4-1 狄拉克符号
4-1 狄拉克符号
，
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(13)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
将(19)式定义的泛函记为 Fx ，并将所有 Fx 的集合记为 B X
。根据 Riesz 定理，
B X
包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，按照(2)式定义的加法和数乘成为
X 的对偶空间，记为 X ，即
X Fx x X
按照加法和数乘的定义(2)， x X ， (20)
4-1 狄拉克符号
~6~
线性子空间， 但 C a, b 根据由内积导出的度量不完备， 因此不是希尔伯特空间。 将 L2 a, b 中的泛函的定义域限制在 C a, b 上，确实可以得到新的泛函。比如，考虑如下分段函数
i 1
n
(12)
n
这是一个将
n
的映射，由内积的性质 Fx x 可知它是
上的线性泛函。将所有这样
n
的线性泛函的集合记为 B
n
。同样，我们很快会知道，B
n
包含了
n
n
上所
有的连续线性泛函。因此， B
按照(2)式定义的加法和数乘成为
n
的对偶空间。
按照加法和数乘的定义(2)， x
(17)
n
或写为 T x Fx 。与 线性的
的情况不同，根据(16)式可知这个映射不是线性的，而是复共轭
T ax by Faxby a Fx b Fy
狄拉克算符
又 因此
n n n n
n n
n
n
n 1
比如 引入算符
dx x x 1
ˆ Pn n n
因为
P n n n n n
m
a
m
m
m am n n m
m
am n nm an n
显然，该算符对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 n
n n
kj
i
ˆ H t ˆ F n n
i
ˆ x H x t ˆ F x n x n
(F
j
kj )a j 0
m
k
j
ˆ F j kj j 0
nm
u ( x)u
* n
( x)dx nm
n m nm
这就是薛定格方程的狄拉克符号表示。 定态薛定格方程 在 Q 表象下
ˆ H E
ˆ n H E n
ˆ nHm
m
m E n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即
H
m
nm
am Ean
六、平均值公式的狄拉克符号表示
在 Q 表象下
* ˆ ˆ F F m m F n n am Fmn an
定一组基矢，即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢
上的投影（即矢量的分量）表示，这就是波函数。与数 学中表示一个矢量可以不引入坐标系不用它的分量而直
接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个量子态也可
以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。这就是狄 拉克符号（Dirac bracket notation）。
a an
P(四章第四讲)狄拉克符号课件
n
n
n
( na*nbn n )* *
n
P(四章第四讲)狄拉克符号
波函数归一化
(,)2d3r*d3r1
本征矢的正交归一化
x | x
x|x' (x',x)(xx') ' （-'）
p |p ') (p ',p )(p ' p ) qq' （q-q'）
n | n
mn(um,un)m n lm |l'm ')(Y l'm ',Y lm )ll' m m '
t
P(四章第四讲)狄拉克符号
定义波函数演化算符：
U ˆ(t,t0)(t0)(t) (1 )
作用于 t 0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
分析：
（1） Uˆ(t0,t0)I
U ˆ(t0,t0)(t0) (t0),
（2）求它的具体形式
i (t) H ˆ(t)
t
i tU ˆ(t,t0 ) (t0 ) H ˆU ˆ(t,t0 ) (t0 ) P(四章第四讲)狄拉克符号
算符的矩阵
设态矢 经算符 F ˆ 的作用后变成态矢 ,即
Fˆ
|1|nn n
F ˆ n n n
mmF ˆnn n
Fmn mFˆ n
bm Fmnan n
b1 F11 F12
b2
F21
F22
P(四章第四讲)狄拉克符号源自a1 a2Schrödinger方程的矩阵形式
P(四章第四讲)狄拉克符号
态矢量在具体表象中的表示 (x) x (p) p
本征态上的展开系数（投影）
n | n
狄拉克符号
= b*j j k k b*j jk ak
jk
jk
= bk*ak
k
（4.5.15）
4.5 狄拉克符号
③ 算符的狄拉克符号表示
算符 Fµ作用在态矢量 中，得出另一个态矢量
Fµ
（4.5.16）
现在在 Q 表象中将算符 Fµ用狄拉克符号表示，由
bk k k Fµ k Fµ j j Fkja j （4.5.17）
B A anbn*
n
（4.5.1）
显然，标积满足： B A * A B
（4.5.2）
若 B A 0，则称态矢量 A 和 B 正交。归一条件为
A A 1
（4.5.3）
4.5 狄拉克符号
若 A 、 B 为某一线性厄米算符Fµ对应于本征值 i和 j的
本征态，将 A 和 B 分别记为 i 和 j ，则其正交归一条
ak k
k
展开系数 ak 为 ak k
代入（4.5.7）式得： k k
k
（4.5.7） （4.5.8） （4.5.9）
