第3章 采样与数据保持

取n=1.5。
) 假定 ( j 下降为 1/N时的频率为max，则有
1 max 2 b
1.5
1 N
若s＝2max，
s (2N ) b
2/ 3
若N＝10，
s 7.4b
s (5 ~ 10)b
根据系统的开环传递函数G(s)选取s
时间连续 时间连续 时间离散 幅值模拟 时间离散 幅值模拟
离散数字
时间离散 幅值数字量
连续数字
时间连续 幅值数字量
幅值模拟量 幅值模拟
阶梯
4、计算机控制系统简化结构图
• 编码和解码只是信号形式的改变，不产生数值误差,可以忽略
• 量化产生误差，大小由q决定，由误差理论进行分析
实际中只研究：
T 计算机 保持 传感器 被控对象
f * (kT ) f (kT )
k 0,1,
注：采样周期T——采样系统的重要参数，且T=常数。
3.3 采样定理
采样定理： 若连续信号中所含频率分量的最高频率为max ， 如采样频率s>2max，则可从采样信号中不失真地恢复原连续 信号 香农采样定理：s
2max
s 2 称为折叠频率，又称乃奎斯特（Ngquest）频率
f(t)
T f*(t) 理想化 f*(t)
o
t
o
T
2T
t
τ
o T 2T t 理想脉冲序列
实际上T >> τ，为简化研究，设
0
理想脉冲特点：采样瞬时完成，无中间过程。
今后只研究理想采样
1、理想采样开关的数学描述
理想采样开关只让采样时刻的输入信号通过，所以可用
δ函数来描述理想采样开关。采样开关以T为周期闭合并瞬时 断开，由此形成一个单位脉冲序列，用δT(t)表示
将十进制数
二进制数的最小位的整数倍,f(kT)=L*q
设A/D、计算机、D/A的位数为
n
n位
舍去
1 0 0 ... 1 1 ... 0
可表示的二进制最小位为 1 q 2n 1 1 n 3 ，q 3 8 2
（不考虑符号位） ——量化单位
6 / 8 0.75 量化存在误差 A/D 、 n 3 例： f 0.73 5 / 8 0.625
f(t)
t
T
T (t )
f*(t)
f*(t)
t
T 3T 5T
o
T 3T 5T
脉冲幅度调制器
t
f*(t)= f(t)δT(t)
连续信号f(t)的采样，得到理想脉冲序列，可看作在f(t)上调制一组脉
冲序列 T (t ) 的幅值调制脉冲信号，相当于f(t)与 T (t ) 相乘。
采样后的信号为：
数字量
D/A
B
模拟量
A A点信号 f(kT)
101 011
解码
保持
B点信号
C
f(t)
f(kT)
f(t)
111
110 100
C点信号
o
T 2T
4T
t
o
T 2T
4T
t
o
T 2T
4T
t
(1) 解码：将二进制数变成幅值调制脉冲信号 (2) 保持：把该信号保持一个采样周期
3、信号的形式
A B 量化 A/D C T —— D G F H 编码 计算机 解码 保持 —— D/A —— —— I 传感器 被控对象 B点
假设：计算机、A/D、D/A——无限字长
采样和保持——信号在时间上的离散化和连续化
3.2 采样过程的数学表示
f(t) τ
采 样 开 始
T
t
采 样 结 束
连续信号 f(t)
T,
离散信号 f*(t)
τ ：采样一次所需的时间 T：相邻两次采样之间的时间间隔 为采样周期
采 样 开 始
采 样 结 束
连续信号采样后
量化——信号在幅值上的离散化
(3) 编码
将经过量化的十进制数 f(kT)
111 110 101 100 011 010 001 101 100 011
二进制数 f(kT)
111
o
T 2T
3T
4T
5T
t
o
T
2T
3T 4T 5T
t
量化前信号
量化后信号
编码只是信号表示形式的改变，无误差的等效变换
2、D/A变换器
的拉氏变
为原函数 为采样函数
的频谱，是连续频谱； 的频谱，是离散频谱。
取F(0)=1
对于实际的非周期连续函数的信号，其频谱中 最高频率是无限的，如图3.10(a)所示。这时，采 样频率即使很高，采样后信号的离散频谱的波形也 总是互相搭接的，如图3.10(b)所示。但是，当频 率相当高时，F(j)的模值并不大，因此，可把高 频段模值不大的部分切掉，认定为实际信号的有效 频谱的最高频率。 即F(j)在| F(j)|=F(0)时被截断， 为信息损 失所允许的给的百分数，则当| F(j)|=F(0)时对于 的角频率，定义为最高有效频率max。
t 2t x ( t ) e e 例3.1 设连续函数信号 ，取 ＝0.05，
按采样定理选择其采样频率，使采样后的信号 * x (t ) 能以足够的精度恢复原信号。
解：
1 1 1 X ( s ) L[ x(t )] 2 s 1 s 2 s 3s 2
X ( jmax )

