(完整版)一元一次方程的解法PPT课件
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不对，移项没有变号，应为x = 8+4 （2）若3s = 2s+5，则-3s-2s = 5；
不对，应为3s-2s=5 （3）若5w-2 = 4w+1，则5w-4w = 1+2；
对 （4）若8+x= 2x，则8-2x = 2x-x.
不对，应为8=2x-x
2. 解下列方程，并检验.
（1）x +4 = 5；
左边= 4×(-5)+3=-17， 右边= 2×(-5)-7+3=-17， 左边=右边
所以 x=-5 是原方程的解.
将同类项放在一起
解（2） 原方程为
-x
-
1=
3
-
1 2
x
移项，得
-x
+
1 2
x
=
3+1
合并同类项，得
-
1 2
x
=
4
两边都乘-2，得 x = -8
计算结果 进行检验
检验：把x=-8分别代入原方程的左、右两边，
-
5x 1 8
= 1.
解:
去分母，得
2x 1 × 24 - 5x 1 × 24 =1
6
8
(2x-1)×4 - (5x+1)×3=1×24
去括号，得 8x -4 -15x – 3 =24
移项，得 8x -15x = 4+3+24
化简，得
-7x = 31
方程两边同除以 -7， x = -371
（4）50%(3x -1)-20%(2-x)=x .
化简，得
y=1
检验：把y=1代入原方程的左边和右边，
左边= 2.4×1 + 2×1+2.4 = 6.8，
左边=右边
所以 y=1 是原方程的解.
动脑筋
一艘轮船在A，B两个码头之间航行，顺水航 行需4h，逆水航行需5h. 已知水流速度为2km/h， 求轮船在静水中的航行速度.
轮船顺水的航行速度 = 轮船在静水中的速度+水流速度.
移 化 检项 简 验， ， ：左左得得把边边x===12右-2x5代x边+==入2125原-124方=-程4，的右左边边=和-4右，边，
所以
x=
1 2
是原方程的解.
（3） 原方程为13y+8=12y
移项，得 13y-12y = -8
化简，得
y = -8
检验：把y=-8代入原方程的左边和右边，
左边=13×(-8)+8=-96，右边= 12 ×(-8)=-96，
说一说
上面解方程4(x+2 )= 5( x-2)的过程中， 包含哪些步骤？
例2 解方程： 3(2x -1) = 3x + 1.
解 去括号，得 6x-3 = 3x+1
移项，得 6x -3x = 1+3
合并同类项，得 3x = 4
两边都除以3，得
x
=
4 3
因此，原方程的解是
x
=
4 3
.
练习
1. 下面方程的求解是否正确？如不正确，请改正.
左边= (-8)-1= 7，
右边=
3-
1 2
×(-8)=7，
左边=右边
所以 x=-8 是原方程的解.
一般地，从方程解得未知数的值以后，要代入 原方程进行检验，看这个值是否是原方程的解，但 这个检验过程除特别要求外，一般不写出来.
练习
1. 下面的移项对吗？如不对，请改正.
（1）若x -4 = 8，则x = 8-4；
中考 试题
例3
方程 x
A. 15 14
16
36
12B.53x1154113
x
2 C.
的解是（
45 14
A ）.
D. 1445
解
方程两边同乘以6，得 去中括号，得 移项，合并同类项，得
6
x46xx362346121122355x335xx111220xx1122
去小括号，得
4x
24
36 5
x
12
y
；
（2）
5
+3x 2
=
3
5 x 3
；
（3）2x615x81=1 ；
（4）50%(3x -1)-20%(2-x)=x .
（1）
y
1 2
=
1 2 4
y
解: 去分母，得
y 1 2
×
4
=
1 2 y× 4
4
(y -1)×2 = 1-2y
去括号，得 2y-2 = 1-2y
移项，得 2y +2y = 2+1
化简，得
解 （1） 原方程为(4y+8)+2(3y-7)= 0
去括号，得 4y+8+6y-14= 0
移项，得 4y+6y = 14-8
化简，得 10y = 6
方程两边同除以 10，
y=
3 5
（2） 原方程为2(2x -1)-2(4x+3)= 7
去括号，得 4x-2-8x-6= 7
移项，得 4x-8x = 2+6+7
2345 + 12x = 5129.