定义算符 Pk 为 Pk k k
（4.5.10）
4.5 狄拉克符号
它对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 k 上 去，使它变成在基矢 k 方向上的分量，即
Fµ
薛定谔方程
一般表示
(x)
Fµ(x, ih ) (x) (x)
x
狄拉克符号表示
x
Fµ x Fµ x
ih (x) Hµ (x)
t
ih
Hµ
t
ih x x Hµ
mathtype狄拉克符号
Mathtype狄拉克符号1. 简介Mathtype是一款常用的数学公式编辑器，可以在Microsoft Office等文档中插入各种数学公式。
其中，狄拉克符号（Dirac notation）是一种特殊的数学表示方法，常用于量子力学和量子信息领域。
本文将详细介绍Mathtype中如何使用狄拉克符号。
2. 狄拉克符号的基本表示狄拉克符号由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）于20世纪提出，用于描述量子力学中的态和算符。
它采用了右尖括号和左尖括号来表示态矢量和其对应的共轭转置，形如|ψ>和<ψ|。
在Mathtype中，可以通过以下步骤插入狄拉克符号： 1. 打开Mathtype编辑器；2. 在编辑器中选择”Insert”（插入）选项；3. 在弹出菜单中选择”Brackets & Delimiters”（括号与分隔符）；4. 在下拉菜单中选择”Angle Brackets”（尖括号）；5. 选择右尖括号”<“，并输入需要表示的态矢量或共轭转置；6. 选择左尖括号”>“，并输入需要表示的态矢量或共轭转置。
例如，表示一个态矢量|ψ>，可以使用以下代码：< | ψ >表示其共轭转置<ψ|，可以使用以下代码：< ψ | >3. 狄拉克符号的运算狄拉克符号不仅可以用于表示态矢量和共轭转置，还可以进行运算。
下面介绍几种常见的运算方法。
3.1 内积（Inner Product）内积是狄拉克符号中常用的一种运算，用于计算两个态矢量之间的相似度。
在Mathtype中，可以通过以下步骤插入内积表达式： 1. 打开Mathtype编辑器； 2. 在编辑器中选择”Insert”（插入）选项； 3. 在弹出菜单中选择”Brackets & Delimiters”（括号与分隔符）； 4. 在下拉菜单中选择”Angle Brackets”（尖括号）； 5. 选择右尖括号”<“，并输入第一个态矢量； 6. 输入一个竖线”|“，用于分隔两个态矢量； 7. 选择左尖括号”>“，并输入第二个态矢量。
用狄拉克符号阐述表象理论及表象变换
用狄拉克符号阐述表象理论及表象变换引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描述方法是由狄拉克首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为狄拉克符号。
狄拉克符号能够简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
本文用狄拉克符号全面阐述量子力学的表象理论，以及量子态、内积、算符、薛定谔方程等的变换，使读者对表象理论及表象变换有一个全面的认识。
一、Dirac 符号量子力学的理论描述常采用Dirac 符号。
它具有两个优点，即不依赖于具体表象和运算简捷。
由量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert 空间。
在这个空间中，态用右矢>|表示，一般写为>ψ|，定义在复数域上。
也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示相应的态，如>>>n E p x |'|'|、、分别表示坐标、动量和动能算符的本征态，而>lm |则表示角动量算符)ˆ,ˆ(2z L L 的共同本征态。
左矢< |表示共轭空间中与| >相应的一个抽象态矢。
如|'|x <<、ψ等则是上述右矢的共轭态矢。
二、内积定义两个态矢ψ和ϕ标积的形式为><ψϕ|，又称内积。
且满足下列关系>=<><ϕψψϕ||*若满足0|>=<ψϕ，则称>ψ|与>ϕ|正交；若满足1|>=<ψψ，则称>ψ|与>ϕ|是归一的。
若力学量完全集F 的本征态（分立）记为>k |，则其正交归一性可写为kjj k δ>=<|对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为)'''(''|'x x x x ->=<δ；而动量算符的本征态的正交归一性可写为)'''(''|'p p p p ->=<δ。
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac 符号系统与表象一、Dirac 符号1. 引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。
2. 态矢量（1）. 右矢空间力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。
右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。
例如：=n na n ψ∑（2）. 左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。
右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。
