备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学(理) 第1单元 集合与常用逻辑用语
高2020届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第一单元§1.1集合
§1.1集合一集合的有关概念(1)集合中元素的特征:、、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作;若b不属于集合A,记作.(3)集合的表示方法:、、图示法.(4)常用数集及记法二集合间的基本关系三集合的基本运算1.集合的运算图形表示2.集合的三种基本运算的常见性质(1)A∩A= ,A∩⌀= ,A∪A= ,A∪⌀= .(2)A∩∁U A= ,A∪∁U A= ,∁U(∁U A)= .三、1.{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}2.(1)A ⌀ A A (2)⌀U A设集合A={2,3,4},B={2,4,6},若x∈A且x∉B,则x=().2 B.3 C.4 D.6【试题解析】因为x∈A且x∉B,所以x=3.【参考答案】B集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为().3 B.4 C.7 D.8【试题解析】因为A={1,2,3},所以其真子集的个数为23－1=7.【参考答案】C已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则A∩∁U B=(). {2,5} B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}【试题解析】因为∁U B={2,5,8},所以A∩∁U B={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.【参考答案】A已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=().{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0＜x＜1}【试题解析】由题意知A∪B={x|x≤0或x≥1},结合数轴可得∁U(A∪B)={x|0＜x＜1}.【参考答案】D题型集合的概念一【例1】(1)已知集合A=＜＜,集合A中至少有3个元素,则().A.k＞8B.k≥8C.k＞16D.k≥16(2)已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且①a=1,②b≠1,③c=2,④d≠4四个关系中有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.【试题解析】(1)因为集合A中至少有3个元素,所以log2k＞4,所以k＞24=16,故选C.(2)若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组(a,b,c,d)的个数是6.【参考答案】(1)C(2)6A.1B.3C.5D.9(2)若集合A={x∈R|ax2－3x＋2=0}中只有一个元素,则a=().A.B.C.0 D.0或【试题解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x－y|x∈A,y∈A}={0,－1,－2,1,2}.∴集合B中有5个元素.(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2－3x＋2=0只有一个实根或有两个相等的实根.当a=0时,x=,符合题意;当a≠0时,由Δ=(－3)2－8a=0,得a=.所以a=0或a=.【参考答案】(1)C(2)D题型集合间的基本关系二【例2】(1)设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是().A.5B.4C.3D.2(2)已知集合A={x|－2≤x ≤7},B={x|m ＋1＜x ＜2m －1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是 . 【试题解析】(1)因为A={1,2}且A ⊆B ,所以B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}或B={1,2,3,4},故选B . (2)当B=⌀时,有m ＋1≥2m －1,则m ≤2.当B ≠⌀时,若B ⊆A ,则＋ － －＋ ＜ － 解得2＜m ≤4. 综上,实数m 的取值范围是(－∞,4]. 【参考答案】(1)B (2)(－∞,4]2x A .P ⊆QB .Q ⊆PC .∁R P ⊆QD .Q ⊆∁R P(2)设集合A={x|y=lg(－x 2＋x ＋2)},B={x|x －a ＞0},若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是( ). A .(－∞,－1) B .(－∞,－1] C .(－∞,－2)D .(－∞,－2]【试题解析】(1)因为P={y|y=－x 2＋1,x ∈R}={y|y ≤1},所以∁R P={y|y ＞1},又Q={y|y=2x ,x ∈R}={y|y＞0},所以∁R P ⊆Q ,故选C .(2)集合A={x|y=lg(－x 2＋x ＋2)}={x|－1＜x ＜2},B={x|x ＞a },因为A ⊆B ,所以a ≤－1.故选B . 【参考答案】(1)C (2)B题型三集合的运算【例3】(1)已知集合M={x|x 2＜1},N={x|2x ＞1},则M ∩N=( ).A .⌀B .{x|0＜x ＜1}C .{x|x ＜0}D .{x|x ＜1}(2)如图,集合A={x|lo(x －1)＞0},B=－＜ ,则阴影部分表示的集合是( ).A .[0,1]B .[0,1)C .(0,1)D .(0,1]【试题解析】(1)M={x|x 2＜1}={x|－1＜x ＜1},N={x|2x ＞1}={x|x ＞0},则M ∩N={x|0＜x ＜1},故选B . (2)图中阴影部分表示集合B ∩R A.∵A={x|lo (x －1)＞0}={x|1＜x ＜2},B=－＜ = ＜ ＜,∴R A={x|x ≤1或x ≥2},B ∩R A={x|0＜x ≤1},故选D .【参考答案】(1)B (2)D(1)在进行集合的运算时,要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.2A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(－∞,1](2)已知全集U=R,集合M={x|(x－1)(x＋3)＜0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是().A.[－1,1)B.(－3,1]C.(－∞,－3)∪[－1,＋∞)D.(－3,－1)∪{1}【试题解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0＜x≤1},∴M∪N=[0,1].(2)由题意可知,M=(－3,1),N=[－1,1],∴阴影部分表示的集合为集合M∪N去掉M∩N中的元素所得的集合,又∵M∪N=(－3,1],M∩N=[－1,1),∴阴影部分表示的集合为(－3,－1)∪{1}.【参考答案】(1)A(2)D方法以集合为载体的创新问题一以集合为载体的创新问题的命题形式,常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等,对于这些试题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.【突破训练1】(1)对于集合M,N,定义M－N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M－N)∪(N－M).设A={y|y=x2－3x,x∈R},B={y|y=－2x,x∈R},则A⊕B等于().A.－B.－C.－－∪[0,＋∞)D.－－∪(0,＋∞)(2)已知集合A={x∈N|x2－2x－3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:A*B={x|x=x1＋x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素之和为().A.15B.16C.20D.21【试题解析】(1)∵A=－,B={y|y＜0},∴A－B={y|y≥0},B－A=＜－,A⊕B=(A－B)∪(B－A)=或＜－.故选C.(2)由x2－2x－3≤0,得(x＋1)(x－3)≤0,又x∈N,故集合A={0,1,2,3}.∵A*B={x|x=x1＋x2,x1∈A,x2∈B},∴A*B中的元素有0＋1=1,0＋3=3,1＋1=2,1＋3=4,2＋1=3(舍去),2＋3=5,3＋1=4(舍去),3＋3=6, ∴A*B={1,2,3,4,5,6},∴A*B中的所有元素之和为21.【参考答案】(1)C(2)D方法数形结合思想在集合中的应用二对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.【突破训练2】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家人数比对A,B两地都赞成的专家人数的多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?【试题解析】赞成A地重建的专家人数为50×=30,赞成B地重建的专家人数为30＋3=33.如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为＋1,赞成A地而不赞成B 地的专家人数为30－x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为33－x.依题意,(30－x)＋(33－x)＋x＋＋=50,解得x=21.所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.1.(2018潍坊模拟)已知集合A={x|x2－3x＋2=0,x∈R},B={x|0＜x＜5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为().A.1B.2C.3D.4【试题解析】由x2－3x＋2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.【参考答案】D2.(2018重庆第二次模拟)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|x=1},则A∩B中元素的个数为().A.1个B.1个或2个C.至多1个D.可能2个以上【试题解析】集合A={(x,y)|y=f(x),x∈D},B={(x,y)|x=1}.当1∈D时,直线x=1与函数y=f(x)的图象有一个交点;当1∉D时,直线x=1与函数y=f(x)的图象没有交点.所以A∩B中元素的个数为1或0.【参考答案】C3.(2018河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩(U B)等于().A.{4,6}B.{1,8}C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}【试题解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以U B={1,8,9},因此A∩(U B)={1,8}.【参考答案】B4.(2018湖北襄阳模拟)已知集合A={1,3,},B={1,m},若A∪B=A,则m=().A.0或B.0或3C.1或D.1或3【试题解析】因为A∪B=A,所以B⊆A.由元素的互异性可知m=3或m=,所以m=3或m=0或m=1(舍去).【参考答案】B5.(2018河北唐山模拟)已知集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},则满足条件的集合A的个数是().A.2B.4C.8D.16【试题解析】因为集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},所以由子集和交集的概念可得,A={1,2},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,4,5},所以满足条件的集合A的个数为4,故选B.【参考答案】B6.(2018甘肃天水模拟)已知集合A=－＋＜,B=－＞,则A∩(∁R B)=().A.(3,8)B.[3,8)C.(－2,3]D.(－2,3)【试题解析】由题意可得,A=－＜＜,∁R B=,∴A∩(∁R B)=(－2,3].【参考答案】C7.(2018湖南省东部六校联考)已知集合M={－2,－1,0,1},N=,则M∩N=().A.{－2,－1,0,1,2}B.{－1,0,1,2}C.{－1,0,1}D.{0,1}【试题解析】由≤2x≤4,解得－1≤x≤2.又x∈Z,∴N={－1,0,1,2},∴M∩N={－1,0,1}.【参考答案】C8.(2018石家庄教学质检(二))已知集合M={－1,1},N=＜,则下列结论正确的是().A.N⊆MB.M⊆NC.M∩N=⌀D.M∪N=R【试题解析】∵－2＜0,即－＞0,解得x＜0或x＞,∴N=(－∞,0)∪＋.又∵M={－1,1},∴B正确,A,C,D错误.【参考答案】B9.(2018山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2－3x＋2＞0},B={x|x－a≤0},若U B⊆A,则实数a的取值范围是().A.(－∞,1)B.(－∞,2]C.[1,＋∞)D.[2,＋∞)【试题解析】因为x2－3x＋2＞0,所以x＞2或x＜1,所以A={x|x＞2或x＜1}.因为B={x|x≤a},所以U B={x|x＞a}.因为U B⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.【参考答案】D10.(2018安徽安庆模拟)已知集合A=－,B=,则A∩B=().A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}【试题解析】∵A=,B=,∴A∩B=.故选D.【参考答案】D11.(2018山东青岛模拟)设集合A=,B={x|y=ln(x2－3x)},则A∩B中元素的个数是().A.1B.2C.3D.4【试题解析】A=={x∈N|－2≤x≤4}={0,1,2,3,4},B={x|y=ln(x2－3x)}={x|x2－3x＞0}={x|x＜0或x＞3},所以A∩B={4},元素个数为1.故A正确.【参考答案】A12.(2018上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2－y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3的数中,不是集合M中的元素是().A.4nB.4n＋1C.4n＋2D.4n＋3【试题解析】∵4n=(n＋1)2－(n－1)2,∴4n∈M.∵4n＋1=(2n＋1)2－(2n)2,∴4n＋1∈M.∵4n＋3=(2n＋2)2－(2n＋1)2,∴4n＋3∈M.若4n＋2∈M,则存在x,y∈Z使得x2－y2=4n＋2,∴4n＋2=(x＋y)(x－y).∵x＋y和x－y的奇偶性相同,若x＋y和x－y都是奇数,则(x＋y)(x－y)为奇数,而4n＋2是偶数;若x＋y和x－y都是偶数,则(x＋y)(x－y)能被4整除,而4n＋2不能被4整除.∴4n＋2∉M.【参考答案】C13.(2018湖北武汉十校联考)已知集合A={x|0＜x＜2},集合B={x|－1＜x＜1},集合C={x|mx＋1＞0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为().A.{m|－2≤m≤1}B.－C.－D.－【试题解析】由题意得A∪B={x|－1＜x＜2}.已知集合C={x|mx＋1＞0},(A∪B)⊆C,①当m＜0时,x＜－,∴－≥2,∴m≥－,∴－≤m＜0;②当m=0时,满足题意;③当m＞0时,x＞－,∴－≤－1,∴m≤1,∴0＜m≤1.综上可知,实数m的取值范围为－.【参考答案】B14.(改编)设集合A={x,y,x＋y},B={0,x2,xy},若A=B,则实数对(x,y)的取值集合是.【试题解析】由A=B,且0∈B,知集合B中的元素x2≠0,xy≠0,故x≠0,y≠0,那么集合A中只能是x＋y=0,此时就是在条件x＋y=0下,{x,y}={x2,xy},即＋或＋解得－或－【参考答案】{(1,－1),(－1,1)}15.(2018云南模拟)已知集合A={y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0},B=x2－x＋,若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是.【试题解析】A={y|y＜a或y＞a2＋1},B={y|2≤y≤4}.当A∩B=⌀时,＋∴≤a≤2或a≤－,∴a的取值范围是(－∞,－]∪[,2].【参考答案】(－∞,－]∪[,2]16.(2018江苏淮安模拟)设集合S n={1,2,3,…,n},若X⊆S n,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为S n的奇(偶)子集.S4的所有奇子集的容量之和为.【试题解析】因为S4={1,2,3,4},所以X=⌀,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.其中是奇子集的为X={1},{3},{1,3},其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7.【参考答案】7。
高考数学一轮复习第一章 集合与常用逻辑用语、不等式答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合及其运算链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. A 3.ABD【解析】 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}．因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}，所以A∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．4.4【解析】因为集合A 必须含有元素5，元素1和3不确定，所以集合A 的本质是{1,3}的所有子集与元素5组成的集合，共4个．5.7【解析】A ＝{x∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集的个数为23－1＝7.知识聚焦1. (1) 确定性 互异性 无序性2. 2n 2n －1 4. U A 研题型·融会贯通 分类解析【答案】 (1) D (2) B (3) A 【题组·高频强化】 1. C 2. C3. C【解析】 由题意知A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，所以满足条件的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A ∩B 中元素的个数为4.故选C.4.B【解析】由x 2－4≤0，得A ＝{x |－2≤x ≤2}．由2x ＋a ≤0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≤－a 2.因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.5. B【解析】 由图可知，阴影区域为∁U (A∪B )．由题知A ∪B ＝{1,3,5}，U ＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U (A ∪B )＝{7}．故选B.(1) 【答案】 {1，－1} 【解析】若集合{x |x 2＋2kx ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x 2＋2kx ＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k )2－4＝0，解得k ＝±1，所以k 的取值集合是{1，－1}．(2) 【答案】 －1 【解析】因为A ∩B 中只有一个元素，又a ≠0且a ≠2.若a ＝1，则a 2－a ＝0，不满足题意；若a ≠1，显然a 2－a ≠0，故a 2－a ＝2或a 2－a ＝a ，解得a ＝－1.综上，a ＝－1.(3) 【答案】 [0，＋∞) ∅ 【解析】由题知集合A 是函数y ＝x 2的定义域，即A ＝R ，集合B 是函数y ＝x 2的值域，即B ＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[0，＋∞)，集合C 是函数y ＝x 2的图象上的点集，故A ∩C ＝∅.(1) 【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，14 【解析】 当k ＝0时，A ＝{－1}，符合题意；当k ≠0时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式Δ＝1－4k ＝0，得k ＝14.综上，当k ＝0或k ＝14时，集合{x |kx 2＋x ＋1＝0}中有且只有一个元素．(2) 【答案】 －2或1 【解析】因为集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.(1) 【答案】 D【解析】 当B ＝∅时，a ＝0，此时B ⊆A .当B ≠∅时，则a ≠0，所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝－1a . 又B ⊆A ，所以－1a∈A ，所以a ＝±1.综上可知，实数a 的所有可能取值的集合为{－1,0,1}． (2) 【答案】 [2,3]【解析】 由A ∩B ＝B 知，B ⊆A .(例3(2))又B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．【答案】 B【解析】 由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，所以A ＝(1,3)． 由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，即B ＝(a －2，a ＋2)． 因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1,3]．【解答】 (1) 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x<0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3<1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x<1，解得－2<x <0或0≤x <1， 所以A ＝{x |－2<x <1}． (2) 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .(ⅰ) 当B ＝∅时，2a >a ＋1，所以a >1满足题意；(ⅱ) 当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋1，2a>－2，a ＋1<1，解得－1<a <0.综上，a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)． 课堂评价1. BCD 【解析】 对于选项A ，因为xy >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，y<0，所以集合{(x ，y )|xy >0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A 正确；对于选项B ，方程|x －2|＋|y ＋2|＝0的解集为{(2，－2)}，故B 错误； 对于选项C ，集合{(x ，y )|y ＝1－x }表示直线y ＝1－x 上的点， 集合{x |y ＝1－x }表示函数y ＝1－x 中x 的取值范围，故集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }不相等，故C 错误；对于选项D ，A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}＝{－1,0,1}，所以－1.1∉A ，故D 错误． 2. ABC3. B 【解析】 由x 2－3x －4>0得x <－1或x >4， 所以集合A ＝{x |x <－1或x >4}．由x 2－3mx ＋2m 2<0(m >0)得m <x <2m ， 所以集合B ＝{x |m ＜x ＜2m }． 又B ⊆A ，所以2m ≤－1(舍去)或m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4，＋∞)． 4. [2 020，＋∞)【解析】 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.(第4题)5.(－∞，2]【解析】当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又因为a －1<a ，所以A ∪B ＝R ，故a <1满足题意．综上可知a ∈(－∞，2]．第2讲 充分条件、必要条件、充要条件链教材·夯基固本 激活思维 1. A 2. B 3. BCD【解析】由x 2－x －2<0，解得－1<x <2，所以(－1，2)(－2，a )，所以a ≥2，所以实数a 的值可以是2,3,4.4. [－2,1] 【解析】 因为綈p ：x ≤－1或x ≥3，綈q ：x ≤m －2或x ≥m ＋5，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤－1，m ＋5≥3，且等号不能同时取到，解得－2≤m ≤1.5. 充要 必要 【解析】 因为q ⇒s ⇒r ⇒q ，所以r 是q 的充要条件．又q ⇒s ⇒r ⇒p ，所以p 是q 的必要条件．知识聚焦1. (1) 充分 必要 非充分 非必要 (2) ①充分不必要 ②必要不充分 ③充要 ④既不充分也不必要研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 A【解析】 因为1x >1，所以x ∈(0,1)．因为e x －1<1，所以x <1，所以“1x >1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．(2) 【答案】 A 【解析】当a >0，b >0时，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5>4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．【题组·高频强化】 1. A 【解析】 由a 2>a 得a >1或a <0，据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A.2.B【解析】由2－x ≥0，得x ≤2；由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2.所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．故选B.3.C【解析】当存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β时，若k 为偶数，则sin α＝sin(k π＋β)＝sin β；若k 为奇数，则sin α＝sin(k π－β)＝sin[(k －1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β.当sin α＝sin β时，α＝β＋2m π或α＋β＝π＋2m π，m ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m )或α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m ＋1)，亦即存在k ∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β，所以“存在k∈Z ，使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件．故选C.4. B【解析】 依题意知m ，n ，l 是空间不过同一点的三条直线，当m ，n ，l 在同一平面内时，可能m ∥n∥l ，故不一定得出m ，n ，l 两两相交．当m ，n ，l 两两相交时，设m ∩n ＝A ，m ∩l ＝B ，n ∩l ＝C ，可知m ，n 确定一个平面α，而B ∈m ⊂α，C ∈n ⊂α，可知直线BC 即l ，l ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．综上所述，“m ，n ，l 在同一平面内”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件．故选B.(1) 【答案】 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 【解析】由y ＝x ＋1x在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1上单调递减，在(1,2)上单调递增，得2≤y <52，所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪2≤y<52. 由x ＋m 2≥6，得x ≥6－m 2，所以B ＝{x |x ≥6－m 2}． 因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件， 所以A B ，所以6－m 2≤2，解得m ≥2或m ≤－2， 故实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2) 【答案】 (2，＋∞)【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.(1) 【答案】 (0,2]【解析】 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，所以－m ＋12<x <m －12，且－m ＋12<0.由x －12x －1>0，得x <12或x >1. 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以m －12≤12，所以0<m ≤2.(2) 【答案】 (0,2]【解析】 由题可得p ：x >3或x <－1，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，[x －(1－a )]·[x －(1＋a )]≥0， 因为a ＞0，所以1－a ＜1＋a ，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a . 因为q 是p 的必要不充分条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤3，1－a ≥－1，a>0，解得0＜a ≤2.【解答】 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0. 又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都有实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m2－4m －5∈Z ，所以m 为4的约数．又因为m ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－54，1，所以m ＝－1或1. 当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数；当m ＝1时，两方程的根均为整数．所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. 课堂评价 1. A 2. A【解析】 “∀x ∈[－1,1]，|x |＜a 恒成立”等价于“∀x ∈[－1，1]，a ＞|x |max ”，所以a ＞1.故充要条件为a ＞1.3. A 【解析】 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)． 又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立； 若f (a )>f (b )，则等价于f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |， 即a >|b |或a <－|b |，故必要性不成立．则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件． 4. ABC【解析】 对于选项A ，由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B . 由 A ⊆B可得A ∩B ＝A ，故A 满足条件．对于选项B ，由∁S A ⊇∁S B 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S A ⊇∁S B ，故∁S A ⊇∁S B 是A ⊆B 的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由∁S B ∩A ＝∅，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得∁S B ∩A ＝∅，故∁S B ∩A ＝∅是A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由∁S A ∩B ＝∅，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故∁S A ∩B ＝∅不是A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件．故选ABC.5.(－∞，0]【解析】由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－x －6≤1，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.第3讲 全称量词和存在量词链教材·夯基固本 激活思维 1. C 2. B 3.(－∞，2)【解析】设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x＋1，x ∈[0，＋∞)，若p 为真命题，则a ＜f (x )max ＝f (0)＝2.4. (－∞，2] 【解析】 若“∃x 0∈(0，＋∞)，λx ＞x 2＋1”是假命题，则“∀x ∈(0，＋∞)，λx ≤x 2＋1”是真命题，所以当x ∈(0，＋∞)时，λ≤x ＋1x恒成立．又x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]． 5.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2【解析】当命题p 为真命题时，x 2＋x ＋a >1恒成立，即x 2＋x ＋a －1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a －1)<0，解得a >54.当命题q 为真命题时，2a ≤(2x 0)max ，x 0∈[－2,2]，所以a ≤2.故54<a ≤2，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤54，2. 知识聚焦1. 全体 全称量词 ∀x ∈M ，p (x )2. 部分 ∃ 存在量词 ∃x 0∈M ，p (x 0)3. ∃x ∈M ，綈p (x )4. 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 一个也没有 至多有n －1个 至少有两个 存在一个x 不成立研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．(2) 綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) 綈r ：所有的实数都有平方根，假命题．(4) 綈s ：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(1) 【答案】 C(2) 【答案】 ∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0 (1) 【答案】 (－∞，－2] 【解析】由命题p 为真，得a ≤0.由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a≤－2.(2) 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪⎪a ≤52【解析】 若命题p ：∃x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1<0为假命题，则“∀x ∈[2，3]，x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x ”为真命题．令g (x )＝x ＋1x ，易知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈[2,3]时，g (x )∈[g (2)，g (3)]．