①
利用等式的性质，在方程①两边都减去2345，
得
2345+12x-2345= 5129-2345，
即
12x=2784.
②
方程②两边都除以12，得x=232 .
因此，热气球在后12h飞行的平均速度为232 km/h.
我们把求方程的解的过程叫做解方程. 在上面的问题中，我们根据等式性质1，在方程① 两边都减去2345，相当于作了如下变形：
0
合并同类项，得
4
x
12
36 5
x
0
去分母，得
20x 60 36x 0
移项，得
20x 36x 60
合并同类项，得 两边同除以一次项系数，得 故，应选择A.
56x 60 x 1154
结束
（2）-5 + 2x = -4；
（3）13y+8=12y； （4）7u-3=6u-4 .
解 （1） 原方程为x +4 = 5
移项，得 x = 5-4 化简，得 x = 1 检验：把x=1代入原方程的左边和右边，
左边= 1+4=5，右边= 5， 左边=右边 所以 x=1 是原方程的解.
（2） 原方程为-5 + 2x = -4
本问题涉及的等量关系有：
甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 总工作量.
因此，设工作总量为1，则甲每天完成工作总量
的
1 15
，乙每天完成工作总量的
1 12
.
如果剩下的工作两人合绣x天就可完成，
那么甲共绣了(x+1)天，完成的工作量为 115(x+1) ； 乙共绣了(x+4)天，完成的工作量为 112(x+4).
化简，得 -4x = 15
方程两边同除以 -4，
x
=
-
15 4
（3） 原方程为 3(x -4)= 4x-1
去括号，得 3x -12 = 4x-1
移项，得 3x -4x = 12-1
化简，得
- x = 11
方程两边同除以 -11，
x = -11
动脑筋
刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单 独绣需要12天完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又 单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 问再合 绣多少天可以完成这件作品？
（1）4x+3 = 2x-7 ；
（2）- x
-
1=
3
-
1 2
x
.
4x +-3 = -22xx -7 =
将同类项放在一起
解 （1） 原方程为4x+3 = 2x-7
移项，得 4x -2x = -7-3
合并同类项，得 2x = -10 计算结果
两边都除以2，得 x = -5
进行检验
检验：把x=-5分别代入原方程的左、右两边，
左边=右边
所以 y=-8 是原方程的解.
（4） 原方程为7u-3=6u-4
移项，得 7u-6u = 3-4
化简，得
u = -1
检验：把u=-1代入原方程的左边和右边，
左边= 7×(-1)-3=-10，右边=6×(-1)-4=-10，
左边=右边
所以 u=-1 是原方程的解.
3. 解下列方程：
（1） 2.5x+318 =1068； （2） 2.4y + 2y+2.4 = 6.8.
C
）.
A.
3 2
B.
-3 2
Biblioteka Baidu
C.3
D.-3
分析
因为
3 a
的倒数是
a3，根据“互为相反数之和等于0”可得a3
+
2a 3
9
，
解方程即可求出a的值.
解 由已知条件可得 a +2a，-去9=分0 母，得a+2a-9=0，合并 33
同类项，得3a=9，系数化为1，得a=3.
故，应选择C.
中考 试题
例2
解方程
两边都除以a得
x
=
b a
练习
1. 下面各题中的去分母对吗？如不对，请改正.
（1）
5x 3
-
2x-3 5
= 2，去分母，得5x-2x+3 = 2；
不对，应为 25x-3(2x-3)=30
（3）
3x+1 5
+
5x 4
=
4，去分母，得4(3x+1)+25x=
80.
对
2. 解下列方程：
（1）
y
1 2
=
1 2 4
轮船逆水的航行速度= 轮 船在静水中的速度-水流 速度.
本问题涉及的等量关系有： 顺水航行的路程 = 逆水航行的路程.