F ( s) f (kT )e kTs
* k 0

零阶保持器的传递函数为
1 e Ts Gh ( s) s
零阶保持器的频率特性为
1 e jT Gh ( j ) j
sin(T / 2) jT / 2 Gh ( j ) T e T / 2
1 (2
2 2 max
) 9
2 max
1 0.05X (0) 0.05 2
max 6.13
s 2max 12.26
3.4 数据保持原理
一、理想恢复过程 二、非理想恢复过程
一、理想恢复过程
从频域上：消除采样引起的高次谐波， 保留基本频谱 理想恢复过程的条件： • 被采样信号的频谱（基本频谱）是有限带宽 • 满足采样定理，即 s 2c • 具有理想的低通滤波器
3.1 概述（控制系统中信号的种类） 连续系统：
A
模拟控制器
B
被控对象
C
A、B、C点信号都是连续模拟信号
计算机控制系统：
A
A/D
数字控制器 ？ ？
计算机
D/A
B
被控对象
C
多路传输器
传感器
计算机控制系统中信号形式多种多样
1、A/D变换器
连续模拟信号 f(t) f(t) A
A/D
量化
幅值离散
离散数字信号 f(kT)
sin(T / 2) Gh ( j ) T (1 T ) T / 2
2 2 2
Gh ( j) T arctgT
一阶保持器 零阶保持器
3.7 采样频率的选择
根据闭环频带b选取s 按系统的开环传递函数G(s)选取s 由阶跃响应上升时间tr选取T 生产过程的经验选择
一阶保持器的脉冲响应为：
t t T t 2T g h (t ) (1 )1(t ) 2(1 )1(t T ) (1 )1(t 2T ) T T T
拉氏变换，得：
1 e Gh ( s ) T (1 Ts) Ts
Ts

2
一阶保持器的频率特性，
根据闭环频带b选取s
假定我们要将一个连续被控对象组成一个计 算机控制系统，而希望的闭环频带b是给定的。 由b的定义，设系统闭环频率特性为( j)， 并设(0)＝1，有 1 ( jb ) 2 在b附近闭环幅频特性可近似表示为 1 ( j ) n 2 b
F ( j )
F * ( j )
c
0
c

T
H ( j )
s c 0 c
s

s / 2
s / 2

理想低通滤波器
理想滤波器的频率特性：
1 H ( j ) 0
s / 2 s / 2
连续信号经过采样开关和理想滤波器后 输出为
1 C ( j ) F ( j ) H ( j ) F ( j ) T
f (t )
T
f * (t )
ZOH
f h (t )
f h (t ) f (kT )[1(t kT ) 1(t kT T )]
k 0

f h (t ) f (kT )[1(t kT ) 1(t kT T )]
k 0

Ts 1 e Fh ( s) f (kT )e kTs s k 0
*
理想低通滤波器是物理不可实现的。 理想低通滤波器的3个条件都满足不了： 1.自然界中，信号常常是无限频谱的 2.因此不能满足采样定理 3.理想低通滤波器不可实现
二、非理想恢复过程
用采样得到的脉冲序列f*(t)=f(kT),k=0,1,2,3,… 重构f(t)
数学上连续信号两点间的点可用幂级数展开式表示:
sin(T / 2) Gh ( j ) T T / 2
0.127
3.6 一阶保持器
零阶保持器是以一个采样时刻的值实行外 推的，而一阶保持器是以两个采样时刻的值实 行外推的，一阶保持器的外推输出为：
一阶保持器的外推输出为：
f (kT ) f (k 1)T f (kT T ) f (kT ) T T
采样/保持
时间离散 f(t)
编码
f(kT)
C
f(kT)
1000 0111 0110 0101 0100
0010
o
t A点信号
o
2T
4T
6T
t
C点信号
(1) 采样/保持
A
T f(t)
B
保持
C
f*(t)
f*(t)
o A点信号
t
o
T 2T
4T
t
o
T 2T
4T
t
B点信号 （理想采样）
C点信号
(2) 量化
T (t ) (t ) (t T ) (t 2T ) (t kT )

T (t ) (t kT )
k 0

k 0
T (t )
为周期函数，T=常数
o
T
3T
5T
t
理想采样开关特性
2、理想采样信号的时域描述
f(t)
f(t) o o
1 f k (t ) f (kT ) f (kT )( t kT ) f (kT )( t kT ) 2 2!
其中： f k (t )
f (kT )
kT t (k 1)T
常用于重构信号的形式: 1、零阶保持器ZOH( Zero Order Hold) 亦称：“零阶外推插值” 2、一阶保持器(亦称“一阶外推插值”)
为：
系统的开环传递函数G(s)的一般形式可表示
N (s) G( s) 2 n1 n2 1 1 2 s s l T i 1 i l 1 l
i
/T 它对应的权函数g(t)的分量为 e t， et / 。以此 sin l t 可作为选择s的根据。
频谱混叠现象
理想采样开关的数学表达式
T (t )
k
(t kT )

展开为复数形式的傅氏级数，即
根据函数的采样性质，可以求出
对上式进行拉氏变换，得
由拉氏变换位移定理，得
对上面的级数展开，重新排列得到
式中， 换。
为采样开关输入连续函数
为采样开关输出的离散函数
的拉氏变换。
f k (t ) f (kT )
f k (t ) f (kT ) f (kT )(t kT )
3.5 零阶保持器
零阶保持器是一种最常用的保持器，它是 把前一个采样时刻kT的采样值恒定不变地保持 到下一个采样时刻(k+1)T，当下一个采样时 刻(k+1)T来到时，又换成新的采样值继续保 持，一个采样值只能保持一个采样周期。
t
t
E
来自百度文库A、I点
t
H点
C、G点
2q q
D、F点
101 110 100 011 111
E点(机内)
101 111 110 100 011
0
0
T 2T 3T 4T 5T
0
T 2T 3T 4T 5T
0
T 2T 3T 4T 5T
t
0
T 2T 3T 4T 5T
t
0
T 2T 3T 4T 5T
t
连续模拟 连续模拟 离散模拟 离散模拟
f * (t ) f (t ) T (t ) f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T )
f * (t )

k 0

f (kT ) (t kT )
理想采样信号的 数学表达式
特点：(1) 每隔T秒出现一次； 脉冲序列 (2)