用于振动分析的有限元方法资料
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▪ 对于基本的一维元素进行有限元分析，能得到质量矩 阵与刚度矩阵和所需的力矢量，对于二维三维，元素矩阵 会转换成相关的更高维的空间。使用一致的和集中质量矩 阵的有限元方程并结合边界条件能为复杂系统提供解释。
▪ 最后,使用MATLAB程序得到在轴向载荷下的指定节点 位移,固有振动频率和特征值分析。
本章目的
（19）
梁单元的动能、势能、虚功表达式分别为：
式中I是 横截面的
惯性矩
上式中：
（20） （21） （22）
通过上式，可以得到梁单元的质量、刚度矩阵，等效节点力：
二 单元矩阵的坐标变换
局部坐标系：以各个单元本身的轴线为基准所设立的坐标系。便于计算节点位移。 缺点：如果整个系统里各个单元取向各异，各个节点位移方向不一致，如下图。如 何使汇交于一个节点的各个杆件的节点位移真正相等? 解决方法：进行坐标变换
u(x, t) 1u1(t) 2u2 (t)
（1）
式中，Φ1、 Φ2称为线性系数，与单元里点的位置有关，是x的函数 。此函数与单元的形状有关，又叫形状函数。
形状函数和插值函数一样是任意的，但必须边界条件：
u(0, t) u1(t) u(l,t) u2 (t)
（2）
只有满足此条件单元才能协调一致运动，而不致破坏系统的完 整性，因此这两个条件实际上就是变形协调条件。将式（1）带 入（2）中，就可以得到形状函数Φ1(x)、Φ2(x)所满足的边界条 件：
(3)计算等效节点力
（12）
遵循等效原则，即原载 荷和等效之后的节点载 荷在虚位移上所做的虚
功相等。
设单元上x处作用有分布力f ( x , t)，现在要把它等效成节点力 f1t , f2 t
其实，就是对应于广义坐标 u1t , u2 t 的广义力，为此，计算 f x, t 所做的虚功：
把上式写成矩阵形式：
▪ 3，因为得到准确解很难，所以得到一个方便且逼近的近似 解很有价值。
元素的运动方程
龙门刨铣床
三角板元 素
有限元 模型
梁 元 素
元素的运动方程
▪ 位移函数 ▪ 形状函数 ▪ ▪
各点对应位移 动能 应变能
未知节点位移数 n
质量矩阵
刚度矩阵
主要内容：
▪ 一，单元的质量、刚度矩阵、等效节点力 ▪ 二，单元矩阵的坐标变换 ▪ 三，整个系统的运动方程
f x,t 是分布载荷
x, t 是梁单元上任意位移 x处的挠度。
图12.2
在静载弯曲条件下，梁单元上任意点出的挠度是x的三次方程，可写成：
（16）
此方程必须满足下面的边界条件：
挠度的斜率
tan
（17）
由此可以求解处a (t)、b (t)、c (t)、d (t)，进而挠度方程为：
（18）
上式可以写成形状函数的表示： 其中，形函数分别为：
▪ （2）计算此单元的动能和势能
杆单元的动能可表示成：
（6）
▪ 上式中，ρ是材料的密度，A是杆单元的横截面积。 用矩阵形式表示（6）式为：
其中， 所以，质量矩阵可以认为是：
（7） （8） （9）
▪ 杆单元的势能可以写成：
式中，E是弹性模量，（10）表示成矩阵形式为：
（10）
这里，
（11） ，所以刚度矩阵[k]可以表示成：
10 1, 1l 0,
20 0 2l 1
（3）
▪ 以上边界条件确定了 1 x 、2 x 由于这两个函数的任意性
我们可以用简单的线性函数来近似，因此有：
1
x
1
x l
,
2 x
Байду номын сангаас
x l
代回（1）式中有：
（4）
u(x, t)
(1
x l
)u1
t
x l
u2 t
（5）
为此，我们已经找到了用节点位移表示单元内任意一点位移的表达式。
▪ *认识用于解决不同类型振动问题的刚度和质量矩阵。 ▪ *将矩阵元素从局部坐标系变换到全球坐标系。 ▪ *装配单元矩阵和应用边界条件。 ▪ *对杆、梁元素进行静态分析。 ▪ *对杆、梁元素进行动态分析来得到固有频率和振型。 ▪ *在有限元振动分析使用一致的集中质量矩阵。 ▪ *使用MATLAB解决振动问题。
