培优点二 函数零点
二次函数零点问题题类型方法总结
二次函数零点问题题类型方法总结二次函数是高中数学中的重要内容，求其零点是常见的题目类型之一。
本文将对二次函数零点问题的题型和解题方法进行总结。
题型总结在求解二次函数零点的过程中，常见的题型可以归纳为以下几种：1. 一元二次方程的解法：给定一个一元二次方程，要求求解方程的解。
2. 零点的个数：给定一个二次函数，要求计算其零点的个数。
3. 零点的坐标：给定一个二次函数，要求计算其零点的坐标。
4. 求参数：已知一个二次函数的零点和另外一个点的坐标，要求求解该二次函数的参数。
解题方法总结对于不同的题型，可以采用不同的解题方法来求解二次函数零点问题。
以下是常见的解题方法总结：1. 完全平方公式：对于一元二次方程，可以使用完全平方公式进行求解，即 $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$。
通过代入方程中的系数，即可得到方程的解。
2. 判别式法：通过计算方程的判别式来判断二次函数的零点个数。
若判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ 大于0，则方程有两个不相等的实数根；若判别式等于0，则方程有两个相等的实数根；若判别式小于0，则方程没有实数根。
3. 坐标法：对于求零点坐标的问题，可以通过将二次函数表示为顶点形式，然后根据顶点坐标和其他给定的坐标求解未知参数，进而得到零点的坐标。
4. 求参数法：对于求参数的问题，可以利用已知的零点坐标和另一点的坐标，构建方程组，然后通过解方程组求解未知参数。
总结通过以上的总结，我们可以了解到二次函数零点问题的常见题型和解题方法。
在实际解题中，根据题目要求选择合适的方法，并根据具体情况灵活运用，以获得正确的解答。
希望本文对您理解和解决二次函数零点问题有所帮助。
专题16 函数零点归类高一数学热点题型归纳与分阶培优练(人教A版2019必修第一册)(解析版)
专题16函数零点归类目录【题型一】零点与二分法 1【题型二】二次型零点：根的分布 3【题型三】二次函数技巧：切线型 5【题型四】利用中心对称求零点 9【题型五】利用轴对称求零点 11【题型六】利用周期求零点 14【题型七】水平线法求零点 18【题型八】分参法：对数函数与水平线法 21【题型九】内外复合型函数零点 24【题型十】复合“一元二次型”零点 28【题型十一】“镜像”函数求零点 31培优第一阶--基础过关练 34培优第二阶--能力提升练 38培优第三阶--培优拔尖练 44【题型一】零点与二分法【典例分析】已知函数f x =81ln x-13x-3-80的零点位于区间k,k+1内，则整数k=( )A.1B.2C.3D.4【提分秘籍】基本规律基本规律二分法的概念对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的_零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：①确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0．②求区间(a,b)的中点c．③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：a．若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点．b．若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c．c．若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)，则令a=c．④判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②~④．【变式训练】1.函数f x =ln x-2x-1的零点所在的区间是()A.1,2B.2,3C.3,4D.4,52.用二分法研究函数f x =x3+2x-1的零点时，第一次计算，得f0 <0，f0.5>0，第二次应计算f x1，则x1等于()A.1B.-1C.0.25D.0.753.函数f(x)=log8x-13x的一个零点所在的区间是()A.(1，2)B.(2，3)C.(3，3.5)D.(3.5，4)【题型二】二次型零点：根的分布【典例分析】若p:a∈R且-1<a<1，q：二次函数y=x2+a+1x+a-2有两个零点，且一个零点大于零，另一个零点小于零；则¬p是¬q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【提分秘籍】基本规律根的分布(1)开口方向；(2)判别式；(3)对称轴位置；(4)根的分布区间端点对应的函数值正负如果是“0”分布，可以用韦达定理【变式训练】4.若函数f (x )=2ax 2-x -1在区间(0,1)内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,1)C.(0,1)D.(1,+∞)5.函数y =x 2-2ax +a -1在(0,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是()A.0<a <1B.a <0或a >1C.a >1D.a <-1或a >06.已知函数f (x )=mx 2-3x +1的零点至少有一个大于0，则实数m 的取值范围为()A.-∞,2B.-∞,94C.-∞,94D.-∞,2【题型三】二次函数技巧：切线型【典例分析】已知函数f x =x 2+3x -kx -1有4个零点，则k 的取值范围是( )A.-13,1 B.-1,13C.-12,1 D.-1,12【提分秘籍】基本规律一元二次函数的切线，可以通过设一次函数切线方程，待定系数，联立方程判别式为零【变式训练】7.已知函数f x =2x -x 2,x ≥01x,x <0，若函数g x =f x -x +m 恰有三个零点，则实数m 的取值范围是()A.-∞,-2 ∪-14,0B.2,+∞ ∪0,14, C.-2,-14 ∪0,+∞D.14,2 ∪0,+∞8.设f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (1-x )=f (1+x )，当-1≤x ≤0时，f (x )=-x 2+1，若函数g (x )=f (x )-k (x +2)，(k >0)有3个不同的零点，则k 的取值范围是()A.8-215,4-23B.15,23 C.8-215,23D.15,4-239.已知函数y =(x -a )(x -b )-2的两个零点分别为α，β，其中a <b ，α<β，则()A.a <α<b <βB.α<a <b <βC.a <α<β<bD.α<a <β<b【题型四】利用中心对称求零点【典例分析】已知函数f x =2x -2x 2-2x+ax +1-4ax -4图象的对称中心为a ,b ，则f x 的零点个数为( )A.2B.1C.4D.3【提分秘籍】基本规律1.利用函数的中心对称点在x 轴上性质，可以知道零点关于中心对称点左右对称。
专题一 培优点2 隐零点问题
若a＝e，f′(x)≥0， ∴f(x)在定义域上是增函数； 若a>e，即ln a>1， 当0<x<1或x>ln a时，f′(x)>0； 当1<x<ln a时，f′(x)<0； ∴f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，ln a)上单调递减，在区间 (ln a，＋∞)上单调递增.
(2)当a＝0时，判定函数g(x)＝f(x)＋ln x－ 1 x2零点的个数，并说明理由. 2
设切点坐标为(x0，f(x0))， 由 f′(x)＝1x－a，得 f′(x0)＝x10－a， 所以切线方程为 y－(ln x0－ax0＋1)＝x10－a(x－x0)，即 y＝x10－ax＋ln x0. 因为直线y＝2x与函数f(x)的图象相切， 所以x10－a＝2， 解得 a＝－1.
ln x0＝0，
考点二 含参函数的隐零点问题
例2 已知函数f(x)＝aex－ln(x＋1)－1. (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴所围成的 三角形的面积；
当a＝e时，f(x)＝ex＋1－ln(x＋1)－1，f(0)＝e－1. f′(x)＝ex＋1－x＋1 1，f′(0)＝e－1， 故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)x，即y＝ (e－1)x＋e－1. 因为该切线在x，y轴上的截距分别为－1和e－1， 所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S＝12×|－1|×(e－1)＝e－2 1.
