第十三章动量矩定理
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第十三章 动量矩定理
§13-1质点和质点系的动量矩
一、质点的动量矩
含义：质点相对某点“转动”运动强度。瞬时量。
二、质点系的动量矩 1.对定点：
表征质系相对定点O 点“转动”运动强度的量。 2.对质点C
绝对动量矩：
相对动量矩：
可证：
3. 对定点O 与对质心动量矩的关系： 对质心的绝对动量矩＝相对动量矩 可证：
4. 转动刚体的动量矩（角动量）：
若任意瞬时的角速度为ω，则刚体对于固定轴z 轴的动量矩为
2
2i i i i i i i z r m r m v m r L ∑=⋅∑=∑=ωω
式中
2
i i z r m J ∑=
称为刚体对z 轴的转动惯量，它是描述刚体的质量对z 轴分布状态的一个物理量，是刚体转动惯性的度量。代入后得 ωz z J L =
即，刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。
§13-2 动量矩定理
一． 质点动量矩定理
如图所示质点M 的动量对于O 点的矩，定义为质点对于O 点的动量矩，即
v r v M m m O ⨯=)(
质点对于O 点的动量矩为矢量，它垂直于矢径r 与动量mv 所形成的平面，指向按右手法则确定，其大小为 mvd OMD m O ==∆2)(v M 将上式对时间求一次导数，有 )()()(F M F r v r v r v M O O m dt
d m dt d m dt d =⨯=⨯+⨯= 得
)()(F M v M O O m dt
d
= 上式为质点的动量矩定理，即：质点对固定点O 的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对
同一点的力矩。
二．质系动量矩定理
设质系内有n 个质点，对于任意质点M i 有
n i m dt
d
e i i i O i i O 1)()()()()(=+=F M F M v M O
式中)
()(,e i i i F F 分别为作用于质点上的内力和外力。求n 个方程的矢量和有
∑∑∑===+=n
i e i O n
i n i i i O i i O m dt d 1
)
(11)()()()(F M F M v M
式中
∑==n
i i i O
1
)
(0)(F M
，∑∑===⨯=n
i n
i e O i e i O 1
1
)()
()(M F r F M (e)i 为作用于系统上的外力系对于O 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
∑∑===n
i n
i i i O i i O m dt d m dt d 1
1)()(v M v M 令
∑∑==⨯==
n
i n
i i i i i O
O m m 1
1
)(i v r v M
L
O L 为质系中各质点的动量对O 点之矩的矢量和，或质系动量对于O 点的主矩，称为质系对O 点的动量矩。
由此得
)
(e O O dt
d M L =
上式为质系动量矩定理，即：质系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩。 （1）具体应用时，常取其在直角坐标系上的投影式
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
∑
=
∑
=
∑
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
e
z
z
e
y
y
e
x
x
M
dt
dL
M
dt
dL
M
dt
dL
F
F
F
式中∑
=
=
n
i
i
i
x
x
m
M
L
1
)
(v，∑
=
=
n
i
i
i
y
y
m
M
L
1
)
(v，∑
=
=
n
i
i
i
z
z
m
M
L
1
)
(v分别表示质系中各点动量对于x，y，z
轴动量矩的代数和。
（2）内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才能使质系的动量矩发生变化。在特殊情况下外力系对O点的主矩为零，则质系对O点的动量矩为一常矢量，即
=
=
O
e
O
L
M,0
)
(常矢量
或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的动量矩为一常数，例如
)
()(=
∑e
x
M F，
x
L =常数质点在有心力F作用下的运动，此时0
=
O
M，所以=
⨯
=v
r
L m
O
常矢量，即L O的大小和方向不变，所以质点动量矩守恒。
①L O方向不变，即质点在r与mv组成的平面内运动，且此平面在空间的方位不变；
②L O大小不变，即=
=
∆
=
⨯mvd
OAB
m2
v
r常数，如图13-2(b)所示，得=
θ 2
mr常数，=
θ 2
2
1
r常数。
θ 2
2
1
r为矢径在单位时间内扫过的面积，称为面积速度。所以在有心力作用下质点的面积速度不变。
§13-3刚体绕定轴转动微分方程
根据质点系动量矩定理可导出刚体定轴转动微分方程式：
将：
可得
由运动学知
因此得
称为刚体定轴转动微分方程式。
它表明：刚体定轴转动时，刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体的外力对转轴之矩的代数和。
另外可见：在同样力的作用下，刚体的转动惯量J z愈大，则刚体的角加速度愈小，表明刚体的转动状态愈难变化；反之，J z愈小，则转动状态变化愈大。