如右图的系统，有四个 杆件， u 1(t) 、 u 2(t) 为局部坐标系的节点位移， U i 为全局坐标系下的位移
图12.3
如下图，节点位移在局部、全局坐标系中的关系：
（23）
坐标变换矩阵
其中， 因为单元的动能、势能与坐标系无关:
(24)
▪ 得到在全局坐标下的单元质量、刚度矩阵为：
类似地，根据单元在两个坐标系下的力所做的虚功相等： 得到在全局坐标系下的等效节点力：
有限元思想
▪ 1，实际结构被一些元素所取代,这些元素都是被假定为一 个连续的结构部件即有限元，这些元素在特定点即节点上 互相关联。
2，如果解决方案的各方面都选择得当,那么它可以收敛到 精确的解决方案，因为组成总体结构的元素很小，在节点 上的力的平衡和元素之间的位移都令人感到满意,这样整个 结构(组合的元素)表现为单一实体。
一 单元的质量、刚度矩阵，等效节点力矢量 一 杆单元
一个杆单元是从杆上划分出的一个小段，如下图所示。 由于单元很小，ρ、A均视为常量。现在就以这最简单 的杆单元，推导出它的质量、刚度矩阵，等效节点力。
图12.1
▪ (1) 求杆单元上任意点的位移u(x,t)
本来，杆单元上任意点的位移u(x,t)与节点的位移u1(t)、u2(t)之间 的关系是未知的，但是，只要单元划分的足够小，那么其间的关系 就无关大局。所以可以假定它们之间有简单的线性关系，即根据节 点位移对单元内任意点位移进行插值：
用于振动分析的有限元方法
指导老师：陈益 报告人：成志斌 韩宗彪
何瑜 宁鹏
内容
有限元介绍 单个元素的运动方程 单个元素的质量矩阵、刚度矩阵、力矢量及其转化 整个系统的运动方程 整个系统的边界条件的加载及质量矩阵 MATLAB实例及总结
有限元法简介
▪ 有限元法是一种可用于精确地(但近似)解决许多复杂的 振动问题的数值方法。
（13）
所以等效节点力可以写成：
mut kut f t （14）
二 梁单元
如下图所示，一个梁单元也是有两个节点，但是有四个自由度，每个节
点处，有两种位移形式，一个是线位移，即挠度，一种是角位移。
图中， f1t, f3t 是力，
f2t, f4t 是力矩。
1t,3t 是对应的线位移，
2 t,4 t 是对应的转角。
三 全系统运动方程
▪ 最后,使用MATLAB程序得到在轴向载荷下的指定节点 位移,固有振动频率和特征值分析。
本章目的
（19）
梁单元的动能、势能、虚功表达式分别为：
式中I是 横截面的
惯性矩
上式中：
（20） （21） （22）
通过上式，可以得到梁单元的质量、刚度矩阵，等效节点力：
二 单元矩阵的坐标变换
局部坐标系：以各个单元本身的轴线为基准所设立的坐标系。便于计算节点位移。 缺点：如果整个系统里各个单元取向各异，各个节点位移方向不一致，如下图。如 何使汇交于一个节点的各个杆件的节点位移真正相等? 解决方法：进行坐标变换
u(x, t) 1u1(t) 2u2 (t)
（1）
式中，Φ1、 Φ2称为线性系数，与单元里点的位置有关，是x的函数 。此函数与单元的形状有关，又叫形状函数。
形状函数和插值函数一样是任意的，但必须边界条件：
u(0, t) u1(t) u(l,t) u2 (t)
（2）
只有满足此条件单元才能协调一致运动，而不致破坏系统的完 整性，因此这两个条件实际上就是变形协调条件。将式（1）带 入（2）中，就可以得到形状函数Φ1(x)、Φ2(x)所满足的边界条 件：
(3)计算等效节点力
（12）
遵循等效原则，即原载 荷和等效之后的节点载 荷在虚位移上所做的虚
功相等。
设单元上x处作用有分布力f ( x , t)，现在要把它等效成节点力 f1t , f2 t
其实，就是对应于广义坐标 u1t , u2 t 的广义力，为此，计算 f x, t 所做的虚功：
把上式写成矩阵形式：
▪ 3，因为得到准确解很难，所以得到一个方便且逼近的近似 解很有价值。
元素的运动方程
龙门刨铣床
三角板元 素
有限元 模型
梁 元 素
元素的运动方程
▪ 位移函数 ▪ 形状函数 ▪ ▪
各点对应位移 动能 应变能
未知节点位移数 n