当x∈(x0，＋∞)时，G(x)>0，F′(x)>0. 所以函数F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 故F(x)min＝F(x0)＝x0 ex0－ln x0－x0－1， 由G(x0)＝0得x0 ex0－1＝0，
函数零点问题——找点的基本技法与技巧
函数零点问题——找点的基本技法与技巧
曾经写过两篇关于函数零点问题的小文章，一篇涉及到初级的找点概念和基本导向，另一篇涉及到一个重要的找点技巧——待定找点。
找点这种事，千万不要去看题目的答案，因为一千个人会找一千个点，松也好紧也好，只要能够通过找到的点说明零点的存在性即可。
但是说句心里话，我极其不喜欢使用max或者min函数（例如2016国I 导数题第一问的标答）来找点，因为在事实上，只要能理顺零点随参数变化的趋向（这应该是基本功！）那么依赖于参数的点就基本能够顺利地找到，用max或者min函数，有些多此一举的感觉。
以下公开这两篇小文章，未经允许谢绝转载。
注意最后一个题目方程左侧的函数，是一个极小值点不可解但是极小值却可求的函数，该函数型可进行推广，生成一簇极小值点不可解但极小值可求的含参函数。
该函数是我在今年4月份发现的。
第二篇文章没有标题，内容涉及上一篇文章的第三个题目。
找点已经可以算是一个研究课题，“根”是阶的估计，只要能够正确的估计阶，加上待定的手段，可以说没有找不到的点。
但是，这类题目，一定要自己动笔做，才会有感悟，自己尝试解一个题目的收获绝对超过看别人解十个题目，而且不要总考虑别人的点是怎么找的，要找出自己的风格和特色。
祝君好运。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 分层作业 第8章 函数应用 培优练2 函数零点的综合问题
解得 < < .
−(−) + ⋅ (−) + > ,
9.定义在上的奇函数()，当 ≥ 0时，() = ቐ
log 1 ( + 1), ∈ [0,1),
2
1 −∣ − 3 ∣, ∈ [1, +∞),
函数() = () − (0 < < 1)的所有零点之和为() B
所以 − = − ( − ) = − < ,所以 < ，故B错误；
又() = + − = − < ，
( ) = + − = + − > . + − = ,
所以 < < ，则 = ( − ) = ,
ቐ
= < ,
这时 < 是方程 + + = ( ≠ )有一个正实数根和一个负实数根的充要条
件，
由题意可知只有C选项： < −是 < 的充分不必要条件.故选C.
4.（多选题）下列说法正确的是( AC
)
A.已知方程e = 8 − 的解在(, + 1)( ∈ )内，则 = 1
可得 = − ，即 + = ，故A正确；
由基本不等式，得 + ≥ + = ，而 ≠ ，
所以等号不成立，故 + > ，故C正确；
因为() = − < ,
( )
=
+
二次函数零点问题梳理
二次函数零点问题梳理二次函数是高中数学中的重要内容之一，其中零点问题是常见的考点之一。
为了更好地理解和掌握二次函数零点问题，本文将对二次函数、零点以及相关的概念、性质和解题方法进行梳理和总结。
1. 二次函数的定义和性质：二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图象是抛物线，其开口方向由a的正负决定。
若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
2. 二次函数的零点：二次函数的零点就是函数的解，即满足f(x) = 0的x值。
零点也可以称为函数的根或者方程的解。
3. 二次函数的零点的性质：（1）判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac。
判别式的值可以判断二次函数的零点情况：a. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；b. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根，也即有一个重根；c. 当Δ < 0时，二次函数无实根，但有两个共轭复根。
（2）零点与二次函数图象的关系：a. 若零点为x1和x2，且x1 < x2，则函数图象与x轴相交于x1和x2两点；b. 若零点为x1 = x2，则函数图象与x轴相切于x1点；c. 若无实根，则函数图象与x轴不相交。
4. 求解二次函数零点的方法：（1）因式分解法：将二次函数进行因式分解，然后令各个因式等于零，解出x的值。
（2）配方法：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，若a ≠ 0，可将其变形为完全平方式(ax + b/2a)² + (c - b²/4a) = 0，然后移项并配方得到(x + m)² = n，再通过开平方将方程解出。
（3）求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其根的公式为： x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a。
高考数学精准培优专练二 函数的零点(文)
高考数学精准培优专练培优点二函数的零点一、求函数的零点例1：若幂函数()f x的图象过点，则函数()()3g x f x =-的零点是（）AB ．9C．D ．(9,0)二、根据零点求解析式中的参数值例2：若函数2()log ()f x x a =+与2()(1)4(5)g x x a x a =-+-+存在相同的零点，则a 的值为（）A ．4或52-B ．4或2-C ．5或2-D ．6或52-三、零点存在性定理应用例3：函数3()21f x x x =+-一定存在零点的区间是（）A ．1(0,)4B ．11(,42C ．1(,1)2D ．(1,2)四、讨论含参数方程根的个数或函数零点的个数例4：函数3()log |||sin π|f x x x =-在区间[2,3]-上零点的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8五、根据函数零点的个数求参数范围例5：已知函数2161,0()1(,02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则a 的取值范围为（）A ．[0,1)B ．(0,1)C ．1[,1)2D ．1(,1]2六、根据函数零点的分布求参数范围例6：函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)对点增分集训一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又在(1,2)上有零点的是（）A ．ln(1)ln(1)y x x =--+B ．33xxy -=-C ．23y x =-D ．33y x x=-2．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是（）A ．(1,0)-B ．1(0,4C ．11(,)42D ．1(,1)23．函数33()log 9f x x x =+-的零点所在区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．函数()|sin |lg f x x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．函数23,0()43,x a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数()f x 在R 上有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,0)-D ．[1,0)-6．已知22,()log ,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，则m 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[1,0)-C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞7．已知一次函数()12f x ax a =+-的零点在(3,4)内，则实数a 的取值范围是（）A ．11(,)34--B ．11(,)23--C ．1(1,)2--D ．(2,1)--二、填空题8．函数(1)ln ()3x xf x x -=-的零点是．9．若函数()xf x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是．10．如果函数22y x x m =++只有一个零点，则m 的值是．11．若方程ln 260x x +-=在(,1)()n n n +∈Z 上有一实数根，则n =．12．函数2ln 2,0()21,0x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数为．13．设函数1sin π,20()1(,09x x x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x a -=有三个不等实根1x ，2x ，3x ，且12352x x x ++=-，则a =．14．已知函数22,2()log ,2x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是．15．设a ∈Z ，函数()xf x e x a =+-，若(1,1)x ∈-时，函数有零点，则a 的取值个数有．16．函数()lg(2)1f x x x =+-的零点在区间(,1)()k k k +∈Z 内，则k =．三、解答题17．已知函数2()22(4)f x x ax a =+--．（1）若方程()0f x =有两个均大于2的根，求实数的取值范围；（2）若方程()0f x =有两个根1x ，2x ，且11x <-，20x >，求实数的取值范围．18．已知函数2()22(0)f x ax x a a =+--≤．（1）若1a =-，求函数的零点；（2）若函数在区间(0,1]上恰有一个零点，求取值范围．培优点二函数的零点答案例1：【答案】B【解析】设()af x x =，则2a=12a =，所以12()3g x x =-，由12()30g x x =-=，得9x =，所以函数()g x 的零点为9．例2：【答案】C【解析】由2(1)4(5)0x a x a -+-+=，解得4x =-或5x a =+．∵函数2()log ()f x x a =+与2()(1)4(5)g x x a x a =-+-+存在相同的零点，∴4x =-，5x a =+也是方程2log ()0x a +=的根．即2log (4)0a -+=或2log (5)0a a ++=，解得5a =或2a =-．例3：【答案】B【解析】∵3()21f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，根据零点存在性定理，∴()()0f a f b ⋅<，易知B 选项符合条件．