高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题

{ } β
= ∫α
P[ϕ(t),ψ (t),ω(t)]ϕ ' (t) + Q[ϕ(t),ψ (t),ω(t)]ψ ' (t) + R[ϕ(t),ψ (t),ω(t)]ω ' (t) dt
这里
下限α 为曲线 C 的起点所对应的参数值，上限 β 为曲线 C 的终点所对应的参数
值。
例 1 计算 ∫L xydx + ydy ，其中
{ } b
∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫a
P[x,
f (x)]+ Q[x,
f (x)]f
' (x) dx ；
若曲线 L 的方程为 x = g( y), y = c 对应于 L 的起点， y = d 应于 L 的终点，
则
{ } ∫ ∫d
P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
C 2x2 + y4
l1 +l3
2x2 + y4
l2 +l3
2x2 + y4
（II）
设P=
ϕ ( y) 2x2 + y4
,Q
=
2xy 2x2 + y4
， P, Q 在单连通区域 x > 0 内具有一阶连续偏导数，
∫ 由（Ⅰ）知，曲线积分 ϕ( y)dx + 2xydy 在该区域内与路径无关，故当 x > 0 时，总有
从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊
情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；
定义：（曲线积分与路径无关问题）设 D 是 xoy 平面上的一个开区域，P(x, y)
以及 Q(x, y) 在 D 内具有一阶阶连续偏导数.如果对 D 内任意两点 A 与 B ，以及 D
L
c
2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场 F (x, y) = P(x, y)i + Q(x, y) j ，
其中 P(x, y),Q(x, y) 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点 A 沿光滑曲线 L 运动到点 B ，求力场的力所作的功W 。
W = ∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy ，
只能直接计算.这一圆周
L
的参数方程为
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
r cosθ r sinθ
,
(0
≤
ϑห้องสมุดไป่ตู้
≤
2π
)
,
则
∫ ∫ I = xdy − ydx = 2π r 2 (cos2 θ + sin 2 θ )dθ = 2π .
L x2 + y2
0
r2
例 5 设函数ϕ ( y) 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分
{ } β
∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫α
P[ϕ(t),ψ (t)]ϕ ' (t) + Q[ϕ(t),ψ (t)]ψ ' (t) dt
这里的α 是曲线 L 的起点 A 所对应的参数值，β 是曲线 L 的终点 B 所对应的参数
值，并不要求α < β 。
若曲线 L 的方程为 y = f (x), x = a 对应于 L 的起点， x = b 应于 L 的终点，则
∫ 则曲线积分 f (x, y)ds 存在，且 L
∫ ∫ f (x, y)ds = β f [ϕ(t),ψ (t)]⋅ ϕ '2 (t) +ψ '2 (t)dt (α < β )
L
α
∫ 特别,当 f (x, y) = 1 时, f (x, y)ds 表示曲线弧 L 的弧长。 L
当曲线弧 L 的方程为 y = g(x) (a ≤ x ≤ b) ，g(x) 在 [a,b]上有连续的导数，则
在公式(1)中取 P = − y,Q = x ，可得 2∫∫ dxdy = ∫L+ xdy − ydx ， D
上式左端为闭区域 D 的面积 A 的两倍，因此计算有界闭区域的 D 面积的公式为:
∫ A = 1 xdy − ydx 。 2 L+ 例 2 计算星形线 x = a cos3 t, y = a sin 3 t 所围图形的面积.
续偏导数且 ∂P = ∂Q 在 D 内恒成立； ∂y ∂x
(4) Pdx + Qdy 为全微分．
∫ 例 3 计算 (1 + xe2y )dx + (x2e2y − y 2 )dy ,其中 L 是从点 O(0,0) 经圆周 L
(x − 2)2 + y 2 = 4 上半部到点 A(4,0) 的弧段。 解 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关.
∫ 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 (1 + y 3 )dx + (2x + y)dy 的值最小。 C 解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。
令 C0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
∫ ∫ ∫ (1 + y 3 )dx + (2 x + y)dy = (1 + y 3 )dx + (2 x + y)dy − (1 + y 3 )dx + (2 x + y)dy
变到 β 时,曲线的点由起点 A 运动到终点 B ,ϕ (t) 、ψ (t) 在以α 及 β 为端点的闭区
间上具有一阶连续导数，且ϕ '2 (t) +ψ '2 (t) ≠ 0 ，函数 P(x, y) 、Q(x, y) 在 L 上连续，
∫ 则曲线积分 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 存在，且 L
C
C +c0
C0
∫∫ ∫ ∫ ∫ =
(2 − 3 y 2 )dxdy −
0
(1 +
03 )dx
=
π
dx
a sin x (2 − 3 y 2 )dy + π =π + 4 a 3 − 4a 。
π
0
0
D
3
用一元函数极值的方法得 a = 1 时达到最小值π − 8 。 3
4. 平面曲线积分与路径无关的条件
(2)设 L 为有向曲线弧， − L 为与 L 方向相反的有向曲线弧，则
∫ ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − P(x, y)dx + Q(x, y)dy
L
−L
即第二型曲线积分方向无关
(3)设
xoy
平面上的有向曲线
L
的参数方程为
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
ϕ ψ
(t) (t )
，当参数 t 单调地由α
∂Q ∂x
=
y2 − x2 (x2 + y2)2
=
∂P ∂x
,且 P(x, y) 与 Q(x, y) 在不含原点的任意一个区域内具有一
阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
∫ I = xdy − ydx = 0 .
