2021届金太阳高三第一次检测考试数学试题解析
2021届金太阳高三第一次检测考试数学试题(解析版)
2021届金太阳高三第一次检测考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--<，{}2B x x =>，则A B =（ ）A ．()5,+∞B ．()1,2C ．()2,5-D ．()2,5【答案】D【解析】本题先求出()1,5A =-，再求出()(),22,B =-∞-⋃+∞，最后求A B 即可. 【详解】解：因为{}2450A x x x =--<，所以()1,5A =-因为{}2B x x =>，所以()(),22,B =-∞-⋃+∞所以()2,5A B ⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，是基础题.2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数112z z z +的虚部为（ ）A ．1B ．3C ．1-D ．2【答案】B【解析】由图可得对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应点的象限即可． 【详解】由图可得，112z i =+，22z i =-，则()()()()112122+1251212+=12+13222+5i i z ii z i i i i z i i i +++=++=++=+--，所以复数112z z z +的虚部为3. 故选：B 【点睛】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义，属于基础题． 3．“净拣棉花弹细，相合共雇王孀.九斤十二是张昌，李德五斤四两.纺讫织成布匹，一百八尺曾量.两家分布要明彰，莫使些儿偏向.”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两.共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布.共织成布匹一百零八尺长，则（ ）（注：古代一斤是十六两） A ．按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了 B ．按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了 C ．按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了 D ．按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了 【答案】B【解析】先求出张昌和李德拣了多少斤棉花，再按比例求出张昌和李德各有多少尺即可. 【详解】九斤十二两等于9.75斤， 五斤四两等于5.25斤， 所以按张昌9.7510870.29.75 5.25⨯=+尺，李德5.2510837.89.75 5.25⨯=+尺，分配就合理了. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了合情推理，考查数据处理与运算求解能力.属于较易题. 4．已知直线l ⊂平面α，则“直线m ⊥平面α”是“m l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】利用线面垂直的性质和判定定理，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】 充分性：直线m ⊥平面α，m ∴垂直于平面α内所有直线，又直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，充分性成立；必要性：若m l ⊥且直线m ⊂平面α，则直线m ⊥平面α不成立，必要性不成立. 故选：A. 【点睛】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力，属于基础题.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ，A ，C 成等差数列，且cos cos b a C ac A =+，则ABC 外接圆的面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 【答案】A【解析】本题先求出3A π=，再求出1a =，接着求ABC 外接圆的半径，最后求ABC外接圆的面积即可. 【详解】因为B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+，则3A π=，由正弦定理可知，sin sin cos sin cos B A C a C A =+， 解得：1a =.所以ABC 外接圆的半径为sin 2a A =，从而ABC 外接圆的面积为233ππ⎛= ⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、三角恒等变换，考查运算求解能力，是基础题. 6．若函数()2x mf x e -=，且()()2112f x f x -=-，则()()ln3ln3f f +-=（ ）A ．0B ．99e e+C ．12D ．18【解析】由()()2112f x f x -=-可知()f x 关于y 轴对称，可求出m ，即可求出函数值. 【详解】由()()2112f x f x -=-，可知函数()2x mf x e -=的图象关于y 轴对称，则02m=，得0m =，故()2x f x e =， ()()()2ln3ln3ln32ln3218f f f e +-===.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想. 7．曲线1x y e x +=+在1x =-处的切线与曲线2y x m =+相切，则m =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】先求出切线方程是22y x =+，再求切线22y x =+在曲线2y x m =+的切点为(1,4) ，最后求出3m =即可. 【详解】解：因为曲线1x y e x +=+，所以11x y e +'=+，1'1+12x y =-==，所以曲线1x y ex +=+在1x =-处的切线方程是22y x =+，因为曲线2y x m =+，所以2y x '=，令22y x '==，解得：1x =，将1x =代入22y x =+得：4y =，所以切线22y x =+在曲线2y x m =+的切点为(1,4) 将(1,4)代入2y x m =+得3m =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.8．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为19，球1O 为该三棱锥的内切球.若球2O 与球1O 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球2O 与球1O 的表面积之比A ．49B ．19C ．925D ．125【答案】C【解析】先证明PO ⊥平面ABC ，接着求出219cos 19PAO =∠，再得到214r PO =和114R PO =，从而得到35r R =，最后求出球2O 与球1O 的表面积之比即可. 【详解】如图，取ABC 的外心O ，连接PO ，AO ， 则PO 必过1O ，2O ，且PO ⊥平面ABC ， 可知PAO ∠为侧棱与底面所成的角，即219cos 19PAO =∠. 取AB 的中点M ，连接PM ，MC .设圆1O ，2O 的半径分别为R ，r ， 令2OA =，则19PA =，23AB =，3AM =，1OM =，所以214r OM PO PM ==，即24PO r =，从而145PO r r R r R =++=+， 所以1154R R PO r R ==+，则35r R =， 所以球2O 与球1O 的表面积之比为925.故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.二、多选题9．下图为某城市2017年~2019年劳动力市场供求变化统计图.倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率=需求人数÷求职人数.它表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1，劳动力供需关系越稳定.根据统计图可知，该城市在2017年~2019年中（）A．该市求职人数最多的时期为2019年第三季度B．该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善【答案】AD【解析】通过图示，根据曲线的实际意义逐一判断可得选项.【详解】通过图明显可以看出2019年第三季度求职人数最多，故A正确；2017年第二季度求职人数远高于岗位需求量，故B错误；2019年第一季度供需人数高于2019年第二季度，故C错误；通过求职倍率曲线可以看出，劳动力供需比例从0.65上升到最高0.90，并且自2018年第四季度至2019年第四季度求职倍率非常稳定，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力，属于基础题.10．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =-B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN =D ．三角形ONF 的面积为162（O 为坐标原点） 【答案】ACD【解析】先求C 的准线方程4x =-，再求焦点F 的坐标为()4,0，接着求出4AN =，8FF '=，中位线62AN FF BM '+==，最后求出12FN =，162QNF S =△即可得到答案. 【详解】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F '，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A . 由抛物线的解析式可得准线方程为4x =-，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF '=，在直角梯形ANFF '中，中位线62AN FF BM '+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==， 故6612FN FM NM =+=+=，2212482ON =-=，18241622QNF S =⨯⨯=△.故选：ACD. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.11．设x ，y 为实数，满足12x -≤≤，01y <≤，则（ ） A ．x y +的取值范围是(]1,3- B ．x y -的取值范围是[)2,2-C ．xy 的取值范围是[]1,2-D ．2x y的取值范围是[)1,+∞【答案】ABC【解析】利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项. 【详解】对于D 选项，当0x =时，20x y=，所以D 选项错误. 由于12x -≤≤，01y <≤，所以13x y -<+≤，所以A 选项正确. 由于12x -≤≤，10y -≤-<，所以22x y -≤-<，所以B 选项正确.当10x -≤<、01y <≤时，10y -≤-<，则01xy <-≤，则10xy -≤<，所以xy 的取值范围是[)1,0-； 当0x =时，0xy =；当02x <≤、01y <≤时，xy 的取值范围是(]0,2. 综上，xy 的取值范围是[]1,2-，所以C 选项正确. 故选：ABC 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.12．定义：1M 表示函数()y f x =在I 上的最大值，已知奇函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()f x x =，正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则（ ） A ．[]0,2a M =B ．[]0,4a M =C ．a 的取值范围为[]4,9D ．