<p ’ |, <x ’ |, <Q n | 组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。
（3）. 伴矢量<ψ | 和 |ψ>的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开：|ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：12n a a a ψ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭<ψ| 按 Q 的左基矢 <Q n | 展开：<ψ| = a*1 <Q 1 | + a*2 <Q 2 | + ... + a*n <Q n | + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：ψ+= (a*1, a*2, ..., a*n , ... )同理 某一左矢量 <φ| 亦可按 Q 的左基矢展开：<φ| = b*1 <Q 1 | + b*2 <Q 2 | +... + b*n <Q n | + ... 定义|ψ>和 <φ|的标积为：*n n nb a ϕψ=∑。
物理中狄拉克符号
物理中狄拉克符号
狄拉克符号（Dirac Notation）是用来描述量子力学中的态的一种数学表示方法。
它是由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）引入的。
在狄拉克符号表示法中，一个量子态被表示成一个矢量，通常用“|”和“>”符号包围，如：
|ψ⟩
这个矢量表示一个态矢量，它是一个复数列向量，在量子力学中它代表一个物理系统的状态。
这个矢量可以被视为向量空间中的一个点或向量，因此它也被称为“态矢量”。
狄拉克符号有很多特性，其中最重要的是内积和外积。
内积是两个矢量之间的一种运算，它把两个矢量映射到一个标量上。
内积表示为：
⟩ψ1|ψ2⟩
其中，“⟩”、“|”和“⟩”符号表示一个叫做“bra-ket”的记号。
内积可以用来计算两个态矢量之间的相似度，也可以用来计算一个态矢量在另一个态矢量方向上的投影。
外积是两个矢量之间的一种运算，它把两个矢量映射到一个新的矢量上。
外积表示为：
|ψ1⟩⟩ψ2|
外积可以用来构造一个算符，它可以作用于一个态矢量上，将它转换成另一个态矢量。
狄拉克符号的使用简化了量子力学的数学表达式，使得物理学家们可以更方便地描述和计算量子系统中各种量的性质和变化。
狄拉克方程——精选推荐
狄拉克⽅程R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R = - 8 \pi {G \over c^2} T_{uv}其中G 为⽜顿万有引⼒常数这被称为爱因斯坦引⼒场⽅程，也叫爱因斯坦场⽅程。
该⽅程是⼀个以时空为⾃变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的⼆阶双曲型偏微分⽅程。
它以复杂⽽美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。
最终⼈们得到了真正球⾯对称的准确解——史⽡兹解。
加⼊宇宙学常数后的场⽅程为：R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R + \Lambda g_{uv}= - 8 \pi {G \over c^2}T_{uv}式右边应该是光速的4次⽅，即：c^4狄拉克⽅程式理论物理中，相对于薛定谔⽅程式之于⾮相对论量⼦⼒学，狄拉克⽅程式是相对论量⼦⼒学的⼀项描述⾃旋-?粒⼦的波函数⽅程式，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建⽴，不带⽭盾地同时遵守了狭义相对论与量⼦⼒学两者的原理，实则为薛定谔⽅程的洛仑兹协变式。
这条⽅程预⾔了反粒⼦的存在，随后1932年由卡尔·安德森发现了正⼦(positron)⽽证实。
狄拉克⽅程式的形式如下：，其中是⾃旋-?粒⼦的质量，与t分别是空间和时间的座标。
狄拉克的最初推导狄拉克所希望建⽴的是⼀个同时具有洛仑兹协变性和薛定谔⽅程形式的波⽅程，并且这个⽅程需要确保所导出的概率密度为正值，⽽不是像克莱因-⾼登⽅程那样存在缺乏物理意义的负值。
考虑薛定谔⽅程薛定谔⽅程只包含线性的时间⼀阶导数从⽽不具有洛仑兹协变性，因此很⾃然地想到构造⼀个具有线性的空间⼀阶导数的哈密顿量。
这⼀理由是很合理的，因为空间⼀阶导数恰好是动量。
其中的系数αi和β不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个⽅程也不是洛仑兹协变的。
因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶矩阵以满⾜洛仑兹协变性。
如果系数αi是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，⽽只能是N×1阶列⽮量狄拉克把这些列⽮量叫做旋量（Spinor），这些旋量所决定的概率密度总是正值同时，这些旋量的每⼀个标量分量需要满⾜标量场的克莱因-⾼登⽅程。
狄拉克(Dirac)符号
< n | F | ψ >=< n | ϕ > < n | ϕ >= ∑ < n | F | m >< m | ψ >= ∑ Fnm < m | ψ >
m m
∧
注意 ： ）式是抽象的算符方程 ， ） ）式是具体表象中的算符方程， 意： （ 24 24） 程， （ 25 25） ， （ 26 26） < m | ψ >, < n | ϕ > 是算符作用前、后的态矢在 {| n >}表象中的分量， Fnm 也是具体表象中 的矩阵元。 1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢 | λ > 上
（6）
n
这里 < B | A >=< A | B > * 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱
| n >, | λ > 仍为抽象的本征矢
力学量完全集的本征函数 {u n } 具有离散的本征值 {Qn }时，对应的本征矢 | 1 >, | 2 >,⋯ | n > 或 | nlm > 等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ | 1 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ | 2 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ | n >= ⎜ 1 ⎟ ← 第 n 行 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ （8）
∧ ∧
） （29 29） （30 ） 30） ） （31 31）
< λ ′ | ϕ >=< λ ′ | F | ψ >
< λ ′ | ϕ >= ∫ | < λ ′ | F | λ > dλ < λ | ψ >= ∫ Fλ ′λ < λ | ψ > dλ 例如 < x ′ | ϕ >=< x ′ | F | ψ >= ∫ Fx′x < x | ψ > dx 即为 x 表象中方程
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号这篇文章并不是关于费恩曼讲义书中任何一章的笔记，只是单独的一篇讲狄拉克符号含义和用法的文章。
我在看书的过程中对狄拉克这个简洁又多功能的符号产生过很多疑惑，今天就尝试将这些疑惑和自己找到的答案写出来，希望对其他同学有些许帮助。
如果大家有发现错误也希望可以进行批评指正。
狄拉克符号在量子力学中是一个很神奇的符号，它的外观非常的简洁、洋气，在量子力学中的作用就像路标对开车的作用一样重要，所以受到大量学习量子力学的人的喜爱。
其含义非常简单，最基本的狄拉克符号如下所示<状态2|状态1>狄拉克符号是从右往左看的，<状态2|状态1>表示的是从状态1到状态2的概率幅（关于概率幅的含义可以看我之前的推送量子力学笔记——电子在晶格中的传播）。
状态(state)在量子力学可以用来表示很多信息，比如一个粒子它处于某一位置可以称为处于某一状态，相应的它的特定的动量、角动量等信息都可以描述为状态（因为更多人直接称之为“态”，所以下文会直接简写为态）。
值得注意的是，态是矢量，具有方向性，<态2|为左矢量，|态1>为右矢量。
狄拉克符号还可以有各种“拆卸组装转换”的方法：1、狄拉克符号可以拆分成局部，比如：<态2|，或者|态1>拆分好处一来可以减少字数，二来空缺的那一部分要补充时可以填入任何态，增加使用的灵活性。
2、狄拉克符号还可以连着使用，比如：<态3|态2><态2|态1>表示为态1到态2，然后从态2再到态3的概率幅。
3、狄拉克符号转换前后位置时需要取复数共轭：<态2|态1> = <态1|态2>*（变换的原理会在下文讲到）4、狄拉克符号还可以量化两个状态跳转的过程：<态2|Q|态1>Q的含义为一个算符(operator)，意思是态1经过算符变换到态2，这个算符可以是施加外力、旋转、使粒子穿过一个特殊设备、甚至静置一段时间，等等……对比一下同样表示概率幅的波函数，狄拉克符号没有像指数、复数这些复杂的东西，而且可以任意“拆分组装”，所以显得非常友好。
P四章第四讲狄拉克符号
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号
定义：左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
A *(rr )Aˆ (rr )drr ( , Aˆ ) Aˆ
t
ih m m Hˆ
t
m Hˆ 1
m Hˆ n n n
ih t am n Hmnan
平均值公式1的矩阵形式
F Fˆ 1 Fˆ 1
m m Fˆ n n mn
am* Fmnan mn
平均值公式2的的矩阵形式
( , ) 2 d 3r * d 3r 1
本征矢的正交归一化
x | x
x | x ' ( x', x ) (x x ') pr | pr ') ( pr ', pr ) ( pr ' pr )
n | n m n (um , un ) mn
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第四章：表象与矩阵力学
第四讲：狄拉克(Dirac)符号
引入：一对奇妙的组合
狄拉克：沉默寡 言，追求精确。
剑桥大学同事 定义了“一个小 时说一个字”为 一个“狄拉克” 单位
海森堡：活泼开 朗，喜唱歌跳舞， 是团队中的开心 果。
F | an |2 fn n n Fˆ n
4.5狄喇克符号
∑
n
a n ( t )un ( x )
an (t ) =
∫u
n
n
* ( x ) Ψ ( x . t ) dx
即为
| ψ >= ∑ an | u n >
an = un Ψ
所以
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
| ψ >= ∑ an | u n >|= ∑ | u n >< u n | ψ >
n n
所以
∑
n
| un >< un |= 1
上式即为本征矢的封闭性.