L x2 + y2
（2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,
L
OA
OB
[ ] [ ] ∫ ∫ 0
= x(−
x) + (−
x )(−
x )' dx + 1 x
x+
x(
x )' dx
1
0
∫ ∫ =
3 0
(−x 2
+
1 )dx
+
3 1
(x 2
+
1 )dx =
4
1
2
0
25
(2) 直线 AB 的方程为 x = 1, dx = 0 , y 从 −1到1,于是
∫ ∫1
xydx + ydy = ydy = 0
L
−1
0
5
解法 2 当把曲线 L 分成 AO 与 OB 两部分时，在每一部分上 y 都是 x 的单值
函数。在 AO 上 y = − x ， x 由1变到 0 ；在 OB 上， y = x ， x 由 0 变到1。于是
∫ ∫ ∫ xydx + ydy = xydx + ydy + xydx + ydy
曲线积分与路径无关问题
1. 第一型曲线积分 (1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧 L ： AB ,其线密度为
ρ (x, y) 求弧 AB 的质量 m 。
m = ∫L f (x, y)ds ,
∫ ∫ (2)若 L1 = AB, L2 = BA ，则 L1 f (x, y)ds = L2 f (x, y)ds ，即对弧长的曲线积分
与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
设
f (x, y)
在曲线弧
L
上有定义且连续,
L
的参数方程为
⎧ x = ϕ (t)
⎨ ⎩
y
=
ψ
(t)
，
(α ≤ t ≤ β ) ,其中ϕ (t) 、ψ (t) 在 [α, β ]上具有一阶连续导数，且ϕ '2 (t) +ψ '2 (t) ≠ 0 ，
解 由公式(2)得
∫ A = 1 xdy − ydx 2 L+ ∫ = 1 2π [a cos3 t ⋅ 3a sin 2 t cos t −a sin 3 t ⋅ 3a cos2 t(− sin t)]dt 20
∫ 3a 2
=
2π sin 2 t cos2 tdt = 3 πa 2 .
20
8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿
∫L
ϕ(
y)dx 2x2
+ +
2xydy y4
的值恒为同一常数.
∫ （I）证明：对右半平面 x>0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 ϕ( y)dx + 2xydy = 0 ；
C 2x2 + y4
（II）求函数ϕ ( y) 的表达式.
【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线 C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲
L
OA
4
= ∫0 (1+ x)dx = 12
∫ 例 4 计算 I = xdy − ydx ,其中 L 为:
L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周.
解 这里 P(x, y) = − y , Q(x, y) = x ,
x2 + y2
x2 + y2
∫ ∫ 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1、L2 ，恒有
Pdx + Qdy =
L1
Pdx + Qdy ，则称
L2
∫ 曲线积分 Pdx + Qdy 在 D 内与路径无关。 L
定理：以下条件等价
(1) 在区域 D 内曲线积分与路径无关的充分； (2) D 内沿任一闭曲线的积分为零；
(3) 设开区域 D 是一个单连通域，函数 P(x, y) 以及 Q(x, y) 在 D 内具有一阶连
(1) L 为抛物线 y 2 = x 上从点 A(1,−1) 到点 B(1,1) 的一段弧。 (2) L 为从 A 到点 B 的直线段.
解法 1 (1)由 y 2 = x 知 y 不是 x 的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运
用公式（3），这里 x = y 2 ， y 从 −1变到1，于是
∫ ∫ [ ] ∫ xydx + ydy = 1 y 2 ⋅ y ⋅ ( y 2 )' + y dy = 4 1 y 4dy = 4 。
L
c
P[g( y), y]g ' ( y) + Q[g( y), y]dy 。
同样，以上并不要求 a < b ， c < d 。
公式可推广到空间曲线 C 上对坐标的曲线积分的情形，
若空间曲线 L 的参数方程为 x = ϕ (t), y = ψ (t), z = ω (t) ，则
∫C P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
∫ ∫ f (x, y)ds = d f [x, g(x)]⋅ 1 + g '2 (x)dx ；
L
a
把线弧
L
的方程为
y=
f (x)
化作参数方程
⎧ x=x
⎨ ⎩
y
=
g(x)
，
(a ≤ x ≤ b)
，
∫ ∫ f (x, y)ds = d f [h( y), y]⋅ 1 + h'2 ( y)dy (c ≤ y ≤ d )
这里 P(x, y) = 1 + xe2 y , Q(x, y) = x 2e2 y − y 2 ,
有 ∂Q = 2xe2y = ∂P ,且 P(x, y) 与 Q(x, y) 在全平面上有一阶连续偏导数.
∂x
∂y
因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段 OA作为积分路径.于是
∫ ∫ (1 + xe2y )dx + (x2e2y − y 2 )dy = (1 + xe2y )dx + (x2e2y − y 2 )dy
线相联系，这可利用曲线积分的可加性将 C 进行分解讨论；而（II）中求ϕ ( y) 的表达式，
显然应用积分与路径无关即可.
Y 【详解】 （I）
l1
l2
o l3
C X
如图，将 C 分解为： C = l1 + l2 ，另作一条曲线 l3 围绕原点且与 C 相接，则
∫ ∫ ∫ ϕ( y)dx + 2xydy = ϕ( y)dx + 2xydy − ϕ( y)dx + 2xydy = 0 .
L
−1
从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.
3. 格林公式及其应用
格林公式: 设平面闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P(x, y) 及
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则
∫∫
D
(
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
=
∫L+
Pdx
+
Qdy
其中 L+ 是 D 的正向边界曲线。