4-1 狄拉克符号

n

n
包含了
所有的连续线性泛函。因此 B

按照
(2)式定义的加法和数乘成为
的对偶空间。
n
按照加法和数乘的定义(2)， x
，
F
根据内积的性质，
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(6)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x aFx x a x, x ax, x Fax x

x y z, y Y , z Y
其中 y 称为 x 在子空间 Y 中的投影矢量。根据内积的性质， x X , y Y ，
(31)
x, y y, y z, y y, y
(32)
由此可见， 对于子空间 Y 而言，x 与其投影矢量 y 导出的泛函是一样的。 因此对于子空间 Y 而言， X 中的矢量与 Y 中的矢量导出的泛函一样多。 (2) 设 X 是一个希尔伯特空间， X 1 是 X 的子空间，但 X 1 不是希尔伯特空间。此时有
Fx ax by aFx x bFx y
因此 Fx x 是
n
(4)
上的一个线性泛函。
n
中每一个矢量 x 都可以定义一个线性泛函，将所
有这样的线性泛函的集合记为 B

n

n
，即 F
n
x
B
我们很快就会知道， B

x
n

n
(5)
中的元素，即 B X 对上述加法和数乘满足封
关于这样的加法和数乘满足线性空间的八个条件，因此
4-1 狄拉克符号
~2~
构成线性空间，称为 X 的对偶空间（dual space）或共轭空间（conjugate space） ，记为 X 。 举例 (1)
n
的对偶空间
, x2 , 设 x x1
由此可见 r 与其在 xy 平面内的投影矢量 r1 xex ye y 导出了同一个泛函。由此可知，对 于 xy 平面而言，
3
中的矢量与 xy 平面中的矢量导出的泛函一样多。
对于一般的线性空间 X ，如果 Y 是 X 的希尔伯特子空间，则
X Y Y

(30)
其中 Y 是所有垂直于 Y 的矢量的集合，称为 Y 的正交补子空间。根据子空间正交的定义， 有 Y Y 。由此可见， X 中的任意矢量 x ，均可分解为 Y 与 Y 中的矢量之和
T : x Fx
根据内积的性质可知， x X ，
(25)
Faxby x ax by, x a x, x b y, x a Fx x b Fy x
因此
(26)
Faxby a Fx b Fy


按照(2)式定义的加法和数乘成为
n
的对偶空间。
按照加法和数乘的定义(2)， x
，
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(13)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
3
为 例来说明这个问题。容 易知道， xy 平面是
3
3
希尔伯 特子空间， 设
r x ex y ey z ez
，根据内积的性质，对于 xy 平面的任意矢量 r ，由于 r ez ， (29)
r , r xex ye y zez , r xex ye y , r
(17)
与
n
的情况不同，根据(16)式可知这个映射不是线性的，而是复共轭线性的
T ax by Faxby a Fx b Fy
因此这是一个复共轭线性映射，称为复共轭同构映射，称 B 构，简称复共轭同构。 在
n
(18)

n

和
n
复共轭线性同
和
n
的粒子中，泛函都是由内积来导出的。对任何一个内积空间，都可以用这
4-1 狄拉克符号
~6~
可能存在更多的连续线性泛函。 比如，L2 a, b 是一个希尔伯特空间，C a, b 是 L2 a, b 的 线性子空间， 但 C a, b 根据由内积导出的度量不完备， 因此不是希尔伯特空间。 将 L2 a, b 中的泛函的定义域限制在 C a, b 上，确实可以得到新的泛函。比如，考虑如下分段函数
4-1 狄拉克符号
~1~
4-1 狄拉克符号
Equation Chapter 4 Section 1
1. 对偶空间
如前所述，在泛函分析中通常将映射称为算符，泛函是把函数变成数的映射，是算符的 特殊情况。为了进一步讨论，我们先来定义度量空间的映射的连续性，它是函数连续性的推 广。根据第三章，非空集合 X 定义了度量 d ，就成为度量空间，记为 X , d 。 定义：设 X X ,d 和 Y Y , d 是两个度量空间， T 是从 X 到 Y 中的映射。如果对 于 x0 X 和任意给定的正数 ，存在正数 0 ，使得对一切满足 d x, x0 的 x ，成 立
将(19)式定义的泛函记为 Fx ，并将所有 Fx 的集合记为 B X
。根据 Riesz 定理，
B X
包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，按照(2)式定义的加法和数乘成为
X 的对偶空间，记为 X ，即
X Fx x X
按照加法和数乘的定义(2)， x X ， (20)
函数
, xn
n
， x x1 , x2 ,
, xn
n
，利用内积定义如下 n 元线性
Fx x x, x xixi
i 1
n
(3)
这个函数是
n