B | 。刃和
刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加， 刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种
态矢量在Q表象中的分解是 态矢量在 表象中的分解是
ψ = ∑ cnun
n
ψ = ∑ cn n ,
n
基δ mn
*
m n = δ mn ,
平均值公式是: 平均值公式是:
|
微观体系的状态可以用一种矢量来表示， 微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 称为刃矢 右矢） 简称为刃 刃矢（ ，称为刃矢（右矢），简称为刃，表示某一确定的刃 称为刁矢 左矢） 刁矢（ | ，称为刁矢（左矢），
矢A，可以用符号 | A 。微观体系的状态也可以用另一种 ， 矢量来表示， 矢量来表示，这种矢量符号是 简称为刁 表示某一确定的刁矢 可以用符号 简称为刁。表示某一确定的刁矢B可以用符号 表象中的相应分量互为共厄复数。 表象中的相应分量互为共厄复数。
§4.4 狄喇克(Dirac)符号
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac符号系统与表象一、Dirac符号1.引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax ,Ay,Az)表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为Dirac 符号。
2.（1）.（或基组）（2（3<ψ|按定义有：ψψa）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；b）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；c）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。
（4）.本征函数的封闭性a）分立谱展开式：可得：因为|ψ>是任意态矢量，所以：b）连续谱对于连续谱|q>，q取连续值，任一状态|ψ>展开式为：因为|ψ>是任意态矢量，所以：这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
c ）投影算符|Q n ><Q n |或|q><q|的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ>上，相当于把|ψ>投影到左基矢|Q n >或|q>上，即作用的结果只是留下了该态矢在|Q n >上的分量<Q n |ψ>或<q|ψ>。
故称|Q n ><Q n |和|q><q|为投影算符。
因为|ψ>在X 表象的表示是ψ(x,t)，所以显然有：在分立谱下：所以*(')()(')n n nu x u x x x δ=-∑。
在连续谱下：所以*(')()(')u ⎰。
3.（1X 即Q （2即有：4.到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。
量子力学中的算符和Dirac符号
二、Dirac符号的引入
• 量子力学的语言是Dirac符号法，它有两个优点： 一是无需采用具体表象来讨论问题； 二是运算简洁。
• Dirac符号法，也称为q数理论，而q数理论核心 内容之一就是表象可以用以坐标为变量的波函数 Ψ (x ,t )来描写， 力学量则以作用在这种波函数上的算符来表示，这是 量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可 以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 • 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示 形式称为表象。
• 线性算符的充分条件：
ˆ [ f ( x) g ( x)] A ˆ f ( x) A ˆ g ( x) A ˆ [cf ( x)] cA ˆ f ( x) A
量子力学的一个基本假设：力学量用线性厄米算符表 示，即，量子力学中表示力学量的算符一定是线性厄 米算符。 利用力学量的算符可以预言在给定状态里测量这一力 学量所得结果的期望值——平均值。 可得到给定状态里该力学量的表象
• 算符的加法满足通常的代数法则； • 算符的乘法满足通常的结合律和分配率，但一般 不满足交换律。 ˆ和B ˆB ˆ ，则称算符 A ˆ =B ˆA ˆ 是可对易的。 如果A
算符的对易
定义算符的对易关系：
ˆ与 B ˆ 满足交换律，那么就称算符可对 • 如果算符 A ˆ ,B ˆ ]= 0 易，即 [A ˆ 和B ˆ 有共同的本征函 ˆ 、 ˆ 相互对易，则 A 若A B 数系； ˆ 和B ˆ 有共同的本征函数系，则A ˆ 相互对 ˆ 和B 若A 易。 如果两个算符之间不对易，则它们不能同时有确 ˆ p和 r 定值。 如 ˆ
a , a , , a ,
* 1 * 2 * n
• 力学量 O的狄拉克符号表示：
P(四章第四讲)狄拉克符号
ˆ (t ), H ˆ ˆ (t )] A 则 d A(t ) 1 [ A dt i t
(4)
上式称为Heisenberg方程。
3）狄拉克（Dirac）绘景与狄拉克方程 也称相互作用绘景（I绘景），他把哈密顿量 分解成两部分（比如：能精确求解的和含微扰的 哈密顿量；也称不含时的和含时的哈密顿量）
展开系数构成坐标矩阵
3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有 不同的矩阵形式，却可相互转换（幺正变换）
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号 定义： 左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