例4：【答案】B 【解析】令()0f x =，所以3log |||sin π|x x -，在同一坐标系下作出函数3()log ||g x x =和()|sin π|h x x =在区间[2,3]-的图像，观察图像得两函数在[2,0]-有两个交点，在[0,3]有4个交点，所以函数3()log |||sin π|f x x x =-在区间[2,3]-上零点的个数为6．例5：【答案】D【解析】()()g x f x a =-恰好有3个零点，即为()f x a =有三个不等实根，作出()y f x =的图象，可得当112a <≤时，()f x 的图象与y a =有三个交点．例6：【答案】C 【解析】由条件可知(1)(2)(22)(41)0f f a a =----<，即(3)0a a -<，解得03a <<．一、选择题1．【答案】D【解析】选项A ，B ，D 中的函数均为奇函数，其中函数ln(1)ln(1)y x x =--+与函数33xxy -=-在(1,2)上没有零点，所以A ，B 选项不合题意；C 中函数23y x =-为偶函数，不合题意；D 中函数330y x x =-=(1,2)，符合题意．2．【答案】D 【解析】易知函数()f x 为减函数，又121111(402424f -=-=->，11(1)042f =-<，根据零点存在性定理，可知函数()42xx f x -=-的零点所在区间是1(,1)2．3．【答案】C【解析】∵3(2)log 210f =-<，3(3)log 3279190f =+-=>，∴(2)(3)0f f <，∴函数在区间(2,3)上存在零点．4．【答案】D 【解析】由已知，令()|sin |lg 0f x x x =-=，即|sin |lg x x =，在同一坐标系中作函数|sin |y x =与lg y x =的图象如图所示，可知两个函数图象有5个交点．5．【答案】D【解析】∵当0x >时，2()430f x x x =-+=，解得1x =或3，∴当0x >时，函数()f x 有两个零点分别为1和3，即当0x ≤时，()3xf x a =+有一个零点，由指数函数图象可知10a -≤<．6．【答案】A 【解析】()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，可得()0g x =，即()f x x m =--有两个不等实根，即有函数()y f x =和直线y x m =--有两个交点，作出()y f x =的图象和直线y x m =--，当1m -≤，即1m ≥-时，()y f x =和y x m =--有两个交点．7．【答案】C 【解析】由题意知，(3)(4)0f f ⋅<，解得112a -<<-．二、填空题8．【答案】1【解析】令()0f x =，即(1)ln 03x xx -=-，即10x -=或ln 0x =，∴1x =，故函数()f x 的零点为1．9．【答案】{|1}x a >【解析】设函数xy a =（0a >，且1a ≠）和函数y x a =+，则函数()xf x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，就是函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数y x a =+有两个交点，当01a <<时两函数只有一个交点，不符合；当1a >时，因为函数(1)xy a a =>的图象过点(0,1)，而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是{|1}x a >．10．【答案】1【解析】∵函数22y x x m =++只有一个零点，∴2240Δm =-=，∴44m =，∴1m =．11．【答案】2【解析】记函数()ln 26f x x x =+-，则(2)ln 220f =-<，(3)ln30f =>，所以(2)(3)0f f <，所以函数()f x 在(2,3)上必有零点，又函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以若方程ln 260x x +-=在(,1)()n n n +∈Z 上有一实数根，则2n =．12．【答案】3【解析】当0x ≤时，由()210f x x =+=，得12x =-，符合题意；当0x >时，2()ln 2f x x x x =-+，此时函数()f x 的零点个数就是函数ln y x =与函数22y x x =-图象的交点个数，由图象可知交点有2个，所以当0x >时，函数()f x 有2个零点，故函数()f x 共有3个零点．13．【答案】13【解析】如图所示，画出函数()f x 的图象，不妨设123x x x <<，则1232()32x x +=⨯-=-，又12352x x x ++=-，∴312x =，∴1211()93a ==．14．【答案】114k ≤≤【解析】由函数()y f x k =-有且只有一个零点，等价为数()0y f x k =-=，即()f x k =有且只有一个根，即函数()f x 与y k =只有一个交点，作出函数()f x 的图象如图，∵1(2)4f =，2log 21=，∴要使函数()f x 与y k =只有一个交点，则114k ≤≤．15．【答案】4【解析】根据函数解析式得到函数是单调递增的，由零点存在定理得到若(1,1)x ∈-时，函数有零点，需要满足(1)0111(1)0f a e f e -<⎧⇒-<<+⎨>⎩，因为a 是整数，故可得到a 的可能取值为0，1，2，3．16．【答案】2-或1【解析】函数()lg(2)1f x x x =+-，(,1)()x k k k ∈+∈Z 的零点，即为方程1lg(2)x x+=的根，在同一直角坐标系中作出函数lg(2)y x =+与1y x=的图象，如图所示．由图象，可知方程1lg(2)x x+=有两个根，一个在区间(2,1)--内，一个在区间(1,2)内，所以2k =-或1．三、解答题17．【答案】（1）64a -<<-；（2）4a >．【解析】（1）由方程()0f x =有两个均大于2的根，可得2(2)2120483202f a Δa a a =+>⎧⎪=+->⎨⎪->⎩，解得64a -<<-．（2）由方程()0f x =有两个根1x ，2x ，且11x <-，20x >，可得(1)940(0)2(4)00f a f a Δ-=-<⎧⎪=--<⎨⎪>⎩，解得4a >．18．【答案】（1）1；（2）(,2][1,0]-∞-- ．【解析】（1）若1a =-，则2()21f x x x =-+-，由2()210f x x x =-+-=，得2210x x -+=，解得1x =，∴当1a =-时，函数()f x 的零点是1．（2）已知函数2()22f x ax x a =+--，且0a ≤，①当0a =时，()22f x x =-，由220x -=，得1x =，且1(0,1]∈，∴当0a =时，函数()f x 在区间(0,1]上恰有一个零点；②当0a ≠时，由2()220f x ax x a =+--=易得(1)0f =，∴()0f x =必有一个零点1(0,1]∈．设另一个零点为0x ，则021a x a --⋅=，即0221a x a a --==--．∵函数()f x 在区间(0,1]上恰有一个零点，从而00x ≤，或01x ≥，即210a --≤或211a--≥，解得2a ≤-或10a -≤<．综合①②得，a 的取值范围是(,2][1,0]-∞-- ．。
高三数学精准培优专题练习2：函数零点
培优点二 函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x a x =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
新培优高中数学必修一课件第二章二次函数的图像
根据二次项系数的正负判断二次函数的开口方向，若二次项系数为正，则开口 向上；若为负，则开口向下。
抛物线顶点
抛物线顶点的位置也可以帮助判断开口方向，对于一般形式的二次函数，其顶 点坐标为(-b/2a, c - b²/4a)，根据顶点纵坐标的正负可以辅助判断开口方向。
对称轴和顶点作用探讨
二次函数在图像处理中也有广泛 应用，比如图像的缩放、旋转等
变换操作。
在信号处理领域，二次函数可以 用于滤波、降噪等处理过程。
此外，二次函数还在统计学、生 物学、物理学等其他学科领域中
有广泛的应用。
XX
PART 06
章节复习与总结提高
REPORTING
关键知识点回顾梳理
01
二次函数的一般形式、 标准形式和顶点形式；
对称轴
二次函数的图像关于对称轴对称 ，对称轴的方程为x = -b/2a。对 称轴将抛物线分为左右两部分， 每部分都是对称的。
顶点
顶点是抛物线的最高点或最低点 ，它决定了抛物线的位置和形状 。通过顶点坐标可以求出函数的 最大值或最小值。
单调性和最值问题求解
单调性
在对称轴左侧，二次函数单调递增或 递减；在对称轴右侧，二次函数单调 递减或递增。具体单调性取决于二次 项系数的正负。
算和分析。
经济活动中成本收益预测
在进行投资决策时，可以利用二次函 数来预测不同投资额度下的成本和收 益情况。
二次函数还可以用于预测市场价格波 动、销售量变化等经济指标的变化趋 势。
企业在进行生产决策时，也需要考虑 生产量与成本、收益之间的关系，这 同样可以通过二次函数进行模拟和分 析。
其他领域应用拓展
XX
PART 04
不同类型二次函数图像比 较
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数零点的定义函数零点：对于函数f(x)f(x)f(x)，如果存在某个实数ccc使得f(c)=0f(c) = 0f(c)=0，则称ccc为函数f(x)f(x)f(x)的零点。
二、函数零点与方程根的关系函数零点与方程的关系：函数f(x)f(x)f(x)的零点就是方程f(x)=0f(x) = 0f(x)=0的实数根。
方程的根与函数图像的关系：方程的根对应于函数图像与xxx轴的交点的横坐标。
三、函数零点的求法直接法：对于简单的函数或方程，可以直接通过代数运算求得零点。
图形法：通过绘制函数的图像，观察图像与xxx轴的交点来确定函数的零点。
数值法：对于复杂函数，可以利用数值方法（如二分法、牛顿法等）来近似求解函数的零点。
四、函数零点的性质零点存在性定理：如果函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a, b][a,b]上连续，且f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0f(a)⋅f(b)<0，则函数f(x)f(x)f(x)在区间(a,b)(a, b)(a,b)内至少存在一个零点。
零点个数定理：根据函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，可以判断函数零点的个数。
五、函数零点与函数图像的关系函数零点与函数图像的变化趋势：函数在零点处的取值由正变负或由负变正，反映了函数图像在零点处的穿越xxx轴的情况。
六、应用实例通过求解函数的零点来解决实际问题，如求解物理、化学等领域中的方程或不等式。
综上所述，函数的零点知识点涉及定义、与方程根的关系、求法、性质以及与函数图像的关系等多个方面。
掌握这些知识点有助于深入理解函数的性质和行为，并应用于实际问题的求解中。
