第十三章动量矩定理

第十三章 动量矩定理§13-1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩含义：质点相对某点“转动”运动强度。

瞬时量。

二、质点系的动量矩 1.对定点：表征质系相对定点O 点“转动”运动强度的量。

2.对质点C绝对动量矩：相对动量矩：可证：3. 对定点O 与对质心动量矩的关系： 对质心的绝对动量矩＝相对动量矩 可证：4. 转动刚体的动量矩（角动量）：若任意瞬时的角速度为ω，则刚体对于固定轴z 轴的动量矩为22i i i i i i i z r m r m v m r L ∑=⋅∑=∑=ωω式中2i i z r m J ∑=称为刚体对z 轴的转动惯量，它是描述刚体的质量对z 轴分布状态的一个物理量，是刚体转动惯性的度量。

代入后得 ωz z J L =即，刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。

§13-2 动量矩定理一． 质点动量矩定理如图所示质点M 的动量对于O 点的矩，定义为质点对于O 点的动量矩，即v r v M m m O ⨯=)(质点对于O 点的动量矩为矢量，它垂直于矢径r 与动量mv 所形成的平面，指向按右手法则确定，其大小为 mvd OMD m O ==∆2)(v M 将上式对时间求一次导数，有 )()()(F M F r v r v r v M O O m dtd m dt d m dt d =⨯=⨯+⨯= 得)()(F M v M O O m dtd= 上式为质点的动量矩定理，即：质点对固定点O 的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对同一点的力矩。

二．质系动量矩定理设质系内有n 个质点，对于任意质点M i 有n i m dtde i i i O i i O 1)()()()()(=+=F M F M v M O式中)()(,e i i i F F 分别为作用于质点上的内力和外力。

求n 个方程的矢量和有∑∑∑===+=ni e i O ni n i i i O i i O m dt d 1)(11)()()()(F M F M v M式中∑==ni i i O1)(0)(F M，∑∑===⨯=ni ni e O i e i O 11)()()(M F r F M (e)i 为作用于系统上的外力系对于O 点的主矩。

交换左端求和及求导的次序，有∑∑===ni ni i i O i i O m dt d m dt d 11)()(v M v M 令∑∑==⨯==ni ni i i i i OO m m 11)(i v r v MLO L 为质系中各质点的动量对O 点之矩的矢量和，或质系动量对于O 点的主矩，称为质系对O 点的动量矩。

由此得)(e O O dtd M L =上式为质系动量矩定理，即：质系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩。

（1）具体应用时，常取其在直角坐标系上的投影式⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(ezzeyyexxMdtdLMdtdLMdtdLFFF式中∑==niiixxmML1)(v，∑==niiiyymML1)(v，∑==niiizzmML1)(v分别表示质系中各点动量对于x，y，z轴动量矩的代数和。

（2）内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才能使质系的动量矩发生变化。

在特殊情况下外力系对O点的主矩为零，则质系对O点的动量矩为一常矢量，即==OeOLM,0)(常矢量或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的动量矩为一常数，例如)()(=∑exM F，xL =常数质点在有心力F作用下的运动，此时0=OM，所以=⨯=vrL mO常矢量，即L O的大小和方向不变，所以质点动量矩守恒。

①L O方向不变，即质点在r与mv组成的平面内运动，且此平面在空间的方位不变；②L O大小不变，即==∆=⨯mvdOABm2vr常数，如图13-2(b)所示，得=θ 2mr常数，=θ 221r常数。

θ 221r为矢径在单位时间内扫过的面积，称为面积速度。

所以在有心力作用下质点的面积速度不变。

§13-3刚体绕定轴转动微分方程根据质点系动量矩定理可导出刚体定轴转动微分方程式：将：可得由运动学知因此得称为刚体定轴转动微分方程式。

它表明：刚体定轴转动时，刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体的外力对转轴之矩的代数和。

另外可见：在同样力的作用下，刚体的转动惯量J z愈大，则刚体的角加速度愈小，表明刚体的转动状态愈难变化；反之，J z愈小，则转动状态变化愈大。

这说明:转动惯量是转动刚体惯性大小的度量。

（质量m 是平动刚体惯性大小的度量。

）比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即与F a ∑=m 形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。

转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动时起作用。

例13-1 两个质量为m 1，m 2的重物分别系在绳子的两端，如图所示。

两绳分别绕在半径为1r ，2r 并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O 轴的转动惯量为J O ，重为W ，求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。