ˆ (r )dr ( , A ˆ) A ˆ A (r )A
定义波函数演化算符：
ˆ (t , t ) (t ) (t ) U 0 0
分析： ˆ (t , t ) I （1） U 0 0
(1)
作用于 t0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
ˆ (t , t ) (t ) (t ), U 0 0 0 0
（2）求它的具体形式 ˆ (t ) i (t ) H t ˆ ˆ ˆ (t , t ) (t ) i U (t , t0 ) (t0 ) HU 0 0 t
*量子力学到经典力学的过渡
在海森堡绘景中，只是算符随时间深化，现考察自由粒子的位 置算符随时间的演化
现令t0=0
d 1 1 iHt / 2 iHt / r (t ) [ r (t ), H ] e [ r , p / 2 m]e dt i i p iHt / p iHt / e e m m
9第4章概念1-狄拉克符号、矩阵表示、表象变换
则 因此
ˆ ψ 1 F ψ 2 = λ2 ψ 1 ψ 2
ˆ ψ 1 F ψ 2 = λ1 ψ 1 ψ 2
ψ1 ψ 2 = 0
7.基矢组
1 、 、 、 、 为态矢空间中一组正交归一完备基矢组，则 2 ⋯ n ⋯ 为态矢空间中一组正交归一完备基矢组，
k n = δ kn
ψ = ∑ an n
n
n
ˆ A∑ cn ψ n
ˆ ˆ 都没有意义。 A ψ 和 ψ A都没有意义。
n
ˆ ψ B= Ψ ˆ = ∑ cn A ψ n
n
4.左矢和右矢互为共轭 + ψ = ψ
+
ψ
+
=ψ
* cn ψ n = ∑ cn ψ n ∑ n n
因为 又 所以
(
ˆˆ BA ψ
) ( ) ˆˆ ( BA ψ ) = ψ
n n
ˆ Lkn = k L n
ˆ 表象中的矩阵元。 即 L 在F表象中的矩阵元。 表象中的矩阵元 表象中， 在F表象中，对任意态矢 ψ ，有 表象中
ak Lkn an L= ψ L
k ,n
k ,n
* = ( a1
* a2
L11 ⋯) L21 ⋯
ˆ Fkn = Fnδ kn = k F n
ˆ 表象中的矩阵表示如何？ 另一力学量算符 L 在F表象中的矩阵表示如何？ 表象中的矩阵表示如何 ˆ ˆ 若 L ψ = Φ 且 F n = Fn n 有
ψ = ∑ an n
n
an = n ψ
bk = k Φ
Φ = ∑ bk k
k
则算符方程的矩阵表示为 L11 L12 ⋯ ⋯ Lk1 Lk 2 ⋯ ⋯ 所以
狄拉克符号(Dirac)
狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有∑=nn n u a ψ （1）n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= n a a a 21ψ () ,,,,**2*1n a a a =+ψ （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为()∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n B A b a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3）注意：A B B Aψψψψ++≠ 1.1.3狄拉克符号的引入态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间⇒伴随空间 引入符号>，称为右矢 [Ket 矢，Bra 矢（Bracket 括号><）]微观体系的一个量子态ψ用>ψ表示，>ψ的集合构成右矢空间，>ψ在右矢空间中的分量表示可记为矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=> n a a a 21ψ （4）约定：右矢空间的态矢 ,,,B A ψψψ一律用字母 ,,,>>>B A ψψψ表示力学量的本征态矢一律用量子数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表示 引入符号 <，称为左矢 微观体系的一个量子态ψ也可用ψ<表示，但在同一表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ （5）ψ<的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢>>B A ,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=<nn n n n b a b a b a A B ***11| （6）这里*||>>=<<B A A B >>λ|,|n 仍为抽象的本征矢1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱力学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征矢>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 0011| ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>= 0102| …… ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 010|n 第n 行 （7）（1）基矢具有正交归一性 mn n m δ>=<| （8） （2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ （9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=<nm mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把>=<ψ|n a n 代入>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以1||=<>∑n n n（11）称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为{}>λ|（1）正交归一性 )(|λλδλλ'->='< （12） （2）展开定理 ⎰'>'>=λλψλd a || （13） >=<ψλλ|a （14） （3）封闭性 1||=<>⎰λλλd （15）注意： >>>λ|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢，例如>'x |只表示本征值为x '的力学量x 的本征矢，而具体的基矢形式为：x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p-=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>=<n n ),,(|ϕθψr nlm x nlm >=< px ie p x2/1)2(1|π>=<1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱基矢为{}>n |，态矢记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，用基矢展开><>>=⋅>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛><><><=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=ψψψψ||2|1|21n a a a n （17） 相应的左矢 ∑><<=<nn n |||ψψ （18）()()><><><==<n a a a n |2|1||**2*1ψψψψ （19）1.3.2 连续谱⎰><>>=ψλλλψ|||d （20） 或 ⎰<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表示一个抽象的态矢，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用 1.4.1 离散谱（1）算符作用在基矢上∑∑>>=><>=∧∧nnnm n F m F n n m F ||||| （22）算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （24） 即有 >>=<<∧ϕψ|||n F n （25） 或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψϕ||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，><><ϕψ|,|n m 是算符作用前、后的态矢在{}>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
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由此可见 r 与其在 xy 平面内的投影矢量 r1 xex ye y 导出了同一个泛函。由此可知，对 于 xy 平面而言，
3
中的矢量与 xy 平面中的矢量导出的泛函一样多。
对于一般的线性空间 X ，如果 Y 是 X 的希尔伯特子空间，则
X Y Y
(30)
其中 Y 是所有垂直于 Y 的矢量的集合，称为 Y 的正交补子空间。根据子空间正交的定义， 有 Y Y 。由此可见， X 中的任意矢量 x ，均可分解为 Y 与 Y 中的矢量之和
按照(2)式定义的加法和数乘成为
n
的对偶空间。
按照加法和数乘的定义(2)， x
，
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(13)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
4-1 狄拉克符号
~4~
种方式来定义泛函。根据内积的性质，由内积导出的泛函是连续线性泛函，因此内积空间的 连续线性泛函至少跟它包含的矢量数目一样多。 那么， 是否内积空间上所有的连续线性泛函 都能由内积来导出？这可以由如下定理来回答。 Riesz 定理：如果 X 是希尔伯特空间， F 是 X 上的连续线性泛函，那么存在唯一的
3
为 例来说明这个问题。容 易知道， xy 平面是
3
3
希尔伯 特子空间， 设
r x ex y ey z ez
，根据内积的性质，对于 xy 平面的任意矢量 r ，由于 r ez ， (29)
r , r xex ye y zez , r xex ye y , r
T : x Fx
根据内积的性质可知， x X ，
(25)
Faxby x ax by, x a x, x b y, x a Fx x b Fy x
因此
(26)
Faxby a Fx b Fy
d Tx, Tx0
则称 T 在 x0 连续。
(1)
定理：设 T 是度量空间 X , d 到度量空间 Y , d 的映射， xn 是 X 中的收敛点列， 则 T 在 x0 X 连续的充要条件为：当 xn x0 n 时，必有 Txn Tx0 n 。 如果映射 T 在 X 的每一点都连续，则称 T 是 X 上的连续映射。注意，在定义映射的连 续性时用到了度量的概念。 当我们讨论赋范线性空间的连续映射时， 默认其度量是由范数导 出的。 数学上能够证明，对于两个赋范线性空间之间的线性算符，如果在其中一点连续，则映 射处处连续，且算符的连续性等价于有界性。此外可以证明，有限维赋范线性空间中的线性 算符为连续算符，因此也是有界算符。 在量子力学中， 我们感兴趣的是线性空间上的线性算符和线性泛函。 第三章已经讨论了 线性空间 X 上的（映射为 X X ）线性算符，现在我们要关注的是赋范线性空间 X 上的 连续线性泛函，即 X 的连续线性映射。 定义： 设 X 是一个赋范线性空间， 将 X 上所有连续线性泛函的集合记为 B X 对于任意两个 B X 义加法和数乘为