2024届新高考一轮复习人教A版 第三章 培优课(二) 隐零点与极值点偏移问题 课件(32张)
(左缓右陡,极值点向右偏移)若 f(x1)=f(x2),则 x1+x2<式
①若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1≠x2,求证:x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极
值点);
②若函数f(x)存在x1,x2 且x1 ≠x2 满足f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0(x0 为函数
范围还可以适当缩小.
注意:当题设条件中出现“参数为整数”(如本题“b∈Z”)时,此类问题一般
为隐零点的卡点问题,要利用零点存在定理,把隐零点的范围精准地找出来,才
能正确求出参数的值.
[拓展演练] 设函数f(x)=e2x-aln x(a为大于零的常数),已知f′(x)=0有唯一
零点,求f(x)的最小值.
培优课(二)
隐零点与极值点偏移问题
[知识解读]
1.隐零点
利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关,而函数的单调性与其导函
数的零点有着紧密的联系,按导函数零点能否求精确解可以分为两类:一类是
数值上能精确求解的,称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直
接表示的,称之为“隐零点”.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形、整
f(x)的极值点);
③若函数 f(x)存在两个零点 x1,x2 且 x1≠x2,令 x0=
+
,求证:f′(x0)>0;
④若函数 f(x)存在 x1,x2 且 x1≠x2 满足 f(x1)=f(x2),令 x0=
+
,求证:f′(x0)>0.
(4)极值点偏移问题的常见解法
①(对称化构造法)构造辅助函数:对结论 x1+x2>(<)2x0 型,构造函数 F(x)=f(x)-f(2x0-x);
高中数学解二次函数的零点的方法和实例分析
高中数学解二次函数的零点的方法和实例分析引言：二次函数是高中数学中非常重要的一种函数形式，解二次函数的零点是解方程的一种特殊情况。
本文将介绍解二次函数零点的常用方法和实例分析，帮助高中学生掌握解题技巧。
一、二次函数的零点定义及意义二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标值。
解二次函数的零点可以帮助我们找到函数的根、求解方程，进而解决实际问题。
例如，对于一个表示物体运动的二次函数，求解其零点可以得到物体的位置和时间的关系，从而确定物体的起始位置和运动时间。
二、利用因式分解法解二次函数的零点对于形如f(x) = ax^2 + bx + c的二次函数，其中a、b、c为实数且a≠0，我们可以尝试利用因式分解法来解零点。
具体步骤如下：1. 将二次函数表示为因式相乘的形式，即f(x) = a(x - x1)(x - x2)，其中x1、x2为零点。
2. 通过观察二次函数的系数a、b、c来确定因式分解的形式。
当a=1时，我们可以通过分解c来确定x1、x2的值；当a≠1时，我们需要先将二次函数化简为a=1的形式，再进行因式分解。
3. 通过解方程 a(x - x1)(x - x2) = 0，求解x1、x2的值。
例题1：解二次函数f(x) = x^2 - 5x + 6的零点。
解析：根据二次函数的形式，我们可以通过因式分解法解零点。
将f(x)表示为因式相乘的形式：f(x) = (x - 2)(x - 3)。
通过解方程 (x - 2)(x - 3) = 0，我们可以得到x1 = 2，x2 = 3。
因此，二次函数f(x)的零点为x1 = 2，x2 = 3。
三、利用求根公式解二次函数的零点除了因式分解法，我们还可以利用求根公式解二次函数的零点。
对于形如f(x) = ax^2 + bx + c的二次函数，其中a、b、c为实数且a≠0，求根公式可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)通过求根公式，我们可以直接求解二次函数的零点。
专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题
专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题函数的零点问题在数学中是一个非常重要的概念和问题。
而在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个重点内容。
下面，我们来详细探讨一下这个问题。
函数的零点问题即是求解函数的解析式方程$f(x)=0$的解$x$。
在实际问题中，函数的零点往往表示了其中一种特定情况下的平衡点或者特殊点，因此求解函数的零点问题是非常实用和重要的。
那么，如何求解函数的零点问题呢？下面，我们将从三个方面进行讨论。
首先，我们可以通过图像来求解函数的零点问题。
对于一般的函数，我们可以通过画出函数的图像来判断函数的零点。
函数的零点为函数与$x$轴相交的点，在图像上表现为函数曲线与$x$轴的交点。
通过观察函数图像上哪些点与$x$轴相交，我们可以找到函数的零点。
对于简单的函数，我们可以手工画出函数图像，对于复杂的函数，我们可以借助计算机软件进行绘图。
其次，我们可以通过函数的解析式来求解函数的零点问题。
对于一般的函数，我们可以通过解方程$f(x)=0$来求解函数的零点。
通过将方程变形化简，最终得到$x$的解析表达式。
这种方法适用于存在解析解的函数，对于一些特殊函数，解析解并不存在，我们需要采用其他方法进行求解。
最后，我们可以通过数值计算方法来求解函数的零点问题。
对于一些无法通过解析式求解的函数，我们可以采用数值计算方法进行求解。
数值计算方法包括二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法等。
这些方法通过迭代计算，逐渐接近函数的零点。
在实际计算中，我们可以通过计算机软件来进行数值计算，以提高计算的精度和效率。
综上所述，函数的零点问题在数学中具有重要的意义，我们可以通过图像、解析式和数值计算方法等多种途径来求解函数的零点。
在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个关键的内容，掌握这个问题对于学生的数学能力提高和应试能力提升都具有重要作用。
因此，我们应该重视并加以学习和实践。
高二下学期人教A版数学培优资料： 函数与导数 之 零点问题
临澧一中2021年上学期高二数学培优资料（考查内容：函数与导数 之 零点问题）◇◇ 知知识识链链接接 ◇◇ 函函数数的的凹凹凸凸性性 1．下凸函数定义： 设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的下凸函数． 2．上凸函数定义： 设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的上凸函数．3．下凸函数相关定理定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的下凸函数⇔()f x '为(),a b 上的递增函数⇔()0f x ''≥且不在(),a b 的任一子区间上恒为零．4．上凸函数相关定理定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的上凸函数⇔()f x '为(),a b 上的递减函数⇔()0f x ''≤且不在(),a b 的任一子区间上恒为零． ◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇ 【引例】 设函数()()2e 2ln x f x k x x x =-+（k 为常数，e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）． （1）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．（方法提示：带参讨论；分离参数；函数结构构造；临界状态分析）)2内有且仅有一个零点（记为3。
《函数的零点》 讲义
《函数的零点》讲义一、函数零点的定义在数学中，函数的零点是一个非常重要的概念。
那什么是函数的零点呢？简单来说，如果函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ a 处的函数值 f(a) ＝ 0，那么x ＝ a 就叫做函数 y ＝ f(x) 的零点。
比如说，对于函数 f(x) ＝ x 1，当 f(x) ＝ 0 时，也就是 x 1 ＝ 0，解得 x ＝ 1。
所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。
再比如函数 f(x) ＝ x² 4，令 f(x) ＝ 0，即 x² 4 ＝ 0，通过求解可得x ＝ 2 或 x ＝－2，所以 2 和－2 都是函数 f(x) ＝ x² 4 的零点。
二、函数零点存在性定理有了函数零点的定义，我们来看看函数零点存在性定理。
如果函数 y ＝ f(x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b) ＜ 0，那么函数 y ＝ f(x) 在区间（a, b) 内至少有一个零点。
这个定理非常有用，它为我们判断函数在某个区间内是否存在零点提供了依据。
比如说，函数 f(x) ＝ x² 2x 3 在区间 1, 4 上，f(1) ＝－4，f(4) ＝ 5，因为 f(1)·f(4) ＜ 0，所以函数在区间（1, 4) 内至少有一个零点。
但要注意，函数在区间内有零点，不一定只有一个零点。
三、函数零点与方程根的关系函数的零点与方程的根有着密切的关系。
方程 f(x) ＝ 0 的根就是函数 y ＝ f(x) 的零点。
例如，方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0 的根为 x ＝ 2 和 x ＝ 3，这两个值就是函数 f(x) ＝ x² 5x ＋ 6 的零点。
反过来，如果知道函数的零点，也就得到了相应方程的根。
通过求函数的零点来解方程，是一种重要的数学方法。
四、求函数零点的方法接下来，我们看看怎么求函数的零点。
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数的定义与性质1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则或方法。
形式上，函数可以表示为f: X → Y，其中 X 是自变量的集合，Y 是因变量的集合，f 是一个特定的规则或方法。
1.2 函数的性质（1）定义域和值域：对于函数f: X → Y，定义域是指所有可能的自变量的取值集合，而值域是指所有可能的因变量的取值集合。
（2）单调性：函数在其定义域上的单调性描述了函数的增减规律。
一个函数可能是增函数、减函数或者不变函数。
（3）奇偶性：对于函数 f(x)，如果 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