因此，设轮船在静水中的航行速度为x km/h， 则根据等量关系可得
4(x+2)= 5(x-2) . 去括号，得 4x + 8 = 5x - 10 . 移项，得 4x-5x= -8-10 . 合并同类项，得 -x =-18 . 两边都除以-1，得 x = 18 . 因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h.
解: 整理，得 0.5(3x-1)- 0.2(2-x) = x
去括号，得 1.5x-0.5-0.4+0.2x= x
移项，得 1.5x+0.2x -x = 0.5+0.4
化简，得
0.7x = 0.9
方程两边同除以 0.7， x = 9
7
中考 试题
例1
3 a
的倒数与
2a - 9 3
互为相反数，那么a的值为（
解 （1） 原方程为2.5x+318 = 1068
移项，得
2.5x= 1068-318
化简，得
x = 300
检验：把x=300代入原方程的左边和右边，
左边= 2.5×300+318=1068，
左边=右边
所以 x=300 是原方程的解.
（2） 原方程为 2.4y + 2y+2.4 = 6.8
移项，得 2.4y+2y = 6.8-2.4
例3 解方程：
3x2125 xx
3x2125 xx
解 去分母，得 5(3x -1)-2(2-x)=10x
去括号，得 15x -5-4+2x= 10x
移项，合并同类项，得 7x = 9
方程两边都除以7，得
x
=
9 7
因此，原方程的解是
x
=
9 7
.
说一说
解一元一次方程有哪些基本步骤？
一元一次方程
去分母，去括号， 移项，合并同类项得 ax=b(a，b是常数，a≠0)
本节内容 3.3
一元一次方程的解法
动脑筋
某探险家在2002年乘热气球在24h内连续飞 行5129km. 已知热气球在前12h飞行了2345 km， 求热气球在后12h飞行的平均速度.
本问题涉及的等量关系有：
前12h飞行的路程 + 后12h飞行的路程 = 总路程.
因此，设后12h飞行的平均速度为x km/h， 则根据等量关系可得
-22334455 + 12x = 5129
从变形前后的两个方程可以看出，这种变形， 就是把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边 移到另一边，我们把这种变形叫做移项.
必须牢记：移项要变号.
在解方程时，我们通过移项，把方程中含未知 数的项移到等号的一边，把不含未知数的项移到等 号的另一边．
例1 解下列方程：
3
4
4
3
1 2
x
14
8
3 2
x
.
分析
解
本题如果按解一元一次方程的一般步骤去解，则比较复杂，观察
方程的特点，可以看出本题若采用由外及里的方法去括号，可使运算
较简单.
34
4
3
1 2
x
14
去中括号，得
128x1432x，6 即32
x
1 2
x
14
6
3 2
x
移项，得
3 2
x
12
x
.
1 4
6
∴ x = 614
解方程
应改为 4 x +6 =2+x 2(2x+3)=2+x
解 去括号，得 4x+3=2+x 应改为 4 x – x = 2-6
移项，得 4x +x = 2-3
化简，得
5x = -1
应改为 3x =-4
方程两边都除以5 ，得
方程两边都除以3，得
x
=
-
1 5
应改为
x
=
-4 3
2. 解下列方程.
（1） (4y+8)+2(3y-7)= 0 ； （2） 2(2x -1)-2(4x+3)= 7； （3） 3(x -4)= 4x-1.
根据等量关系，得 115(x+1)+112(x+4)=1
方程两边都乘60，得
1(
15
x
+1)+
1( 12
x
+
4)60
=160
即
4(x+1)+5(x+4)=60．
去括号，得
4x+4+5x+20=60.
移项，合并同类项得
9x=36.
方程两边都除以9，得
x=4.
因此，两人再合绣4天，就可完成这件作品．
4y = 3
方程两边同除以 4，
y=
3 4
（2）
5
+3x 2
=
3 5x 3
解:
去分母，得
5
+3x 2
×
6
=
3
5x 3
×
6
(5+3x)×3 = (3+5x)×2
去括号，得 15+9x = 6+10x
移项，得 9x -10x = 6-15
化简，得
-1x = -9
方程两边同除以 1， x = 9
（3） 2x61
不对，应为3s-2s=5 （3）若5w-2 = 4w+1，则5w-4w = 1+2；
对 （4）若8+x= 2x，则8-2x = 2x-x.
