代数表示理论的简要介绍与近期发展

代数表示理论的简要介绍与近期发展

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摘要：代数表示理论是代数学的一个新的重要分支. 在近二十五年的时间里, 这一理论有了很大的发展。代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究一个A r t i n 代数上的模范畴。由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。本文主要从 Hall 代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展。

关键词：Hall 代数;遗传代数; Kac-Moody 李代数; 拟遗传代数;

介绍

早在二十世纪初,W d e d erb u rn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构,这种代数同构于有限个除环上的全矩阵代数的直和,其上的模都是半单模.那么,非半单代数的结构又如何呢? 经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分,将代数看作它的根借助半单部分的扩张.并由幂零根发展到谐零根、J。。o b so n 根等各种不同性质的根.一般来说,半单部分能够给出较好的刻画,但根的结构非常复杂。为此专门发展起了“根论”,进行这方面的研究。1 9 4 5年,美国数学家B a rue r 和T h a r n 提出了关于有限维代数的两个猜测.第一,“有界表示型代数是有限的。”第二,“对于任意一个无限表示型代数,存在无限多个自然数d,使得维数等于d 的模有无限多个。”这两个猜测成为代数表示论的起源。所谓一个代数是有限表示型的,是指它仅有有限多个(在同构意义下) 不可分解模,反之,称为无限型的.众所周知,一个代数的模与代数的表示,即代数到一个全矩阵代数的同态像是一回事.如果我们把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片,则有限表示型代数是用有限张照片就可以揭示清楚的一种代数,当然比较简单.而无限型代数则需用无限多张照片才能表达。代数表示论就是研究一个给定的A r t i n 代数是有限型还是无限型.若是有限型,确定其全体不可分解模;若是无限型,给出模的分布情况.我们大家所熟悉的J o r d a n 标准型就可以看作是单变元多项式环的商环的表示。事实上,令A 是复数域C 上的任意n x n矩阵,则C [ A〕是C上的有限维向代数,C [ A〕上的模是一个复数域上的有限维向量空间V ,带有一个到自身的线性变换A。

V O A.若A 有若当块

，则“ C [A ]有不可分解模

`

,

i,A 的 具 不 同 特征值的最大若 当块的阶数之和就是 C 厂 A 〕上的互不同构的不可分解模的个数 .如果说经典结构理论是直接刻画代数的构造 ,现代的代数表示论则是用模论的方法研究一个代数的结构 .

在 B ra ue r 一 T h r ol l 提出他们猜 测后 的二十多年中,试图解决这两个猜测的工作一直没有实质性的进展 .直到1 9 6 8 年,苏联数学家 R o j e tr 的文章:

“无限表示型代数上不可分解模的维数的无界性” ,对域上有限维代数证明了B r a u e r 一T h a r l l 第一猜测.这篇文章可称作代数表示论的开端 .1 9 6 9年 ,K a c 一M o o d y 定义了广义 a C r ta n 矩阵 ,使 李代 数 的 理论有了极大的突破 .由于这件事的启发 ,瑞士数学家 G ab r i e l 于 19 7 2一 1 9 7 3年发表了 “不可分解表示 工与 n ” ,运用图和二次型的方法对代数闭域上有限维路代数的表示型进行了完全的分类.1 9 7 4一 1 0 7 7年,美国数学家A u s l a d n e r 和挪威数学家 R i e t e n 发表了他们的系列文章:“ A i r tn 代数的表示理论 I 一巩” ,运用同调手法研究不可分解模 ,提出了几乎可裂序列这一重要概念,奠定 了代数表示论的理论基础 . 1 Hall 代数

一个以有限 p -群的同构类为基的自由 Abel 群可以赋予

一个乘法, 它的结构常数

是某些有限 p -群的某种滤链的个数. 以这种方式得到一个有单位元的结合环H ( Zp), 称它为 p -adic 整数环Zp 的 Hall 代数. 它是一个交换环并且在代数和组合的理论中起 着重要作用. 这种 Hall 代数首先被 E . Steinitz,后来被 Ph. Hall 所研究. 关于这方面的一个好的报道见 .

1990 年, C . M .Ringel 将 Hal l 代数的推广建立在相当任意的环──finitary 环( 特别是有限域上的有限维代数)上. 此时的 Hal l 代数一般不交换, 它相应的李代数引起了他的注意. 他的一系列研究结果表明, Hall 代数是一类非常重要的代数, 用它可实现许多 Kac-Moody 李代数及相应的量子包络代数. 这种通过Hall 代数理论建立的代数表示论与李理论的联系是值得进一步研究的.

为了叙述方便, 我们限制Hall 代数是有限域上的有限维代数的 Hall 代数.

本章约定: k 是一个有限域, A 是一个k 上的有限维代数, 它是结合的并且有单 位元; 记mod A 是所有的有限维左模的范畴, ind , A 是由所有不可分解A -模的同构类 的代表元构成的满子范畴; 对任意 M ∈mod A , 记[ M] 为 M 的同构类; 另外, Z 与 Q Hall 代数与合成代数

对 M , N1 , N2 , …, Nt ∈

mod A , 设 F M Nt , Nt -1, …, N1是 M 的如下滤链的个数:

0=U0 U1 … Ut =M

使得 Ui/ Ui-1 Ni , 1≤i ≤t . ( 注意: 如果 N1 , N 2 , …, Nt 都是单模,

F M Nt , Nt -1, …, N1恰好是 M 的具有预先给定合成因子的合成列的个数. )

特别地, 对 M , L , N ∈mod A , F M LN 是M 的子模U 的个数: U N 并且M/ U L . 代数 A 的( 整)Hal l 代数 H ( A)定义如下: 它是一个具有基{ u[ M] } M ∈mod A 的自 由 Z-模并且有乘法

∑∈=A mod M , M] [M

L

. M] Nu[ , F N] u[ L] u[