（4）周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意的 x，有 f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T 称为该函数的周期。
（5）连续性：如果一个函数在某个区间上具有连续性，即在该区间内任意两点 x 和 y 之间都存在一点 z，使得 f(z) 介于 f(x) 和 f(y) 之间，那么该函数在这个区间上是连续的。
（6）可导性：如果一个函数在某一点处具有导数，那么称该函数在该点可导。
二、零点的概念与方法2.1 零点的定义函数的零点是指使得函数取值为零的自变量。
形式上，如果 f(a) = 0，那么 a 就是函数 f 的一个零点。
2.2 求解零点的方法对于一般的函数，其零点通常需要通过特定的方法来求解，以下是一些常用的方法：（1）代数法：对于一些简单的函数，可以通过代数运算将函数转化成方程，然后直接求解方程来得到零点。
（2）图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的零点。
（3）数值法：对于复杂的函数，可以通过数值计算的方法来逼近函数的零点，如二分法、牛顿迭代法等。
（4）分析法：对于一些特殊函数，可以通过数学分析的方法来得到函数的解析解。
三、常见函数的零点3.1 一次函数的零点一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是实数且a ≠ 0。
高一第一学期尖子生培优高一函数零点(学生)
函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f (x )(x ∈D ),把使0)(=x f 的实数x 叫作函数y=f (x )(x ∈D )的零点. (2)等价关系方程f (x )=0有实数根⇔函数y=f (x )的图像与x 轴有交点⇔函数y=f (x )有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f (x )在区间[a ,b ]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有0)()(<b f a f ,那么函数y=f (x )在区间),(b a 内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使得0)(=c f ,这个c 也就是方程f (x )=0的根. 1．设函数f （x ）＝x +log 2x ﹣m ，若函数f （x ）在上存在零点，则m 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知函数的零点在区间（1，3]上，则m 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（1）求函数f （x ）＝x 2+3x ﹣4的零点． （2）试确定关于x 的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x 0，且x 0∈[k ，k +1]，k ∈Z ，那么k 的值是多少？ 4.已知函数，则函数g （x ）＝2f （f （x ）﹣1）﹣1的零点个数为（ ） A ．7B ．8C ．10D ．115.已知函数f （x ）＝若函数g （x ）＝f [f （x ）]﹣2的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66.定义在R上的函数y＝f（x）满足f（6﹣x）＝f（x），x＜3时函数递减，若f（0）•f（1）＜0，则函数f（x）在区间（5，6）内（）A．没有零点B．有且仅有1个零点C．至少有2个零点D．可能有无数个零点7．已知f（x）为R上的奇函数，x＞0时，f（x）＝lnx+1，则方程ef（x）＝x根的个数为（）A．3B．4C．5D．78.若函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+1）＝﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣x2，已知函数g（x）＝，则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，6]内的零点的个数为（）A．11B．12C．13D．149.定义域为R的函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+mf（x）+n＝0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）＝（）A．2B．3C．4D．510.已知函数f（x）＝，则方程（x﹣1）f（x）＝1的所有实根之和为（）A．2B．3C．4D．111.已知函数f（x）＝，若方程f（x）﹣m＝0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，则的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，6）12.已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3•（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）13.已知关于x的方程m（x2+）+1＝4m（x+）有三个不同的根，分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝（）A．3B．5C．3m D．5m14.函数f（x）＝|x2﹣2x|，x1、x2、x3、x4满足：f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，x1＜x2＜x3＜x4且x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，则m＝（）A．B．C．1D．15. 设a∈R，函数f（x）＝，若函数y＝f[f（x）]恰有3个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．[﹣1，0）D．（0，2）16.设函数，若函数y＝f（x）﹣4t在区间（﹣1，1）内有且仅有一个零点，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，﹣]∪{0} 17.已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在区间（﹣∞，+∞）上为单调函数，若函数g（x）＝|f（x）|﹣|x﹣2|有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．18.方程＝2x的所有实数根的平方和为（）A．2B．0C．1D．419.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝，则关于函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1B．2﹣a﹣1C．1﹣2a D．1﹣2﹣a。
培优辅导专题2： 函数零点问题
专题二 函数零点问题函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐．模块1 整理方法 提升能力对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．函数的凸性1．下凸函数定义设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的下凸函数． 2．上凸函数定义设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的上凸函数．3．下凸函数相关定理定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的下凸函数⇔()f x '为(),a b 上的递增函数⇔()0f x ''≥且不在(),a b 的任一子区间上恒为零． 4．上凸函数相关定理定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的上凸函数⇔()f x '为(),a b 上的递减函数⇔()0f x ''≤且不在(),a b 的任一子区间上恒为零．例1已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）()()()()22e 2e 12e 1e 1x x x x f x a a a '=+--=+-，2e 10x +>． ①当0a ≤时，e 10x a -<，所以()0f x '<，所以()f x 在R 上递减． ②当0a >时，由()0f x '>可得1lnx a >，由()0f x '<可得1ln x a<，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增．（2）法1：①当0a ≤时，由（1）可知，()f x 在R 上递减，不可能有两个零点．②当0a >时，()min 11ln 1ln f x f a a a ⎛⎫⎡⎤==-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，令()()min g a f x =⎡⎤⎣⎦，则()2110g a a a'=+>，所以()g a 在()0,+∞上递增，而()10g =，所以当1a ≥时，()()min 0g a f x =⎡⎤≥⎣⎦，从而()f x 没有两个零点．当01a <<时，1ln 0f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()22110e e e a a f -=++->，于是()f x 在11,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有1个零点；因为()2333333ln 1121ln 11ln 10f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且31ln 1ln a a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有1个零点． 综上所述，a 的取值范围为()0,1．法2：()2222e e 2e 0e e 2e e e x xxxxxx x x a a x a a x a ++--=⇔+=+⇔=+．令()22e e e x x xxg x +=+，则()()()()()()()()()2222222e 1e e 2e 2e e e 2e 1e 1eeeexx x x x x x x x xx xx x x g x ++-++++-'==-++，令()e 1x h x x =+-，则()e 10x h x '=+>，所以()h x 在R 上递增，而()00h =，所以当0x <时，()0h x <，当0x >时，()0h x >， 于是当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减．