又∀x ∈[2,3]，a ≤x ＋1x恒成立等价于∀x ∈[2,3]，a ≤g (x )min ，而g (x )min ＝g (2)＝52，所以“∀x ∈[2,3]，x 2－ax ＋1≥0”为真命题时，a ≤52.(1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞ 【解析】由“∀x∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫56，＋∞. (2) 【答案】 (－2，－1]【解析】 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0为真命题，可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为真命题，得Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.综上，m ∈(－2，－1]．【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫14，＋∞ ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 ①当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，对任意x 1∈[0,3]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即0≥14－m ，所以m ≥14.②当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对任意x 1∈[0,3]，任意x 2∈[1,2]，有f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ，即0≥12－m ，所以m ≥12.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 依题意知对x 1∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1，x 2∈[2,3]，f (x 1)max ≤g (x 2)max . 因为f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1上是减函数， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数，所以g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.课堂评价 1. ABC 2. D3. A 【解析】 因为命题“∃x ∈[1,2]，x 2＋ln x －a ≤0”为假命题，所以当x ∈[1,2]时，x 2＋ln x ＞a 恒成立，只需a ＜(x 2＋ln x )min ，x ∈[1，2]．又函数y ＝x 2＋ln x 在[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，y min ＝1，所以a ＜1.故选A.4. B 【解析】 由题可知，命题“∀x ∈R ，(k 2－1)x 2＋4(1－k )x ＋3>0”是真命题． 当k 2－1＝0，得k ＝1或k ＝－1.若k ＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k ＝－1，则原不等式为8x ＋3>0，不恒成立，不符合题意． 当k 2－1≠0时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧k2－1>0，16(1－k )2－4(k 2－1)×3<0，即⎩⎨⎧(k ＋1)(k －1)>0，(k －1)(k －7)<0，解得1<k <7. 综上所述，实数k 的取值范围为{k |1≤k <7}． 5.(－3，＋∞) 【解析】 假设∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3.因为假设成立，所以a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．第4讲 不等式的性质、一元二次不等式链教材·夯基固本 激活思维 1. AC 2.ACD【解析】由1a<1b<0，得a <0，b <0且a >b ，所以a ＋b <0，ab >0，A 正确；|a |<|b |，B 错误；a 3>b 3，C 正确；因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，故D 正确．故选ACD.3. ABD4. －112 7125.(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由x 2－2x ＋k 2－2>0，得k 2>－x 2＋2x ＋2.设f (x )＝－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3，当x ≥2时，f (x )max ＝2，则k 2>f (x )max ＝2，所以k >2或k <－2.知识聚焦2. {x |x <x 1或x >x 2} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AC【解析】 因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以B 错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以D 错误．因为1a <1b<0，所以a ＋b <0，但ab >0，所以1a ＋b <1ab ，A 正确；a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －a ab ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1ab ，因为1a<1b <0，所以0>a >b ，所以a －b >0,1＋1ab>0，所以a －1a－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －1b >0，所以a －1a >b －1b ，C 正确． (2) 【答案】 B 【解析】 p －q ＝b2a ＋a2b －a －b＝b2－a2a ＋a2－b2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ， 因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8 【解析】 设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32，即2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．因为π<α＋β<5π4，－π<α－β<－π3，所以π2<12(α＋β)<5π8，－3π2<32(α－β)<－π2，所以－π<12(α＋β)＋32(α－β)<π8，即－π<2α－β<π8，所以2α－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π，π8. 【题组·高频强化】 1.A【解析】 若a >b ，则a ＋c >b ＋c ，故B 错；设a ＝3，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac <bd ，a c<bd，所以C ，D 错，故选A. 2.C【解析】因为a ＋b ＋c ＝0，且a ＜b ＜c ，所以a ＜0，c ＞0.因为b ＜c ，a ＜0，所以ab ＞ac ，所以B 不成立；因为a ＜b ，c ＞0，所以ac ＜bc ，所以C 成立；当b ＝0时，A ，D 都不成立．故选C.3. BD4. ABC 【解析】 取a ＝13，b ＝12，可知A ，B ，C 错误．因为0<a <b <1，所以b －a∈(0,1)，所以lg(b －a )<0，故D 正确．故选ABC.5.(－4,2) (1,18)【解析】因为－1<x <4,2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2.因为－3<3x <12,4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.【解答】(1)原不等式转化为6x 2＋5x －1>0，因为方程6x 2＋5x －1＝0的解为x 1＝16，x 2＝－1，所以根据二次函数y ＝6x 2＋5x －1的图象可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<－1或x>16.(2) 若a ＝0，原不等式转化为－x ＋1<0，即x >1. 若a <0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)>0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1， 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1.若a >0，原不等式转化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)<0， 此时对应方程⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1a (x －1)＝0的两个根为x 1＝1a ，x 2＝1. 当1a＝1，即a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当1a >1，即0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当1a <1，即a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x<1a 或x>1；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1<x<1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|1a <x<1.【解答】 (1) 由不等式x －3x >－2，可得x >2或x <1.由x>2，得x >4；由x<1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}．(2)原不等式转化为(x －a )(x －a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a 2＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为∅.(1) 【答案】 [0,4] 【解析】当a ＝0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1≥0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，实数a 的取值范围为[0,4]．(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞ 【解析】 方法一：当a ＝0时，原不等式可化为x <0，易知不合题意；当a ≠0时，令f (x )＝ax 2－x ＋a ，要满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a ≤1，f (1)≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a>1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a >0，解得a ≥12，所以a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞. 方法二：ax 2－x ＋a >0⇔ax 2＋a >x ⇔a >x x2＋1，因为x ∈(1，＋∞)时，x x2＋1＝1x ＋1x<12，所以a ≥12. (3) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32 【解析】已知不等式可化为(x 2－1)m ＋(1－2x )<0.设f (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，这是一个关于m 的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f (m )<0在－2≤m ≤2时恒成立，其等价条件是⎩⎨⎧f (2)＝2(x 2－1)＋(1－2x )<0，f (－2)＝－2(x 2－1)＋(1－2x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x2－2x －1<0，2x2＋2x －3>0，解得－1＋72<x <1＋32，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋72，1＋32. 【解答】 (1) 因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 所以Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[－6,2]．(2) 由题意，可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，所以－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，所以－7≤a <－4.综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． (3) 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立， 只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ＋3≥0，x2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋6， 所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．课堂评价 1.C【解析】 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，n ＝0，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b||a|<|b|＋1|a|＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，因为a <b <0，所以|b |<|a |成立，故选C. 2. C3. ABCD 【解析】 关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0，则a ≠0. 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅，故A 正确；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，故D 正确； 当－1＜a ＜0时，原不等式的解集为(－1，a )，故B 正确； 当a ＜－1时，原不等式的解集为(a ，－1)，故C 正确． 4.BCD【解析】对于A ，因为2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，所以由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x>1或x <－12，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x>1或x<－12，故A 错误；对于B ，因为－6x 2－x ＋2≤0，所以6x 2＋x －2≥0， 所以(2x －1)(3x ＋2)≥0，所以x ≥12或x ≤－23，故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，所以－7×(－1)＝21a，所以a ＝3，经检验符合题意，故C 正确； 对于D ，依题意知q,1是方程x 2＋px －2＝0的两个根，则q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．故选BCD.5.－3【解析】因为函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b∈R )的值域为(－∞，0]，所以Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，所以b ＝－14a 2.又关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m )，所以方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ，即方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的两根分别为m －4，m .又方程－x 2＋ax －14a 2＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，所以两根之差为21－c ＝m －(m －4)＝4，解得c ＝－3.第5讲 基本不等式链教材·夯基固本 激活思维1. C 【解析】 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号，故(xy )max ＝81. 2. D【解析】 因为1x ＋3y ＝1，所以x ＋3y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋3y ＝10＋3y x ＋3x y ≥10＋23y x ·3x y ＝16，当且仅当3y x ＝3x y 且1x ＋3y＝1，即x ＝y ＝4时取等号，故选D. 3.BD【解析】A 不正确，因为a ，b 不满足同号，故不能用基本不等式；B 正确，因为lg x 和lg y 一定是正实数，故可用基本不等式；C 不正确，因为x 和4x 不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D 正确，因为 2x 和2－x 都是正实数，且2x ≠1,2－x ≠1，故2x ＋2－x >22x ·2－x ＝2成立，故D 正确．故选BD.4. 5 【解析】 令t ＝sin x ∈(0,1]，由y ＝t ＋4t 在(0,1]上单调递减，得y min ＝1＋41＝5.5. 1【解析】 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时取等号，故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.知识聚焦1. (1) a ＞0，b ＞02. (1) x ＝y 2p (2) x ＝yp24研题型·融会贯通 分类解析【解答】 (1) 当a ＝0时，xy ＝x ＋4y ，两边同除以xy 得1y＋4x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1y ＋4x ＝x y ＋4y x ＋1＋4≥2x y ·4y x ＋5＝9，当且仅当xy＝4y x，即x ＝6，y ＝3时取“＝”，即当a ＝0时，x ＋y 的最小值为9.(2) 当a ＝5时，xy ＝x ＋4y ＋5≥24xy ＋5＝4xy ＋5，即有(xy )2－4xy －5＝(xy －5)(xy ＋1)≥0， 所以xy ≥5，即xy ≥25，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10，y ＝52时取“＝”，即当a ＝5时，xy 的最小值为25. 【题组·高频强化】 1.20【解析】 因为log 5x ＋log 5y ＝2，所以x 和y 均为正数，由指数和对数的关系可得xy ＝52＝25，所以x ＋4y ≥2x ·4y＝20，当且仅当x ＝4y ，即x ＝10且y ＝52时等号成立，所以x ＋4y 的最小值是20.2. 45 【解析】 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以y ≠0且x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y45y2＋y 2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，所以x 2＋y 2的最小值为45.3. 5＋26 【解析】 因为x ＋y ＝1，所以x ＋2xy ＝x ＋2(x ＋y )xy ＝3x ＋2y xy ＝2x ＋3y＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋3y (x ＋y )＝2y x ＋3x y ＋5≥5＋26，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝3x y ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2，y ＝3－6时取等号．4. 6 【解析】 方法一(换元消元法)： 由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，x ＞0，y ＞0，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y ＝9＋3y21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y －6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.5. 94 【解析】 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4(a ＋1)b ＋1＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，所以1a ＋1＋4b ＋1的最小值为94.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，174 【解析】 对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy ， 得x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，解得x ＋y ≥4.不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t 对于任意的t ≥4恒成立．令u (t )＝t ＋1t(t ≥4)，则u ′(t )＝1－1t2＝t2－1t2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t(t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，所以a ≤174.(1) 【答案】 4【解析】 原不等式变形为k (x －1)＋4x －1＋k ≥12， 则原问题转化成不等式k (x －1)＋4x －1≥12－k 在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤k (x －1)＋4x －1min 即可．根据均值定理可知，k (x －1)＋4x －1≥2k (x －1)·4x －1＝4k ，当且仅当k (x －1)＝4x －1时等号成立，所以只需12－k ≤4k 成立，即(k＋6)(k －2)≥0，所以k ≥4，即k min ＝4.(2) 【答案】 (－∞，22]【解析】 因为x >y >0，且xy ＝1，所以由x 2＋y 2≥a (x －y )， 得a ≤x2＋y2x －y.又x2＋y2x －y＝(x －y )2＋2xyx －y ＝x －y ＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝22，所以a ≤22.【解答】 (1) 设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)． (2) 由(1)知， S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋5x ＋4 160 ≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ，宽40 m.【解答】 (1) 设污水处理池的宽为x m ，则长为162x m ，总造价y ＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋100x ＋12 960 ≥1 296×2x ×100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号，所以当污水处理池的长为16.2 m ，宽为10 m 时总造价最低，最低为38 880元． (2) 由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，所以818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818≤x ≤16，则g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤818，16上是增函数， 所以当x ＝818时，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即y min ＝1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元)． 所以当污水处理池的长为16 m ，宽为818 m 时总造价最低，最低为38 882元．课堂评价 1.BCD【解析】不等式a ＋b ≥2ab 恒成立的条件是a ≥0，b ≥0，故A 不正确；当a 为负数时，不等式a ＋1a≤2成立，故B 正确；由基本不等式可知C 正确；2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝12，y ＝14时取等号，故D 正确． 2. ABD 【解析】 若m ，n ＞0，m ＋n ＝2，则1m ＋2n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋n m ＋2m n ≥3＋222，当且仅当n ＝2m ＝4－22时等号成立，A 正确．m ＋n ＝2≥2mn ，解得mn ≤1，所以mn 2≤12，(m＋n )2＝m ＋n ＋2mn ≤4，即m ＋n ≤2，B 正确，C 错误．m 2＋n 2≥(m ＋n )22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，D 正确．故选ABD.3. (－1,4) 【解析】 由正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，则x ＋y4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝2＋4x y ＋y 4x≥2＋24x y ·y4x＝4，当且仅当y ＝4x ＝8时取等号，所以x ＋y 4的最小值为4.由x＋y4>m2－3m恒成立，可得m2－3m<4，解得m∈(－1,4)．4. 4 【解析】因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab＝1，所以12a＋12b＋8a＋b＝b2ab＋a2ab＋8a＋b＝a＋b2＋8a＋b≥2a＋b2·8a＋b＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－3，b＝2＋3或a＝2＋3，b＝2－3时等号成立．5. 2105【解析】因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－32·2xy＝1，所以(2x＋y)2－32·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋y22≤1，解得(2x＋y)2≤85，即2x＋y≤2105。
2020高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2020高考试题汇编 第一章 集合与常用逻辑用语 Word版含解析.doc
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集合题型1 集合的基本概念——暂无题型2 集合间的基本关系——暂无题型3 集合的运算1.（2017江苏01）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1AB =，则实数a 的值为 ． 解析 由题意233a +…，故由{}1A B =，得1a =．故填1．2.（2017天津理1）设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x x =∈-R 剟，则()A B C =（ ）.A.{}2B.{}1,2,4C.{}1,2,4,6D.{}|15x x ∈-R 剟解析 因为{1,2,6},{2,4}A B ==，所以{1,2,6}{2,4}{1,2,4,6}AB ==， 从而(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}A BC =-=.故选B ．3.(2017北京理1)若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则AB =（ ）. A.{}–2<1x x <- B.{}–2<3x x <C.{}–1<1x x <D.{}1<3x x <解析 画出数轴图如图所示，则{}21A B x x =-<<-.故选A.31-1-2 4.（2017全国1理1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（ ）.A. {}0A B x x =<B. A B =RC. {}1A B x x =>D. A B =∅解析{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=<，所以{}0AB x x =<，{}1A B x x =<.故选A. 5.2017全国2理2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=.若1A B =，则B =（ ）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 解析 由题意知1x =是方程240x x m -+=的解，代入解得3m =，所以2430x x -+=的解为1x =或3x =，从而{}13B =，.故选C.6.（2017全国3理1）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）.A ．3B ．2C ．1D ．0 解析 集合A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，如图所示，所以AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2.故选B.7.（2017山东理1）设函数y =A ，函数()ln 1y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）.A.()1,2B.(]1,2C.()2,1-D.[)2,1-解析 由240x -…，解得22x -剟，所以[]22A =-，.由10x ->，解得1x <，所以(),1B =-∞.从而{}{}{}=|22|1|21A B x x x x x x -<=-<剟?.故选D. 8.(2017浙江理1)已知集合{}11P x x =-<<，{}02Q x x =<<，那么P Q =（ ）.A.()1,2-B.()01，C.()1,0-D.()1,2解析 P Q 是取,P Q 集合的所有元素，即12x -<<.故选A ．第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件题型4 四种命题及真假关系1.（2017山东理3）已知命题:p 0x ∀>，()ln 10x +>；命题:q 若a ＞b ，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ）.A.p q ∧B.p q ∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝解析 由011x x >⇒+>，所以ln(1)0x +>恒成立，故p 为真命题；令1a =，2b =-，验证可知，命题q 为假.故选B.题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断1.（2017天津理4）设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ππ10sin 121262θθθπ-<⇔<<⇒<.但0θ=，1sin 2θ<，不满足ππ1212θ-<，所以“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件.故选A. 2.(2017北京理6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180，则0⋅<m n .若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.3.(2017浙江理6)已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 46111466151021S S a d a d a d +=+++=+，5121020S a d =+. 当0d >时，有4652S S S +>，当4652S S S +>时，有0d >．故选C ．题型6 充分条件、必要条件中的含参问题——暂无第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假——暂无题型8 全（特）称命题——暂无题型9 根据命题真假求参数的范围——暂无。
高三理科数学一轮单元卷：第一单元集合与常用逻辑用语A卷
1一轮单元训练金卷？高三？数学卷（A ） 第一单元 集合与常用逻辑用语注意事项:1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 •选择题的作答： 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是C . -1 AD . 0 AC . -3 ’ZD . n Q2x _ y 二1 iy，则下列结论中正确的是（ ）x 4y =5 ［ A . 1 二A B . B ^A C .1,1］二B D .〔心 A4. 已知集合 A —0,1,2?, B 」1,m ［若B A ，则实数m 的值是（ ）A . 0B . 2C .0 或 2D . 0 或 1 或 25. 设集合A 「：xx 乞a?, B - - -,2，若A ^B ，则实数a 的取值范围是（ ）A . a _2B . a 2C . a 空2D . a ：： 26.已知集合 M -1—x ：：3', N =x ：：： 0f ，则集合、x0—x ：：：3，（）A .-3 A B . -2 A 2 . 卜列表示正确的是（ )A .0 N B . - Z7r3.集合 A - \ x, y y =x f 和 B = x, y A . M A N B . M U NC . M 仃 *ND .仃 N一、选择题（本大题共 12小题，每小题 符合题目要求的）1 .若集合A = ：x x ・、一1 f ，则（ ）7. 已知集合A=k x,y x2y2=1, B - \ x, y y ，则A“ B中元素的个数为（2C. 1 &命题：“若a2b2=0 a,b • R，则a =b =0 ”的逆否命题是… 2 2A .若a 汕厂0 a,b R ，则a b =0B .若a =b =0 a,b^ R ，则a b -0C.若a =0且b =0 a,b R，贝U a2b2=02 2D •若a=0 或b=0a,b R ，贝U a b -09. 设有下面四个命题P1 : a 1 , b 1是ab 1的必要不充分条件；P2 : xG〕0,1 , 12.给出下列四个命题:log 1 x log 1 x ；e nP3：函数f x =2x2-X有两个零点; P4 ：-X I [0丄,1.n:::log1x .其中真命题是（A. P1 , P3P i , P4 C. P2 , P3 D. P2 , P410.若X , y R , x2“X ■ y ” 的A .充分不必要条件必要不充分条件C .充分条件D. 既不充分也不必要条件11.F面四个命题:P i : n22n”的否定是“n^ ■ N , n。
2020版高考一轮复习理科数学习题_第一篇_集合与常用逻辑用语