不对，应为8=2x-x
2. 解下列方程，并检验.
（1）x +4 = 5；
左边= 4×(-5)+3=-17， 右边= 2×(-5)-7+3=-17， 左边=右边
所以 x=-5 是原方程的解.
将同类项放在一起
解（2） 原方程为
-x
-
1=
3
-
1 2
x
移项，得
-x
+
1 2
x
=
3+1
合并同类项，得
-
1 2
x
=
4
两边都乘-2，得 x = -8
计算结果 进行检验
检验：把x=-8分别代入原方程的左、右两边，
-
5x 1 8
= 1.
解:
去分母，得
2x 1 × 24 - 5x 1 × 24 =1
6
8
(2x-1)×4 - (5x+1)×3=1×24
去括号，得 8x -4 -15x – 3 =24
移项，得 8x -15x = 4+3+24
化简，得
-7x = 31
方程两边同除以 -7， x = -371
（4）50%(3x -1)-20%(2-x)=x .
化简，得
y=1
检验：把y=1代入原方程的左边和右边，
左边= 2.4×1 + 2×1+2.4 = 6.8，
左边=右边
所以 y=1 是原方程的解.
动脑筋
一艘轮船在A，B两个码头之间航行，顺水航 行需4h，逆水航行需5h. 已知水流速度为2km/h， 求轮船在静水中的航行速度.
轮船顺水的航行速度 = 轮船在静水中的速度+水流速度.
移 化 检项 简 验， ， ：左左得得把边边x===12右-2x5代x边+==入2125原-124方=-程4，的右左边边=和-4右，边，
所以
x=
1 2
是原方程的解.
（3） 原方程为13y+8=12y
移项，得 13y-12y = -8
化简，得
y = -8
检验：把y=-8代入原方程的左边和右边，
左边=13×(-8)+8=-96，右边= 12 ×(-8)=-96，
说一说
上面解方程4(x+2 )= 5( x-2)的过程中， 包含哪些步骤？
例2 解方程： 3(2x -1) = 3x + 1.
解 去括号，得 6x-3 = 3x+1
移项，得 6x -3x = 1+3
合并同类项，得 3x = 4
两边都除以3，得
x
=
4 3
因此，原方程的解是
x
=
4 3
.
练习
1. 下面方程的求解是否正确？如不正确，请改正.
左边= (-8)-1= 7，
右边=
3-
1 2
×(-8)=7，
左边=右边
所以 x=-8 是原方程的解.
一般地，从方程解得未知数的值以后，要代入 原方程进行检验，看这个值是否是原方程的解，但 这个检验过程除特别要求外，一般不写出来.
练习
1. 下面的移项对吗？如不对，请改正.
（1）若x -4 = 8，则x = 8-4；
中考 试题
例3
方程 x
A. 15 14
16
36
12B.53x1154113
x
2 C.
的解是（
45 14
A ）.
D. 1445
解
方程两边同乘以6，得 去中括号，得 移项，合并同类项，得
6
x46xx362346121122355x335xx111220xx1122
去小括号，得
4x
24
36 5
x
12
y
；
（2）
5
+3x 2
=
3
5 x 3
；
（3）2x615x81=1 ；
（4）50%(3x -1)-20%(2-x)=x .
（1）
y
1 2
=
1 2 4
y
解: 去分母，得
y 1 2
×
4
=
1 2 y× 4
4
(y -1)×2 = 1-2y
去括号，得 2y-2 = 1-2y
移项，得 2y +2y = 2+1
化简，得
解 （1） 原方程为(4y+8)+2(3y-7)= 0
去括号，得 4y+8+6y-14= 0
移项，得 4y+6y = 14-8
化简，得 10y = 6
方程两边同除以 10，
y=
3 5
（2） 原方程为2(2x -1)-2(4x+3)= 7
去括号，得 4x-2-8x-6= 7
移项，得 4x-8x = 2+6+7
2345 + 12x = 5129.