()01g =，当x →-∞时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x +→．若()f x 有两个零点，则y a =与()g x 有两个交点，所以a 的取值范围是()0,1．法3：设e 0x t =>，则ln x t =，于是()22e 2e 02ln x x a a x at at t t +--=⇔+=+⇔22ln t t a t t +=+，令()22ln t t G t t t +=+，则()()()()()222122ln 21t t t t t t G t t t ⎛⎫++-++ ⎪⎝⎭'==+ ()()()22211ln t t t tt +-+-+，令()1ln H t t t =-+，则()110H t t'=+>，所以()H t 在()0,+∞上递增，而()10H =，所以当01t <<时，()0H t <，()0G t '>，当1t >时，()0H t >，()0G t '<，所以()G t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减．()11G =，当0t +→时，()G t →-∞，当t →+∞时，()0G t +→．若()f x 有两个零点，则y a =与()G t 有两个交点，所以a 的取值范围是()0,1．法4：设e 0x t =>，则ln x t =，于是()22e 2e 02ln 0x x a a x at at t t +--=⇔+--=⇔()ln 12t a t t +-=．令()()12k t a t =+-，()ln t t tϕ=，则()f x 有两个零点等价于()y k t =与()y t ϕ=有两个交点．因为()21ln tt tϕ-'=，由()0t ϕ'>可得0e t <<，由()0t ϕ'<可得e t >，所以()t ϕ在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，()1e e ϕ=，当x →+∞时，()0t ϕ+→．()y k t =是斜率为a ，过定点()1,2A --的直线．当()y k t =与()y t ϕ=相切的时候，设切点()00,P t y ，则有()0000002ln 121ln t y t y a t ta t ⎧=⎪⎪⎪=+-⎨⎪-⎪=⎪⎩，消去a 和0y ，可得()000200ln 1ln 12t t t t t -=+-， 即()()00021ln 10t t t ++-=，即00ln 10t t +-=．令()ln 1p t t t =+-，显然()p t 是增函数，且()10p =，于是01t =，此时切点()1,0P ，斜率1a =．所以当()y k t =与()y t ϕ=有两个交点时，01a <<，所以a 的取值范围是()0,1．法5：()()20e e 2e x x x f x a x =⇔+=+，令()()2e e x x M x a =+，()2e e x x m x =+，()2e x n x x =+，则()f x 有两个零点⇔()M x 与()n x 的图象有两个不同交点．()()002m n ==，所以两个函数图象有一个交点()0,2．令()()()2e e x x T x m x n x x =-=--，则()()()22e e 12e 1e 1x x x x T x '=--=+-，由()0T x '>可得0x >，由()0T x '<可得0x <，于是()T x 在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增，而()00T =，所以()()m x n x ≥，因此()m x 与()n x相切于点()0,2，除切点外，()m x 的图象总在()n x 图象的上方．由（1）可知，0a >．当1a >时，将()m x 图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的a 倍，就得到了()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象没有交点．当1a =时，()m x 的图象就是()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象只有1个交点．当01a <<时，将()m x 图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的a 倍，就得到了()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象有两个不同交点．综上所述，a 的取值范围是()0,1．法6：()()()20e e 2e e 12e x x x x xx f x a x a =⇔+=+⇔+-=，令()()e 12xp x a =+-，()e xxq x =，则()f x 有两个零点⇔()p x 与()q x 的图象有两个不同交点． ()1ex xq x -'=，由()0q x '>可得1x <，由()0q x '<可得1x >，所以()q x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，当x →+∞时，()0q x +→．由（1）可知，0a >，所以()p x 是下凸函数，而()q x 是 上凸函数．当()p x 与()q x 相切时，设切点为()00,P x y ，则有()00000000e 12e 1e e xx x x y a x y x a ⎧=+-⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪=⎪⎩，消去a ，0y 可得()0000021e 12e e x x x x x -+-=，即()()0002e 1e 10x x x ++-=，即00e 10x x +-=．令()e 1x W x x =+-，显然()W x 是增函数，而()00W =，于是00x =，此时切点()0,0P ，1a =．所以当()p x 与()q x 的图象有两个交点时，01a <<，所以a 的取值范围是()0,1．【点评】函数零点问题，其解题策略是转化为两个函数图象的交点，三种方式中（一平一曲、一斜一曲、两曲）最为常见的是一平一曲．法1是直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，法2是分离参数法，法3用了换元，3种方法的本质都是一平一曲，其中法3将指数换成了对数，虽然没有比法2简单，但是也提示我们某些函数或许可以通过换元，降低函数的解决难度．法4是一斜一曲情况，直线与曲线相切时的a 值是一个重要的分界值．法5和法6都是两曲的情况，但法6比法5要简单，其原因在于法5的两曲凸性相同而法6的两曲凸性相反．函数零点问题对函数图象说明的要求很高，如解法2当中的()g x 是先增后减且极大值()01g =，但x →-∞和x →+∞的状态会影响a 的取值范围，所以必须要说清楚两个趋势的情况，才能得到最终的答案．例2设函数设()21n n f x x x x =+++-L ，n ∈*N ，2n ≥． （1）求()2n f '；（2）证明：()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为()112n n f x x nx -'=+++L ，所以()121222n n f n -'=+⨯++⋅L …①．由()2222222n n f n '=+⨯++⋅L …②，①-②，得()21212222n n n f n -'-=++++-⋅=L()12212112nn n n n --⋅=---，所以()()2121n n f n '=-+． 【证明】（2）因为()010f =-<，22213322211121202333913nn n f ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=-≥-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，由零点存在性定理可知()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点．又因为()1120n n f x x nx -'=+++>L ，所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内递增，因此()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有一个零点n a ．由于()()111n n x x f x x-=--，所以()()1101n n n n n na a f a a -=-=-，由此可得11122n n n a a +=+，即11122n n na a +-=．因为203n a <<，所以111120223n n n a ++⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以1111212022333n nn na ++⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭．【点评】当函数()f x 满足两个条件：连续不断，()()0f a f b <，则可由零点存在性定理得到函数()f x 在(),a b 上至少有1个零点．零点存在性定理是高中阶段一个比较弱的定理，首先，该定理的两个条件缺一不可，其次，就算满足两个条件，也只能得到有零点的结论，究竟有多少个零点，也不确定．零点存在性定理常与单调性综合使用，这是处理函数零点问题的一种方法．例3已知函数()()e ln x f x x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明：()0f x >． 【解析】（1）()1e xf x x m'=-+，由0x =是()f x 的极值点，可得()00f '=，解得1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1,-+∞，()1e 1xf x x '=-+，则()()21e 01x f x x ''=+>+，所以()f x '在()1,-+∞上递增，又因为()00f '=，所以当10x -<<时()0f x '<，当0x >时()0f x '>，所以()f x 在()1,0-上递减，在()0,+∞上递增．【证明】（2）法1：()f x 定义域为(),m -+∞，()1e xf x x m'=-+，()()21e 0xf x x m ''=+>+，于是()f x '在(),m -+∞上递增．又因为当x m +→-时，()f x '→-∞，当x →+∞时，()f x '→+∞，所以()0f x '=在(),m -+∞上有唯一的实根0x ，当0m x x -<<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,m x -上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=可得001e 0x x m-=+，即()00ln x m x +=-，于是()()000000011e ln 2xf x x m x x m m m x m x m=-+=+=++-≥-++．