2020版高考一轮复习理科数学习题：第一篇集合与常用逻辑用语目录第1节集合.................................................................................... - 2 - 第2节命题及其关系、充分条件与必要条件 ................................. - 7 - 第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ....................... - 13 -第1节集合【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于( A )(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.已知集合A={x|lg x>0},B={x|x≤1},则( B )(A)A∩B≠ (B)A∪B=R(C)B⊆A (D)A⊆B解析:由B={x|x≤1},且A={x|lg x>0}=(1,+∞),所以A∪B=R.3.(2018·西安一模改编)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是( B )(A)M=N (B)N M(C)M⊆N (D)M∩N=解析:因为M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},所以N={-1,0},于是N M.4.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=｛-1,0,,2,3｝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( B )(A)1 (B)3 (C)7 (D)31解析:具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},｛,2｝,｛-1,,2｝.5.(2018·石家庄模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B= {3,5},则∁U(A∪B)等于( D )(A){1,4} (B){1,5}(C){2,5} (D){2,4}解析:由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={2,4}.6.试分别用描述法、列举法两种方法表示“所有不小于3,且不大于200的奇数”所构成的集合.(1)描述法 ;(2)列举法 .答案:(1){x|x=2n+1,n∈N,1≤n<100}(2){3,5,7,9, (199)7.(2017·江苏卷)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为.解析:因为A∩B={1},A={1,2},所以1∈B且2∉B.若a=1,则a2+3=4,符合题意.又a2+3≥3≠1,故a=1.答案:18.(2018·成都检测)已知集合A={x|x2-2 018x-2 019≤0},B={x|x< m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.解析:由x2-2 018x-2 019≤0,得A=[-1,2 019],又B={x|x<m+1},且A⊆B.所以m+1>2 019,则m>2 018.答案:(2 018,+∞)9.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B= .解析:由x(x+1)>0,得x<-1或x>0.所以B=(-∞,-1)∪(0,+∞),所以A-B=[-1,0).答案:[-1,0)能力提升(时间:15分钟)10.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁R S)∩T等于( C )(A)[2,3](B)(-∞,-2)∪[3,+∞)(C)(2,3)(D)(0,+∞)解析:易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),所以∁R S=(2,3),因此(∁R S)∩T= (2,3).11.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由得所以A∩B={(2,-1)}.由M⊆(A∩B),知M= 或M={(2,-1)}.12.(2018·江西省红色七校联考)如图,设全集U=R,集合A,B分别用椭圆内图形表示,若集合A={x|x2<2x},B={x|y=ln(1-x)},则阴影部分图形表示的集合为( D )(A){x|x≤1} (B){x|x≥1}(C){x|0<x≤1} (D){x|1≤x<2}解析:因为A={x|x2<2x}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},所以∁U B={x|x≥1},则阴影部分为A∩(∁U B)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}={x|1≤x<2}.故选D.13.若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为( D )(A)1 (B)-1(C)1或-1 (D)1或-1或0解析:由A∪B=A,可知B A,故B={1}或{-1}或 ,此时m=1或-1或0.故选D.14.(2017·山东卷改编)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,全集U=R,则∁U(A∩B)= .解析:因为4-x2≥0,所以-2≤x≤2,所以A=[-2,2].因为1-x>0,所以x<1,所以B=(-∞,1),因此A∩B=[-2,1),于是∁U(A∩B)=(-∞,-2)∪[1,+∞).答案:(-∞,-2)∪[1,+∞)第2节命题及其关系、充分条件与必要条件【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( D )(A)若方程x2+x-m=0有实根,则m>0(B)若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0(C)若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0(D)若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0解析:根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( A )(A)若a≤b,则a+c≤b+c(B)若a+c≤b+c,则a≤b(C)若a+c>b+c,则a>b(D)若a>b,则a+c≤b+c解析:将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.3.(2018·山东省日照市模拟)命题p:sin 2x=1,命题q:tan x=1,则p是q的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由sin 2x=1,得2x=+2kπ,k∈Z,则x=+kπ,k∈Z,由tan x=1,得x=+kπ,k∈Z,所以p是q的充要条件.故选C.4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.5.(2018·云南玉溪模拟)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若函数f(x)=a x在R上是减函数,则a∈(0,1),若函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数,则a∈(0,2).则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.6.(2018·江西九江十校联考)已知函数f(x)=则“x=0”是“f(x)=1”的( B )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:若x=0,则f(0)=e0=1;若f(x)=1,则e x=1或ln(-x)=1,解得x=0或x=-e.故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件.故选B.7.(2018·北京卷)能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为.解析:只要保证a为正b为负即可满足要求.当a>0>b时,>0>.答案:1,-1(答案不唯一)8.有下列几个命题:①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.解析:①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,错误.②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,正确.答案:②③9.直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是.解析:直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于< ,解之得-1<k<3.答案:-1<k<3能力提升(时间:15分钟)10.(2018·天津卷)设x∈R,则“|x-|<”是“x3<1”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由“|x-|<”等价于0<x<1,而x3<1,即x<1,所以“|x-|<”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A.11.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,则a的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,1](C)[-1,+∞) (D)(-∞,-3]解析:由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,可知﹁p是﹁q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,故a≥1.12.函数f(x)=log a x-x+2(a>0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是 .解析:若函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点,即函数y=log a x的图象与直线y=x-2有两个交点,结合图象易知,此时a>1.可以检验,当a>1时,函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点, 所以函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是a>1.答案:a>113.(2018·湖南十校联考)已知数列{a n}的前n项和S n=Aq n+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{a n}为等比数列”的条件.解析:若A=B=0,则S n=0,数列{a n}不是等比数列.如果{a n}是等比数列,由a1=S1=Aq+B得a2=S2-a1=Aq2-Aq,a3=S3-S2=Aq3-Aq2,由a1a3=,从而可得A=-B,故“A=-B”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件.答案:必要不充分14.(2018·山西五校联考)已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2+3x-4<0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.解析:p对应的集合A={x|x<m或x>m+3},q对应的集合B={x|-4<x<1}.由p是q的必要不充分条件可知B A,所以m≥1或m+3≤-4,即m≥1或m≤-7.答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·咸阳模拟)命题p:∀x<0,x2≥2x,则命题﹁p为( C )(A)∃x0<0,≥ (B)∃x0≥0,<(C)∃x0<0,< (D)∃x0≥0,≥解析:全称命题的否定,应先改写量词,再否定结论,所以﹁p:∃x0<0,<.2.(2018·郑州调研)命题p:函数y=log2(x-2)的单调增区间是[1,+∞),命题q:函数y=的值域为(0,1).下列命题是真命题的为( B )(A)p∧q (B)p∨q(C)p∧(﹁q) (D)﹁q解析:由于y=log2(x-2)在(2,+∞)上是增函数,所以命题p是假命题.由3x>0,得3x+1>1,所以0<<1,所以函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(﹁q)为假命题,﹁q为假命题.3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是( C )(A)∃x0∈R,lg x0=1 (B)∃x0∈R,sin x0=0(C)∀x∈R,x3>0 (D)∀x∈R,2x>0解析:当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x<0时,x3<0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题.4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕,在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( A ) (A)(﹁p)∨(﹁q) (B)p∨(﹁q)(C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨q解析:命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况:“甲、乙落地均没有站稳”“甲落地没站稳,乙落地站稳”“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为(﹁p)∨(﹁q).或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p∧q”的否定.选A.5.(2018·河北省石家庄二中模拟)已知命题p:∃x0∈(0,+∞),ln x0=1-x0,则命题p的真假及﹁p依次为( B )(A)真;∃x0∈(0,+∞),ln x0≠1-x0(B)真;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x(C)假;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x(D)假;∃x0∈(0,+∞),ln x0≠1-x0解析:当x0=1时,ln x0=1-x0=0,故命题p为真命题;因为p:∃x0∈(0,+∞),ln x0=1-x0,所以﹁p:∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x.6.命题p“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( D )(A)∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(B)∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2(C)∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(D)∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<解析:改变量词,否定结论.所以﹁p应为∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<.7.(2018·河北“五个一”名校联考)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定是.答案:∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>28.若命题“∃x0∈R,使得+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是.解析:因为“∃x0∈R,使得+(a-1)x0+1<0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,所以a-1>2或a-1<-2,所以a>3或a<-1.答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)9.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>1,若“(﹁q)∧p”为真,则x的取值范围是.解析:因为“(﹁q)∧p”为真,即q假p真,又q为真命题时,<0,即2<x<3,所以q为假命题时,有x≥3或x≤2.p为真命题时,由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3.由得x≥3或1<x≤2或x<-3,所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<-3}.答案:(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)能力提升(时间:15分钟)10.下列命题中,真命题是( D )(A)∃x0∈R,使得≤0(B)sin2x+≥3(x≠kπ,k∈Z)(C)∀x∈R,2x>x2(D)a>1,b>1是ab>1的充分不必要条件解析:对∀x∈R都有e x>0,所以A错误;当x=-时,sin2x+=-1<3,所以B错误;当x=2时,2x=x2,所以C错误;a>1,b>1⇒ab>1,而当a=b=-2时,ab>1成立,a>1,b>1不成立,所以D 正确.11.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是( D ) (A)(,1) (B)(1,+∞)(C)(,+∞) (D)(,1)∪(1,+∞)解析:因为函数f(x)=a2x-2a+1,命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,所以原命题的否定“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,所以f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,所以(a-1)2(2a-1)>0,解得a>,且a≠1.所以实数a的取值范围是(,1)∪(1,+∞).12.(2018·江西红色七校联考)已知函数f(x)=给出下列两个命题:命题p:∃m∈(-∞,0),方程f(x)=0有解,命题q:若m=,则f(f(-1))=0.那么,下列命题为真命题的是( B )(A)p∧q (B)(﹁p)∧q(C)p∧(﹁q) (D)(﹁p)∧(﹁q)解析:因为3x>0,当m<0时,m-x2<0,所以命题p为假命题;当m=时,因为f(-1)=3-1=,所以f(f(-1))=f()=-()2=0,所以命题q为真命题,逐项检验可知,只有(﹁p)∧q为真命题.13.(2018·广东汕头一模)已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“﹁p”和“p∧q”都是假命题,则实数a 的取值范围是( C )(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-2,1](C)(1,2) (D)(1,+∞)解析:因为“﹁p”和“p∧q”都是假命题,所以p真,q假.由p真,得Δ=a2-4<0,解之得-2<a<2.∀x>0,2x-a>0等价于a<2x恒成立,则a≤1.所以q假时,a>1.由得1<a<2,则a的取值范围是(1,2).14.(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈[,1],∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是.解析:依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)=x+在[,1]上是减函数,所以f(x)max=f()=.又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=8+a,因此≤8+a,则a≥.答案:[,+∞)。
2020年数学新高考一轮复习(理) 集合
2
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解析：由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个
1 集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中－2＝0.5，
出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示 的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没 有正确命题，故选 A.
2
9 所以 a 的值为 0 或 . 8
答案：D
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4．(易错题)(2019· 江西重点中学协作体联考)设集合 A＝{1,2,3}， B＝{2,3,4} ，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则 M 中的元素 个数为________．
解析：结合题意列表计算 M 中所有可能的值如下：
b a 1 2 3
2 2 4 6
3 3 6 9
4 4 8 12
观察可得：M＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知 M 中的元素个 数为 7.
答案：7
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[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的 个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
[小题体验] 1．已知集合 A＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N }，则满足 A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为 A．1 B． 2 C．3 D．4 ( )
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答案：D
2．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合 A∪B 中元素的 个数为________．
答案：5
3．(2018· 江苏高考)已知集合 A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}， 那么 A∩B＝________.
2020届高三数学(理)高考一轮、二轮复习讲义,习题,补习资料：第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合间的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算．知识点一 集合的基本概念1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. 3．集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn 图法．易误提醒 在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[自测练习]1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，a 2，0，则a ＝________.解析：1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，只有a 2＝1.当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1.答案：－1知识点二 集合间的基本关系中至少AB 或B A A ＝B必记结论 若集合A 中有n 个元素，则其子集个数为2，真子集个数为2－1，非空真子集的个数为2n －2.易误提醒 易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．[自测练习]2．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋(a 2－1)i}(a ∈R ，i 是虚数单位)，若A ⊆R ，则a ＝( ) A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：A ⊆R ，∴a 2－1＝0，a ＝±1. 答案：C3．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，xy ∈A }，则集合B 的所有真子集的个数为( )A ．512B ．256C ．255D ．254解析：由题意知当x ＝1时，y 可取1,2,3,4；当x ＝2时，y 可取1,2；当x ＝3时，y 可取1；当x ＝4时，y 可取1.综上，B 中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.答案：C知识点三 集合的基本运算及性质A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } ∁A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }易误提醒 运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心． 必记结论 ∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[自测练习]4．(2019·广州一模)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{3,4,5}，N ＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示( )A ．M ∩NB ．(∁U M )∩NC ．M ∩(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )解析：M ∩N ＝{5}，A 错误；∁U M ＝{1,2}，(∁U M )∩N ＝{1,2}，B 正确；∁U N ＝{3,4}，M ∩(∁U N )＝{3,4}，C错误；(∁U M )∩(∁U N )＝∅，D 错误．故选B.答案：B5．(2019·长春二模)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1,0)D ．[0,2]解析：由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1<x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选D.答案：D考点一 集合的基本概念|1．已知集合S ＝{x |3x ＋a ＝0}，如果1∈S ，那么a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：∵1∈S ，∴3＋a ＝0，a ＝－3. 答案：A2．设集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A }，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：∵a ∈A ，b ∈A ，x ＝a ＋b ，∴x ＝2,3,4,5,6,8，∴B 中有6个元素，故选C. 答案：C3．(2019·贵阳期末)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)解析：若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，则a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}判断一个元素是某个集合元素的三种方法：列举法、特征元素法、数形结合法．考点二集合间的基本关系及应用|(1)已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2B．3C．4 D．5[解析]依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.[答案] C(2)已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1][解析]依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B.[答案] B1．判断两集合的关系常有两种方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．(2)用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时的两个关键点(1)将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．(2)合理利用数轴、Venn图帮助分析．1．(2019·辽宁五校联考)设集合P＝{x|x>1}，Q＝{x|x2－x>0}，则下列结论正确的是() A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R解析：由集合Q＝{x|x2－x>0}，知Q＝{x|x<0或x>1}，所以选A.答案：A考点三集合的基本运算|(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝()A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}[解析]由于B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.[答案] A(2)(2019·郑州期末)已知函数f(x)＝2－x－1，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．[解析]本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．要使函数f(x)＝2－x－1有意义，则2－x－1≥0，解得x≤0，所以A＝(－∞，0]．又函数f(x)＝2－x－1的值域B＝[0，＋∞)．阴影部分用集合表示为∁A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．[答案](－∞，0)∪(0，＋∞)集合运算问题的四种常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算．常借助Venn图求解．(2)连续型数集的运算．常借助数轴求解．(3)已知集合的运算结果求集合．借助数轴或Venn图求解．(4)根据集合运算求参数．先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．2．(2019·陕西模拟)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.答案：A考点四集合的创新问题|设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是()A．7B．10C．25D．52[解析]A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.[答案] B解决集合创新问题的三个策略(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．(2)按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．3．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}解析：由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．答案：B1.遗忘空集致误【典例】 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．若(∁R A )∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x ≤3，∴∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时， B ＝{x |－－a <x <－a }， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.[答案] a ≥－14[易误点评] 由∁R A ∩B ＝B 知B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅，又集合B 中元素属性满足x 2＋a <0，当a ≥0时B ＝∅易忽视导致漏解．[防范措施] (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B ，若已知A ⊆B 或A ∩B ＝∅，则考生很容易忽视A ＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A 分三种情况进行讨论．[跟踪练习] 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－12A 组 考点能力演练1．集合U ＝{0,1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{0,1,3,4} B ．{1,2,3} C ．{0,4}D ．{0}解析：因为集合B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}＝{2,3}，所以A ∪B ＝{1,2,3}，又全集U ＝{0,1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{0,4}．所以选C.答案：C2．已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( )A．5 B．6C．7 D．8解析：由题意，得B＝{0,1，2，3，2}，所以A∩B＝{0,1,2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.答案：C3．(2019·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)x|－1≤x≤1，∴阴影部分表示的集合x|－3<x<1，N＝{}解析：由题意可知，M＝{}x|－3<x<－1.为M∩(∁U N)＝{}答案：D4．集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)C．(－∞，2] D．[2，＋∞)解析：由题意，得A＝{x|x<2}．又因为A∩B＝A，所以a≥2，故选D.答案：D5．(2019·山西质检)集合A，B满足A∪B＝{1,2}，则不同的有序集合对(A，B)共有() A．4个B．7个C．8个D．9个解析：由题意可按集合A中的元素个数分类．易知集合{1,2}的子集有4个：∅，{1}，{2}，{1,2}．若A＝∅，则B＝{1,2}；若A＝{1}，则B＝{2}或B＝{1,2}；若A＝{2}，则B ＝{1}或B＝{1,2}；若A＝{1,2}；则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}．综上所述，不同的有序集合对(A，B)共有9个，故选D.答案：D6．(2019·广州模拟)设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝4}，满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为________．解析：依题意得，A∩B＝{(8，－10)}，因此满足C⊆(A∩B)的集合C的个数是2.答案：27．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集，则S4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：78．已知集合P ＝{－1，m }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34，若P ∩Q ≠∅，则整数m ＝________. 解析：由{－1，m }∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34≠∅，可得－1<m <34，由此可得整数m ＝0. 答案：09．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∴A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是{m |m >5或m <－3}．10．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)由(1)知A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}， 当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥3}．B 组 高考题型专练1．(2019·重庆模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( )A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)解析：由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.答案：A2．(2019·成都模拟)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D.答案：D3．(2019·山西模拟)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B 中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2，选D.