①
利用等式的性质，在方程①两边都减去2345，
得
2345+12x-2345= 5129-2345，
即
12x=2784.
②
方程②两边都除以12，得x=232 .
因此，热气球在后12h飞行的平均速度为232 km/h.
我们把求方程的解的过程叫做解方程. 在上面的问题中，我们根据等式性质1，在方程① 两边都减去2345，相当于作了如下变形：
0
合并同类项，得
4
x
12
36 5
x
0
去分母，得
20x 60 36x 0
移项，得
20x 36x 60
合并同类项，得 两边同除以一次项系数，得 故，应选择A.
56x 60 x 1154
结束
（2）-5 + 2x = -4；
（3）13y+8=12y； （4）7u-3=6u-4 .
解 （1） 原方程为x +4 = 5
移项，得 x = 5-4 化简，得 x = 1 检验：把x=1代入原方程的左边和右边，
左边= 1+4=5，右边= 5， 左边=右边 所以 x=1 是原方程的解.
（2） 原方程为-5 + 2x = -4
本问题涉及的等量关系有：
甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 总工作量.
因此，设工作总量为1，则甲每天完成工作总量
的
1 15
，乙每天完成工作总量的
1 12
.
如果剩下的工作两人合绣x天就可完成，
那么甲共绣了(x+1)天，完成的工作量为 115(x+1) ； 乙共绣了(x+4)天，完成的工作量为 112(x+4).
化简，得 -4x = 15
方程两边同除以 -4，
x
=
-
15 4
（3） 原方程为 3(x -4)= 4x-1
去括号，得 3x -12 = 4x-1
移项，得 3x -4x = 12-1
化简，得
- x = 11
方程两边同除以 -11，
x = -11
动脑筋
刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单 独绣需要12天完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又 单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 问再合 绣多少天可以完成这件作品？
（1）4x+3 = 2x-7 ；
（2）- x
-
1=
3
-
1 2
x
.
4x +-3 = -22xx -7 =
将同类项放在一起
解 （1） 原方程为4x+3 = 2x-7
移项，得 4x -2x = -7-3
合并同类项，得 2x = -10 计算结果
两边都除以2，得 x = -5
进行检验
检验：把x=-5分别代入原方程的左、右两边，
左边=右边
所以 y=-8 是原方程的解.
（4） 原方程为7u-3=6u-4
移项，得 7u-6u = 3-4
化简，得
u = -1
检验：把u=-1代入原方程的左边和右边，
左边= 7×(-1)-3=-10，右边=6×(-1)-4=-10，
左边=右边
所以 u=-1 是原方程的解.
3. 解下列方程：
（1） 2.5x+318 =1068； （2） 2.4y + 2y+2.4 = 6.8.
C
）.
A.
3 2
B.
-3 2
Biblioteka Baidu
C.3
D.-3
分析
因为
3 a
的倒数是
a3，根据“互为相反数之和等于0”可得a3
+
2a 3
9
，
解方程即可求出a的值.
解 由已知条件可得 a +2a，-去9=分0 母，得a+2a-9=0，合并 33
同类项，得3a=9，系数化为1，得a=3.
故，应选择C.
中考 试题
例2
解方程
两边都除以a得
x
=
b a
练习
1. 下面各题中的去分母对吗？如不对，请改正.
（1）
5x 3
-
2x-3 5
= 2，去分母，得5x-2x+3 = 2；
不对，应为 25x-3(2x-3)=30
（3）
3x+1 5
+
5x 4
=
4，去分母，得4(3x+1)+25x=
80.
对
2. 解下列方程：
（1）
y
1 2
=
1 2 4
轮船逆水的航行速度= 轮 船在静水中的速度-水流 速度.
本问题涉及的等量关系有： 顺水航行的路程 = 逆水航行的路程.