(7)和(8)式对
n
(7) (8)
中的任意矢量都成立，因此
Fx Fy Fx y ,
根据 B
aFx Fax
n
(9)
n
n
的构成方式，可以在两个线性空间
和B
之间可以建立一个
(10)
同构映射（一一对应的线性映射）
T : x T x Fx
4-1 狄拉克符号
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(21)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
4-1 狄拉克符号
~1~
4-1 狄拉克符号
Equation Chapter 4 Section 1
1. 对偶空间
如前所述，在泛函分析中通常将映射称为算符，泛函是把函数变成数的映射，是算符的 特殊情况。为了进一步讨论，我们先来定义度量空间的映射的连续性，它是函数连续性的推 广。根据第三章，非空集合 X 定义了度量 d ，就成为度量空间，记为 X , d 。 定义：设 X X ,d 和 Y Y , d 是两个度量空间， T 是从 X 到 Y 中的映射。如果对 于 x0 X 和任意给定的正数 ，存在正数 0 ，使得对一切满足 d x, x0 的 x ，成 立
将(19)式定义的泛函记为 Fx ，并将所有 Fx 的集合记为 B X
。根据 Riesz 定理，
B X
包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，按照(2)式定义的加法和数乘成为
X 的对偶空间，记为 X ，即
X Fx x X
按照加法和数乘的定义(2)， x X ， (20)
(14) (15)
aFx x a x, x a x, x Fa x x
(14)和(15)式对
n
中的任意矢量都成立，因此
Fx Fy Fx y ,
在
n
aFx Fa x
(16)
和B
n
之间可以建立一一对应的映射
T : x T x Fx
4-1 狄拉克符号
~6~
可能存在更多的连续线性泛函。 比如，L2 a, b 是一个希尔伯特空间，C a, b 是 L2 a, b 的 线性子空间， 但 C a, b 根据由内积导出的度量不完备， 因此不是希尔伯特空间。 将 L2 a, b 中的泛函的定义域限制在 C a, b 上，确实可以得到新的泛函。比如，考虑如下分段函数
Fx ax by aFx x bFx y
因此 Fx x 是
n
(4)
上的一个线性泛函。
n
中每一个矢量 x 都可以定义一个线性泛函，将所
有这样的线性泛函的集合记为 B
n
n
，即 F
n
x
B
我们很快就会知道， B
x
n
n
(5)
n
n
包含了
所有的连续线性泛函。因此 B
按照
(2)式定义的加法和数乘成为
的对偶空间。
n
按照加法和数乘的定义(2)， x
，
F
根据内积的性质，
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(6)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x aFx x a x, x ax, x Fax x
(17)
与
n
的情况不同，根据(16)式可知这个映射不是线性的，而是复共轭线性的
T ax by Faxby a Fx b Fy
因此这是一个复共轭线性映射，称为复共轭同构映射，称 B 构，简称复共轭同构。 在
n
(18)
n
和
n
复共轭线性同
和
n
的粒子中，泛函都是由内积来导出的。对任何一个内积空间，都可以用这
x y z, y Y , z Y
其中 y 称为 x 在子空间 Y 中的投影矢量。根据内积的性质， x X , y Y ，
(31)
x, y y, y z, y y, y
(32)
由此可见， 对于子空间 Y 而言，x 与其投影矢量 y 导出的泛函是一样的。 因此对于子空间 Y 而言， X 中的矢量与 Y 中的矢量导出的泛函一样多。 (2) 设 X 是一个希尔伯特空间， X 1 是 X 的子空间，但 X 1 不是希尔伯特空间。此时有
x X ，使得对 x X ，有
F x x, x
证明过程可以在任何一本泛函分析教材上查到。 根据 Riesz 定理， 由内积定义的泛函包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，
n
(19)
n
和
都是希尔伯特空间， 因此 B
n
和 B
n
分别构成了
n
和
n
的对偶空间。
由此可知映射 T 是共轭线性的
(27)
T : ax by Faxby a Fx b Fy
(28)
4-1 狄拉克符号
~5~
因此，映射 T 是复共轭同构映射。 X 与 X 复共轭同构。 在复共轭同构的意义上， 希尔伯特空间 X 和它的对偶空间 X 可以看作同一个空间， 即 把矢量 x 看作泛函 Fx ，把泛函 Fx 看作矢量 x 。这是数学上通常的做法。不过在量子力学 中，我们正是要区分这两个不同的空间，并赋予不同的意义。 讨论 (1) 设 X 是一个希尔伯特空间，如果其子空间也是希尔伯特空间，就称为 X 的希尔伯 特子空间。设 Y 是 X 的希尔伯特子空间，根据 Riesz 定理，其对偶空间 Y 与 Y 复共轭线性 同构， 因此两个空间的矢量可以一一对应。 这似乎是一个违反直观的结论。 因为只要将 X 上 的连续线性泛函的定义域限制在 Y 上，就可以得到 Y 上的连续线性泛函，因此 X 中的所有 矢量都能导出 Y 上的泛函。这样看来，如果 Y 不等于 X 本身，则 Y 上的泛函应该比 Y 中的 矢量的数目多一些。然而容易证明，当泛函的定义域为 Y 时， X 中的矢量并不能比 Y 中的 矢量导出更多的泛函。 我们以