a 的取值范围为[]6,9【答案】BD【解析】先结合题中条件得出()f x 的最小正周期，然后再画出函数()f x 的图象，然后结合图象进行分析即可得解 【详解】因为()()44f x f x +=-，所以有()()8f x f x +=-， 又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()8f x f x +=-，所以有()()()168f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期为16， 画出函数()f x 的图象，如图所示：当4a <时，[]0,a M a =，显然正数a 不满足[][]0,,22a a a M M ≥， 所以4a ≥，故[]0,4a M =，因为[][]0,,22a a a M M ≥，所以[],22a a M ≥， 即()y f x =在[],2a a 上的最大值不大于2，故6218a a ≥⎧⎨≤⎩，所以69a ≤≤.故选：BD . 【点睛】本题考查对新定义以及函数的性质的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，属于常考题.三、填空题13．已知向量()1,a m =，()1,2b =-，()()-a b a b +⊥，则m =______. 【答案】4【解析】由()()-a b a b +⊥可得a b =，由向量的模长公式计算即可得到答案. 【详解】因为()()-a b a b +⊥，所以()()-=0a b a b +⋅，则a b =，即114m +=+， 所以4m =. 故答案为：4 【点睛】本题考查平面向量的数量积公式，考查两个向量垂直条件得应用，考查运算求解能力，属于基础题.14．将函数()()()sin 40f x x ϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则ϕ的最大值是______.【答案】3π-【解析】本题先建立方程()43k k πϕπ+=∈Z ，再求()43k k πϕπ=-+∈Z ，最后求ϕ的最大值即可.【详解】解：由题意有：()4sin 4sin 433g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦奇函数， 所以()43k k πϕπ+=∈Z ， 所以()43k k πϕπ=-+∈Z ， 则ϕ的最大值是3π-.故答案为：3π-【点睛】本题考查三角函数图象的变换以及性质，考查数形结合的数学思想及逻辑推理能力，是基础题.15．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种. 【答案】16【解析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可. 【详解】农场主在中间共有4424A =种站法，农场主在中间，两名男生相邻共有222228A A ⋅=种站法， 故所求站法共有24816-=种. 故答案为：16 【点睛】本题考查计数原理，考查了正难则反原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.16．已知1F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的离心率为______.【解析】先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65t a =，1185PF a =，285PF a =，最后建立方程2221212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.【详解】设2F 为双曲线22221x y a b-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，212OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2t AM =. 因为222OM AM OA =+，所以65t a =，则1185PF a =，285PF a =. 又因为2221212PF PF F F +=，所以29725e =，即该双曲线的离心率e =97. 【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.四、解答题17．在①22cos b c a C +=，②三角形ABC 的面积为)22234a b c --，③sin 3sin c A a B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC 的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3ab ，1c =，______？【答案】选条件①：存在，23；选条件②：存在，23；选条件③：不存在，答案见解析.【解析】方案一：选条件①：先求出cos A 以及A ，再求出sin B 以及B ，最后求出3a =1b =以及ABC 的周长；方案二：选条件②：先求出tan 3A =-A ，再求出sin B 以及B ，最后求出3a =1b =以及ABC 的周长；方案三：选条件③：先求出13b =以及33a =3133a b c +=+<，最后判断三角形不存在. 【详解】解：方案一：选条件①因为22cos b c a C +=，所以2sin sin 2sin cos B C A C +=， 即()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，整理得()sin 2cos 10C A +=.因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-，解得23A π=. 又因为3a b ，所以sin 3sin AB ，即1sin 2B =，6B π=，所以6C π=，则sin sin a cA C=，得a =1b =， 所以ABC的周长为2+. 方案二：选条件②因为)222sin 124ABCa b c bc SA --==△，所以)212cos n 4si bc bc A A -=，即tan A =， 因为()0,A π∈，所以23A π=. 又因为3a b ，所以sin 3sin AB ，即1sin 2B =，6B π=，所以6C π=，则sin sin a cA C=，得a =1b =， 所以ABC的周长为2+. 方案三：选条件③sin 3sin c A a B =，则3ac ab =，得133c b ==，因为3ab，所以3a =.又因为13a b c +=+<，则问题中的三角形不存在. 【点睛】本题考查三角形的面积公式、正弦定理、三角形是否存在的判断，是基础题. 18．已知数列{}n a 满足112a =，且对于任意m ，*t N ∈，都有m t m t a a a +=⋅. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()111n nn n b a a -+-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a =，*n N ∈；（2）()2382155n n +--⋅. 【解析】（1）先求出112n n a a +=，*n ∈N ，再判断数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列，最后求n a 即可； （2）先求出()12112n n n b -+⋅=-，再判断数列{}n b 是以32为首项，以22-为公比的等比数列，最后求n T 即可. 【详解】解：（1）∵对于任意m ，*t ∈N ，都有m t m t a a a +=⋅成立， ∴令m n =，1t =，得11n n a a a +=⋅，即112n n a a +=，*n ∈N ， ∴数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列， ∴1111222n n na -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，*n ∈N . （2）∵()()()1111211112212n n n n n n nn n b a a ---+++-==-⋅⋅⋅=-，∴数列{}n b 是以32为首项，以22-为公比的等比数列，∴()()()()3223135792122128222221215512n n n n n nT +-+⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=-+-++-⋅==--⋅--. 【点睛】本题考查利用递推关系求通项公式，等比数列的通项公式与前n 项和，是基础题. 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，O ，M 分别为BC ，1AA 的中点.（1）证明：//OM 平面11CB A .（2）若四边形11BB C C 为正方形，求平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ，先证明1ONA M 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）连接OA ，利用已知条件得出OA ，OB ，ON 互相垂直，建立空间坐标系，分别求出平面1MOB 和面11CB A 的法向量，根据空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ， 则N 为1CB 的中点. 因为O 为BC 的中点， 所以1//ON BB ，且112ON BB =， 又11//MA BB ，1112MA BB =， 所以1ONA M 为平行四边形， 即1//OM A N .因为OM ⊄平面11CB A ， 所以//OM 平面11CB A .（2）解：连接OA ，令2BC =， 因为AB AC =，O 为BC 的中点， 所以AO BC ⊥.又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1//ON BB ， 所以OA ，OB ，ON 互相垂直，分别以OB ，ON ，OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为AB AC ==12BC AA ==，所以()0,0,0O，()11,2,0B ，()0,1,1M ，()1,0,0C -，所以()10,1,1OM NA ==，()11,2,0OB =，()12,2,0CB =. 设平面1MOB 的法向量为(),,m x y z =，则100OM m OB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1z =，可得1y =-，2x =，所以平面1MOB 的一个法向量为()2,1,1m =-. 设平面11CB A 的法向量为(),,n a b c =， 则1100NA n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220b c a b +=⎧⎨+=⎩，令1c =，可得1b =-，1a =，所以平面11CB A 的一个法向量为()1,1,1n =-，2211111,cos 3m n ⨯-⨯-+⨯===， 所以平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值为13. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及空间向量的应用和二面角.属于中档题. 20．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.（1）求乙盒中红球个数X 的分布列与期望； （2）求从乙盒中任取一球是红球的概率. 【答案】（1）答案见解析，32；（2）14.【解析】（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案. 