∈∀令21)1(tx x t x +-=，则1

221

211;x x x x t x x x x t --=---=

于是有)()()(21

2111

22x f x x x x x f x x x x x f --+--≤

；

（3）对,,,,321321x x x I x x x <<∈∀，有

2

3231

3131

212)

()()

()()

()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤

--≤

--；

（4）对),

2(0,,,,,,2121≥>∈∀n t t t I x x x n n ∑==n

i i

t

1

1，有;)()(1

1

∑∑==≤

n

i i i

n

i i i x f t

x t f ；

（5）对,,0

0R I x ∈∃∈∀α，使得I x x x x f x f ∈-≥-),()()(00α。

引理:若f 为定义在)(0x U +上的单调有界函数,则左极限)(lim 0

x f x x +

→存在.

下面给出凸函数的一个重要性质:

性质:)(x f 是[]b a ,上的凸函数,则)(x f 上()b a ,连续. 证明:本证明分两步:

首先证明)(x f 是()b a ,上的凸函数,则)(x f 在()b a ,内任一点0x 都存在左右导数.下面只证明凸函数)(x f 在0x 存在右导数,同理可证明也存在左导数.

事实上,由命题1(3),设2031020121,,0h x x h x x x x h h +=+==<<,(这里取充分小的2h ,使

()b a h x ,20∈+).则

,)

()()

()(2

0201

010h x f h x f h x f h x f -+≤

-+

令h

x f h x f h F )

()()(00-+=

,由上式可见)(h F 为递增函数,现取0),,(x x b a x <'∈',则对任何0≥h ,

只要),,(0b a h x ∈+,由命题1(3)也有

)()

()()

()(000

0h F h

x f h x f x x x f x f =-+≤

-''-,于是上面不等式左端为定数,

因而函数)(h F 在0>h 上有上界,根据引理得)(lim 0

h F h +

→存在.即)(0x f +存在.

再证明)(x f 在0x 存在左右导数,则)(x f 在0x 连续.

事实上,在0x 存在右导数,则)(x f 在0x 右连续)(x f 在0x 存在左导数,则)(x f 在0x 左连续 故, )(x f 在0x 连续.综上,性质得证.

命题2[：如果)(x f 在I 上任一闭区间上有上界，则它是凸函数的充分条件是：

（6）2

)

()()2

(

,,212

121x f x f x x f I x x +≤+∈∀

推论1：将上一命题中“在I 上任一闭区间上有上界”换成“在I 上连续”，结论仍然成立。 证明：""⇒)(x f 在I 上连续，所以在I 上任一闭区间上有上界，由命题2显然成立；

""⇐由性质显然成立。

命题3：如果)(x f 在上I 一阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是： （7）)(x f '在I 上单调递增；

（8）;),)(()()(,0000

0I x x x x f x f x f I x ∈∀-'+≥∈∀

（9）)(x f 的图形在某任一点))(,(00x f x 的切线的上方。

命题4：如果)(x f 在I 上二阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是： （10）.0)(≥''x f （证明由命题3（7）易知）。

命题5：可微函数)(x f ：R R n

→是凸函数的充要条件是：

（11）)(x f 作为n R 在中任一直线{}n

R p x R p x ∈∈+,,αα上的一元函数)(p x f y α+=满足

))((R p x f ∈+'ααα单调增。

命题6：设n

R S ⊂是非空开凸集，)(x f 是定义在I 上的二次可微函数，则)(x f 是凸函数的充分必要条件是：

（12）在S 的每一点Hesse 矩阵正半定。

其中⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=''22

1212

2

1

2)(n n n x f x

x f

x x f x f x f 为Hesse 矩阵。

命题7：)(x f 为()b a ,上的连续凸函数的充分必要条件是： （13）()(){}y x f b a x y x A ≤∈=

)(,,且为凸集（水平集）

。 证明：""⇒由定义知()()()1,0,,,,2211∈∈∀t A y x y x .令()211tx x t m +-=，()211ty y t n +-= 由)()()1())1((2121x tf x f t tx x t f +-≤+-，有()()n y tf y f t x tf x f t m f =+-≤+-≤)()(1)()(1)(2121 则()A n m ∈,，所以A 是凸集。

""⇐,,21I x x ∈∀则()()11,x f x ，()()22,x f x A ∈，

A 是凸集，则对于任何()1,0∈t ，有：

（21)1(tx x t +-，)()()1(21x tf x f t +-）A ∈ 则：()()≤+-211tx x t f )()()1(21x tf x f t +-,由凸函数定义故)(x f 为()b a ,上的凸函数。 命题8：)(x f 在I 上是凸函数的充分必要条件是：

（14）)(x f 对任意定义于()1,0上，值域()[]I g ⊂1,0的可积函数()x g ，有()()⎰

⎰≤

1

2

1)((dx x g f dx x g f ，

只要右边有意义。

证明：""⇒有定理1（5），对α∃∈=

⎰

.)(1

0I dx x g x ,

使)()()(00x t x f t f -≥-αI t ∈∀,)(),1,0(I x g x ∈∈∀上式有))(()())((00x x g x f x g f -≥-α)1,0(∈∀x 两边积分：0))(()())((010

010

=-≥-⎰⎰x dx x g x f dx x g f α.故()()⎰

⎰≤

1

2

1

)((dx x g f dx x g f ，只要右边有意义；

""⇐),

2(0,,,,,,2121≥>∈∀n t t t I x x x n n ∑==n

i i

t

1

1

令()

⎪⎩

⎪⎨⎧=-∈∈=∑∑==k

i i i k

n k t k t x x t x x x g 11111.,,2,1),),1((,,0,)(

显然，)(x g 定义于()1,0上，其值域为{}I n i x ⊂=,,2,1,1 且它可积

∑⎰

==

n

i i i

x t

dx x g 1

1

)(,又

⎰

1

)(dx x g ∑∑

⎰

===

∑∑=

=-=n

i n k k t t k x f dx x f k

j i

k i i

1

1

)()(1

1

1

其∑==n

i i t 1

1当1=k 时。