答案：D4．(2019·福建模拟)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A．{－1} B．{1}C．{1，－1} D．∅解析：因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.答案：C5．(2019·浙江模拟)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝() A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]解析：∁R P＝{x|0<x<2}，故(∁R P)∩Q＝{x|1<x<2}．答案：C6．(2019·重庆模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A解析：由真子集的概念知B A，故选D.答案：D第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题及其关系(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．充分条件与必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．知识点一命题、四种命题及相互关系1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．易误提醒易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．必备方法由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[自测练习]1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故选C.答案：C知识点二充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．易误提醒注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同．必备方法充分条件与必要条件判定的三种方法1．定义法：(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)若p⇒q且q ⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(5)若p ⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(6)若p ⇒/q且q ⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．2．利用集合间的包含关系判断：记条件p，q对应的集合分别是A，B，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，或q是p的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．3．等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系．[自测练习]2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，所以“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：B3．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x <1，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x >1得1x <1；反过来，由1x <1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A4．(2019·湖北卷模拟)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.答案：A考点一 命题及其相互关系|1．(2019·山东模拟)设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 解析：由原命题和逆否命题的关系可知D 正确． 答案：D2．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：A中逆命题为“若x>|y|，则x>y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．答案：A3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b ∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④命题真假的两种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分条件和必要条件的判定|(1)(2019·四川模拟)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0，log2a>log2b>log21＝0，所以2“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件．[答案] A(2)(2019·高考北京卷)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b ＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.[答案] A判断充分条件与必要条件的两个注意点：(1)要注意弄清条件p和结构q分别是什么，然后尝试p⇒q，q⇒p.(2)要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．1．(2019·湖南模拟)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：结合韦恩图(图略)可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，选C.答案：C考点三充要条件的应用|已知p：x2－2mx－15m2≤0(m>0)；q：x2－3x－10≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．[解析]本题考查充分必要条件、一元二次不等式等基础知识．若p真，则－3m≤x≤5m；若q真，则－2≤x≤5；因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p 是q 的充分不必要条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－3m ≥－2，5m ≤5，∴0<m ≤23，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，23. [答案] ⎝⎛⎦⎤0，23利用充要条件求参数的值或范围的一个关键点、一个注意点：(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．(2)注意点：注意区间端正值的检验，易忽视．2．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]1.等价转化思想在充要条件中的应用【典例】 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．[思路点析] “綈q 的一个充分不必要条件是綈p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”．[解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1.由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0，当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a .由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12.综上，a 的取值范围是[0,1]． [答案] [0,1][思路点评] (1)本题用到的等价转化①将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系． ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到．[跟踪练习] 若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1A 组 考点能力演练1．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，虽a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：先确定逆命题为“若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2＝0”，再将逆命题否定为“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.答案：D2．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.故选A.答案：A3．(2019·沈阳一模)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设命题p ：x <0，命题q ：ln(x ＋1)<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1<1，所以－1<x <0，即命题q 为－1<x <0.可知命题q ⇒p ，而p ⇒/ q ．所以p是q 的必要不充分条件，所以选B.答案：B4．设a ，b 为两个非零向量，则“a·b ＝|a·b |”是“a 与b 共线”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设a ，b 的夹角为θ.由a·b ＝|a·b |得：|a ||b |·cos θ＝|a ||b |·|cos θ|，|a||b |(cos θ－|cos θ|)＝0，即|a||b |＝0(舍)因为a ，b 非零，或cos θ≥0，所以由a·b ＝|a·b |⇒/ a 与b 共线，反过来，当a ＝－b 时，虽然“a 与b 共线”，但是“a·b ＝|a·b |”不成立，所以“a·b ＝|a·b |”是“a 与b 共线”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D5．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ，D ，选A.答案：A6．(2019·成都一诊)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________． 解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，故命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．答案：若|a |＝|b |，则a ＝－b7．(2019·盐城一模)给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，则a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③8．设条件p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；条件q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x 2－4ax ＋3a 2<0得3a <x <a ，由x 2＋2x －8>0得x <－4或x >2，因为q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ≤－4，所以a ≤－4.答案：(－∞，－4]9．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．10．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝⎛⎭⎫m >－23的解为条件q .(1)若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围． (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围． 解：(1)设条件p 的解集为集合A ，则A ＝{x |－1≤x ≤2}， 设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>2，－2m －1<－1m >－23.，解得m >1，(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1m >－23.解得－23<m ≤0.B 组 高考题型专练1．(2019·天津模拟)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：由于q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；而p ⇒/ q ，如f (x )＝x 3在x ＝0处f ′(0)＝0，而x ＝0不是极值点，故选C.答案：C2．(2019·重庆模拟)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 12(x ＋2)<0，得x ＋2>1，解得x >－1，所以“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.答案：B3．(2019·安徽模拟)设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：q ：2x >1⇔x >0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：A4．(2019·福建模拟)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin 2x >0.任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ，等价于任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k <2xsin 2x.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，0<2x <π，设t ＝2x ，则0<t <π.设f (t )＝t －sin t ，则f ′(t )＝1－cos t >0，所以f (t )＝t －sin t 在(0，π)上单调递增，所以f (t )>0，所以t >sin t >0，即tsin t >1，所以k ≤1.所以任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k <2x sin 2x ，等价于k ≤1.因为k ≤1⇒/ k <1，但k ≤1⇐k <1，所以“对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的必要而不充分条件，故选B. 答案：B5．(2019·高考北京卷)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ⊂α且m ∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m ⊂α且α∥β一定可以推出m ∥β，所以“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义． (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点一简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p，q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．必备方法逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．[自测练习]1．(2019·枣庄模拟)如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则()A．命题q一定是真命题B．命题p不一定是假命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q真假相同解析：由綈p是真命题，则p为假命题．又p∨q是真命题，故q一定为真命题．答案：A知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．3．含有一个量词的命题的否定易误提醒(1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．(2)p 或q 的否定易误写成“綈p 或綈q ”；p 且q 的否定易误写成“綈p 且綈q ”． 必备方法 不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．[自测练习]2．(2019·郑州预测)已知命题p ：∀x >2，x 3－8>0，那么綈p 是( ) A ．∀x ≤2，x 3－8≤0 B ．∃x >2，x 3－8≤0 C ．∀x >2，x 3－8≤0D ．∃x ≤2，x 3－8≤0解析：本题考查全称命题的否定．依题意，綈p 是“∃x >2，x 3－8≤0”，故选B. 答案：B3．下列命题为真命题的是( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：1<4x 0<3，14<x 0<34，这样的整数x 0不存在，故A 为假命题；5x 0＋1＝0，x 0＝－15∉Z ，故B 为假命题；x 2－1＝0，x ＝±1，故C 为假命题；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74>0，故D 为真命题． 答案：D考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断|1．(2019·石家庄一模)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．綈p解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.答案：B2．给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∧p 3 C ．p 1∨綈p 3D ．綈p 2∧p 3解析：对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝⎛⎭⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以綈p 2∧p 3为真命题，故选D.答案：D判断一个含有逻辑联结词的命题的真假的三个步骤(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；(3)依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．考点二 全称命题与特称命题真假判断|1．下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：对于A 选项：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x。
全国卷2020届高三理科数学一轮复习资料：第一章集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合及其运算考纲展示►1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算．考点1 集合的基本概念元素与集合(1)集合元素的特性：________、________、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作________；若b不属于集合A，记作________．(3)集合的表示方法：________、________、图示法．(4)常见数集及其符号表示：集合表示的两个误区：集合的代表元素；图示法．(1)已知集合A＝{y|y＝sin x}，B＝{x|y＝sin x}，则A∩B＝________.答案：[－1,1]解析：集合A表示的是函数y＝sin x的值域，即A＝[－1,1]；集合B表示的是函数y ＝sin x的定义域，即B＝R，所以A∩B＝[－1,1]．(2)设全集U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．答案：{x |1≤x <2}解析：图中阴影部分可用(∁U B )∩A 表示，故(∁U B )∩A ＝{x |1≤x <2}．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法．(1)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩B 的子集的个数为________． 答案：4解析：A ∩B ＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．(2)[2018·北京卷改编]若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B ＝________.答案：{x |－3＜x ＜2}解析：在数轴上画出表示集合A ，B 的两个区间，观察可知A ∩B ＝{x |－3＜x ＜2}．[典题1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9[答案] C[解析] ∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素．(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0 D ．0或98[答案] D[解析] 当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[答案] C[解析] 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.(4)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [答案] －32[解析] 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m＝3，故m ＝－32.[点石成金] 与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．考点2 集合间的基本关系集合间的基本关系∅B且B≠∅任何非空集合中的两个易混结论：集合中元素的个数；集合的子集的个数．(1)[2018·江苏卷]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．答案：5解析：因为A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5.(2)集合A＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．答案：2828－1 28－1 28－2解析：因为集合A中有8个元素，所以集合A有28个子集，28－1个真子集，28－1个非空子集，28－2个非空真子集．[典题2] (1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] 因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁R P＝{y|y>1}，所以∁R P⊆Q，故选C.(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] D[解析] 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－∞，3] [解析] ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [题点发散1] 在本例(3)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.[题点发散2] 若将本例(3)中的集合A ，B 分别更换为A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，如何求解？解：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0， 解得－2＜m ＜2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．[点石成金] 1.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.1.设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有( )A．6个B．5个C．4个D．3个答案：A解析：由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．2．[2019·广西南宁模拟]已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．[3，＋∞)D．(3，＋∞)答案：A解析：M＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1]．考点3 集合的基本运算集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示：{x |________}{x |________}∁ A ＝________________①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . ②A ∩A ＝________，A ∩∅＝________. ③A ∪A ＝________，A ∪∅＝________. ④A ∩(∁U A )＝________，A ∪(∁U A )＝________， ∁U (∁U A )＝________.⑤A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅. 答案：(1)A ∪B A ∩B ∁U A x ∈A ，或x ∈Bx ∈A ，且x ∈B {x |x ∈U ，且x ∉A }(2)②A ∅ ③A A ④∅ U A(1)[教材习题改编]满足{0,1}⊆A 的集合A 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：C解析：A 中包含元素0,1，还有集合{2,3}真子集中的元素，{2,3}的真子集有22－1＝3(个)．(2)[教材习题改编]已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －1＝0}，且A ∪B ＝A ，则a 的值可为________．答案：1或12或0解析：A ∪B ＝A ⇒BA ，若B ＝∅，则a ＝0；若1∈B ⇒a ＝1；若2∈B ⇒a ＝12.集合中两组常用结论：集合间的基本关系；集合的运算． (1)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅. (2)(∁U A )∩(∁U B )＝________，(∁U A )∪(∁U B )＝________. 答案：∁U (A ∪B ) ∁U (A ∩B )解析： 设x ∈∁U (A ∪B )，则x ∉A ∪B ，得x ∉A 且x ∉B ，即x ∈∁U A 且x ∈∁U B ，即x ∈(∁U A )∩(∁U B)，即∁U(A∪B)⊆(∁U A)∩(∁U B)；反之，当x∈(∁U A)∩(∁U B)时，得x∈∁U A且x∈∁U B，得x∉A 且x∉B，则x∉A∪B，所以x∈∁U(A∪B)，即∁U(A∪B)⊇(∁U A)∩(∁U B)．根据集合相等的定义，得∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．同理可证另一结论．[考情聚焦] 有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生灵活处理问题的能力．主要有以下几个命题角度：角度一离散型数集间的交、并、补运算[典题3] [2019·湖南株洲模拟]设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y ＝log3(x－1)，x∈A}，则集合(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{0,4,5,2} B．{0,4,5}C．{2,4,5} D．{1,3,5}[答案] D[解析] 由题意知B＝{0,2}，∴∁U A＝{0,1,3,5}，∁U B＝{1,3,4,5}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,5}．角度二连续型数集间的交、并、补运算[典题4] (1)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|－3<x<－1} B．{x|－3<x<0}C．{x|－1≤x＜0} D．{x|x<－3}[答案] C[解析] 因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，∁U B＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁U B)，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x<0}，故选C.(2)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，A∩B＝________.[答案] {x |－1<x <3} {x |1<x <2}[解析] ∵A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}＝{x |－1<x <2}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，A ∩B ＝{x |1<x <2}．(3)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，则A ∩B ＝__________.[答案] {y |－1≤y ≤7}[解析] ∵y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，y ＝－x 2＋2x ＋6＝－(x －1)2＋7≤7， ∴A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， 故A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}．[题点发散1] 本例(3)中，若集合A 变为“A ＝{x |y ＝x 2－2x ，x ∈R }”，其他条件不变，求A ∩B .解：因为A 中元素是函数自变量，则A ＝R ， 而B ＝{y |y ≤7}，则A ∩B ＝{y |y ≤7}．[题点发散2] 本例(3)中，若集合A ，B 中元素都为整数，求A ∩B . 解：由(3)可知A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}，则当A ，B 中元素都为整数时，A ∩B ＝{－1,0,1,2,3,4,5,6,7}． [题点发散3] 本例(3)中，若集合A ，B 不变，试求(∁R A )∪(∁R B )． 解：∵A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， ∴∁R A ＝{y |y ＜－1}，∁R B ＝{y |y ＞7}， 故(∁R A )∪(∁R B )＝{y |y ＜－1或y ＞7}．[题点发散4] 本例(3)中，若集合A ，B 变为“A ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }”，求A ∩B .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ＋6⇒x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1.于是，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}． 角度三根据集合的运算结果求参数[典题5] (1)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁UA )∩B ＝∅，则m 的值是________．[答案] 2[解析] ∵(∁U A )∩B ＝∅，∴B ⊆A . 又A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}＝{－1，－2}，∴－1和－2是方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根． ∴m ＝2.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2,4]，则实数m ＝________.[答案] 5[解析] 由题知A ＝[－2,4]，B ＝[m －3，m ]， 因为A ∩B ＝[2,4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2，m ≥4，则m ＝5.[点石成金] 解决集合的基本运算问题，从三点入手(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(如角度一)(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(如角度二)(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．(如角度三)角度四 新定义集合问题[典题6] (1)若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31[答案] B[解析] 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.(2)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－94，x ∈R，B ＝{x |x <0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [答案] C[解析] 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－94，x ∈R，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．[点石成金] 解决集合的新定义问题，从两点入手(1)正确理解创新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.[方法技巧] 1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意以下结论的应用：含有n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn 图求解．[易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．3．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．真题演练集训1．[2018·新课标全国卷Ⅰ]设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3答案：D解析：由题意得，A ＝{x |1<x <3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.故选D.2．[2018·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}答案：C解析：由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，∴ A ∪B ＝{0,1,2,3}，故选C.3．[2018·新课标全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)·(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞) 答案：D解析：集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)． 4．[2018·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A ＝{－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}答案：A解析：由题意知B ＝{x |－2<x <1}，所以A ∩B ＝{－1,0}．故选A.5．[2017·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)答案：A解析：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.6．