【详解】解：（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===， ()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===， 所以X 的分布列为所以()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）当乙盒中红球个数为0时，10P =，当乙盒中红球个数为1时，291320640P =⨯=， 当乙盒中红球个数为2时，392320620P =⨯=， 当乙盒中红球个数为3时，413120640P =⨯=， 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为123414P P P P +++=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题.21．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，斜率为k （0k ≠）的直线l 交E 于A ，B 两点，当k =时，AB =OAB 的面积为2ab（O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的方程；（2）设F 为E 的右焦点，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MA MO =，求k 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）4k =-或4k =. 【解析】（1）先判断B 为椭圆的下顶点，再建立方程求出24a =，23b =，最后求椭圆E 的方程；（2）先联立方程()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，表示出228643B k x k -=+和21243B k y k -=+，再表示出点M 的坐标和点H 的坐标，最后表示出FH 、BF 建立方程2224912104343k k k k k k -⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭求直线l 的斜率即可. 【详解】解：（1）因为A 是椭圆的右顶点，OAB 的面积为2ab，所以B 为椭圆的下顶点.所以2b k a ==，AB ==24a =，23b =， 所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）设(),B B Bx y ，直线l 的方程为()2y k x =-，由方程组()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=， 解得2x =或228643k x k -=+. 由题意得228643B k x k -=+，从而21243B k y k -=+. 因为MA MO =，所以M 的坐标为()1,k -，因此直线MH 的方程为11y x k k k =-+-，则H 的坐标为10,k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=.由（1）知()1,0F ，则11,FH k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，所以2224912104343k k k k k k -⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭，解得k =k =，所以直线l 的斜率k =k =. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系求参数，是中档题 22．已知函数()()()()22543ln 132f x x x x x a x =+++-+-. （1）当8a =-时，求()f x 的单调性；（2）如果对任意0x ≥，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）在()21,1e --上单调递减，在()21,e -+∞上单调递增；（2）[)0,+∞.【解析】（1）先求函数()f x 的定义域为()1,-+∞，再求导函数，解不等式()0f x '<和()0f x '>求()f x 的单调性即可；（2）先建立新函数()()()()24ln 14g x f x x x x a '==++-+并求导，再建立新函数()()22ln 11xh x x x =+-+，[)0,x ∈+∞并求导，接着判断当0a ≥时符合题意；当0a <时，不符合题意即可得到答案. 【详解】解：（1）当8a =-时，()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()24ln 14824ln 12x x x x x f x =++--=++-'⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，解得21x e =-，当211x e -<<-时，()0f x '<，则()f x 在()21,1e --上单调递减；当21x e >-时，()0f x '>，则()f x 在()21,e -+∞上单调递增.（2）当0x ≥时，()()()24ln 14f x x x x a '=++-+.设函数()()()()24ln 14g x f x x x x a '==++-+，则()()22ln 11xg x x x '=+-+. 设函数()()22ln 11x h x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，则()()2201x h x x '=≥+，又()()00h x h ≥=，从而()0g x '≥，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增.当0a ≥时，()()00f x f a ''≥=≥，则()f x 在[)0,+∞上单调递增，又()00f =，符合题意.当0a <时，设()f x 在()0,∞+上的唯一零点为0x ，当[)00,x x ∈时，()0f x '<； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>.故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000f x f <=，不符合题意.综上，a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】本题考查利用导函数求函数的单调性，利用导函数研究不等式恒成立问题，是偏难题.。
2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
设这7天降雨量分别为X],a∙2 tx3tx4tx5tx6, J7
因为1厘米=10毫米,这7天降雨量分别为IOxI, 10‰, IOX3，IOX4，IoX5，IOX6，IO-V7,
平均值为10无二265,
所以标准差变为-X（IOxll-IOx）'xf=10×6」=61.
Y 7ZI=Iy 7/?=i
故选：C
【点睛】
本题考査统讣知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，屈于基础题・
4.若0<方<1,则““>戻”是“u>b”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】
因为OCbVl,所以b-b3=b（l-b2）>0,即b>b∖故">方可推出a > b'，
A. (0, 1)B.(—3,0)<j(1,2)
C.(—3,1)D.(―2,0)<j(1,3)
【答案】B
【解析】化简集合A, B,根据交集运算即可求值.
【详解】
因为A = {x∖x<x2} =(Y,0)u(1,+oc),
B = {x∖x2+X —6 v0} = (-3,2)
所以ACB = (-3,0)u(l,2)∙
而a >b3推不出u >b,（例如“=丄"=丄）42
故“α>Z√”是∏"的必要不充分条件.
故选:A
【点睹】
本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.
5.函数/(X) = x2SinX-XCOSx⅛[-π,π]±的图象大致为()
2021年高三上学期第一次质量检测数学理试题 含解析
2021年高三上学期第一次质量检测数学理试题含解析【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、不等式、向量、三视图、导数的综合应用、圆锥曲线、数列、参数方程极坐标、几何证明、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件的关系等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1．已知集合，，则集合（）A．B． C． D．【知识点】集合的表示及集合的交集A1【答案解析】D解析：因为，所以{0,2}则选D.【思路点拨】在进行集合的运算时，能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进行运算.【题文】2．已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【知识点】复数的代数运算、复数的概念L4【答案解析】A解析：因为，所以的共轭复数是，则选A.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，掌握复数的代数运算法则是解题的关键.【题文】3. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.2B. 3C. 4D. 5【知识点】简单的线性规划E5【答案解析】B解析：不等式组表示的平面区域为如图ABCD对应的区域，显然当动直线经过区域内的点A时目标函数的值最小，而A点坐标为(1,1)，则目标函数的最小值为1+2=3，所以选B.【思路点拨】正确的确定不等式组表示的平面区域是解题的关键.【题文】4．已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件、对数函数与指数函数的性质A2 B6 B7【答案解析】A解析：因为由得a＞b＞0，所以成立，若，因为a,b不一定为正数，所以不能推出，则选A.【思路点拨】判断充分条件与必要条件时，可先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）A. B. C. D.【知识点】三视图G2【答案解析】C解析：由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，所以几何体的体积为，所以选C.【思路点拨】本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题．根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键.【题文】6．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】C解析：因为直线与两坐标轴的交点分别为，所以c=2，b=1，a= ,则离心率为，所以选C.【思路点拨】因为椭圆的焦点与顶点都在坐标轴上，所以求出直线与坐标轴的交点，即可解答.【题文】7.已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为( ）A．B．C．D．【知识点】向量的数量积F3【答案解析】B 解析：因为向量与的夹角为120°,且,所以,则()()()()94310AP AC AB AB AC AC AB λλλ⋅-=+⋅-=---=,解得，所以选B.【思路点拨】掌握向量的数量积计算公式及向量的数量积的运算法则是本题解题的关键.【题文】8.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④. 其中正确结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】导数的综合应用B12【答案解析】D 解析：求导函数可得f′（x ）=3x 2-12x+9=3（x-1）（x-3），∴当1＜x ＜3时，f （x ）＜0；当x ＜1，或x ＞3时，f （x ）＞0，所以f （x ）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞）单调递减区间为（1，3），所以f （x ）极大值=f （1）=1-6+9﹣abc=4﹣abc ，f （x ）极小值=f （3）=27﹣54+27－abc=﹣abc ，要使f （x ）=0有三个解a 、b 、c ，那么结合函数f （x ）草图可知：a ＜1＜b ＜3＜c 及函数有个零点x=b 在1～3之间，所以f （1）=4-abc ＞0，且f （3）=-abc ＜0，所以0＜abc ＜4，∵f （0）=-abc ，∴f （0）=f （3），∴f （0）＜0，∴f （0）f （1）＜0，f （1）f （3）＜0，∵f （a ）=f （b ）=（c ）=0，∴x 3-6x 2+9x-abc=（x-a ）（x-b ）（x-c ）=x 3-（a+b+c ）x 2+（ab+ac+bc ）x-abc ，∴a+b+c=6①，ab+ac+bc=9②，把②代入①2得：a 2+b 2+c 2=18；故正确的为：①②③④，所以选D.【思路点拨】本题可根据已知条件，利用导数及函数的图像确定函数的极值点及a 、b 、c 的大小关系.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。