解：1. 以整个系统为研究对象；2．系统所受外力的受力图如图13-6，其中g 1m ，g 2m ，W 为主动力，O X ，O Y 为约束力； 3．系统的动量矩为ω)(222211r m r m J L O O ++=4．应用动量矩定理 )(F O OM dtdL ∑= 有2211222211)(gr m gr m r m r m J O -=++ε所以鼓轮的角加速度为 g r m r m J r m r m O 2222112211++-=ε 5．应用动量定理X x m ∑=∑Y ym ∑=∑ 有 O X =0W g m g m Y r m r m O ---=+-212211εε 所以轴承约束力为0=O Xg r m r m J r m r m W g m m Y O O 2222112221121)()(++--++=6．讨论：解决问题的思路是以整个系统为研究对象，首先应用动量矩定理求解已知力求运动问题，然后用质心运动定理求解已知运动求力的问题。

所以联合应用动量定理和动量矩定理可求解动力学的两类问题。

§13-4刚体对轴的转动惯量由上节知，转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为2i i z r m J ∑=如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式⎰=m z dm r J 2在工程中，常将转动惯量表示为2z z m J ρ=式中m 为刚体的质量，z ρ称为回转半径，单位为m 或cm 。

回转半径的物理意义为：若将物体的质量集中在以z ρ为半径、Oz 为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变。

1．简单形状的均质刚体转动惯量的计算（1）长为l ，质量为m 的均质细长杆，如图13-8（a ）所示，对于过质心C 且与杆的轴线相垂直的z 轴的转动惯量为⎰-==2222121l l z ml dx x l m J 回转半径为 l l m J z z 2887.063===ρ 如图13-8（b ）所示，对于过杆端A 且与z 轴平行的z 1轴的转动惯量为 ⎰==lz ml dx x l m J 022131 回转半径 l l z 5774.033==ρ（2）半径为R ，质量为m 的均质薄圆盘，如图所示，对于过中心O与圆盘平面相垂直的z 轴的转动惯量。

图中所示圆环的质量为rdr R m dm ππ22=rdr R m 22=，此圆环对于z 轴的转动惯量为dr r Rmdm r 3222=，于是整个圆盘对于z 轴的转动惯量为⎰==R z mR dr r R m J 0232212 回转半径 R R z 7071.022==ρ 一般简单形状的均质刚体的转动惯量可以从有关手册中查到，也可用上述方法计算。

表13-1列出常见均质物体的转动惯量和回转半径。

表13-1 均质物体的转动惯量形状 简 图 转动惯量 惯性半径体 积细直杆212l m J zC =23l m J z =l lzC 289.032==ρl l z 578.03==ρ薄壁圆筒2mR J z =R z =ρRlh π2圆柱221mR J z =()22312l R mJ J yx +== R Rz 707.02==ρ ()223121l R yx +==ρρl R 2π空心圆柱()222r R m J z +=()2221r R z +=ρ()22r R l -π薄壁空心球232mR J z =R R z 816.032==ρRh π23实心球252mR J z =R R z 632.052==ρ334R π圆锥体2103mr J z =()224803l r m J J yx +==r r z 548.0103==ρ ()224803l r yx +==ρρl r 23π2．转动惯量的平行轴定理定理：刚体对于任一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。

即2md J J zC z +='证明：如图13-10所示，设C 为刚体的质心，刚体对于过质心的轴z 的转动惯量为)(222i i i i i zC y x m r m J +∑=∑=对于与z 轴平行的另一轴z '的转动惯量为)'(222i i i i i z y x m r m J '+∑='∑='由于d y y x x i i i i +='=',，于是上式变为[][]i i i i i i i i i i i i i z m d y m d y x m d dy y x m d y x m J ∑+∑++∑=+++∑=++∑='222222222)(2)(式中第二项0==∑C i i my y m ，于是得2md J J zC z +='定理证毕。

在应用时注意以下几点： （1）两轴互相平行； （2）其中一轴过质心；（3）过质心的轴的转动惯量最小。

3．求转动惯量的实验方法工程中对于几何形状复杂的刚体，常用实验的方法测定其转动惯量。

常用的方法有扭转振动法；复摆法；落体观测法等。

下面以复摆法为例加以说明。

例13-5复摆法测转动惯量。

如图13-11所示刚体在重力作用下绕水平轴O 转动，称为复摆或物理摆。

水平轴称为摆的悬挂轴（或悬点）。

设摆的质量为m ，质心为C ，s 为质心到悬挂轴的距离。

若已测得复摆绕其平衡位置摆动的周期T ，求刚体对通过质心并平行于悬挂轴的轴的转动惯量。

解：刚体在任意位置的受力图如图13-11所示，刚体绕定轴转动微分方程为ϕϕsin ⋅-=mgs J O 由平行轴定理知，式中)(22222s m ms m ms J J C C C O +=+=+=ρρ有ϕϕρsin )(22⋅-=+mgs s m C 或0sin 22=++ϕρϕsgsC若摆角ϕ很小，ϕϕ≈sin ，运动微分方程线性化为022=++ϕρϕsgsC 这与单摆的运动微分方程相似。