[2017·新课标全国卷Ⅱ]设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( ) A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}答案：D解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．课外拓展阅读集合运算问题的三种解题模板集合的基本运算包括交集、并集、补集，是历年高考必考的内容．解决集合的基本运算问题，要先明确集合中元素的特征，求出每个集合，然后理清几个集合之间的关系，最后利用列举法或借助数轴、Venn图等进行基本运算，从而得出结果．方法一列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法．此种方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题，其基本的解题步骤是：(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法写出所求集合中的所有元素．[典例1] 设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y ∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )A．7 B．10C．25D．52[思路分析][答案] B[解析] 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：所以A*B中的元素共有10个．方法二数形结合法数形结合法就是利用数轴或Venn图或平面直角坐标系中的图象表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算．其求解的基本步骤是：(1)画图形：根据题设条件给出的几何意义，画出与集合对应的几何图形或函数图象．(2)定区域：利用数轴、韦恩(Venn)图或直角坐标系中的函数图象确定集合运算所表示的平面区域．(3)求结果：根据图形确定相关运算的结果或区域所表示的几何图形的面积．[典例2] 若集合A＝{x|y＝1－|x|}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝( )A．{x|－1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅[思路分析][答案] C[解析] 因为集合A表示函数y＝1－|x|中x的取值范围，即该函数的定义域，由1－|x|≥0得－1≤x≤1，即A＝{x|－1≤x≤1}，又集合B表示函数y＝x2在定义域R上的值域，由x2≥0得B＝{y|y≥0}，所以结合数轴，如图所示阴影部分，可得A∩B＝{x|0≤x≤1}．方法三特值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主，所以我们可以利用特值法解题，即根据选项之间的明显差异，选择一些特殊元素进行检验排除，从而得到正确选项．其求解的基本步骤如下：(1)辨差异：分析各选项，辨别各选项的差异．(2)定特殊：根据选项的差异，选定一些特殊的元素．(3)验排除：将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项．(4)定结果：根据排除的结果确定正确的选项．[典例3] [2019·河北衡水中学模拟]已知U为全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2<x<4}，那么集合B∩(∁U A)＝( )A．{x|－1≤x≤4}B．{x|2<x≤3}C．{x|2≤x<3} D．{x|－1<x<4}[思路分析]比较选项―→抛同求异―→定特值―→检验排除―→定结果[答案] B[解析] A项与D项的不同之处在于元素－1,4是否属于该集合；B项与C项的区别在于2与3是否属于该集合．A，D与B，C的区别可通过检验0是否属于该集合来判断．因为0∉B，所以0∉B∩(∁U A)，故可排除A，D；因为2∉B，所以2∉B∩(∁U A)，故可排除C.归纳总结用特值法求解集合运算问题的关键在于根据各选项的差异灵活选择适当的特殊元素，然后根据特殊元素与各集合的关系检验其是否满足运算，从而排除选项．忽视空集是任何集合的子集勿忘空集和集合本身．由于∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记．[典例4] 已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[－1,3]C ．[2，＋∞)D ．[－1，＋∞)[错解] 由x 2－x －12≤0，得 (x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤3.故选B.[剖析] 集合B 为不等式2m －1<x <m ＋1的解集，但m 的取值不同，解集也不同．当m ＋1≤2m －1时，集合B 为空集，而空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集，求解时应分B ＝∅和B ≠∅两种情况，结合数轴，讨论求解．[正解] 由x 2－x －12≤0，得 (x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .(1)当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． [答案] D 易错提醒当题目中出现A ⊆B 或A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B 时，在解题过程中务必注意对集合A 进行分类讨论，即分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论，并注意端点值的检验．§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考纲展示► 1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．考点1 命题及其相互关系1.命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于________，原命题的否命题等价于________．在四种形式的命题中真命题的个数只能是________．答案：(1)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)逆否命题逆命题0,2,4(1)[教材习题改编]命题“若m＜0，则方程x2＋x－2m＝0有实根”的否命题是_______________________________________________．答案：若m≥0，则方程x2＋x－2m＝0无实根(2)[教材习题改编]“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为___________________________________________________．答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数命题中的易错点：对条件、结论的否定不当．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是___________________________________________________________________________.答案：周期函数不是单调函数解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．[典题1] (1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( )A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1[答案] C[解析] 根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)[2019·宁夏银川模拟]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0[答案] D[解析] 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[答案] D[解析] 由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，∴其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．[点石成金] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点2 充分条件、必要条件的判定充要条件答案：充分必要充分不必要真子集必要不充分真子集充要A＝B既不充分也不必要包含1.充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件．答案：必要不充分解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1；反之，由x＝1可得x(x－1)＝0.故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．2．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误．“a≠b”是“a2≠b2”的________条件．答案：必要不充分解析：由a≠b不能得到a2≠b2，但由a2≠b2一定得出a≠b，故为必要不充分条件．1.充分、必要条件的判断方法：定义判断法；集合判断法．(1)[2019·浙江卷改编]设四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的________条件．答案：充分不必要解析：若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．(2)[2018·安徽卷改编]设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的________条件．答案：必要不充分解析：因为p：x＜3，q：－1＜x＜3，所以q⇒p，但p⇒/q，所以p是q成立的必要不充分条件．2．充要条件的两个结论：传递性；等价性．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的________条件．答案：充分不必要解析：根据充分条件的概念可知，p⇒q，q⇒r，则p⇒r.又因为q⇒/p，r⇒/q，则r⇒/p，所以p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的________条件答案：充分不必要解析：因为原命题和它的逆否命题是等价命题，所以綈q是綈p的充分不必要条件．[典题2] (1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] |x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件．(2)若p是綈q的充分不必要条件，则綈p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵p是綈q的充分不必要条件，∴綈q是p的必要不充分条件．∴綈p是q的必要不充分条件，故选B.(3)已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要不充分的条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b[答案] A[解析] 因为a>b⇒a>b－1，但a>b－1⇒/ a>b，故A是a>b的必要不充分条件；B是a>b的充分不必要条件；C是a>b的既不充分也不必要条件；D是a>b的充要条件．[点石成金] 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.1.[2019·山东淄博模拟]“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：“a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．2．[2019·河北武邑中学高三上期中]设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：若“(a－b)a2≥0”，则“a≥b”不成立，故“(a－b)a2≥0”不是“a≥b”的充分条件；若“a≥b”，则“(a－b)a2≥0”成立，故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的必要条件，故选B.考点3 充分条件、必要条件的应用[典题3] (1)[2019·江西南昌模拟]已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m ＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )A．[21，＋∞)B．[9，＋∞)C．[19，＋∞)D．(0，＋∞)[答案] B[解析] 条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[答案] [0,3][解析] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [题点发散1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[题点发散2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P . ∴[－－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[点石成金] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验.1.已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3)答案：A解析：解法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.解法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ；同理，取a ＝－4，排除D.故选A.2．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 答案：D解析：由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <12，借助数轴，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43.[方法技巧] 1.判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．[易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的语言．真题演练集训1．[2018·山东卷]设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案：D解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.2．[2018·北京卷]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．3．[2018·重庆卷]“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的( )2A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵ x ＞1⇒log 12 (x ＋2)＜0，log 12 (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴ x ＞1是log 12(x ＋2)＜0的充分而不必要条件．4．[2018·四川模拟]设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选A.课外拓展阅读根据充要条件求参数取值范围的方法1．解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解；有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决．2.在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验，在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．[典例] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[答案] [9，＋∞) [解析] 解法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}， 设A ＝{x |x >10或x <－2}． 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴綈q 对应的集合为{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}， 设B ＝{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分的条件，∴B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取得等号，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 解法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴q 是p 的必要而不充分条件， 即p 是q 的充分而不必要条件． 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得 1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}， 设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分而不必要条件知N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不能同时取等号，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷：一 集合与常用逻辑用语 Word版含解析
单元质检卷一集合与常用逻辑用语(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018河北衡水中学押题二,1)设集合A={x|-2<x<3,x∈Z},B={-2,-1,0,1,2,3},则集合A∩B为()A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2,3}2.命题“若α=,则sin α=”的逆否命题是()A.若α≠,则sin α≠B.若α=,则sin α≠C.若sin α≠,则α≠D.若sin α≠,则α=3.(2018湖南长郡中学一模,5)“|x-2|≤5”是“-3≤x≤7”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:任意x∈A,2x∈B,则()A.p:存在x0∈A,2x0∈BB.p:存在x0∉A,2x0∈BC.p:存在x0∈A,2x0∉BD.p:任意x∉A,2x∉B5.( 2018河北石家庄一模,1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={x|x≥3,x∈N},则∁U A=()A.{1,2}B.{3,4,5,6,7}C.{1,3,4,7}D.{1,4,7}6.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列结论不一定成立的是()A.ab>acB.bc>acC.cb2<ab2D.ac(a-c)<07.下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d8.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6≤0},B=,则集合A∩(∁U B)=()A.[-2,4)B.(-1,3]C.[-2,-1]D.[-1,3]9.(2018湖南名校联考,4)下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.命题“若xy=0,则x=0”的逆否命题为真C.命题“存在x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是:“任意x∈R,均有x2+x+1≥0”D.“m=1”是“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.311.已知命题p:存在x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2<b2,则a<b.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(q)C.(p)且qD.(p)且(q)12.(2018湖南长郡中学四模,7)已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:x2-6x+9-m2≤0.若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是()A.[-1,1]B.[-4,4]C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.(-∞,-1]∪[4,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2-6x+5≤0,x∈Z},则∁U M=.14.若存在x0∈R,使得-2mx0+9≤0成立,则实数m的取值范围为.15.(2018河北衡水中学押题三,16)已知下列命题:①命题“任意x∈R,x2+3<5x”的否定是“存在x0∈R,+3<5x0”;②已知p,q为两个命题,若“p或q”为假命题,则“(p)且(q)为真命题”;③“a>2 016”是“a>2 018”的充分不必要条件;④“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中,所有真命题的序号是.16.已知命题p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;命题q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,且p 或q为真命题,p且q为假命题,则实数m的取值范围是.参考答案单元质检卷一集合与常用逻辑用语1.B集合A={x|-2<x<3,x∈Z}={-1,0,1,2},B={-2,-1,0,1,2,3},所以A∩B={-1,0,1,2},故选B.2.C根据互为逆否命题的两个命题的特征解答,即“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.3.C由|x-2|≤5可得-5≤x-2≤5,解得-3≤x≤7,故“|x-2|≤5”是“-3≤x≤7”的充要条件,故选C.4.C原命题的否定是存在x0∈A,2x0∉B.5.A∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={x|x≥3,x∈N},∴∁U A={1,2}.故选A.6.C因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0.所以ab-ac=a(b-c)>0,bc-ac=(b-a)c>0,ac(a-c)<0,所以A,B,D 均正确.因为b可能等于0,也可能不等于0,所以cb2<ab2不一定成立.7.C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;∵当c<0时,ac>bc⇒a<b,∴B错误;∵<,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.故选C.8.D由题意知A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥4或x<-1},∁U B={x|-1≤x<4},所以A∩(∁U B)={x|-1≤x≤3},故选D.9.C A中,命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2≠1,则x≠1”,故错误;B中,命题“若xy=0,则x=0”为假命题,故其逆否命题为假命题,故错误;C中,命题“存在x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是“任意x∈R,均有x2+x+1≥0”,正确;D中,“m=1”是“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件,故错误.故选C.10.A由题意得A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3,故选A.11.B当x=0时,x2-x+1=1≥0,故命题p为真命题.取a=1,b=-2,则a2<b2,但a>b,故命题q为假命题,所以p且(q)为真命题.12.C∵p:x2-3x-4≤0,∴P=[-1,4].∵q:x2-6x+9-m2≤0,当m>0时有Q=[3-m,3+m];当m<0时有q=[3+m,3-m];当m=0时有q={3}.因为p是q的充分不必要条件,所以P⊆Q且P≠Q.因此或⇒m≥4或m≤-4,选C.13.{6,7}∵集合U={1,2,3,4,5,6,7},M={x|x2-6x+5≤0,x∈Z}={x|1≤x≤5,x∈Z}={1,2,3,4,5},则∁U M={6,7}.14.{m|m≥3或m≤-3}由题意知函数f(x)=x2-2mx+9的图像与x轴有交点,即Δ=4m2-36≥0,所以m≥3或m≤-3.15.②①命题“任意x∈R,x2+3<5x”的否定是“存在x0∈R,+3≥5x0”;②已知p,q为两个命题,若“p或q”为假命题,则“(p)且(q)=(p或q)为真命题”;③“a>2 016”是“a>2 018”的必要不充分条件;④“若xy=0,则x=0且y=0”是假命题,则它的逆否命题为假命题.其中,所有真命题的序号是②.16.(-∞,-2]∪[-1,3)设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由题意得得m<-1,故p为真时,m<-1.由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,故q为真时,-2<m<3.由p或q为真命题,p且q为假命题,可知命题p,q一真一假.当p真q假时,此时m≤-2;当p假q真时,此时-1≤m<3.故实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).。
2020届高考数学理一轮(新课标通用)单元质量测试： 第一章 集合与常用逻辑用语 Word版含解析
单元质量测试(一)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，4}，N＝{4，5}，则∁U(M∪N)＝()A．{1，3，5} B．{2，4，6} C．{1，5} D．{1，6}答案D解析∵M＝{2，3，4}，N＝{4，5}，∴M∪N＝{2，3，4，5}，则∁U(M∪N)＝{1，6}．故选D．2．(2018·合肥质检二)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则綈p为()A．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解B．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解C．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解D．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解答案C解析由全称命题的否定为特称命题知，綈p为∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解，故选C．3．(2019·安徽百所重点高中模拟)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2∈A}，则集合A∩B的子集的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案D解析由题意知B＝{±1，±2，±2}，则A∩B＝{1，2}，故A∩B的子集的个数为4．故选D．4．(2018·湖南六校联考)下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为真C．命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”D．“m＝1”是“直线x－my＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的充要条件答案C解析命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故选项A不正确；命题“若xy＝0，则x＝0”为假命题，从而其逆否命题为假命题，故选项B不正确；由特称命题的否定为全称命题可知选项C正确；“直线x－my＝0和直线x＋my＝0互相垂直”等价于m＝±1，从而选项D不正确．综上，故选C．5．(2018·河南洛阳二模)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|x2＋x－2≥0}，则A∩∁U B＝()A．(0，1]B．(－2，2)C．(0，1) D．[－2，2]答案C解析不等式log2x≤1即log2x≤log22，由y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0，2]，即A＝(0，2]．由x2＋x－2≥0，得(x＋2)(x－1)≥0，得B＝{x|x≤－2或x≥1}，所以∁U B＝(－2，1)，从而A∩∁U B＝(0，1)．故选C．6．已知命题p：有的四边形是平行四边形，则()A．綈p：有的四边形不是平行四边形B．綈p：有的四边形是非平行四边形C．綈p：所有的四边形都是平行四边形D．綈p：所有的四边形都不是平行四边形答案D解析命题p：有的四边形是平行四边形，其中“有的”是存在量词，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有綈p：所有的四边形都不是平行四边形．故选D．7．(2019·唐山模拟)设集合A＝{x∈Z|y＝log2(9－x2)}，B＝{x|x∈N}，则A∩B 中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2答案C解析因为集合A＝{x∈Z|y＝log2(9－x2)}，所以A＝{x∈Z|9－x2>0}＝{－2，－1，0，1，2}．又B＝{x|x∈N}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B中的元素的个数为3．故选C．8．给出以下四个命题：①若2≤x<3，则(x－2)(x－3)≤0；②已知x，y∈R，若x＝y＝0，则x2＋y2＝0；③若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；④若x，y都是偶数或x，y都是奇数，则x＋y是偶数．则下列判断正确的是() A．①的否命题为真B．②的逆命题为假C．③的否命题为真D．④的逆否命题为假答案C解析因为①的否命题“若x<2或x≥3，则(x－2)(x－3)>0”不成立，所以选项A错误；因为②的逆命题“已知x，y∈R，若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”成立，所以选项B错误；因为③的否命题“若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2”成立，所以选项C正确；因为④的原命题为真，所以它的逆否命题“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数且x，y不都是奇数”必为真，故选项D错误．综上，应选C．9．(2018·湖南八市联考)已知数列{a n}是等差数列，m，p，q为正整数，则“p ＋q＝2m”是“a p＋a q＝2a m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在等差数列中，对于正整数m，p，q，若p＋q＝2m，则a p＋a q＝2a m；但对于公差为0的等差数列，由a p＋a q＝2a m，不一定能推出p＋q＝2m，所以“p ＋q＝2m”是“a p＋a q＝2a m”的充分不必要条件，故选A．10．(2018·湖南衡阳联考二)下列说法错误的是()A．“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”的逆否命题是“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”B．“x>3”是“x2－5x＋6>0”的充分不必要条件C．“∀x∈R，x2－5x＋6≠0”的否定是“∃x0∈R，x20－5x0＋6＝0”D．命题“在锐角△ABC中，sin A<cos B”为真命题答案D解析由逆否命题的定义知A正确；由x2－5x＋6>0得x>3或x<2，所以“x>3”是“x2－5x＋6>0”的充分不必要条件，故B正确；因为全称命题的否定是特称命题，所以C 正确；锐角△ABC 中，由A ＋B >π2，得sin A >sin π2－B ＝cos B ，所以D 错误，故选D ．11．(2018·湖北武汉4月调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c 2，条件q ：A ≤B ＋C 2，那么条件p 是条件q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 一方面由条件p ：a ≤b ＋c 2得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥b 2＋c 2－b ＋c 222bc ＝3(b 2＋c 2)－2bc 8bc ≥6bc －2bc 8bc ＝12(当且仅当b ＝c ＝a 时取等号)，又0<A <π，所以0<A ≤π3(当且仅当b ＝c ＝a 时取等号)．另一方面由q ：A ≤B ＋C 2＝π－A 2可知0<A ≤π3，从而“p ⇒q ”成立．令A ＝π3，B ＝π6，C ＝π2，b ＝t ，可得a ＝3t ，c ＝2t ，显然a ＝3t >t ＋2t 2＝b ＋c 2，所以“q ⇒p ”不成立．综上，故选A ．12．(2018·广东汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0，2x －a >0．若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2，1]C ．(1，2)D ．(1，＋∞)答案 C解析 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2；∀x >0，2x －a >0等价于a <2x 在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1．因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎨⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1，2)，故选C ． 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知集合A＝{1，2，3}，B∩A＝{3}，B∪A＝{1，2，3，4，5}，则集合B＝________．答案{3，4，5}解析由题意知，3∈B，1∉B，2∉B，4∈B，5∈B，故B＝{3，4，5}．14．(2018·衡水金卷A信息卷五)命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a －2，则m<sin x(x∈R)恒成立．若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是________．答案[0，1)解析命题p的逆命题是若x>a，则x>0，故a≥0．因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<－1，解得a<1．则实数a的取值范围是[0，1)．15．设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0．记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．答案{x|0<x≤1}解析由题设知f(x)＝0，a＝b，则2a x＝c x，即acx＝12．又a＋b≤c，a＝b，∴ac≤12，从而acx≤12x，x>0，∴12≤12x，解得0<x≤1．故所求取值集合为{x|0<x≤1}．16．某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A，B，C三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：则三个模块都选择的学生人数是________．