2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题一、单选题 1．若13z i =-，则zz的虚部为（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】A【解析】由已知先求出zz的值，可得虚部的值. 【详解】解：由,1010z z ==+，故选：A. 【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ） A ．6.1毫米 B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C【解析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ， 平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100【答案】A【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】AC【解析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D. 【详解】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A 正确，B 错误.双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 10．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．B ．2-C D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故6tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为22，则（ ） A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为155B ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 的距离的2倍C ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C ABE --的大小 D ．在棱AB 上一定存在一点F ，使得1//C F 平面BDE 【答案】BCD【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可. 【详解】如图，设2BC =，易知二面角C AB E --的平面角为CBE ∠， 则2tan 2CE CBE BC ∠==，即2CE =//AD BC ，所以异面直线AE 与BC 所成角为DAE ∠，因为AD DE ⊥，所以10cos 10AD DAE AE ∠===A 错误；设1B C BE M ⋂=，则11B M B B CM CE ===1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍，故B 正确；因为//CE 平面1BDD B ，所以E 到平面11BDD B 的距离等于C 到平面11BDD B 的距离，而C 到平面11BDD B 的距离为CO =所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的正弦值为3CO BE ==，所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小，故C 正确；在AC 上找一点G ，使得1//C G EO ，过G 再作BD 的平行线交AB 于F ，且1C G GF G =，//DO EO O =，所以平面1//C GF 平面BDE ，从而可知1//C F 平面BDE ，故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD 【解析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x'-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.三、填空题13．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________.【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入()22224||a b a ba -=-=.【详解】 解：()22222443712,372||a b a b a a b b cos a b -=-=-⋅+=-=-=所以|2|35a b -=本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.14．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 【答案】2n n +【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】因为22221(1)2n a n n n =+-+=， 所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =， 所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+. 故答案为：2n n + 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16．一个圆锥的表面积为48π，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________. 【答案】2【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得2l r =，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，由相似可得3(4)a R =-，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图为半圆， 所以2l r ππ=，解得2l r =. 因为圆锥的表面积为48π，所以221482l r πππ+=，解得4r =，8l =，43h =. 如图，设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，则4443a R-=，所以3(4)a R =-， 内接圆柱的侧面积2223(2)4S Ra R ππ⎡⎤==--+⎣⎦， 当2R =时，S 取最大值. 故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.四、解答题 17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭.由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为9 10.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，则37(0)103431000P X⎛⎫=⎪⎝⎭==，3214411037(100)110P X C⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭==，3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫=⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()3931010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+7272132111477142=-⨯+⨯=， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知213321sin :sin :sin ::2:7:37214A B C ==， 由正弦定理得::2:7:3BC AC AB =. 设3AB k =，则7AC =，2BC k =，则ABC 的周长为()5757k +=+，解得1k =，从而2BC =，3AB =， 故ABC 的面积133sin 22S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ， 所以111120ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解析. 【解析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =， 此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
2021年高三上学期第一次调研数学试卷含解析
2021年高三上学期第一次调研数学试卷含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={x|（x﹣2）（x﹣4）=0}，B={1，2，4}则∁UA∩B=（）A．{1} B．{2，4} C．{0，1，3} D．{0，1，2，4}2．“0≤k＜3”是方程+=1表示双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知﹣＜α＜β＜，则α﹣β的范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）C．（﹣，0）D．（﹣，）4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1与C1D1所成的角（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且，则角C是（）A． B． C． D．7．已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin（π﹣α）=（）A． B． C． D．8．向量，，满足||=4，||=2，且（﹣）•=0，则与的夹角（）A．πB．πC． D．9．若二项式（x2﹣）n的展开式中，含x14的项是第3项，则n=（）A．8 B．9 C．10 D．1110．与直线x+4y﹣4=0垂直，且与抛物线y=2x2相切的直线方程为（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中的横线上．）11．已知复数Z1=1+2i，Z2=﹣2﹣3i，则Z1+Z2的共轭复数是．12．已知圆C的参数方程为，若将坐标轴原点平移到点O'（1，2），则圆C在新坐标系中的标准方程为．13．设z=x+y，且实数x，y满足，则z的最大值是．14．已知偶函数f（x）=ax2+（b+1）x+c的定义域为（b，a﹣1），那么a b= ．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1=2a，∠CAB=90°，AC=a．则点B到平面AB1C 的距离为．三、解答题（本大题共7小题，共90分）16．已知f（x）=，求函数f（x）的定义域．17．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，2），且f（x）在定义域上单调递减，（1）求函数f（1﹣x）的定义域；（2）若f（1﹣a）＜f（a2﹣1），求a的取值范围．