因此，设轮船在静水中的航行速度为x km/h， 则根据等量关系可得
4(x+2)= 5(x-2) . 去括号，得 4x + 8 = 5x - 10 . 移项，得 4x-5x= -8-10 . 合并同类项，得 -x =-18 . 两边都除以-1，得 x = 18 . 因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h.
解: 整理，得 0.5(3x-1)- 0.2(2-x) = x
去括号，得 1.5x-0.5-0.4+0.2x= x
移项，得 1.5x+0.2x -x = 0.5+0.4
化简，得
0.7x = 0.9
方程两边同除以 0.7， x = 9
7
中考 试题
例1
3 a
的倒数与
2a - 9 3
互为相反数，那么a的值为（
解 （1） 原方程为2.5x+318 = 1068
移项，得
2.5x= 1068-318
化简，得
x = 300
检验：把x=300代入原方程的左边和右边，
左边= 2.5×300+318=1068，
左边=右边
所以 x=300 是原方程的解.
（2） 原方程为 2.4y + 2y+2.4 = 6.8
移项，得 2.4y+2y = 6.8-2.4
例3 解方程：
3x2125 xx
3x2125 xx
解 去分母，得 5(3x -1)-2(2-x)=10x
去括号，得 15x -5-4+2x= 10x
移项，合并同类项，得 7x = 9
方程两边都除以7，得
x
=
9 7
因此，原方程的解是
x
=
9 7
.
说一说
解一元一次方程有哪些基本步骤？
一元一次方程
去分母，去括号， 移项，合并同类项得 ax=b(a，b是常数，a≠0)
本节内容 3.3
一元一次方程的解法
动脑筋
某探险家在2002年乘热气球在24h内连续飞 行5129km. 已知热气球在前12h飞行了2345 km， 求热气球在后12h飞行的平均速度.
本问题涉及的等量关系有：
前12h飞行的路程 + 后12h飞行的路程 = 总路程.
因此，设后12h飞行的平均速度为x km/h， 则根据等量关系可得
-22334455 + 12x = 5129
从变形前后的两个方程可以看出，这种变形， 就是把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边 移到另一边，我们把这种变形叫做移项.
必须牢记：移项要变号.
在解方程时，我们通过移项，把方程中含未知 数的项移到等号的一边，把不含未知数的项移到等 号的另一边．
例1 解下列方程：
3
4
4
3
1 2
x
14
8
3 2
x
.
分析
解
本题如果按解一元一次方程的一般步骤去解，则比较复杂，观察
方程的特点，可以看出本题若采用由外及里的方法去括号，可使运算
较简单.
34
4
3
1 2
x
14
去中括号，得
128x1432x，6 即32
x
1 2
x
14
6
3 2
x
移项，得
3 2
x
12
x
.
1 4
6
∴ x = 614
解方程
应改为 4 x +6 =2+x 2(2x+3)=2+x
解 去括号，得 4x+3=2+x 应改为 4 x – x = 2-6
移项，得 4x +x = 2-3
化简，得
5x = -1
应改为 3x =-4
方程两边都除以5 ，得
方程两边都除以3，得
x
=
-
1 5
应改为
x
=
-4 3
2. 解下列方程.
（1） (4y+8)+2(3y-7)= 0 ； （2） 2(2x -1)-2(4x+3)= 7； （3） 3(x -4)= 4x-1.
根据等量关系，得 115(x+1)+112(x+4)=1
方程两边都乘60，得
1(
15
x
+1)+
1( 12
x
+
4)60
=160
即
4(x+1)+5(x+4)=60．
去括号，得
4x+4+5x+20=60.
移项，合并同类项得
9x=36.
方程两边都除以9，得
x=4.
因此，两人再合绣4天，就可完成这件作品．
4y = 3
方程两边同除以 4，
y=
3 4
（2）
5
+3x 2
=
3 5x 3
解:
去分母，得
5
+3x 2
×
6
=
3
5x 3
×
6
(5+3x)×3 = (3+5x)×2
去括号，得 15+9x = 6+10x
移项，得 9x -10x = 6-15
化简，得
-1x = -9
方程两边同除以 1， x = 9
（3） 2x61