的映射， 它将
n
中每一个矢量映射为一个实数 Fx x ， 映射法则由 x
来标记。根据内积的性质可知
(7)和(8)式对
n
(7) (8)
中的任意矢量都成立，因此
Fx Fy Fx y ,
根据 B
aFx Fax
n
(9)
n

n

的构成方式，可以在两个线性空间
和B


之间可以建立一个
(10)
同构映射（一一对应的线性映射）
T : x T x Fx
4-1 狄拉克符号


d Tx, Tx0
则称 T 在 x0 连续。
(1)
定理：设 T 是度量空间 X , d 到度量空间 Y , d 的映射， xn 是 X 中的收敛点列， 则 T 在 x0 X 连续的充要条件为：当 xn x0 n 时，必有 Txn Tx0 n 。 如果映射 T 在 X 的每一点都连续，则称 T 是 X 上的连续映射。注意，在定义映射的连 续性时用到了度量的概念。 当我们讨论赋范线性空间的连续映射时， 默认其度量是由范数导 出的。 数学上能够证明，对于两个赋范线性空间之间的线性算符，如果在其中一点连续，则映 射处处连续，且算符的连续性等价于有界性。此外可以证明，有限维赋范线性空间中的线性 算符为连续算符，因此也是有界算符。 在量子力学中， 我们感兴趣的是线性空间上的线性算符和线性泛函。 第三章已经讨论了 线性空间 X 上的（映射为 X X ）线性算符，现在我们要关注的是赋范线性空间 X 上的 连续线性泛函，即 X 的连续线性映射。 定义： 设 X 是一个赋范线性空间， 将 X 上所有连续线性泛函的集合记为 B X 对于任意两个 B X 义加法和数乘为
x X ，使得对 x X ，有
F x x, x
证明过程可以在任何一本泛函分析教材上查到。 根据 Riesz 定理， 由内积定义的泛函包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，
n
(19)
n
和
都是希尔伯特空间， 因此 B

n

和 B
n

分别构成了
n
和
n
的对偶空间。
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(21)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
由此可知映射 T 是共轭线性的
(27)
T : ax by Faxby a Fx b Fy
(28)
4-1 狄拉克符号
~5~
因此，映射 T 是复共轭同构映射。 X 与 X 复共轭同构。 在复共轭同构的意义上， 希尔伯特空间 X 和它的对偶空间 X 可以看作同一个空间， 即 把矢量 x 看作泛函 Fx ，把泛函 Fx 看作矢量 x 。这是数学上通常的做法。不过在量子力学 中，我们正是要区分这两个不同的空间，并赋予不同的意义。 讨论 (1) 设 X 是一个希尔伯特空间，如果其子空间也是希尔伯特空间，就称为 X 的希尔伯 特子空间。设 Y 是 X 的希尔伯特子空间，根据 Riesz 定理，其对偶空间 Y 与 Y 复共轭线性 同构， 因此两个空间的矢量可以一一对应。 这似乎是一个违反直观的结论。 因为只要将 X 上 的连续线性泛函的定义域限制在 Y 上，就可以得到 Y 上的连续线性泛函，因此 X 中的所有 矢量都能导出 Y 上的泛函。这样看来，如果 Y 不等于 X 本身，则 Y 上的泛函应该比 Y 中的 矢量的数目多一些。然而容易证明，当泛函的定义域为 Y 时， X 中的矢量并不能比 Y 中的 矢量导出更多的泛函。 我们以
，则 x
n
，利用内
Fx x x, x xi xi
i 1
n
(12)
n
这是一个将
n

的映射，由内积的性质 Fx x 可知它是
上的线性泛函。将所有这样
n
的线性泛函的集合记为 B

n

。同样，我们很快会知道，B
n

包含了
n
n
上所
有的连续线性泛函。因此， B
~3~
根据(9)式容易验证这个映射的线性性质
T ax by Faxby aFx bFy
由此可知， B (2)
n
(11)

n

与
n
线性同构，它也是一个 n 维线性空间。
的对偶空间
n
对于 n 维复欧氏空间 积定义如下 n 元连续函数
，同样可以定义其对偶空间。设 x
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~4~
种方式来定义泛函。根据内积的性质，由内积导出的泛函是连续线性泛函，因此内积空间的 连续线性泛函至少跟它包含的矢量数目一样多。 那么， 是否内积空间上所有的连续线性泛函 都能由内积来导出？这可以由如下定理来回答。 Riesz 定理：如果 X 是希尔伯特空间， F 是 X 上的连续线性泛函，那么存在唯一的
(22) (23)
aFx x a x, x a x, x Fa x x
(22)和(23)式对 X 中的任意矢Biblioteka Baidu都成立，因此
Fx Fy Fx y ,
定义 X X 的一一对应的映射 T 如下
aFx Fa x
(24)
(14) (15)
aFx x a x, x a x, x Fa x x
(14)和(15)式对
n
中的任意矢量都成立，因此
Fx Fy Fx y ,
在
n
aFx Fa x
(16)
和B

n

之间可以建立一一对应的映射
T : x T x Fx


。
中的元素 F : x F x 和 G : x G x ，以及任意复数 a ，定
(2)
F G x F x G x , aF x aF x
由此可知 F G 和 aF 均为 B X 闭性。此外，容易验证 B X