18．某中学选派10名同学参加南京“青奥会”青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的天数统计如表所示．参加活动天数 1 3 4参加活动的人数 1 3 6（1）从“青志队”中任意选3名同学，求这3名同学中恰好有2名同学参加活动天数相等的概率；（2）从“青志队”中任选两名同学，用X表示这两人参加活动的天数之差，求X＞1的概率．19．已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求等差数列{a n}的通项a n；（2）设b n=a n+，求数列{b n}的前n项和S n．20．已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（）的值；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的值域．21．某果园中有60棵橘子树，平均每棵树结200斤橘子．由于市场行情较好，园主准备多种一些橘子树以提高产量，但是若多种树，就会影响果树之间的距离，每棵果树接受到的阳光就会减少，导致每棵果树的产量降低，经验表明：在现有情况下，每多种一棵果树，平均每棵果树都会少结2斤橘子．（1）如果园主增加种植了10棵橘子树，则总产量增加了多少？（2）求果园总产量y（斤）与增加种植的橘子树数目x（棵）之间的函数关系式．（3）增加种植多少棵橘子树可以使得果园的总产量最大？最大总产量是多少？22．如图，圆O与离心率为的椭圆T：（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．（1）求椭圆T与圆O的方程．（2）过点M引直线l（斜率存在），若直线l被椭圆T截得的弦长为2．①求直线l的方程；②设P（x，y）为圆O上的点，求点P到直线l的最大距离．四选二（本大题共有四小题，共16分，每小题8分．考生选做其中2题，多做或全做不加分．）23．将十进制数34换算成二进制数，即（34）10= ．24．程序框图，如图所示为1+2+3+…+n＞50的最小自然数n的程序框图，在空白框中应填；输出的I= ．商品名称批发数量/件每件批发价/元每件成本价/元A商品1000 3.0 2.5B商品1500108C商品120064则该批发点A商品的批发利润率为；该批发点1月份的利润为元．工作代码紧前工作工期（天）A无4B A6C B3D C，G10E D，H4F A3G F10H C，G8xx学年江苏省南京市职业学校高三（上）第一次调研数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项符合要求．）1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={x|（x﹣2）（x﹣4）=0}，B={1，2，4}则∁U A∩B=（）A．{1} B．{2，4} C．{0，1，3} D．{0，1，2，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合A，根据集合的基本运算进行求解．解答：解：A={x|（x﹣2）（x﹣4）=0}={2，4}，则∁U A∩B={0，1，3}∩{1，2，4}={1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．“0≤k＜3”是方程+=1表示双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：“0≤k＜3”⇒方程+=1表示双曲线；反之，方程+=1表示双曲线﹣1＜k＜5．由此得到“0≤k＜3”是方程+=1表示双曲线的充分不必要条件．解答：解：∵0≤k＜3，∴，∴方程+=1表示双曲线；反之，∵方程+=1表示双曲线，∴（k+1）（k﹣5）＜0，解得﹣1＜k＜5．∴“0≤k＜3”是方程+=1表示双曲线的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．3．已知﹣＜α＜β＜，则α﹣β的范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（﹣，）考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由﹣＜α＜β＜，可得，α﹣β＜0，即可得出．解答：解：∵﹣＜α＜β＜，∴，α﹣β＜0，∴，故选：C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1与C1D1所成的角（）A．30° B．45° C．60° D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由D1C1∥AB，知∠BAB1是AB1与C1D1所成的角，由此能求出AB1与C1D1所成的角．解答：解：∵D1C1∥AB，∴∠BAB1是AB1与C1D1所成的角，∵AB=BB1，AB⊥BB1，∴∠BAB1=45°．∴AB1与C1D1所成的角为45°．故选：B．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据分段函数的解析式，对a的范围进行讨论，进一步根据不同的范围求出参数a的结果．解答：解：已知函数f（x）=则：①当a＞0时，f（a）+f（1）=0得到：2a+2=0解得：a=﹣1与前提条件矛盾故舍去．②当a＜0时，f（a）+f（1）=0得到：a+1+2=0解得：a=﹣3综上所述：a=﹣1故选：C点评：本题考查的知识要点：分段函数的应用，分类讨论问题的应用，属于基础题型．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且，则角C是（）A． B． C． D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：根据正弦定理将条件进行化简即可．解答：解：由正弦定理得，即sinC=，即tanC=，在三角形中，C=，故选：C点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理进行化简是解决本题的关键．7．已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin（π﹣α）=（）A． B． C． D．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得所给式子的结果．解答：解：∵cosα=﹣，α∈（π，），∴sinα=﹣=﹣，∴sin（π﹣α）=sinα=﹣，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．8．向量，，满足||=4，||=2，且（﹣）•=0，则与的夹角（）A．πB．πC． D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角是θ，由题意和数量积的运算求出cosθ，再由向量的夹角范围求出θ的值．解答：解：设与的夹角是θ，因为||=4，||=2，且（﹣）•=0，所以•﹣•=0，则4×2×cosθ﹣4=0，得cosθ=，又0≤θ≤π，所以θ=，故选：D．点评：本题考查数量积的运算，以及向量的夹角问题，属于基础题．9．若二项式（x2﹣）n的展开式中，含x14的项是第3项，则n=（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，根据r=3，2n﹣6=14，求出n的值．解答：解：二项式（x2﹣）n的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x2n﹣3r，含x14的项是第3项，令r=3，2n﹣6=14，求得n=10，故选：C．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．10．与直线x+4y﹣4=0垂直，且与抛物线y=2x2相切的直线方程为（）A．4x﹣y+1=0 B．4x﹣y﹣1=0 C．4x﹣y﹣2=0 D．4x﹣y+2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定．专题：综合题．分析：欲求与抛物线y=2x2相切的直线方程，只须求出切点即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后根据切线与直线x+4y ﹣4=0垂直得到的斜率关系列出等式求出切点，从而问题解决．解答：解：∵y=2x2，∴y'（x）=4x，又直线x+4y﹣4=0的斜率为：，∴得切线的斜率为4，所以k=4；即4x=4，∴x=1，故切点坐标为（1，2）所以曲线的切线方程为：y﹣2=4×（x﹣1），即4x﹣y﹣2=0．故选C．点评：本小题主要考查两条直线垂直的判定、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中的横线上．）11．已知复数Z1=1+2i，Z2=﹣2﹣3i，则Z1+Z2的共轭复数是﹣1+i ．考点：复数代数形式的加减运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵复数Z1=1+2i，Z2=﹣2﹣3i，∴Z1+Z2=1+2i﹣2﹣3i=﹣1﹣i，其共轭复数为﹣1+i．故答案为：﹣1+i．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．已知圆C的参数方程为，若将坐标轴原点平移到点O'（1，2），则圆C在新坐标系中的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=4 ．考点：圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把圆的参数方程转化成直角坐标方程，进一步利用变换关系式进行变换，得到新的直角坐标方程．解答：解：圆C的参数方程为，转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2=4①将坐标轴原点平移到点O'（1，2），则：x′=x+1，y′=y+2所以：x=x′﹣1，y=y′﹣2代入①得到：（x′﹣1）2+（y′﹣4）2=4即：（x﹣1）2+（y﹣4）2=4故答案为：（x﹣1）2+（y﹣4）2=4点评：本题考查的知识要点：圆的参数方程与直角坐标方程的互化，变换关系式的应用，属于基础题型．13．设z=x+y，且实数x，y满足，则z的最大值是 5 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=x+y得z=2+3=5．即目标函数z=x+y的最大值为5．故答案为：5点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14．已知偶函数f（x）=ax2+（b+1）x+c的定义域为（b，a﹣1），那么a b= ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义域关于原点对称、偶函数的定义式即f（﹣x）=f（x）恒成立，即可列出关于a，b的方程组，问题获解．解答：解：因为偶函数f（x）=ax2+（b+1）x+c的定义域为（b，a﹣1），所以b+a﹣1=0…①，且a（﹣x）2﹣（b+1）x+c=ax2+（b+1）x+c对任意的x恒成立，所以b+1=0…②联立①②解得b=﹣1，a=2，所以．故答案为点评：本题考查了偶函数的基本概念和性质，注意定义式是个恒等式，据此列出系数的方程组．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1=2a，∠CAB=90°，AC=a．则点B到平面AB1C 的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：可采用等积法，只要求出三角形AB1C的面积，则B到面AB1C的距离即可求得．解答：解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=2a，∠CAB=90°，AC=a，∴AB=a，△AB1C中，AB1=a，B1C=2a，AC=a，∴==，设点B到平面AB1C的距离为h．由等体积可得，解得h=．故答案为：．点评：本题考查了利用等体积法求空间距离的方法，一般是构造三棱锥，通过变换顶点的方法来解．