当2m <时，()00f x >；当2m =时，等号成立的条件是01x =-，但显然()11e 012--≠-+，所以等号不成立，即()00f x >．综上所述，当2m ≤时，()()00f x f x ≥>．法2：当2m ≤，(),x m ∈-+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+，于是()()e ln 2x f x x ≥-+，所以只要证明()()e ln 20x x x ϕ=-+>，()2,x ∈-+∞，就能证明当2m ≤时，()0f x >．()1e 2x x x ϕ'=-+，()()21e 02x x x ϕ''=+>+，于是()x ϕ'在()2,-+∞上递增．又因为()1110eϕ'-=-<，()10102ϕ'=->，所以()0x ϕ'=在()2,-+∞上有唯一的实根0x ，且()01,0x ∈-．当02x x -<<时，()0x ϕ'<，当0x x >时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()02,x -上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()x ϕ取得最小值．由()00x ϕ'=可得001e 02x x -=+，即()00ln 2x x +=-．于是()()()0200000011e ln 2022x x x x x x x ϕ+=-+=+=>++，于是()()00x x ϕϕ≥>．综上所述，当2m ≤时，()0f x >．法3：当2m ≤，(),x m ∈-+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+，于是()()e ln 2x f x x ≥-+，所以只要证明()e ln 20x x -+>（2x >-），就能证明当2m ≤时，()0f x >．由ln 1x x ≤-（0x >）可得()ln 21x x +≤+（2x >-），又因为e 1x x ≥+（x ∈R ），且两个不等号不能同时成立，所以()e ln 2x x >+，即()e ln 20x x -+>（2x >-），所以当2m ≤时，()0f x >．【点评】法1与法2中出现的0x 的具体数值是无法求解的，只能求出其范围，我们把这种零点称为“隐性零点”．法2比法1简单，这是因为利用了函数单调性将命题()e ln 0x x m -+>模块2 练习巩固 整合提升练习1：设函数()2e ln x f x a x =-．（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()22e x af x x'=-． ()f x '的零点的个数⇔22e x x a =的根的个数⇔()22e x g x x =与y a =在()0,+∞上的交点的个数．因为()()2221e 0x g x x '=+>，所以()g x 在()0,+∞上递增，又因为()00g =，x →+∞时，()g x →+∞，所以当0a ≤时，()g x 与y a =没有交点，当0a >时，()g x 与y a =有一个交点．综上所述，当0a ≤时，()f x '的零点个数为0，当0a >时，()f x '的零点个数为1． 【证明】（2）由（1）可知，()f x '在()0,+∞上有唯一的零点0x ，当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，且最小值为()0f x ．因为0202e 0x a x -=，所以020e 2x a x =，00ln ln 22ax x =-，所以()020000002e ln ln 22ln 2ln 2222x a a aa f x a x a x ax a a a x x a ⎛⎫=-=--=+-≥+ ⎪⎝⎭． 练习2：设函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（k 为常数，e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）．（1）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()32e 2e 21x x x f x k x xx -⎛⎫'=--+= ⎪⎝⎭ ()()32e x x kx x--．当0k ≤时，e 0x kx ->，所以当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>．所以()f x 的递减区间为()0,2，递增区间为()2,+∞．（2）函数()f x 在()0,2内存在两个极值点()0f x '⇔=在()0,2内有两个不同的根． 法1：问题e 0x kx ⇔-=在()0,2内有两个不同的根．设()e x h x kx =-，则()e x h x k '=-． 当1k ≤时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上递增，所以()h x 在()0,2内不存在两个不同的根．当1k >时，由()0h x '>可得ln x k >，由()0h x '<可得ln x k <，所以()h x 的最小值为()()ln 1ln h k k k =-．e 0xkx -=在()0,2内有两个不同的根()()()()20102e 20ln 1ln 00ln 2g g k g k k k k ⎧=>⎪=->⎪⇔⎨=-<⎪⎪<<⎩，解得2e e 2k <<．综上所述，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫⎪⎝⎭．法2：问题e x k x ⇔=在()0,2内有两个不同的根y k ⇔=与()e xg x x=在()0,2内有两个不同的交点．()()221ee e xx x x x g x x x --'==，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>．()1e g =，()2e22g =，当0x +→时，()g x →+∞．画出()g x 在()0,2内的图象，可知要使y k =与()g x 在()0,2内有两个不同的交点，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫⎪⎝⎭．练习3：已知函数()e x f x =和()()ln g x x m =+，直线l ：y kx b =+过点()1,0P -且与曲线()y f x =相切．（1）求切线l 的方程；（2）若不等式()ln kx b x m +≥+恒成立，求m 的最大值；（3）设()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有唯一零点0x ，求证：0112x -<<-．【解析】（1）设直线l 与函数()f x 相切于点()11,e x A x ，则切线方程为()111e e x x y x x -=-，即1111e e e x x x y x x =-+，因为切线过点()1,0P -，所以11110e e e x x x x =--+，解得10x =，所以切线l 的方程为1y x =+．（2）设()()1ln h x x x m =+-+，()1x m h x x m+-'=+．当(),1x m m ∈--时，()0h x '<，当()1,x m ∈-+∞时，()0h x '>，所以()h x 在1x m =-时取极小值，也是最小值．因此，要原不等式成立，则()120h m m -=-≥，所以m 的最大值是2．【证明】（3）由题设条件知，函数()1e x F x x m'=-+（x m >-），令()()H x F x '=，则()()21e 0x H x x m '=+>+，于是()H x 在(),m -+∞上单调递增．因为当x m +→-时，()F x '→-∞，当x →+∞时，()F x '→+∞，所以()0F x '=有唯一的实根，设为1x ，则当()1,x m x ∈-时，()0F x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0F x '>，于是()F x 有唯一的极小值1x ，也是最小值．当x m +→-时，()F x →+∞，当x →+∞时，()F x →+∞．因此函数()F x 有唯一零点的充要条件是其最小值为0，即()00F x =（01x x =），所以()00e ln 0x x m -+=，又因为001e x x m=+，所以00e 0x x +=．设()e x x x ϕ=+，则()e 10x x ϕ'=+>，所以()x ϕ在(),m -+∞上单调递增，又因为1211e 022ϕ-⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，()1110e ϕ-=-<，由零点存在性定理可知0112x -<<-．。
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培优点二 函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞Q ，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增， ()31ln30f =-<Q ，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭Q ，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
从而做出()f x 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看()g x 图像，()251222x g x x x +==+++，可视为将1y x=的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位， 所以对称中心移至()2,2-，刚好与()f x 对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点123x x x <<，其中23x =-，1x 与3x 关于()2,2-中心对称，所以有134x x +=-。
