最短距离问题将军饮马

第一讲 转化思想

一、线段和、差

“牧童放牛”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”，在最近几年的中招试题及竞赛中，该问题经过不同的转化及演变，一 一浮现在我们的眼前，使我们目不暇接，顾此失彼。因此，我们有必要作一下总结，找出其中的规律，以做到屡战屡胜的效果。

原题：如图，一位小牧童，从A 地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？

延伸一：某供电部门准备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M ，同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电。已知两个居民小区A 、B 分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。

（1）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？

（2）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？此时分支点M 与A1的距离是多少千米？

•A

•B

• A • B

• B

• A

• A ’

•

B ’

•

A ’

• B ’

L

L

延伸二：如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值是多少？

延伸三：如图，A 是半圆上一个三等分点，B 是弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点， ⊙O 的半径为1，求AP+BP 的最小值。

延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD 中,∠DAB=600，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点，则EF+BF 的最小值是多少？

延伸五：在直角坐标系XOY 中x 轴上的动点M （x,0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=?

A

B

M

N

O P

x

A B C

D

M

N

A

B

C

D

E F • •

例，如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，E 、F 分别是AB 、CD 的中

点，求证EF ＝ （AB －CD ）

二、面积问题

例，如图， 中，BC ＝4， ，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。连结AP ，问点P 在BC 上何处时， ⊿APD 面积最大？

ABC ∆︒=∠=6032ACB

AC ， A

D

2

1

三、中考题

如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记112233BD E BD E BD E △，△，△，

…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）

.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x

的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 与点D ，连接DC.过点D 作D E ⊥DC 交OA 与点E. ① 求过点E,D,C 的抛物线的解析式.

② 将∠DEC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC 交于点G ..如果DF 与第（1）题中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为6/5，那么EF=2GO 是否成立？请说明理由.

③ 对于第（2）题中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C ，G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

B

C

A

E 1 E 2

E 3

D 4

D 1

D 2 D 3

如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．

求证：（1）CG

AE=；

=

∙

AN∙

MN

CN

DN

如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G

（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由

（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什

么？

如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求::BP PQ QR ．

如图，已知反比例函数x

k y 1

=

的图象与一次函数b x k y +=2的图象交于A 、B 两点，)2,1(),,2(--B n A ．

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)在直线AB 上是否存在一点P ，使APO ∆∽AOB ∆， 若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．

A B

C

D E

P

O R