答案6解析设三个模块都选择的学生人数为x，则各部分的人数如图所示，则有(1＋x)＋(5＋x)＋(2＋x)＋(12－x)＋(13－x)＋(11－x)＋x＝50，解得x＝6．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}．(1)当a＝3时，求A∩B，A∪(∁U B)；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．解(1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}，∁U B＝{x|1<x<4}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}，A∪(∁U B)＝{x|－1≤x≤5}．(2)当a<0时，A＝∅，显然A∩B＝∅．当a≥0时，A≠∅，A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≤1或x≥4}．由A∩B＝∅，得{2－a>1，2＋a<4，解得0≤a<1．故实数a的取值范围是(－∞，1)．18．(2018·广东茂名五大联盟9月联考)(本小题满分12分)已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}．(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B，又A≠∅，则{2a－3≥－5，3a＋1≤4，2a－3<3a＋1，解得－1≤a≤1．所以a∈[－1，1]．(2)若存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件，即A＝B，则必有{2a－3＝－5，3a＋1＝4.即{a＝－1，a＝1，则方程组无解．故不存在实数a，使“x∈A”是“x∈B”的充要条件．19．(本小题满分12分)已知全集U＝{1，3，4，8，9}，集合A＝{x|x2＋2mx ＋9＝0}，求∁U A．解由题意，当A＝∅时，方程x2＋2mx＋9＝0无实数根，此时Δ＝(2m)2－36<0，－3<m<3，此时∁U A＝∁U∅＝U＝{1，3，4，8，9}．当A≠∅时，方程x2＋2mx＋9＝0的实数根x1，x2必须在U内，由于x1x2＝9，所以只可能是以下几种情形：①当x1＝x2＝3时，2m＝－6，m＝－3，此时A＝{3}，∁U A＝{1，4，8，9}；②当x1＝1，x2＝9或x1＝9，x2＝1时，2m＝－10，m＝－5，此时A＝{1，9}，∁U A＝{3，4，8}．综上所述，当－3<m<3时，∁U A＝{1，3，4，8，9}；当m＝－3时，∁U A＝{1，4，8，9}；当m＝－5时，∁U A＝{3，4，8}．20．(本小题满分12分)已知m∈R，设p：∀x∈[－1，1]，x2－2x－4m2＋8m－2≥0；q：∃x0∈[1，2]，log 12(x2－mx0＋1)<－1．如果“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．解若p为真，则∀x∈[－1，1]，4m2－8m≤x2－2x－2恒成立．设f(x)＝x2－2x－2＝(x－1)2－3，则f(x)在[－1，1]上的最小值为－3，所以4m2－8m≤－3，解得12≤m≤32，所以p为真时，12≤m≤32．若q为真，则∃x0∈[1，2]，x20－mx0＋1>2，所以m <x 20－1x 0． 设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，易知g (x )在[1，2]上是增函数，所以g (x )的最大值为g (2)＝32，所以m <32，所以q 为真时，m <32．因为“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以p 与q 一真一假．当p 真q假时，⎩⎨⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，所以m ＝32； 当p 假q 真时，⎩⎨⎧ m <12或m >32，m <32，所以m <12． 综上所述，实数m 的取值范围是mm <12或m ＝32．21．(2018·安徽滁州联合质量检测)(本小题满分12分)已知p ：∃x ∈(0，＋∞)，x 2－2eln x ≤m ，q ：函数y ＝x 2－2mx ＋1有两个零点．(1)若p ∨q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，设f (x )＝x 2－2eln x ，则f ′(x )＝2x －2e x ＝2x 2－2e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝e ，则函数f (x )＝x 2－2eln x在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝f (e)＝0，故m ≥0．若q 为真，则Δ＝4m 2－4>0，即m >1或m <－1．(1)若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，实数m 的取值范围为[－1，0)．(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假．若p 真q 假，则实数m 满足即0≤m ≤1；若p 假q 真，则实数m 满足即m <－1．所以实数m的取值范围为(－∞，－1)∪[0，1]．22．(本小题满分12分)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．(1)函数f(x)＝1x是否属于集合M？说明理由；(2)若函数f(x)＝kx＋b属于集合M，求实数k和b的取值范围；(3)设函数f(x)＝lgax2＋1属于集合M，求实数a的取值范围．解(1)假设f(x)＝1x属于集合M．若f(x)＝1x，根据题意得D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，则存在非零实数x0，使得1x0＋1＝1x0＋1，即x20＋x0＋1＝0，因为Δ<0，此方程无实数解，所以函数f(x)＝1x∉M．(2)D＝R，存在实数x0，使得k(x0＋1)＋b＝kx0＋b＋k＋b，解得b＝0，所以实数k和b的取值范围是k∈R，b＝0．(3)由题意，a>0，D＝R．存在实数x0，使得lga(x0＋1)2＋1＝lgax20＋1＋lga2，所以a(x0＋1)2＋1＝a22(x20＋1)，化简得(a－2)x20＋2ax0＋2a－2＝0．当a＝2时，x0＝－12，符合题意．当a>0且a≠2时，由Δ≥0得4a2－8(a－2)(a－1)≥0，化简得a2－6a＋4≤0，解得a∈[3－5，2)∪(2，3＋5]．综上，实数a的取值范围是[3－5，3＋5]．。
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列1-集合与常用逻辑用语(含答案解析)
2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测一集合与常用逻辑用语第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A2．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|1≤2x<4}，则A∩B等于()A．{－1,0,1} B．{0,1,2}C．{0,1} D．{1,2}3．下列说法中，正确的是()A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“存在x0∈R，x20－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件4．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：∀x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)5．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]6．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |2x ＋1e －x≤0}，则A ∩B 等于( ) A ．[12，2)B ．(－1，－12]C ．(－1，e)D ．(2，e)7．已知集合A ＝{(x ，y )|x (x －1)＋y (y －1)≤r }，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，若A ⊆B ，则实数r 可以取的一个值是( ) A.2＋1 B.3 C ．2D ．1＋228．下列四种说法中，①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x <0”；②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2，22)，则f (4)的值等于12；④已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则向量a 在向量b 方向上的投影是25.说法正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．10．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.11．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．12．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．13．已知命题p ：x 2－3x －4≤0；命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．14．已知有限集A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ≥2，n ∈N )．如果A 中元素a i (i ＝1,2,3，…，n )满足a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋52，－1－52是“复活集”；②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2>4；③若a 1，a 2∈N *，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”；④若a i ∈N ，则“复活集”A 有且只有一个，且n ＝3.其中正确的结论有________．(填上你认为所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的值组成的集合．16．(13分)(2015·陕西宝鸡中学上学期期中)设命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集为(－∞，0)；命题q ：函数f (x )＝ln(ax 2－x ＋2)的定义域是R .如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求a 的取值范围．17.(13分)(2015·潍坊高三质检)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B＝{y|y＝x2－2x＋a}，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}．命题p：A∩B≠∅，命题q：A⊆C.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．18．(13分)(2015·宿迁剑桥国际学校上学期期中)已知集合A＝{x|y＝1－2x＋1x＋1}，B＝{x|[x－(a＋1)][x－(a＋4)]<0}．(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若A∩B≠∅，求a的取值范围．19.(14分)设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝3－|x|的定义域为集合B.(1)求A∩B；(2)若C＝{x|m－1<x<2m＋1}，C⊆B，求实数m的取值范围．20．(14分)(2015·湖北省教学合作联考)已知集合U＝R，集合A＝{x|(x－2)(x－3)<0}，函数y＝lg x－a2＋2a－x的定义域为集合B.(1)若a＝12，求集合A∩(∁U B)；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．答案解析1．D[由于2∈A,2∈B,3∈A,3∈B,1∈A,1∉B，故A，B，C均错，D是正确的，选D.]2．C[B＝{x|1≤2x<4}＝{x|0≤x<2}，则A∩B＝{0,1}，故选C.]3．B[对于A，当m＝0时，逆命题不正确；对于B，由特称命题与全称命题的关系知显然正确；命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q中至少有一个是真命题，不一定全为真命题，故C不正确；“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，D不正确．选B.]4．C[命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0为假命题，命题q：∀x∈(0,1)，log2x<0为真命题，所以(綈p)∧q为真命题．]5．B[∵3x＋1<1，∴3x＋1－1＝2－xx＋1<0，即(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，∵p是q的充分不必要条件，∴k>2，故选B.]6．B[由A中的函数y＝ln(－x2＋x＋2)，得到－x2＋x＋2>0，即x2－x－2<0，整理得：(x－2)(x＋1)<0，即－1<x<2，∴A＝(－1,2)，由B中的不等式变形得：(2x＋1)(e－x)≤0，且e－x≠0，即(2x＋1)(x－e)≥0，且x≠e，解得：x≤－12或x>e，即B＝(－∞，－12]∪(e，＋∞)，则A∩B＝(－1，－12]．故选B.]7．A[A＝{(x，y)|(x－12)2＋(y－12)2≤r＋12}，B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2}，由于A，B都表示圆上及圆内的点的坐标，要满足A⊆B，则两圆内切或内含．故圆心距满足2 2≤|r |－r ＋12，将四个选项中的数分别代入，可知只有A 选项满足，故选A.]8．A [①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x ≤0”，故①不正确；②命题“p 且q 为真”，则命题p 、q 均为真，所以“p 或q 为真”．反之“p 或q 为真”，则p 、q 中至少有一个为真，所以不一定有“p 且q 为真”所以命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2，22)，所以2α＝22，所以α＝－12，所以幂函数为f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12，所以命题③正确；④向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos θ＝a ·b |b |＝25＝255，θ是a 和b 的夹角，故④错误．故选A.]9．5解析 ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4,5}．故A ∪B 中元素的个数为5.10．{1,2,5}解析 由A ∩B ＝{2}可得：log 2(a ＋3)＝2，∴a ＝1，∴b ＝2，∴A ∪B ＝{1,2,5}．11．[1，＋∞)解析 设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.12．(－∞，0)∪(14，4)解析 若p 为真命题，则a ＝0或⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4；若q 为真命题，则(－1)2－4a ≥0，即a ≤14.因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，所以p ，q 中有且仅有一个为真命题．若p 真q 假，则14<a <4；若p 假q 真，则a <0.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)．13．(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 綈q 是綈p 的充分不必要条件，等价于p 是q 的充分不必要条件．由题意可得p ：－1≤x ≤4，q ：(x －3＋m )(x －3－m )≤0.当m ＝0时，显然不符合题意；当m >0时，有⎩⎨⎧ 3－m <－1，3＋m ≥4或⎩⎨⎧ 3－m ≤－1，3＋m >4⇒m ≥4； 当m <0时，有⎩⎨⎧ 3＋m <－1，3－m ≥4或⎩⎨⎧3＋m ≤－1，3－m >4⇒m ≤－4. 综上，m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．14．①③④解析 ∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，故①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由一元二次方程根与系数的关系，知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ>0，可得t <0或t >4，故②错．③不妨设A 中a 1<a 2<a 3<…<a n ，由a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <na n ，得a 1a 2…a n －1<n ，当n ＝2时，即有a 1<2，∴a 1＝1，于是1＋a 2＝a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确．当n ＝3时，a 1a 2<3，故只能a 1＝1，a 2＝2，解得a 3＝3，于是“复活集”A 只有一个，为{1,2,3}．当n ≥4时，由a 1a 2…a n －1≥1×2×3×…×(n －1)，得n >1×2×3×…×(n －1)，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是n >1×2×3×…×(n －1)，事实上，1×2×3×…×(n －1)≥(n －1)·(n －2)＝n 2－3n ＋2＝(n －2)2－2＋n >n ，矛盾，∴当n ≥4时不存在“复活集”A ，故④正确．15．解 A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .①当m ＝0时，B ＝∅，B ⊆A ，故m ＝0；②当m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1m . ∵B ⊆A ， ∴－1m ＝2或－1m ＝3，得m ＝－12或m ＝－13.∴实数m 的值组成的集合为{0，－12，－13}．16．解 p 为真命题⇔0<a <1；q 为真命题⇔a >0且1－8a <0，即a >18.由题意，p 和q 有且只有一个是真命题．若p 真q 假，则0<a ≤18；若p 假q 真，则a ≥1.综上所述，a ∈(0，18]∪[1，＋∞)．17．解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，(1)由命题p 为假命题可得A ∩B ＝∅，∴a －1>2，∴a >3.(2)∵命题p ∧q 为真命题，∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ≠∅且A ⊆C .∴⎩⎨⎧ a －1≤2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解可得0≤a ≤3.18．解 若x ∈A ，则1－2x ＋1x ＋1≥0，即－x x ＋1≥0， 所以⎩⎨⎧x x ＋1≤0，x ＋1≠0，解得－1<x ≤0，所以A ＝{x |－1<x ≤0}；若x ∈B ，则[x －(a ＋1)]·[x －(a ＋4)]<0，解得a ＋1<x <a ＋4，所以B ＝{x |a ＋1<x <a ＋4}．(1)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，所以⎩⎨⎧a ＋1≤－1，a ＋4>0，解得－4<a ≤－2. (2)若A ∩B ＝∅，则a ＋4≤－1或a ＋1≥0，即a ≤－5或a ≥－1，所以若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是(－5，－1)．19．解 (1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．要使g (x )有意义，则3－|x |≥0，解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |x >2或x <－1}∩{x |－3≤x ≤3}＝{x |－3≤x <－1或2<x ≤3}．(2)若C ＝∅，则m ≤－2，C ⊆B 恒成立；若m >－2时，要使C ⊆B 成立， 则⎩⎨⎧m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2<m ≤1. 综上，m ≤1. 即实数m 的取值范围是(－∞，1]． 20．解 (1)因为集合A ＝{x |2<x <3}，因为a ＝12， 函数y ＝lg x －a 2＋2a －x ＝lg x －9412－x ， 由x －9412－x>0，可得集合B ＝{x |12<x <94}，∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，故A ∩(∁U B )＝{x |94≤x <3}． (2)因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A ⊆B ，由A ＝{x |2<x <3}，而集合B 应满足x －a 2＋2a －x >0，因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋74>0， 故B ＝{x |a <x <a 2＋2}，依题意就有：⎩⎨⎧ a ≤2，a 2＋2≥3，即a ≤－1或1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．。
《金版新学案》高三数学一轮复习高效测评卷 第一章 集合与常用逻辑用语 理 北师大版
《金版新学案》高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(一)第一章集合与常用逻辑用语———————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)只有一项是符合题目要求的)1．下列特称命题中真命题的个数为( )①存在实数x，使x2＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．A．0 B．1C．2 D．32．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A ＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3, 9}3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝( )A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅6．设全集U＝{x∈N＋|x≤a}，集合P＝{1,2,3}，Q＝{4,5,6}，则a∈[6,7)是∁U P＝Q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．“a 2＋b 2≠0”的含义为( ) A ．a ，b 不全为0 B ．a ，b 全不为0 C ．a ，b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为08．已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0或1或－19．已知实数a 、b ，则“ab ≥2”是“a 2＋b 2≥4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．定义：A ⊗B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫z ⎪⎪⎪z ＝xy ＋xy ，x ∈A ，y ∈B，设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为( )A ．3B ．9C ．18D ．2712．已知命题p ：存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝3，命题q ：集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }有2个子集，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且¬q ”是假命题；③命题“¬p 或¬q ”是真命题，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)) 13．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________.14．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x ＜1}．若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.15．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．16．给定下列四个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p 或q ”为真，则“p 且q ”为真； ③若a ＜b ，则am 2＜bm 2； ④若集合A ∩B ＝A ，则A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)写出下列命题非的形式：(1)p ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有唯一交点； (2)q ：若x ＝3或x ＝4，则方程x 2－7x ＋12＝0. 18．(12分)判断下列命题的真假． (1)任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12.(2)存在α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)任意x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . (4)存在x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.19.(12分)设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B . 20．(12分)已知A ＝{x ||x －a |＜4}，B ＝{x ||x －2|＞3}． (1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．21.(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且¬p 是¬q 的充分条件，求实数a 的取值范围．【解析方法代码108001006】22．(14分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围． 答案：卷(一)一、选择题1．B x 2＋2≥2，故①是假命题；任意x ∈R 均有|sin x |≤1，故②是假命题；f (x )＝0既是奇函数又是偶函数，③是真命题，故选B.2．D ∵A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}且B ∪(∁U B )＝U ， ∴A ＝{3,9}，故选D.3．B 结论与条件互换位置，选B.4．A 由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.5．C ∵A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}＝{x |x ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．6．C 若a ∈[6,7)，则U ＝{1,2,3,4,5,6}，则∁U P ＝Q ，若∁U P ＝Q ，则U ＝{1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a ＜7，故选C.7．A a 2＋b 2＝0⇔a ＝0，b ＝0，于是a 2＋b 2≠0就是对a ＝b ＝0，即a ，b 都为0的否定，而“都”的否定为“不都是”或“不全是”，所以应该是“a ，b 不全为0”．8．D 由M ∩N ＝N 得N ⊆M .当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a ≠0时，M ＝{a }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由N ⊆M 得1a＝a ，解得a ＝±1.故选D.9．A 当ab ≥2时，a 2＋b 2≥2ab ≥4，充分性成立；当a 2＋b 2≥4时，取a ＝－1，b ＝3，有ab ＝－3＜2，此时ab ≥2不成立，故必要性不成立，故选A.10．B 直线a 垂直于平面α内无数条直线，但直线a 与平面α不一定垂直．如直线a 垂直于平面α内的一组平行线，反过来，直线a 垂直于平面α肯定能推出直线a 垂直于平面α内无数条直线．11．C 当x ＝0，y ＝1时，z ＝0； 当x ＝0，y ＝2时，z ＝0； 当x ＝2，y ＝1时，z ＝4； 当x ＝2，y ＝2时，z ＝5. 所以A ⊗B ＝{0,4,5}，同理可得(A ⊗B )⊗C ＝{0,8,10}．故选C.12．C 由sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎦⎥⎤x －π4∈[－2，2]，而3∉[－2，2]，故命题p 是假命题；集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }＝{1}，故其子集有∅与{1}两个，命题q 是真命题．所以有命题“p 且¬q ”是假命题，命题“¬p 或¬q ”是真命题，②③正确，选C.二、填空题13．解析： ∵A ∪B ＝{1,2,3,4}， ∴2∈(A ∪B )．∵2∉B ，∴2∈A ，∴m ＝2. 答案： 214．解析： ∵lg x ＜1，∴0＜x ＜10. 又∵x ∈N *，∴U ＝A ∪B ＝{1,2,3，…，9}． 又∵A ∪B ＝U ，∴∁U B ＝A ， ∴A ∩(∁U B )＝∁U B ＝{1,3,5,7,9}， ∴B ＝{2,4,6,8}． 答案： {2,4,6,8}15．解析： 由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1；由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4.答案： a ＞416．解析： ①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π.故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q为真命题，有“p 或q ”为真命题，则“p 且q ”为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．答案： ①④ 三、解答题17．解析： (1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴没有交点或至少有两个交点． (2)若x ＝3或x ＝4，则x 2－7x ＋12≠0.18．解析： (1)真命题，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34＞12.(2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4∉N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3，符合题意． 19．解析： 由9∈A ，可得x 2＝9，或2x －1＝9， 解得x ＝±3或x ＝5. 当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去．当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}．当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，A ∪B ＝{－8，－4,4，－7，9}．20．解析： (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}． ∴A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}． (2)∵A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3.故实数a 的取值范围是(1,3)．21．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ＜4，即2＜x ＜3.∴q ：2＜x ＜3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}，∵¬p ⇒¬q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A . ∴2＜x ＜3含于集合A ，即2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0， 需⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0，∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．22．解析： (1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则S ＝P . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10， ∴P ＝[－2,10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝[1－m,1＋m ]． 要使P ＝S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.∴这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则满足S P . 由|x －1|≤m 可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10且不同时取等号，∴m ≤3.综上可知，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．。
备战2020年高考数学一轮复习第1单元集合与常用逻辑用语单元训练(A卷,理,含解析)(最新整理)
（2）若 ，求 的取值范围．
18．(12分）已知集合 ， ．
（1)当 时，求 ;
（2）若 ，求 的取值范围．
19．（12分）设命题 :实数 满足 ；命题 :实数 满足 ．
（1)若 ，且 为真，求实数 的取值范围；
（2)若 ，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
20．（12分）命题 :函数 有意义，命题 ：实数 满足 ．
（2）设命题 ：关于 的不等式 的解集是 ； ：函数 的定义域为 ．
若 是真命题， 是假命题，求实数 的取值范围．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第1单元 集合与常用逻辑用语 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】 ，所以 ，故选C．
【解析】“ ” ．
∴“ ”是“ ”的必要不充分条件．故选B．
8．【答案】D
【解析】对于命题 ， ，故 ， ．
对于命题 ， ， ．由于 且 为真命题，故 ， 都为真命题，所以 ，故选D．
9．【答案】B
【解析】因为“ ， ”是假命题，
所以 ， ，故选B．
10．【答案】A
【解析】①中，由全称命题与特称命题的关系,则命题 ，
如图，由数轴以及 ，可知 ．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1)因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2)当 时， ，即 ，符合题意；
当 时， 或 ,解得 或 ．
综上， 的取值范围为 ．
19．【答案】（1） ；(2） ．
【解析】（1）由 ，得 ，
当 时， ，即P为真时， ，
由 ,得 ，即 ,即q为真时, ，
2020年高考数学(理)一轮复习讲练测：第1章集合与逻辑运算(单元测试)