三、解答题（本大题共7小题，共90分）16．已知f（x）=，求函数f（x）的定义域．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则…（2分）∴…（2分）∴…（2分）∴故函数f（x）的定义域为…（2分）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．17．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，2），且f（x）在定义域上单调递减，（1）求函数f（1﹣x）的定义域；（2）若f（1﹣a）＜f（a2﹣1），求a的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得﹣1＜1﹣x＜2，求得x的范围，可得函数f（1﹣x）定义域．（2）由题意得，由此求得a的范围．解答：解：（1）∵﹣1＜1﹣x＜2，∴﹣2＜﹣x＜1，解得﹣1＜x＜2，∴函数f（1﹣x）定义域为（﹣1，2）．（2）由题意得，解得，∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．点评：本题主要考查抽象函数的定义域，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．18．某中学选派10名同学参加南京“青奥会”青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的天数统计如表所示．参加活动天数 1 3 4参加活动的人数 1 3 6（1）从“青志队”中任意选3名同学，求这3名同学中恰好有2名同学参加活动天数相等的概率；（2）从“青志队”中任选两名同学，用X表示这两人参加活动的天数之差，求X＞1的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）设参加活动天数相等为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出恰好有2名同学参加活动天数相等的概率．（2）由已知条件利用等可能事件概率计算公式能求出X＞1的概率．解答：（本题满分10分）解：（1）设参加活动天数相等为事件A，…（1分）…（3分）∴从中任意抽取3名同学，恰好有2名同学参加活动天数相等的概率是．…（1分）（2）…（4分）∴X＞1的概率为．…（1分）点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．19．已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求等差数列{a n}的通项a n；（2）设b n=a n+，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出a n=2n﹣1．（2）由，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和S n．解答：（本题满分12分）解：（1）∵a1，a2，a5成等比数列∴…（2分）∴d2=2a1d…（1分）∵d＞0，a1=1，∴d=2，…（1分）∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．…（2分）（2）∵…（2分）∴S n=b1+b2+b3+…+b n=（1+4）+（3+42）+（5+43）+…+[（2n﹣1）+4n]=（1+3+5+…+2n﹣1）+（4+42+43+…+4n）…（2分）=…（2分）点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意分组求和法的合理运用．20．已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（）的值；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先对函数关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的关系式求出函数的值．（2）根据（1）中函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．==，∴，（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴f（x）的值域为[﹣1，2]．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的关系式求出函数的值，利用三角函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．21．某果园中有60棵橘子树，平均每棵树结200斤橘子．由于市场行情较好，园主准备多种一些橘子树以提高产量，但是若多种树，就会影响果树之间的距离，每棵果树接受到的阳光就会减少，导致每棵果树的产量降低，经验表明：在现有情况下，每多种一棵果树，平均每棵果树都会少结2斤橘子．（1）如果园主增加种植了10棵橘子树，则总产量增加了多少？（2）求果园总产量y（斤）与增加种植的橘子树数目x（棵）之间的函数关系式．（3）增加种植多少棵橘子树可以使得果园的总产量最大？最大总产量是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据经验表明：在现有情况下，每多种一棵果树，平均每棵果树都会少结2斤橘子，可得总产量的增加；（2）设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式．（2）利用配方法，即可得出结论．解答：解：（1）（60+10）（200﹣10×2）﹣60×200…（2分）=70×180﹣60×200=600 …（2分）所以总产量增加了600斤．（2）y=（60+x）（200﹣2x）…（2分）=﹣2x2+80x+1xx（x≥0，x∈N）…（2分）（3）y=﹣2（x2﹣40x）+1xx=﹣2（x﹣20）2+12800…（3分）∴当增加种植20棵时，总产量最大，为12800斤…（1分）点评：此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．22．如图，圆O与离心率为的椭圆T：（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．（1）求椭圆T与圆O的方程．（2）过点M引直线l（斜率存在），若直线l被椭圆T截得的弦长为2．①求直线l的方程；②设P（x，y）为圆O上的点，求点P到直线l的最大距离．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由切点可得b=1，即圆的半径为1，可得圆的方程；再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a=2，进而得到椭圆方程；（2）①设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得k，进而得到直线方程；②根据对称性可知P到直线l的距离最大为圆心到直线的距离加上半径，由点到直线的距离公式，计算即可得到．解答：解：（1）由题意可知，圆的半径r=1，∴圆O的方程为：x2+y2=1，在椭圆T中，b=1，又，a2=b2+c2∴a2=4，b2=1，所以椭圆的标准方程为；（2）①设直线l：y=kx+1，设l与椭圆T交于M（x1，y1），N（x2，y2），∴消去y得：（1+4k2）x2+8kx=0，∴，∴弦长，解得：，∴直线l的方程为：；②根据对称性可知点P（x，y）到直线l：或的距离相等，故点P（x，y）到直线l的最大距离．点评：本题考查椭圆和圆的方程的求法，同时考查直线和圆相切的条件，以及直线和椭圆相交的弦长公式，考查运算能力，属于中档题．四选二（本大题共有四小题，共16分，每小题8分．考生选做其中2题，多做或全做不加分．）23．将十进制数34换算成二进制数，即（34）10= 100010（2）．考点：进位制．专题：计算题．分析：将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0为止，将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．解答：解：34÷2=17 017÷2=8 (1)8÷2=4 04÷2=2 02÷2=1 01÷2=0 (1)故34（10）=100010（2）故答案为：（100010）2．点评：本题考查的知识点是十进制与二进制之间的转化，其中熟练掌握“除2取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．24．程序框图，如图所示为1+2+3+…+n＞50的最小自然数n的程序框图，在空白框中应填S=S+I ；输出的I= 11 ．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：分析题目中的要求，发现这是一个累加型的问题，用循环结构来实现，累加的初始值为1，累加值每一次增加1，退出循环的条件是累加结果＞50，把握住以上要点不难得到正确的输出框内的内容．解答：解：第一步，S=0，I=1；第二步，S=1，I=2；第三步，S=1+2，I=3；…第n步，S=1+2+…+n﹣1，I=n；则在空白框中应填：S=S+I，由于当满足S=1+2+3+…+n﹣1＞50的最小的自然数是10，下一步：I=11，退出循环，则输出的I=11．故答案为：S=S+I…（2分）I=11…（4分）点评：可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分如下步骤：①观察S的表达式分析，循环的初值、终值、步长②观察每次累加的值的通项公式③在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值④在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长⑤输出累加（乘）值，属于基础题．25．某批发点1月份销售商品情况如表：商品名称批发数量/件每件批发价/元每件成本价/元商品名称批发数量/件每件批发价/元每件成本价/元A商品1000 3.0 2.5B商品1500108C商品120064则该批发点A商品的批发利润率为20% ；该批发点1月份的利润为5900 元．考点：频率分布表．专题：应用题．分析：（1）根据利润率=，求出A商品的批发利润率；（2）根据利润=收入﹣成本，求出1月份的批发利润．解答：解：（1）该批发点A商品的批发利润率为=0.2=20%；（2）该批发点1月份的利润为1000×（3.0﹣2.5）+1500×（10﹣8）+1200×（6﹣4）=500+3000+2400=5900元．故答案为：20%，5900．点评：本题考查了商品的利润与利润率的应用问题，是基础题目．工作代码紧前工作工期（天）A无4B A6C B3D C，G10E D，H4F A3G F10H C，G8考点：流程图的作用．专题：图表型．分析：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应结合所给表格分析好可以合并的工序，注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的．进而问题即可获得解答．解答：解：（1）该工程的网络图绘制如下：…（4分）（2）最短总工期为31天…（4分）点评：本题考查的是流程图，在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、读图表审图表的能力以及问题的转化和分析能力，属于基础题．l320311 4F57 佗36470 8E76 蹶W^>27009 6981 榁39595 9AAB 骫34322 8612 蘒N31196 79DC 秜f。
2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(一)理科数学
【解析】
【分析】
根据 在 上投影为 ，以及 ，可得 ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入 即可求得 .
【详解】 在 上投影为 ，即
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到 的最小值.
【答案】A
【解析】
【分析】
考虑既属于 又属于 的集合，即得.