质量矩阵
刚度矩阵
主要内容：
▪ 一，单元的质量、刚度矩阵、等效节点力 ▪ 二，单元矩阵的坐标变换 ▪ 三，整个系统的运动方程
f x,t 是分布载荷
x, t 是梁单元上任意位移 x处的挠度。
图12.2
在静载弯曲条件下，梁单元上任意点出的挠度是x的三次方程，可写成：
（16）
此方程必须满足下面的边界条件：
挠度的斜率
tan
（17）
由此可以求解处a (t)、b (t)、c (t)、d (t)，进而挠度方程为：
（18）
上式可以写成形状函数的表示： 其中，形函数分别为：
▪ （2）计算此单元的动能和势能
杆单元的动能可表示成：
（6）
▪ 上式中，ρ是材料的密度，A是杆单元的横截面积。 用矩阵形式表示（6）式为：
其中， 所以，质量矩阵可以认为是：
（7） （8） （9）
▪ 杆单元的势能可以写成：
式中，E是弹性模量，（10）表示成矩阵形式为：
（10）
这里，
（11） ，所以刚度矩阵[k]可以表示成：
10 1, 1l 0,
20 0 2l 1
（3）
▪ 以上边界条件确定了 1 x 、2 x 由于这两个函数的任意性
我们可以用简单的线性函数来近似，因此有：
1
x
1
x l
,
2 x
Байду номын сангаас
x l
代回（1）式中有：
（4）
u(x, t)
(1
x l
)u1
t
x l
u2 t
（5）
为此，我们已经找到了用节点位移表示单元内任意一点位移的表达式。
▪ *认识用于解决不同类型振动问题的刚度和质量矩阵。 ▪ *将矩阵元素从局部坐标系变换到全球坐标系。 ▪ *装配单元矩阵和应用边界条件。 ▪ *对杆、梁元素进行静态分析。 ▪ *对杆、梁元素进行动态分析来得到固有频率和振型。 ▪ *在有限元振动分析使用一致的集中质量矩阵。 ▪ *使用MATLAB解决振动问题。
如右图的系统，有四个 杆件， u 1(t) 、 u 2(t) 为局部坐标系的节点位移， U i 为全局坐标系下的位移
图12.3
如下图，节点位移在局部、全局坐标系中的关系：
（23）
坐标变换矩阵
其中， 因为单元的动能、势能与坐标系无关:
(24)
▪ 得到在全局坐标下的单元质量、刚度矩阵为：
类似地，根据单元在两个坐标系下的力所做的虚功相等： 得到在全局坐标系下的等效节点力：
有限元思想
▪ 1，实际结构被一些元素所取代,这些元素都是被假定为一 个连续的结构部件即有限元，这些元素在特定点即节点上 互相关联。
2，如果解决方案的各方面都选择得当,那么它可以收敛到 精确的解决方案，因为组成总体结构的元素很小，在节点 上的力的平衡和元素之间的位移都令人感到满意,这样整个 结构(组合的元素)表现为单一实体。
一 单元的质量、刚度矩阵，等效节点力矢量 一 杆单元
一个杆单元是从杆上划分出的一个小段，如下图所示。 由于单元很小，ρ、A均视为常量。现在就以这最简单 的杆单元，推导出它的质量、刚度矩阵，等效节点力。
图12.1
▪ (1) 求杆单元上任意点的位移u(x,t)
本来，杆单元上任意点的位移u(x,t)与节点的位移u1(t)、u2(t)之间 的关系是未知的，但是，只要单元划分的足够小，那么其间的关系 就无关大局。所以可以假定它们之间有简单的线性关系，即根据节 点位移对单元内任意点位移进行插值：
用于振动分析的有限元方法
指导老师：陈益 报告人：成志斌 韩宗彪
何瑜 宁鹏
内容
有限元介绍 单个元素的运动方程 单个元素的质量矩阵、刚度矩阵、力矢量及其转化 整个系统的运动方程 整个系统的边界条件的加载及质量矩阵 MATLAB实例及总结
有限元法简介
▪ 有限元法是一种可用于精确地(但近似)解决许多复杂的 振动问题的数值方法。
（13）
所以等效节点力可以写成：
mut kut f t （14）
二 梁单元
如下图所示，一个梁单元也是有两个节点，但是有四个自由度，每个节
点处，有两种位移形式，一个是线位移，即挠度，一种是角位移。
图中， f1t, f3t 是力，
f2t, f4t 是力矩。
1t,3t 是对应的线位移，
2 t,4 t 是对应的转角。
三 全系统运动方程