第一单元单元测试【满分：100 分时间：90 分钟】一、选择题(本大题共18 小题，每题 3 分，共54 分)1． (2019 河·北衡水中学模拟)已知会合A＝ {x| y＝x2－ 2x}， B＝ {y| y＝ x2＋ 1}，则A∩B＝ ()A．[1，＋∞ )C．(－∞，0]∪[2，＋∞ )B．[2，＋∞) D．[0，＋∞)【答案】B【分析】因为会合A＝ {x| y＝x2－ 2x}表示的是函数y＝x2－ 2x的定义域，所以由x2－ 2x≥0可知会合A＝ {x| x≤0或x≥2}．会合B＝{y| y＝x2＋1}表示的是函数y＝x2＋1 的值域，所以B＝ {y| y≥1}．∴ A∩B＝ [2，＋∞)．故选B.2． (2019 山·西朔州市联考)若会合 A＝{ x|3 ＋ 2x－ x2>0}，会合 B＝{x|2 x<2}，则 A∩B 等于 ()A． (1,3) B． (－∞，－ 1)C． (－ 1,1)D． (－3,1)【答案】 C【分析】依题意，可求得A＝ (－ 1,3)， B＝ (－∞， 1)，∴ A∩B＝ (－ 1,1)．3． (2019浙·江五校联考)设全集U＝ R，会合A＝{x| x≥ 3}， B＝ {x|0≤x<5}，则 (?U A) ∩B＝ ()A． {x|0< x<3}B． {x|0≤x≤ 3}C． {x|0< x≤ 3}D． {x|0 ≤x<3}【答案】 D【分析】由题意得?U A＝{x| x<3}，所以 (?U A) ∩B＝ {x|0 ≤x<3}，应选 D.4．(2019 湖·南长沙一中模拟)已知会合A＝ {1,2,3}， B＝ {x| x2－ 3x＋ a＝ 0，a∈ A}，若 A∩B≠?，则 a 的值为()A．1B．2C．3D．1 或 2【答案】 B【分析】当a＝1 时， x2－ 3x＋ 1＝ 0，无整数解，则A∩B＝?；当 a＝ 2 时， B＝ {1,2} ， A∩B＝ {1,2} ≠?；当a＝ 3 时， B＝ ?， A∩B＝ ?.所以实数a＝ 2.5.(2019 辽·宁鞍山一中模拟)设全集 U＝ R，会合 A＝ {x| x2－ 2x－3<0}， B＝ {x| x－ 1≥0}，则图中暗影部分所表示的会合为()A． {x| x≤－1 或 x≥ 3}B． {x| x<1 或 x≥ 3}C． {x| x≤ 1}D．{x| x≤－ 1}【答案】 D【分析】图中暗影部分表示会合?U(A∪ B)，又 A＝{ x| － 1<x<3}，B＝ {x| x≥1}，∴ A∪ B＝ {x| x>－1}，∴?U(A∪ B)＝ {x| x≤－1}，应选 D.7． (2019 重·庆一中调研)定义在 R 上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】B【分析】∵f(x)为奇函数，∴f(－ x)＝－ f(x)．∴ [f(－x)] ＝′[－ f(x)] ＝′－ f′(x)，∴ f′(－x)＝ f′(x)，即 f ′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如 f ′(x)＝3x2， f(x)＝ x3＋ 1 知足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必需不充足条件．应选 B.8． (2019 四·川成都七中模拟)A， B， C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为65 分．已知命题p：若及格分低于70 分，则 A，B，C 都没有及格．则以下四个命题中为70 分， C的得分为p 的逆否命题的是()A．若及格分不低于70 分，则A， B， C都及格B．若 A， B， C 都及格，则及格分不低于70 分C．若 A， B， C 起码有一人及格，则及格分不低于70 分D．若 A， B，C 起码有一人及格，则及格分高于70 分【答案】 C【分析】依据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A，B，C 起码有一人及格，则及格分不低于70 分．应选 C.9． (2019 济·南一中模拟)原命题：“a， b 为两个实数，若a＋b≥2，则 a， b 中起码有一个不小于1”，下列说法错误的选项是()A．抗命题为：a，b为两个实数，若a， b 中起码有一个不小于1，则a＋ b≥2，为假命题B．否命题为：a， b 为两个实数，若a＋ b<2，则a， b 都小于 1 ，为假命题C．逆否命题为：a， b 为两个实数，若a， b 都小于1，则a＋ b<2，为真命题D．a ，b 为两个实数，“a＋b≥ 2是”“a，b中起码有一个不小于1”的必需不充足条件【答案】D【分析】原命题：a， b 为两个实数，若a＋ b≥2，则a， b 中起码有一个不小于1；抗命题：a， b 为两个实数，若a，b 中起码有一个不小于1，则a＋ b≥2；否命题：a， b 为两个实数，若a＋b<2，则a， b 都小于 1；逆否命题：a，b 为两个实数，若 a ，b 都小于1，则a＋b<2.逆否命题明显为真，故原命题也为真；若a＝ 1.2， b＝ 0.5，则 a＋ b≥2不建立，抗命题为假命题，所以否命题为假命题．所以有一个不小于1”的充足不用要条件．应选 D.10． (2019 北·京西城区模拟)已知： p：x≥k， q： (x＋ 1)(2－ x)<0，假如 p 是“a＋ b≥ 2是”“a， b 中起码 q 的充足不用要条件，则实数k 的取值范围是()A．[2，＋∞ ) C． [1，＋∞ )B． (2，＋∞) D．(－∞，－ 1]【答案】B【分析】由q：(x＋ 1)(2－ x)<0，得x<－1 或x>2，又p 是q 的充足不用要条件，所以k>2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，应选 B.11． (2019 陕·西咸阳一中模拟)已知p∶ m＝－ 1， q：直线x－ y＝ 0 与直线x＋ m2y＝ 0 相互垂直，则p 是q 的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A－ 1【分析】由题意得直线x＋ m2y＝ 0 的斜率是－ 1 ，所以m2＝－ 1，m＝±1所.以 p 是 q 的充足不用要条件．故选 A.1＋ i 12．(2019·湖南湘潭一中模拟)已知命题 p：若复数 z 知足 (z－ i)(－ i)＝ 5，则 z＝ 6i；命题 q：复数 1＋ 2i的1虚部为－ 5i ，则下边为真命题的是()A． ( ┐p)∧ ( ┐q)B． ( ┐p)∧ qC． p∧ ( ┐q)D．p∧q【答案】 C5 1 ＋i【分析】由已知可得，复数z 知足 (z－ i)(－ i)＝ 5，所以 z＝－ i＋i＝ 6i，所以命题 p 为真命题；复数1＋2i 1＋ i1－ 2i3－ i1＝1＋ 2i1－ 2i＝5，其虚部为－5，故命题 q 为假命题，命题┐q 为真命题，所以p∧ ( ┐q)为真命题，应选 C.13．(2019 河·南师范大学隶属中学模拟)已知命题x2p：“?x∈ [0,1] ，a≥e”，命题 q：“? x∈ R，x ＋ 4x＋ a＝ 0”，若命题“p∧ q”是真命题，则实数a 的取值范围是 ()A． (4，＋∞ )B． [1,4]C． (－∞， 1]D．[e,4]【答案】 D【分析】命题 p 等价于 ln a≥x 对 x∈ [0,1] 恒建立，所以ln a≥1，解得 a≥e；命题 q 等价于对于 x 的方程x2＋ 4x＋ a＝ 0 有实根，则＝ 16－ 4a≥0，所以 a≤4因.为命题“p∧q”是真命题，所以命题p 真，命题 q 真，所以实数 a 的取值范围是 [e,4] ，应选 D.14． (2019 湖·北武汉一中模拟 )给出以下四个说法：①命题“?x∈(0,2)，3x 33>x ”的否认是“? x0∈(0,2)，3x0≤x0”；π1π1②“若θ＝，则 cos θ＝”“ θ≠，则 cos θ≠”32的否命题是若32；③p∨ q 是真命题，则命题p， q 一真一假；④ “函数 y＝2 x＋ m－ 1 有零点”是“函数 y＝ log m x 在 (0，＋∞)上为减函数”的充要条件．此中正确说法的个数为()A．1B．2C． 3D．4【答案】 Bπ1【分析】对于①，依据全称命题的否认，可知①正确；对于②，原命题的否命题为“若θ≠，则 cos θ≠32”，所以②正确；对于③，若p∨ q 是真命题，则命题p ，q 起码有一个是真命题，故③错误；对于④，由函数y ＝2x＋ m－ 1 有零点，得 1－ m＝ 2x>0，解得 m<1，若函数 y＝ log m x 在 (0，＋∞)上是减函数，则 0<m<1，所以④错误．综上，正确说法的个数为2，应选 B.15． (2019 江·西南昌二中模拟)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲下降在指定范围”， q是“乙下降在指定范围”，则命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为() A． (┐p)∨ ( ┐q)B． p∨ ( ┐q)C． ( ┐p)∧( ┐q)D． p∨ q【答案】 A“”【分析】起码有一位学员没有下降在指定范围表示学员甲、乙两人中有人没有下降在指定范围，所以应当是 ( ┐p)∨ ( ┐q)．应选 A.16．(2019 广·东汕头一中一模)已知命题p：对于 x 的方程 x2＋ ax＋1＝ 0 没有实根；命题 q：?x>0,2x－ a>0.若“┐p”和“p∧ q”都是假命题，则实数 a 的取值范围是 ()A． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞ )B． (－2,1]C． (1,2) D．(1，＋∞)【答案】 C【分析】方程 x2＋ ax＋ 1＝ 0 无实根等价于＝ a2－ 4<0，即－ 2<a<2；?x>0,2x－a>0 等价于 a<2x在 (0，＋－ 2<a<2，∞)上恒建立，即 a≤ 1因.为“┐p”是假命题，则 p 是真命题，又“p∧ q”是假命题，则 q 是假命题，∴a>1，得 1<a<2，所以实数 a 的取值范围是 (1,2) ，应选 C.17． (2019·广西桂林二中模拟)若 a， b 都是正整数，则a＋ b>ab 建立的充要条件是 ()A． a＝ b＝1B． a， b 起码有一个为 1C． a＝ b＝ 2D． a>1 且 b>1【答案】 B【分析】∵ a＋b>ab ，∴ (a－1)(b－ 1)＜ 1.∵a， b∈N*，∴ (a－ 1)(b－1)∈ N，∴ (a－ 1)(b－1)＝ 0，∴ a＝1 或 b＝ 1.应选 B.18． (2019·郑州外国语学校模拟)圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝ kx－ 3 有公共点的充足不用要条件是()A ． k ≤－ 2 2或 k ≥ 2 2B ．k ≤－ 2 2C ． k ≥ 2D ． k ≤－ 2 2或 k>2【答案】 B【分析】若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线 kx － y － 3＝ 0 的距离 d ＝ |－3|≤ 1，即k 2＋ 1≥ 3，k 2 ＋1∴ k 2＋ 1≥ 9，即 k 2≥ 8，∴ k ≥ 2 2或 k ≤－ 2 2，∴圆 x 2＋ y 2＝ 1 与直线 y ＝ kx － 3 有公共点的充足不用要条 件是 k ≤－ 22，应选 B.二、填空题 (本大题共 4 小题，共 16 分 )19． (2019 海·南三亚一中模拟)对于随意两会合 A ， B ，定义 A － B ＝{x| x ∈ A 且 x?B}， A* B ＝(A － B)∪ (B －A)，记 A ＝ {y| y ≥ 0}， B ＝ {x| － 3≤x ≤ 3}，则 A* B ＝ ________________.【答案】 [ － 3,0)∪ (3，＋ ∞)【分析】由题意知A －B ＝ {x| x>3}， B － A ＝ {x| － 3≤x<0}，所以 A* B ＝[ － 3,0)∪(3，＋ ∞)．20．(2019 河南商丘一中模拟 )设 [x] 表示不大于 x 的最大整数，会合A ＝{x| x 2－2[x]＝ 3}，B ＝ x| 1<2x <8 ，8则 A ∩B ＝ ________.【答案】 {－ 1， 7}【分析】因为不等式1x 2－ 2[x]＝ 3，x的解为－ 3<x<3，所以 B ＝ (－3,3)．若 x ∈ A ∩B ，则所以 [x]8<2 <8 － 3<x<3，只可能取值－ 3，－ 2，－ 1,0,1,2. 若 [x] ≤－2 ，则 x 2＝ 3＋2[x]<0，没有实数解；若 [x] ＝－ 1，则 x 2＝ 1，得 x ＝－ 1；若 [x]＝ 0，则 x 2＝ 3，没有切合条件的解；若 [x]＝ 1，则 x 2＝ 5，没有切合条件的解；若 [x]＝2，则 x 2＝ 7，有一个切合条件的解， x ＝ 7.所以， A ∩B ＝{－1， 7}．21．(2019湖·南常德一中模拟)条件p ：1－ x<0，条件q ： x>a ，若p 是q 的充足不用要条件，则a 的取值范围是________．【答案】 (－ ∞， 1)【分析】 p ：x>1，若 p 是 q 的充足不用要条件，则p? q ，但 q? / p ，也就是说， p 对应的会合是 q 对应的会合的真子集，所以 a<1.22． (2019 安·徽六安一中模拟 )若命题 p ：存在 x ∈ R ，ax 2＋4x ＋ a<－ 2x 2＋ 1 是假命题，则实数 a 的取值范围是 ________．【答案】 [2，＋ ∞)【分析】若命题p ：存在 x ∈ R ， ax 2＋4x ＋ a<－ 2x 2＋1 是假命题，则 ┐p ：随意 x ∈ R ， ax 2＋ 4x ＋ a ≥－2x 2＋ 1 是真命题，即 (2＋ a)x 2＋ 4x ＋ a －1≥0恒建立，当 a ＝－ 2 时不建立，舍去，则有2＋ a>0，解得 a ≥2.16－ 4 2＋ aa － 1 ≤0，三、解答题 (本大题共 4 小题，共 40 分 )23．(2019 河·南南阳一中模拟 )若会合 A ＝{(x ，y)| x 2＋ mx － y ＋ 2＝0，x ∈ R}，B ＝ {(x ，y)| x －y ＋ 1＝ 0,0 ≤x ≤2}，当 A ∩B ≠?时，务实数 m 的取值范围．【分析】∵会合A ＝ {(x ，y)| x 2＋ mx － y ＋ 2＝ 0， x ∈ R}＝{(x ， y)| y ＝ x 2＋mx ＋2， x ∈ R}，B ＝ {(x ， y)| x － y＋ 1＝ 0,0 ≤x ≤2}＝ {(x ，y)| y ＝ x ＋ 1,0 ≤x ≤2}，y ＝ x 2＋ mx ＋ 2，∴ A ∩B ≠?等价于方程组 在 x ∈[0,2] 上有解，即 x 2＋mx ＋2＝ x ＋ 1 在[0,2] 上有解，y ＝ x ＋ 1即 x 2＋ (m －1)x ＋ 1＝ 0 在[0,2] 上有解，明显 x ＝ 0 不是该方程的解，1进而问题等价于－ (m － 1)＝x ＋ x 在 (0,2]上有解．又∵当 x ∈ (0,2]时， 1＋x ≥2( 当且仅当 1＝ x ，即 x ＝1 时取 “＝ ”)，∴－ (m － 1) ≥2，∴ m ≤－ 1，x x即 m 的取值范围为 (－ ∞，－ 1]．24．(2019 江·苏盐城一中模拟 )已知会合 A ＝ {x| x 2－ 3x ＋2＝ 0}， B ＝ {x| x 2＋ 2(a ＋ 1)x ＋ a 2－ 5＝ 0}．(1)若 A ∩B ＝ {2}，务实数 a 的值；(2)若 A ∪ B ＝A ，务实数 a 的取值范围．【分析】 (1)∵ A ＝ {x| x 2－ 3x ＋ 2＝0}＝ {1,2}， A ∩B ＝ {2} ，∴ 2∈B,2 是方程 x 2＋ 2(a ＋1)x ＋ a 2－ 5＝ 0 的根，∴ a 2＋ 4a ＋ 3＝0， a ＝－ 1 或 a ＝－ 3.经查验 a 的取值切合题意，故 a ＝－ 1 或 a ＝－ 3.(2)∵ A ∪ B ＝A ，∴ B? A.当 B ＝ ?时，由 ＝ 4(a ＋1)2－ 4(a 2－ 5)<0，解得 a<－ 3；当 B ≠?时，由 B ＝{1} 或 B ＝{1,2}，可解得 a ∈ ?；由 B ＝ {2}，可解得 a ＝－ 3.综上可知， a 的取值范围是 (－ ∞，－ 3].25． (2019 湖·南长郡中学模拟 )已知函数 f(x)＝ 4sin2π3cos 2x － 1， p ： π π ，＋ x － 2 4 ≤x ≤ ， q ：| f(x)－ m|<242若 p 是 q 的充足不用要条件，务实数m 的取值范围．1 －cos2 π＋ x(【分析】化简分析式，得f(x)＝ 4· 4－ 2 3cos 2x － 1＝2sin 2x － 23cos 2x ＋ 1＝ 4sin 2x －2π3 )＋ 1.π π π π 2π 当 ≤x ≤ 时，6 ≤2x －3≤ ，4231π则 2≤ sin2x － 3 ≤1，所以 f(x)∈ [3,5] ．当 | f(x)－ m|<2 时， f(x)∈ (m － 2， m ＋ 2)．又 p 是 q 的充足不用要条件，m －2<3， 所以所以 3<m<5.m ＋2>5，即实数 m 的取值范围为 (3,5).26．(2019 华·东师大附中模拟 )给定数题 p ：对随意实数 x 都有 ax 2＋ ax ＋1>0 建立；命题 q ：对于 x 的方程 x 2－ x ＋ a ＝0 有实数根．假如 p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，务实数 a 的取值范围．a>0， ∴ 0≤a ＜4.【分析】当 p 为真命题时， “对随意实数 x 都有 ax 2＋ax ＋ 1>0 建立 ”? a ＝ 0 或＜ 0，1当 q 为真命题时， “对于 x 的方程 x 2－ x ＋ a ＝ 0 有实数根 ”? ＝ 1－ 4a ≥0，∴ a ≤4.∵ p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，∴ p ， q 一真一假．1 1∴若 p 真 q 假，则 0≤a ＜ 4，且 a>4，∴ 4＜a ＜ 4；a ＜ 0或 a ≥4，若 p 假 q 真，则1即 a ＜0.a ≤ ，4故实数 a 的取值范围为(－ ∞，0)∪ 1， 4.4。
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测一集合与常用逻辑用语单元检测含解析
单元检测一 集合与常用逻辑用语(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列关系正确的是( ) A ．0∈∅ B ．∅{0} C ．∅＝{0} D ．∅∈{0}答案 B解析 对于B ，因为空集是任何非空集合的真子集，而集合{0}不是空集，所以∅{0}正确，故选B.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x<2，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．M ⊆N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∩N ＝R答案 B解析 由1x <2，得1－2xx<0，所以x (1－2x )<0，解得x <0或x >12，则M ⊆N ，故选B.3．(2018·杭州高级中学模拟)已知原命题：已知ab >0，若a >b ，则1a <1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 若a >b ，则1a －1b ＝b －aab，又ab >0，∴1a －1b <0，∴1a <1b，∴原命题是真命题；若1a <1b，则1a －1b ＝b －a ab<0，又ab >0，∴b －a <0，∴b <a ，∴逆命题是真命题． 故四个命题都是真命题．4．(2019·湖州模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <1}，集合B ＝{x |0<x <2}，则(∁U A )∩B 等于A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |1≤x <2}答案 D解析 由题意得∁U A ＝{x |x ≥1}，又B ＝{x |0<x <2}，所以(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}．故选D. 5．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0<θ≤π4”是“k ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当0<θ≤π4时，0<k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2<θ<π.故“0<θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件．6．(2018·浙江“七彩阳光”联考)命题p ：x ∈R 且满足sin2x ＝1.命题q ：x ∈R 且满足tan x ＝1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由sin2x ＝1，得2x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π4＋k π，k ∈Z ；由tan x ＝1，得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的充要条件，故选C.7．(2018·宁波模拟)已知a ∈R ，则“|a －1|＋|a |≤1”是“函数y ＝a x在R 上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a <0时，|a －1|＋|a |＝－a ＋1－a ≤1， 解得a ≥0，无解．当0≤a ≤1时，|a －1|＋|a |＝1－a ＋a ＝1≤1成立． 当a >1时，|a －1|＋|a |＝2a －1≤1，解得a ≤1，无解． 故不等式的解集是a ∈[0,1]．若函数y ＝a x在R 上为减函数，则a ∈(0,1)．故“|a －1|＋|a |≤1”是“函数y ＝a x在R 上为减函数”的必要不充分条件．8．若集合P ＝{0,1,2}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1>0，x －y －2<0，x ，y ∈P，则集合Q 中元素的个数A ．4B ．6C ．3D ．5 答案 D解析 Q ＝{(x ，y )|－1<x －y <2，x ，y ∈P } ＝{(0,0)，(1,1)，(2,2)，(1,0)，(2,1)}， ∴Q 中有5个元素． 9．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 B 解析 ∵3x ＋1<1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0，即(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，∵p 是q 的充分不必要条件， ∴k >2，故选B.10．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 B解析 集合A ＝{x |x <－3或x >1}， 设f (x )＝x 2－2ax －1，因为a >0，所以f (－3)＝8＋6a >0， 则由题意得，f (2)≤0且f (3)>0， 即4－4a －1≤0，且9－6a －1>0， ∴34≤a <43， ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43. 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．用列举法表示集合：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z＝____________；A 的子集个数为________．答案 {－3，－2,0,1} 16 解析 因为2x ＋1∈Z ，x ∈Z ，所以x ＋1＝±1或±2，所以x ＝0或－2或1或－3，子集个数为24＝16.12．(2018·温州模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x |<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12，则A ∪B ＝____________，A ∩B ＝____________.答案 (－1，＋∞) ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1解析 解得A ＝{x |－1<x <1}，所以求得并，交集是A ∪B ＝(－1，＋∞)，A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 13．集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________，集合B ＝________. 答案 －1 {－2,0} 解析 ∵0∈{a ＋1,2a }， ∴a ＝－1或a ＝0， 经验证a ＝－1符合题意． 此时集合B ＝{－2,0}．14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是________．答案 3解析 当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素．15．由5个元素构成的集合M ＝{4,3，－1,0,1}，记M 的所有非空子集为M 1，M 2，…，M 31，每一个M i (i ＝1,2，…，31)中所有元素的积为m i ，则m 1＋m 2＋…＋m 31＝________. 答案 －1解析 由题意得当集合M i 中包含元素0时，m i ＝0；集合中包含元素1而不包含元素－1的集合和包含元素－1而不包含元素1的集合成对出现，且每一对的和都为零；所以只需求集合中没有0，且同时包含元素1和－1的集合和元素0,1或－1都不在集合中的集合即可，即{1，－1}，{1，－1,3}，{1，－1,4}，{1，－1,3,4}，{3}，{4}，{3,4}，所以m 1＋m 2＋…＋m 31＝－1＋(－3)＋(－4)＋(－12)＋3＋4＋12＝－1.16．(2019·杭州质检)若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的．若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2019，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则“好集”P 中的元素最大值为________；“好集”P 的个数为________．答案 2016 1008解析 若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c且a ＋c ＝2b ，令a ＝－2b ，c ＝4b ，则满足条件的“好集”为形如{－2b ，b ，4b }(b ≠0)的形式，则－2019≤4b ≤2019，解得－504≤b ≤504，且b ≠0，集合P 中元素的最大值为2016，符合条件的b 的值可取1008个，故“好集”P 的个数为1008.17．(2018·嘉兴质检)设集合P ＝{t |数列a n ＝n 2＋tn (n ∈N *)递增}，集合Q ＝{t |函数f (x )＝kx 2＋tx 在区间[1，＋∞)上单调递增}，若“t ∈P ”是“t ∈Q ”的充分不必要条件，则实数k 的最小值为________． 答案 32解析 由数列a n ＝n 2＋tn (n ∈N *)递增，得a n ＋1－a n >0对n ∈N *恒成立，即2n ＋1＋t >0，t >－(2n ＋1)对n ∈N *恒成立， 所以t >[－(2n ＋1)]max ＝－3.由函数f (x )＝kx 2＋tx 在区间[1，＋∞)上单调递增， 得k ＝0，t >0或k >0，－t2k ≤1，即t ≥－2k .因为“t ∈P ”是“t ∈Q ”的充分不必要条件， 所以k >0，－2k ≤－3， 即k ≥32，k min ＝32.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)(2018·宁波模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋ax －2a 2≤0}． (1)当a ＝1时，求集合∁R A ；(2)若[－1,1]⊆A ，求实数a 的取值范围．解 不等式x 2＋ax －2a 2≤0可化为(x ＋2a )(x －a )≤0. (1)当a ＝1时，∁R A ＝{x |(x ＋2)(x －1)>0}， 即∁R A ＝{x |x <－2或x >1}．(2)方法一 当a ≥0时，A ＝{x |－2a ≤x ≤a }，因为[－1,1]⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≤－1，a ≥1，解得a ≥1.当a <0时，A ＝{x |a ≤x ≤－2a }，因为[－1,1]⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，－2a ≥1，解得a ≤－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．方法二 原题等价于f (x )＝x 2＋ax －2a 2≤0在x ∈[－1,1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－a －2a 2≤0，f (1)＝1＋a －2a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥12，a ≤－12或a ≥1，解得a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．19．(15分)(2019·丽水模拟)已知集合A ＝{x |1－a ≤x ≤1＋a }，B ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，U ＝R .(1)若a ＝1，求A ∪B ，∁U B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 解 (1)a ＝1时，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤3}， A ∪B ＝{x |0≤x ≤3}，∁U B ＝{x |x >3或x <1}． (2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ， 当A ＝∅时，1＋a <1－a ，解得a <0； 当A ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤1＋a ，1－a ≥1，1＋a ≤3，解得a ＝0.综上得a ≤0.20．(15分)(2018·浙江名校协作体联考)已知A ＝{x |y ＝lg(3－2x －x 2)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝log 4x ，116≤x ≤16，C ＝{x |y ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1，a <0}．(1)求A ∩B ；(2)若(A ∩B )⊆C ，求实数a 的取值范围．解 (1)A ＝(－3,1)，B ＝[－2,2]，A ∩B ＝[－2,1)． (2)根据题意，对于集合C 满足ax 2－(a ＋1)x ＋1 ＝(ax －1)·(x －1)≥0，又∵a <0，∴C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，1，∵(A ∩B )⊆C ，∴1a ≤－2，∴－12≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.21．(15分)已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，如果p 和q 有且仅有一个真命题，求实数x 的取值范围． 解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，解得－1≤x ≤5. 命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)． ∵p 是q 的充分条件， ∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5<1＋m ，解得m >4，则实数m 的取值范围为(4，＋∞)． (2)∵m ＝5，∴命题q ：－4≤x <6. ∵p 和q 有且仅有一个为真命题，∴当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ≥6，解得x ∈∅.当q 真p 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x <6，解得－4≤x <－1或5<x <6.因此x 的取值范围是[－4，－1)∪(5,6)．22．(15分)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0. (1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． 解 (1)因为x 2≤5x －4，所以x2－5x＋4≤0，即(x－1)(x－4)≤0，所以1≤x≤4，即对应x的取值范围为{x|1≤x≤4}．(2)设p对应的集合为A＝{x|1≤x≤4}．设q对应集合为B，由x2－(a＋2)x＋2a≤0，得(x－2)(x－a)≤0.当a＝2时，不等式的解为x＝2，对应的解集为B＝{2}；当a>2时，不等式的解为2≤x≤a，对应的解集为B＝{x|2≤x≤a}；当a<2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集为B＝{x|a≤x≤2}．若p是q的必要不充分条件，则B A，当a＝2时，满足条件；当a>2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2≤x≤a}，要使B A，则满足2<a≤4；当a<2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a≤x≤2}，要使B A，则满足1≤a<2. 综上，a的取值范围为{a|1≤a≤4}．。
2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试1 集合