【详解】 .
故选：
【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.
2.已知复数z满足 ,则 在复平面上对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，由 得： ，由复数相等可得 的值，进而求出 ，即可得解.
该几何体的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
11.定义 ，已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数 定义得 ， ，则 ,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得 ，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得 ， ，代入得 ，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，即
由余弦定理得 ， ， .
（2）设 外接圆的半径为 ，则由正弦定理得 ，
2021年高三上学期第一次质检数学(理)试卷 含解析
2021年高三上学期第一次质检数学（理）试卷含解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B=．2．函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是．6．已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）= ．7．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．9．在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为．12．若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m的值为．13．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是．14．一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有．（填上所有正确答案的序号）（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；①f1②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．17．（14分）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．18．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．21．（16分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．22．（16分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x ﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．23．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．xx学年江苏省徐州市沛县中学高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B={1，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（xx秋•普宁市校级期中）函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的导数，然后令f′（x）＞0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f′（x）=2（x﹣1），令f′（x）＞0，解得x＞1，所以f（x）在[1，+∞）递增，即函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用，属于基础题．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，则复数z的虚部是：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是{} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意可得，解之可得函数的定义域，注意写成集合的形式即可．【解答】解：由题意可得，解之可得故函数的定义域是{}．故答案为：{}【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是（﹣4，0] ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的取值范围．【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣2，0）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x﹣z经过点O（0，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=﹣2×2=4，最小值z=0﹣0=0．即﹣4＜z≤0．故答案为：（﹣4，0]【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．6．（xx•长春三模）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=5．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件求解f（x）+f（﹣x）=2，然后即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（﹣x）=，则f（0）=1，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（﹣x）=2是解决本题的关键．7．（xx•通州区一模）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是（0，3）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．9．（xx•通州区一模）在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．【考点】正弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA=，∴cosA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．===．∴S△ABC故答案为．【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的充分不必要条件条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．【解答】解：由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sinx＞0，故“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sinx≥0，a≥1，不能得到“a ＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．11．（xx•万州区模拟）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．12．（2011秋•雁塔区校级期末）若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m 的值为．【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】化简函数y=sinx+mcosx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出m即可．【解答】解：函数y=sinx+mcosx=sin（x+θ），其中tanθ=m，，其图象关于直线对称，所以θ+=±，θ=，或θ=（舍去）所以tanθ=m=，故答案为：．【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．13．（xx•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，∴||||=4∵=（+），∴||2=（||2+||2+2 •）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1∴min=1故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（xx•安庆二模）一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有②③⑤．（填上所有正确答案的序号）①f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．【考点】进行简单的合情推理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出题目中所给5个函数的值域，根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于①，f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣1，0]，不符合，故①舍去；对于②，f2（x）=sinx，x∈[，π]的值域为，故②正确；对于③，，于是f3（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，其值域为[﹣2，2]，故③正确；对于④，，单调递增，其值域为[1，e2﹣2]，不符合题意，故④舍去；对于⑤，f5（0）=0，当x＞0时，（当且仅当x=1时，等号成立），其值域为[0，2]，故⑤正确．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中熟练掌握求函数值域的方法，并正确理解保域函数”的定义是解答的关键．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）（xx秋•苏州期中）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用a=4，求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，即可求解集合A∩B．（2）通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件，推出关于a的表达式，求出a的范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0⇒（x﹣3）（x﹣17）＜0，解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，集合A∩B={x|3＜x＜7}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，当3a+5＞3即a＞﹣时，3a+5≤7，解得﹣＜a≤．当3a+5≤3即a≤﹣时，3a+5≥﹣2，解得﹣≥a≥﹣．综上实数a的取值范围：．【点评】本题考查二次不等式的解法，对数函数的定义域的求法，集合的交集与充要条件的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．17．（14分）（xx春•洛阳期末）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．18．（14分）（xx•玉溪三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC ﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC=﹣sinCsinB，又sinC≠0，从而可求tanB=﹣，结合B为三角形内角，即可得解B的值．（Ⅱ）由D为边AC的中点，可得2=+，两边平方，设||=c，||=a，可得4=a2+c2﹣ac，结合基本不等式的应用可得ac的最大值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a=bcosC﹣csinB，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣sinCsinB，∴cosBsinC=﹣sinCsinB，又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，∴tanB=﹣，又∵B为三角形内角，可得B=…（6分）（Ⅱ）如图，∵点D为边AC的中点，∴2=+，∴两边平方可得：4||2=||2+2||•||•cos∠ABC+||2，…（9分）又∵由（Ⅰ）知B=，设||=c，||=a，即：4=a2+c2﹣ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsin∠ABC=ac≤．∴S△ABC∴当且仅当a=c=2时，△ABC面积的最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（14分）（xx•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．20．（16分）（xx•宝山区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（6分）（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈[0，1]（8分）当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）（10分）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得（11分）综上所述，为所求．（12分）【点评】本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，尤其本题中在判定最值时需要分类讨论的，对思考问题的严密性一个挑战．21．（16分）（xx春•成都校级期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC==sin（2x+）﹣，由得．所以当，即时．按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα在Rt△ONH中，，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）=由，则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题．22．（16分）（xx•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．23．（16分）（xx•桂林模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．39179 990B 餋L21488 53F0 台28185 6E19 渙31311 7A4F 穏w 28994 7142 煂21934 55AE 單32204 7DCC 緌+l20679 50C7 僇37562 92BA 銺。
2021届金太阳高三第一次检测考试数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】由图可得对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应点的象限即可．
【详解】
由图可得， ， ，
则 ，所以复数 的虚部为3.
故选：B
【点睛】
本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义，属于基础题．
3．“净拣棉花弹细，相合共雇王孀.九斤十二是张昌，李德五斤四两.纺讫织成布匹，一百八尺曾量.两家分布要明彰，莫使些儿偏向.”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两.共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布.共织成布匹一百零八尺长，则（）（注：古代一斤是十六两）
6．若函数 ，且 ，则 （）
A．0B． C．12D．18
【答案】D
【解析】由 可知 关于 轴对称，可求出 ，即可求出函数值.
【详解】
由 ，可知函数 的图象关于 轴对称，
则 ，得 ，故 ，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想.
7．曲线 在 处的切线与曲线 相切，则 （）
B．该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度
C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低
D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正逐步得到改善
【答案】AD
【解析】通过图示，根据曲线的实际意义逐一判断可得选项.
【详解】
通过图明显可以看出2019年第三季度求职人数最多，故A正确；
【答案】16
【解析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可.
【详解】
农场主在中间共有 种站法，
【新增】2021届金太阳8月第一次检测考试答案(新高考)【高斯课堂】
高三数学参考答案!第!! 页共"页
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高三数学参考答案
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数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案
正确填写在答题卡上 一、单选题
1．已知集合 A x x2 4x 5 0 ， B x x 2 ，则 A B （ ）
C．按张昌 42.5 尺，李德 65.5 尺分配就合理了
D．按张昌 65.5 尺，李德 42.5 尺分配就合理了
答案 B
先求出张昌和李德拣了多少斤棉花，再按比例求出张昌和李德各有多少尺即可.