所以1237x x x ++=-．故选C ．4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2【答案】B【解析】考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ，若要出七个根，则()11f x =，()()20,1f x ∈，所以()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--．一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】∵()1ln11210f +-=-<=，()2ln 20f =>，∴()()120f f ⋅<， ∵函数()ln 2f x x x +-=的图象是连续的，且为增函数， ∴()f x 的零点所在的区间是()1,2．故选B ．2．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定【答案】C【解析】()f x 在(0,)+∞上是增函数，若00x a <<，则()()00f x f a <=． 3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） 对点增分集训A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C【解析】因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，则由题意得()()()()12030f f a a --=<⋅，解得03a <<，故选C ．4．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内【答案】A【解析】∵a b c <<，∴()()()0f a a b a c -=->，()()()0f b b c b a -=-<，()()()0f c c a c b -=->，由函数零点存在性定理可知，在区间(),a b ，(),b c 内分别存在零点，又函数()f x 是二次函数，最多有两个零点．因此函数()f x 的两个零点分别位于区间(),a b ，(),b c 内，故选A ． 5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，即0是函数()f x 的一个零点，当0x >时，令()3e 0x f x x =+-=，则e 3x x =-+，分别画出函数1e x y =和23y x =-+的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数()f x 有一个零点，根据对称性知，当0x <时函数()f x 也有一个零点． 综上所述，()f x 的零点个数为3．故选C ．6．函数()221ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．7 D ．0【答案】B【解析】方法一：由()0f x =得2020x x x ≤⎧⎨+-=⎩或2020x x x >⎧⎨+-=⎩，解得2x =-或e x =，因此函数()f x 共有2个零点．方法二：函数()f x 的图象如图所示，由图象知函数()f x 共有2个零点．7．已知函数()101x x xf x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞UD ．(][),12,-∞+∞U【答案】D【解析】当0x ≤时，()x f x m +=，即1x m +=，解得1m ≤；当0x >时，()x f x m +=，即1x m x+=， 解得2m ≥，即实数m 的取值范围是(][),12,-∞+∞U ．故选D ．8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭UC ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-【答案】B【解析】当0a =时，()1f x =与x 轴无交点，不合题意，所以0a ≠；函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内是单调函数，所以()0(11)f f -⋅<，即()(10)51a a -+>，解得1a <-或15a >．故选B ．9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞UD ．(](),01,-∞+∞U【答案】D【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根，画出()()0e 0x xx h x f x x x x ≤⎧=⎨+=>+⎩的大致图象（图略）．观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤或1m >时，有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点．故选D ．10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-【答案】C【解析】令2()21(0)y f x f x λ+-+==，则2()())21(f x f x f x λλ--=-+=，因为()f x 是R 上的单调函数，所以221x x λ+=-，只有一个实根，即2210x x λ++=-只有一个实根，则1810()∆=λ-+=，解得78λ=-．11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1])∞UB ．(]0,13[),+∞UC ．)∞UD ．[3,+)∞U【答案】B【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数2221()(1)f x mx m x m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭与()g x m的大致图象．分两种情形： （1）当01m <≤时，11m≥，如图①，当[]0,1x ∈时，()f x 与()g x 的图象有一个交点，符合题意．（2）当1m >时，101m<<，如图②，要使()f x 与()g x 的图象在[]0,1上只有一个交点， 只需()()11g f ≤，即211()m m +≤-，解得3m ≥或0m ≤（舍去）． 综上所述，(][0,13),m ∈+∞U ．故选B ．12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根（4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x 的总数．（1）中可得()()12,1g x ∈--，()20g x =，()()31,2g x ∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有2个，()3g x 有2个，总计6个，（1）正确；（2）中可得()()12,1f x ∈--，()()20,1f x ∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，总计4个， （2）错误；（3）中可得()()12,1f x ∈--，()20f x =，()()31,2f x ∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，()3f x 有1个，总计5个，（3）正确；（4）中可得：()()12,1g x ∈--，()()20,1g x ∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有2个，共计4个，（4）正确则综上所述，正确的命题共有3个．二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________． 【答案】2【解析】由()0f x =，得0.51|log |2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出函数105log ||y x =．和212xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的图象，由上图知两函数图象有2个交点，故函数()f x 有2个零点． 14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______． 【答案】()1,2【解析】令()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()00f x =，易知()f x 为增函数，且()10f <，()20f >，∴0x 所在的区间是()1,2．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．【答案】2【解析】当0x ≤时，令220x -=，解得2x =-（正根舍去），所以在(0],-∞上有一个零点； 当0x >时，1'()20f x x=+>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数．又因为()22ln 20f +-<=，()3ln 30f =>，所以()f x 在(0,)+∞上有一个零点，综上，函数()f x 的零点个数为2．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】()0,19(),+∞U【解析】设()21|3|y f x x x ==+，2|1|y a x =-，在同一直角坐标系中作出21||3y x x =+，2|1|y a x =-的图象如图所示．由图可知()1|0|f x a x --=有4个互异的实数根等价于21||3y x x =+与2|1|y a x =-的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以()231y x xy a x ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩有两组不同解，消去y 得2)0(3x a x a -+=+有两个不等实根， 所以2()340a a ∆=-->，即21090a a +>-，解得1a <或9a >．又由图象得0a >，∴01a <<或9a >．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围． 【答案】(],1-∞-【解析】显然0x =不是方程21()10x m x ++-=的解，02x <≤时，方程可变形为11m x x-=+， 又∵1y x x=+在(]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增， ∴1y x x=+在(]0,2上的取值范围是[2,)+∞，∴12m -≥，∴1m ≤-，故m的取值范围是(],1-∞-．18．设函数1 ()1(0)f x xx=->．（1）作出函数()f x的图象；（2）当0a b<<且()()f a f b=时，求11a b+的值；（3）若方程()f x m=有两个不相等的正根，求m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）2；（3）01m<<．【解析】（1）如图所示．（2）∵(]()110,11()1111,xxf xxxx⎧-∈⎪⎪=-=⎨⎪-∈+∞⎪⎩故()f x在(]0,1上是减函数，而在(1,)+∞上是增函数．由0a b<<且()()f a f b=，得01a b<<<且1111a b-=-，∴112a b+=．（3）由函数()f x的图象可知，当01m<<时，方程()f x m=有两个不相等的正根．。