•第一部分考点通关练•第一章集合与常用逻辑用语考点测试1集合高考概览本考点在高考中是必考知识点，常考题型为选择题，分值5分，低难度考纲研读1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集4．在具体情境中，了解全集与空集的含义5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算一、基础小题1．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝()A．{0，1，2} B．{1，2}C．{1，2，4} D．{1，4}★答案★B解析由题意可知B＝{1，2，4}，所以A∩B＝{1，2}，故选B．2．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4★答案★B解析集合M＝{a1，a2}或{a1，a2，a4}，有2个，故选B．3．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()★答案★B解析由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}，则N M．故选B．4．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个★答案★A解析由已知B＝{(2，1)}，所以B的子集有2个，故选A．5．下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}，②{a，b}＝{b，a}，③{0}＝∅，④0∈{0}，⑤∅∈{0}，⑥∅⊆{0}，其中正确的个数为()A．6 B．5 C．4 D．3★答案★C解析①正确，任何集合是其本身的子集．②考查了元素的无序性和集合相等的定义，正确．③错误，{0}是单元素集合，而∅不包含任何元素．④正确，考查了元素与集合的关系．⑤集合与集合的关系是包含关系，错误．⑥正确，∅是任何集合的子集．故选C．6．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，A∩(∁B)＝{3}，则B＝()UA．{1，2} B．{2，4} C．{1，2，4} D．∅★答案★A解析由∁U(A∪B)＝{4}，得A∪B＝{1，2，3}．由A∩(∁U B)＝{3}，得3∈A且3∉B ．现假设1∉B ：∵A ∪B ＝{1，2，3}，∴1∈A ．又∵1∉A ∩(∁U B )＝{3}，∴1∉∁U B 即1∈B ，矛盾．故1∈B ．同理2∈B ．7．已知I 为全集，B ∩(∁I A )＝B ，则A ∩B ＝( )A ．AB ．BC ．∁I BD ．∅★答案★ D解析 由B ∩(∁I A )＝B 可得B ⊆∁I A ．因为A ∩(∁I A )＝∅，所以A ∩B ＝∅．故选D ．8．已知集合A ＝xy ＝x ＋1x －2，B ＝{x |x >a }，则下列选项不可能成立的是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩B ≠∅D ．A ⊆∁R B★答案★ D解析 由⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －2≠0，得x ≥－1且x ≠2，所以A ＝[－1，2)∪(2，＋∞)，又B ＝(a ，＋∞)，所以选项A ，B ，C 都有可能成立，对于选项D ，∁R B ＝(－∞，a ]，不可能有A ⊆∁R B ．故选D ．9．如图，已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤3}★答案★ D解析 U ＝R ，A ＝{x |x <－1或x >4}，所以∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，则阴影部分表示的集合为B ∩(∁U A )＝{x |－2≤x ≤3}∩{x |－1≤x ≤4}＝{x |－1≤x ≤3}，故选D ．10．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＋1x －2≤0，B ＝{x |1<x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，2) B ．(1，2] C ．[－1，2] D ．[－1，2)★答案★ A解析 A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |1<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x <2}．故选A ．11．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值为( )A ．0或1或2B ．1或2C ．0D ．0或1★答案★ A解析 由题意A ＝{1，2}，当B ≠∅时，∵B ⊆A ，∴B ＝{1}或{2}．当B ＝{1}时，a ·1－2＝0，解得a ＝2；当B ＝{2}时，a ·2－2＝0，解得a ＝1．当B ＝∅时，a ＝0．故a 的值为0或1或2．故选A ．12．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(2，4]C ．[2，4]D ．(－∞，4]★答案★ D解析 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2；当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图所示，则⎩⎨⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4．综上有m ≤4，故选D ．二、高考小题13．(2018·北京高考)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{0，1}B ．{－1，0，1}C ．{－2，0，1，2}D ．{－1，0，1，2}★答案★A解析化简A＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{0，1}，故选A．14．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}★答案★B解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B．15．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}★答案★B解析由B＝{x|x≥1}，得∁R B＝{x|x<1}，借助于数轴，可得A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B．16．(2017·天津高考)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}★答案★B解析因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B．17．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅★答案★A解析由3x<1，得x<0，所以B＝{x|x<0}，故A∩B＝{x|x<0}．故选A．18．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}★答案★C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1－4＋m＝0，∴m＝3．由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3．∴B＝{1，3}．经检验符合题意．故选C．19．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B 中元素的个数为()A．3 B．2 C．1 D．0★答案★B解析集合A表示以原点O为圆心，以1为半径的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2．故选B．20．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8 C．5 D．4★答案★A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1，0，1，当x＝－1时，y＝－1，0，1；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝－1，0，1，所以A中元素共有9个，故选A．三、模拟小题21．(2018·广东华南师大附中测试三)已知集合A＝{－1，0}，B＝{0，1}，则集合∁A∪B(A∩B)＝()A．∅B．{0}C．{－1，1} D．{－1，0，1}★答案★C解析A∪B＝{－1，0，1}，A∩B＝{0}，则∁A∪B(A∩B)＝{－1，1}，故选C．22．(2018·湖北联考二)已知集合A＝x∈Z x－2x＋2≤0，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则集合B的子集的个数为()A．7 B．8 C．15 D．16★答案★B解析由题意得集合A＝{－1，0，1，2}，则集合B＝{0，1，4}，所以集合B 的子集的个数为23＝8，故选B．23．(2018·广东三校联考)设集合M＝{x|x2＝10x}，N＝{x|lg x<1}，则M∪N＝()A．(－∞，10]B．(0，10]C．[0，10) D．[0，10]★答案★D解析因为M＝{x|x2＝10x}＝{0，10}，N＝{x|lg x<1}＝{x|0<x<10}，所以M ∪N＝{x|0≤x≤10}，故选D．24．(2018·山西、内蒙六校联考四)设集合A＝{x|x2－x－6<0}，则满足A∩B＝B的集合B不可能为()A．{0，1} B．(0，3) C．(－2，2) D．(－3，1)★答案★D解析因为A＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，又A∩B＝B，所以B⊆A，所以集合B不可能为(－3，1)，故选D．25．(2018·江西赣州摸底)已知集合A＝{x|x2－x>0}，B＝{x|log2x<0}，则() A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∩B＝∅D．A∪B＝{x|x>1}★答案★C解析由于集合A＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，B＝{x|log2x<0}＝{x|0<x<1}，则A∩B＝∅，故选C．26．(2018·湖北八校3月联考)设集合P＝{3，log3a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝()A．{3，0} B．{3，0，2}C．{3，0，1} D．{3，0，1，2}★答案★C解析因为P∩Q＝{0}，所以log3a＝0，所以a＝1，b＝0，所以P∪Q＝{0，1，3}，故选C．27．(2018·长沙雅礼、河南实验联考)设集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()A．4 B．3 C．2 D．1★答案★A解析因为指数函数y＝3x的图象与圆x2＋y2＝1有两个交点，则A∩B中含有2个元素，所以A∩B有4个子集，故选A．28．(2018·山东太原二模)设U为全集，集合A，B，C满足A⊆C，B⊆∁U C，则下列结论中不成立的是()A．A∩B＝∅B．B⊆(∁U A)C．(∁U B)∩A＝A D．A∪(∁U B)＝U★答案★D解析用Venn图表示出全集U，集合A，B，C的关系如图，由图可得选项A，B ，C 都正确，又A ⊆∁U B ，则A ∪(∁U B )＝∁U B ，D 错误，故选D ．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·山东聊城月考)已知R 为全集，A ＝{x |log 12(3－x )≥－2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 5x ＋2≥1． (1)求A ∩B ；(2)求(∁R A )∩B 与(∁R A )∪B ．解 (1)由log 12(3－x )≥－2，即log 12(3－x )≥log 124，得⎩⎨⎧3－x ＞0，3－x ≤4，解得－1≤x ＜3，即A ＝{x |－1≤x ＜3}．由5x ＋2≥1，得x －3x ＋2≤0，解得－2＜x ≤3， 即B ＝{x |－2＜x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜3}．(2)由(1)得∁R A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}，故(∁R A )∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}，(∁R A )∪B ＝R ．2．(2019·云南师大附中月考)设集合A ＝x 12≤2x ≤4，B ＝{x |x 2＋(b －a )x －ab ≤0}．(1)若A ＝B 且a ＋b <0，求实数a ，b 的值；(2)若B 是A 的子集，且a ＋b ＝2，求实数b 的取值范围．解 (1)A ＝x 12≤2x ≤4＝{x |－1≤x ≤2}，∵a ＋b <0，∴a <－b ，∴B ＝{x |(x －a )(x ＋b )≤0}＝{x |a ≤x ≤－b }，∵A ＝B ，∴a ＝－1，b ＝－2．(2)∵a ＋b ＝2，∴B ＝{－b ≤x ≤2－b }，∵B是A的子集，∴－b≥－1且2－b≤2，解得0≤b≤1．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
高三数学一轮复习高效测评卷 第一章 集合与常用逻辑用语 理 试题
金版新学案?高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(一)第一章集合与常用逻辑用语———————————————————————————————————【说明】本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷(选择题一共60分)个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．以下特称命题中真命题的个数为( )①存在实数x，使x2＋2＝0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既是奇函数又是偶函数．A．0 B．1C．2 D．32．A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，那么A＝( ) A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}3．命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数〞的逆命题是( )A．“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数〞B．“假设一个数的平方是正数，那么它是负数〞C．“假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数〞D．“假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数〞4．假设向量a＝(x,3)(x∈R)，那么“x＝4”是“|a|＝5”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．假设集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，那么A∩B＝( )A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅6．设全集U＝{x∈N＋|x≤a}，集合P＝{1,2,3}，Q＝{4,5,6}，那么a∈[6,7)是∁U P＝Q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．“a2＋b2≠0”的含义为( )A．a，b不全为0B．a，b全不为0C．a，b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或者b不为0且a为08．M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，假设M∩N＝N，那么实数a的值是( ) A．1 B．－1C．1或者－1 D．0或者1或者－19．实数a、b，那么“ab≥2”是“a2＋b2≥4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直，那么p是q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．定义：A ⊗B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫z ⎪⎪⎪z ＝xy ＋xy ，x ∈A ，y ∈B，设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，那么集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为( )A ．3B ．9C ．18D ．2712．命题p ：存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝3，命题q ：集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }有2个子集，以下结论：①命题“p 且q 〞是真命题；②命题“p 且¬q 〞是假命题；③命题“¬p 或者¬q 〞是真命题，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3第二卷 (非选择题 一共90分)横线上)13．集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，那么m ＝________.14．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x ＜1}．假设A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，那么集合B ＝________.15．命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，那么“p 且q 〞为真命题时a 的取值范围是________．16．给定以下四个命题：①“x ＝π6〞是“sin x ＝12〞的充分不必要条件；②假设“p 或者q 〞为真，那么“p 且q 〞为真； ③假设a ＜b ，那么am 2＜bm 2； ④假设集合A ∩B ＝A ，那么A ⊆B .其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(12分)写出以下命题非的形式：(1)p ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有唯一交点； (2)q ：假设x ＝3或者x ＝4，那么方程x 2－7x ＋12＝0. 18．(12分)判断以下命题的真假． (1)任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12.(2)存在α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)任意x ，y ∈N ，都有x －y ∈N . (4)存在x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.19.(12分)设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x,9}，假设A ∩B ＝{9}，求A ∪B .20．(12分)A ＝{x ||x －a |＜4}，B ＝{x ||x －2|＞3}． (1)假设a ＝1，求A ∩B ；(2)假设A ∪B ＝R ，务实数a 的取值范围．21.(12分)p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且¬p 是¬q 的充分条件，务实数a的取值范围．【解析方法代码108001006】22．(14分)P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，假设存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，假设存在，求出m 的范围． 答案：卷(一)一、选择题1．B x 2＋2≥2，故①是假命题；任意x ∈R 均有|sin x |≤1，故②是假命题；f (x )＝0既是奇函数又是偶函数，③是真命题，应选B.2．D ∵A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}且B ∪(∁U B )＝U ， ∴A ＝{3,9}，应选D.3．B 结论与条件互换位置，选B.4．A 由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或者x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，应选A.5．C ∵A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}＝{x |x ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．6．C 假设a ∈[6,7)，那么U ＝{1,2,3,4,5,6}，那么∁U P ＝Q ，假设∁U P ＝Q ，那么U ＝{1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a ＜7，应选C.7．A a 2＋b 2＝0⇔a ＝0，b ＝0，于是a 2＋b 2≠0就是对a ＝b ＝0，即a ，b 都为0的否认，而“都〞的否认为“不都是〞或者“不全是〞，所以应该是“a ，b 不全为0”．8．D 由M ∩N ＝N 得N ⊆M .当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a ≠0时，M ＝{a }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由N ⊆M 得1a＝a ，解得a ＝±1.应选D.9．A 当ab ≥2时，a 2＋b 2≥2ab ≥4，充分性成立；当a 2＋b 2≥4时，取a ＝－1，b ＝3，有ab ＝－3＜2，此时ab ≥2不成立，故必要性不成立，应选A.10．B 直线a 垂直于平面α内无数条直线，但直线a 与平面α不一定垂直．如直线a 垂直于平面α内的一组平行线，反过来，直线a 垂直于平面α肯定能推出直线a 垂直于平面α内无数条直线．11．C 当x ＝0，y ＝1时，z ＝0； 当x ＝0，y ＝2时，z ＝0； 当x ＝2，y ＝1时，z ＝4；当x ＝2，y ＝2时，z ＝5. 所以A ⊗B ＝{0,4,5}，同理可得(A ⊗B )⊗C ＝{0,8,10}．应选C.12．C 由sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎦⎥⎤x －π4∈[－2，2]，而3∉[－2，2]，故命题p 是假命题；集合{x |x 2－2x ＋1＝0，x ∈R }＝{1}，故其子集有∅与{1}两个，命题q 是真命题．所以有命题“p 且¬q 〞是假命题，命题“¬p 或者¬q 〞是真命题，②③正确，选C.二、填空题13．解析： ∵A ∪B ＝{1,2,3,4}， ∴2∈(A ∪B )．∵2∉B ，∴2∈A ， ∴m ＝2. 答案： 214．解析： ∵lg x ＜1，∴0＜x ＜10. 又∵x ∈N *，∴U ＝A ∪B ＝{1,2,3，…，9}． 又∵A ∪B ＝U ，∴∁U B ＝A ， ∴A ∩(∁U B )＝∁U B ＝{1,3,5,7,9}， ∴B ＝{2,4,6,8}． 答案： {2,4,6,8}15．解析： 由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1；由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.当“p 且q 〞为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4.答案： a ＞416．解析： ①中，假设x ＝π6，那么sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或者5π6＋2k π.故“x ＝π6〞是“sin x ＝12〞的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p 或者q 〞为真命题，那么“p 且q 〞为假命题，故②为假命题；③中，当m ＝0时，am 2＝bm 2，故③为假命题；④中，由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，故④为真命题．答案： ①④ 三、解答题17．解析： (1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴没有交点或者至少有两个交点． (2)假设x ＝3或者x ＝4，那么x 2－7x ＋12≠0.18．解析： (1)真命题，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34＞12.(2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4∉N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3，符合题意． 19．解析： 由9∈A ，可得x 2＝9，或者2x －1＝9， 解得x ＝±3或者x ＝5. 当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去．当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}．当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，A ∪B ＝{－8，－4,4，－7，9}．20．解析： (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或者x ＞5}． ∴A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}． (2)∵A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或者x ＞5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3.故实数a 的取值范围是(1,3)．21．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ＜4，即2＜x ＜3.∴q ：2＜x ＜3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}，∵¬p ⇒¬q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A . ∴2＜x ＜3含于集合A ，即2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0，需⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤0，f3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0，∴a ≤9.故所务实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．22．解析： (1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件，那么S ＝P . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10， ∴P ＝[－2,10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝[1－m,1＋m ]． 要使P ＝S ，那么⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.∴这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，那么满足S P .由|x －1|≤m 可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S P ，那么⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10且不同时取等号，∴m ≤3.综上可知，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。
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单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第1单元 集合与常用逻辑用语注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()A B =R （ ）A ．{}1x x >-B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}12x x <<2．已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1a b >-B ．1a b >+C ．a b >D ．22a b >3．设集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,0,1B =-，22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合C 中元素的个数为（ ） A ．11B ．9C ．6D ．44．下列说法正确的是（ ）A ．命题“[]00,1x ∃∈，使210x -≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，都有2 10x -≤”B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则0⋅>a b ”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角ABC 中，sin cos A B <”为真命题D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠” 5．已知集合{}|03A x x =≤≤，(){},11B x y y x ==-+，则A B =（ ）A ．{}13x x ≤≤B ．{}13x x <≤C ．∅D ．{}0x x ≥6．若命题0:p x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题:0q x ∀<，x x >．则下列命题中是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 7．已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A B =（ ）A ．[]2,4-B ．[)1,+∞C ．(]0,4D ．[)2,-+∞8．下列说法正确的是（ ）A ．设m 是实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则2m >．B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件．C ．命题“x ∃∈R ，使得2230x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，2230x x ++>”．D ．命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0()0f x '=”的逆命题是真命题．9．已知函数()2,,2x x af x x x a⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则“错误!未找到引用源。
”是“函数错误!未找到引用源。
在[)0,+∞上单调递增”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
是两个集合，定义集合错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
，如果错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，那么错误!未找到引用源。
（ ）A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
11．设整数错误!未找到引用源。
，集合错误!未找到引用源。
，令集合错误!未找到引用源。
，且三条件错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
恰有一个成立．若错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
都在错误!未找到引用源。
中，则下列选项 正确的是（ ）A ．错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
12．设集合()()222,22m A x y x y m ⎧⎫=≤-+≤⎨⎬⎩⎭，错误!未找到引用源。
，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．1,22⎡+⎢⎣B ．错误!未找到引用源。
C．1⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦D ．∅第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为__________． 14．命题“x R ∀∈，220x x ->”的否定是__________．15．已知全集错误!未找到引用源。
，集合错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，且UA B ⊆，则错误!未找到引用源。
的取值范围 为________．16．已知曲线(),0F x y =关于x 轴、y 轴和直线y =x 均对称，设集合()(){},,0,,S x y F x y x y ==∈∈Z Z ．下列命题：①若()1,2S ∈，则()2,1S --∈；②若()0,2S ∈，则S 中至少有4个元素； ③S 中元素的个数一定为偶数；④若(){}2,4,,x y y x x y S =∈∈⊆Z Z ，则(){}2,4,,x y x y x y S =-∈∈⊆Z Z ． 其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）己知集合{}3A x a x a =≤≤+，{}24120B x x x =-->．（1）若A B =∅，求实数a 的取值范围；（2）若错误!未找到引用源。
，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知函数()f x 错误!未找到引用源。
．（1）求函数错误!未找到引用源。
的定义域错误!未找到引用源。
；（2）若“错误!未找到引用源。
”是“错误!未找到引用源。
”的必要条件，求实数错误!未找到引用源。
的取值范围．19．（12分）已知m ∈R ，命题:p 方程2222(26)14260x y x m y m m +-+-+-+=表示圆心在第一象限的圆；命题:q 方程22117x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆． （1）若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围．20．（12分）（1）设命题错误!未找到引用源。
实数错误!未找到引用源。
满足错误!未找到引用源。
，其中0a >，命题错误!未找到引用源。
实数错误!未找到引用源。
满足2260280x x x x --≤+->⎧⎪⎨⎪⎩．若错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的充分不必要条件，求实数错误!未找到引用源。
的取值范围； （2）已知命题错误!未找到引用源。
方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上双曲线；命题错误!未找到引用源。
空间向量()2,1,k =-a ，()1,0,1k =-b 的夹角为锐角，如果命题“错误!未找到引用源。
”为真，命题“错误!未找到引用源。
”为假．求错误!未找到引用源。
的取值范围．21．（12分）已知():p f x=错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，使得不等式错误!未找到引用源。
成立，关于错误!未找到引用源。
的不等式错误!未找到引用源。
的解集记为错误!未找到引用源。
．（1）若错误!未找到引用源。
为真，求实数错误!未找到引用源。
的取值集合错误!未找到引用源。
；（2）在（1）的条件下，若错误!未找到引用源。
是错误!未找到引用源。
的充分不必要条件，求实数错误!未找到引用源。
的取值范围．22．（12分）已知函数()1log1af xx=-，错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
且错误!未找到引用源。
．（1）当错误!未找到引用源。
时，设集合错误!未找到引用源。
，求集合错误!未找到引用源。
；（2）在（1）的条件下，若错误!未找到引用源。
，且满足错误!未找到引用源。
，求实数错误!未找到引用源。
的取值范围；（3）若对任意的错误!未找到引用源。
，存在错误!未找到引用源。
，使不等式错误!未找到引用源。
恒成立，求实数错误!未找到引用源。
的取值范围．单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ） 第1单元 集合与常用逻辑用语 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【★答案★】B 【解析】由题得{}1A x x =≤R，{}12B x x =-<<，所以(){}11A B x x =-<≤R．故选B ． 2．【★答案★】B【解析】A 选项1a b >-是a b >的必要不充分条件； B 选项1a b >+是a b >的充分不必要的条件； C 选项a b >是a b >的即不充分也不必要条件； D 选项22a b >是a b >的充要条件， 故选B ．3．【★答案★】A【解析】根据条件得：x 从1-，0，1任选一个，y 从1-，0，1任选一个，有9种选法；2x =-或2时，0y =，有2种选法，所以共9211+=种选法，∴C 中元素有11个．故选A ． 4．【★答案★】D【解析】命题“[]00,1x ∃∈，使210x -≥”的否定应为“[]0,1x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误； 命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则0⋅>a b ”的逆命题为假命题，故B 错误；锐角ABC 中，ππ022π2A B A B +>⇒>>->，∴sin sin c s πo 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以C 错误，故选D ．5．【★答案★】C【解析】因为集合A 是数集，集合B 是点集，所以A B =∅，故选C ． 6．【★答案★】C 【解析】对于命题2200013:1=024p x x x ⎛⎫-+-+> ⎪⎝⎭，所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题；对于命题q ，0x ∀<，x x >，是真命题，所以()p q ⌝∧是真命题．故选C ．7．【★答案★】C【解析】{}[](1)(4)01,4A x x x =+-≤=-，{}(]2log 20,4B x x =≤=，故(]0,4A B =，故选C ．8．【★答案★】B【解析】A ．设m 是实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则()()120m m --<，所以2m >或1m <，所以该命题是假命题；B ．“p q ∧为真命题”则p 真且q 真，“p q ∨为真命题”则p ，q 中至少有个命题为真命题， 所以“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件．所以该命题是真命题；C ．命题“x ∃∈R ，使得2230x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，0322≥++x x ”． 所以该命题是假命题；D ．命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0()0f x '=”的逆命题是“0()0f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，如函数3()f x x =，(0)0f '=，但是00x =不是函数的极值点，所以该命题是假命题． 故选B ． 9．【★答案★】A【解析】当错误!未找到引用源。