解：
九斤十二两等于 9.75 斤，
五斤四两等于 5.25 斤，
所以按张昌 9.75 108 70.2 尺， 9.75 5.25
当 a 4 时， M0,a a ，显然正数 a 不满足 M0,a 2Ma,2a ， 所以 a 4 ，故 M0,a 4 ， 因为 M0,a 2Ma,2a ，所以 2 Ma,2a ，
即 y f x 在a, 2a 上的最大值不大于 2，
若球 O2 与球 O1 相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球 O2 与球O1 的表面积之比
为（ ）
A． 4 9
答案 C
B． 1 9
C． 9 25
D． 1 25
先证明 PO
平面
ABC ，接着求出 cos PAO
2 19 19
，再得到
r PO2
1
和
4
R PO1
1 4
，
从而得到
r R
3 5
，最后求出球 O2
.
故选：C.
点评： 本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题. 二、多选题 9．下图为某城市 2017 年~2019 年劳动力市场供求变化统计图.
倍率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率 需求人数 求职人数.它表
明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近 1，劳动力供需关系越 稳定.根据统计图可知，该城市在 2017 年~2019 年中（ ） A．该市求职人数最多的时期为 2019 年第三季度 B．该市劳动力市场供需差最大的为 2017 年第三季度 C．每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低 D．通过求职倍率曲线，我们可以推出该市的劳动力市场劳动力供需比例失调的局面正 逐步得到改善 答案 AD 通过图示，根据曲线的实际意义逐一判断可得选项. 解： 通过图明显可以看出 2019 年第三季度求职人数最多，故 A 正确； 2017 年第二季度求职人数远高于岗位需求量，故 B 错误； 2019 年第一季度供需人数高于 2019 年第二季度，故 C 错误； 通过求职倍率曲线可以看出，劳动力供需比例从 0.65 上升到最高 0.90， 并且自 2018 年第四季度至 2019 年第四季度求职倍率非常稳定，故 D 正确. 故选：AD.
解：
由图可得， z1 1 2i ， z2 2 i ，
则
z1
z1 z2
1 2i 1 2i 2i
1
2i+
1 2i2+i 2 i2+i
=1
2i+
5i 5
1 3i
，所以复数
z1
z1 z2
的虚部为 3.
故选：B
点评：
本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义，属于基础题．
3．“净拣棉花弹细，相合共雇王孀.九斤十二是张昌，李德五斤四两.纺讫织成布匹，一
B． M0,a 4
C． a 的取值范围为4,9
D． a 的取值范围为6,9
答案 BD
先结合题中条件得出 f x 的最小正周期，然后再画出函数 f x 的图象，然后结合图
象进行分析即可得解 解：
因为 f x 4 f 4 x ，所以有 f x 8 f x ， 又因为 f x 为奇函数，所以 f x f x， 所以 f x 8 f x ， 所以有 f x 16 f x 8 f x，所以 f x 的最小正周期为 16， 画出函数 f x 的图象，如图所示：
将 x 1 代入 y 2x 2 得： y 4 ，
所以切线 y 2x 2 在曲线 y x2 m的切点为 (1, 4)
将 (1, 4) 代入 y x2 m得 m 3 .
故选：B. 点评： 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题.
8．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为 2 19 ，球 O1 为该三棱锥的内切球. 19
(1, 4) ，最后求出 m 3 即可.
解：
解：因为曲线 y ex1 x ，所以 y ex1 1， y ' x1 1+1 2，
所以曲线 y ex1 x 在 x 1 处的切线方程是 y 2x 2 ，
因为曲线 y x2 m，所以 y 2x ，令 y 2x 2 ，解得： x 1 ，
F 点的坐标为 4, 0 ，则 AN 4， FF 8 ，
在直角梯形 ANFF 中，中位线 BM AN FF 6 ， 2
由抛物线的定义有 MF MB 6 ，结合题意，有 MN MF 6 ，
故 FN FM NM 6 6 12， ON 122 42 8 2 ，
S△QNF
1 8 2
所以 A B 2,5 .
故选：D. 点评： 本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力，是基础题.
2．如图，在复平面内，复数
z1 ， z2
对应的向量分别是 OA ，OB
，则复数 z1
Hale Waihona Puke z1 z2的虚部为（ ）
A．1
B．3
C． 1
D．2
答案 B
由图可得对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应点的象限即可．
D． x2 的取值范围是1,
y
答案 ABC 利用特殊值排除错误选项，利用不等式的性质证明正确选项. 解：
对于 D 选项，当 x 0 时， x2 0 ，所以 D 选项错误. y
由于 1 x 2 ， 0 y 1，所以 1 x y 3 ，所以 A 选项正确.
由于 1 x 2 ， 1 y 0 ，所以 2 x y 2 ，所以 B 选项正确.
C．
D． 4 3
答案 A
本题先求出 A ，再求出 a 1 ，接着求 ABC 外接圆的半径，最后求 ABC 外接 3
圆的面积即可.
解：
因为 B ， A ， C 成等差数列，所以 2A B C ，则 A ， 3
由正弦定理可知， sin B sin Acos C a sin C cos A ，
2 4 16
2.
故选：ACD.
点评： 本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力， 是基础题.
11．设 x ， y 为实数，满足 1 x 2 ， 0 y 1，则（ ）
A． x y 的取值范围是 1,3
B． x y 的取值范围是2, 2
C． xy 的取值范围是1, 2
解得： a 1 .
所以 ABC 外接圆的半径为 a 3 ， 2sin A 3
2
从而
ABC 外接圆的面积为
3 3
. 3
故选：A.
点评：
本题考查等差数列、正弦定理、三角恒等变换，考查运算求解能力，是基础题.
6．若函数 f x e2xm ，且 f 2x 1 f 1 2x ，则 f ln3 f ln3 （ ）
点评：
本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力，属于基础
题.
5．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 B ， A ， C 成等差数
列，且 b a cos C ac cos A ，则 ABC 外接圆的面积为（ ）
A． 3
B． 2 3
点评：
本题考查统计的知识，考查数据处理能力，属于基础题.
10．已知 F 是抛物线 C : y2 16x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点
N .若 M 为 FN 的中点，则（ ）
A． C 的准线方程为 x 4
B． F 点的坐标为 0, 4
C． FN 12
D．三角形 ONF 的面积为16 2 （ O 为
A．0 答案 D
B． 9e 9 e
C．12
D．18
由 f 2x 1 f 1 2x 可知 f (x) 关于 y 轴对称，可求出 m ，即可求出函数值.
解：
由 f 2x 1 f 1 2x ，可知函数 f x e 2xm 的图象关于 y 轴对称， 则 m 0 ，得 m 0 ，故 f x e 2x ，
A． 5,
B． 1, 2
C． 2,5
D． 2,5
答案 D
本题先求出 A 1,5，再求出 B , 2 2, ，最后求 A B 即可.
解：
解：因为 A x x2 4x 5 0 ，所以 A 1,5
因为 B x x 2 ，所以 B , 2 2,
当 1 x 0 、 0 y 1时， 1 y 0 ，则 0 xy 1，则 1 xy 0 ，所以 xy
的取值范围是1,0 ；
当 x 0 时， xy 0 ；
当 0 x 2 、 0 y 1时， xy 的取值范围是 0, 2.
综上， xy 的取值范围是1, 2，所以 C 选项正确.
令 OA 2 ，则 PA 19 ， AB 2 3 ， AM 3 ， OM 1 ，
r
所以
PO2
OM PM
1 4 ，即 PO2
4r ，从而 PO1 4r r R 5r R ，
所以 R R 1 ，则 r 3 ， PO1 5r R 4 R 5
所以球