组合数学研究生试卷

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哈工大深圳研究生院组合数学部分作业题答案习题课6,8

Homework 613．Let A={A1,A2,A3,A4,A5,A6} whereA1={1,2} A2={2,3} A3={3,4} A4={4,5} A5={5,6} A6={6,1}Determine the number of different SDR’s that A has. Generalize to n sets.Solution: When we choose 1 in A 1, if we choose 3 in A 2, we can choose 4 only in A 3, we can choose 5 only in A 4, and we can choose 6 only in A 5, however, we can choose 1 only in A 6，it will contract with 1 in A 1Hence, we can choose only 2 in A .2 if we choose 1 in A 1,3 in A 3,4 in A 4,5 in A 5,6 in A When we choose 2 in A 6.1, we can only choose 3 in A 3, 4 in A 4, 5 in A 5, 1 in A 1That is SDR . Hence, there are only two SDRs in A . 1={1,2,3,4,5,6}and SDR 2Similarity, we can generalize to n sets. There are only two SDRs in n-sets the same.={2,3,4,5,6,1}That is SDR 1={1,2,…,n} and SDR 2={2,3,4,…,n,1}23. Use the deferred acceptance algorithm to obtain both the women-optimal and men-optimal stable complete marriage for the preferential ranking matrix.Conclude that for the given preferential ranking matrix there is onlyone stable complete marriage.a b c dAA BB CC DD�1,32,3 1,44,13,24,33,32,2 2,21,4 4,12,23,44,13,11,4�Solution：(1) women-optimalThe results of the algorithm are as follows:1)A choose a, B choose a, C choose b, D choose d; a rejects B2)B choose d; d rejects D.3)D choose b; b rejects C.4)C choose a; a rejects A.5)A choose c.In 5), there are no rejections, and(2) men-optimalThe results of the algorithm are as follows:1)a choose D, b choose B, c choose D, d choose C; D rejects a.2)a choose C, C rejects d.3)d choose B, B rejects b.4)b choose D, D reject c.5)c choose A.In 5), there are no rejections, anda C,b D,c A,d B.Conclude that, for given preferential ranking matrix, there is only one stable complete marriage.3. Consider an m-by-n chessboard where at least one of m and n is even. The board has an equal number of white and black squares. Show that if m and n are at least 2 and if exactly one white and exactly one black square are forbidden, the resulting board has a perfect cover with dominoes.Solution:Let n be even, there are even numbers of columns. From top row, if the top row has no squares forbidden, then that row can be covered by dominoes. So we can remove this row. Repeat this till the new top row has a forbidden square. Do the same thing from the bottom row. So we can assume that forbidden squares are on the top and bottom rows.Let’s consider the ﬁrst two columns from the left. If there is noﬁrst two columns, they can be covered by forbidden square in thedominoes and we can remove them. Repeat this till there is a forbidden square in the ﬁrst two columns. Do the same from the right side so we ca n also assume the forbidden squares lie in the ﬁrst two columns and the last two columns. After the above have been done, we can assume that chessﬂip board is of one of the following three situations (with rotation or ofover the chess board if needed). In each of the case, there are even numbers of columns.(A) (B) (C)So the two forbidden squares have one black and the other white, there are even numbers of columns. We draw the figures, in the cases (A) and (B), there has to be odd number of rows while in the case (C), there are even number of rows. Then we divide the board into pieces as shown in the following such each piece is rectangular with at least one side being even, thus can be covered by dominoes respectively.So the entire board has a perfect cover by dominoes.(A) (B) (C)4. Determine the max-matching and the min-cover of the right graph by applying the matching algorithm. We choose the red edges and obtain a matching M1.Find a minimum edge cover for the right graph.Answer:Now we get the matching )},(),,{(44121y x y x M = and U 131,x x = {}. (i) The vertices 31,x x are labeled (*).x 1y 1x x y 2 y 3 y 4y 5(ii) Scan the vertices in U 154321,,,,y y y y y in turn, and label with (1x ), since all vertices incident to 3x .already have a label, no vertex of Y get label (3x ).(iii) Scan the vertices 5431,,,y y y y labeled in (ii), and label 2x with (1y ), label 4x with (4y ).(*)x 1y 1(1x )x(*)x 3x y 2 y 3(1x ) y 4(1x )y 5(1x )(*)x 1 y1x (*)x 3x y 2 y 3 y 4y 5(iv) We scan the vertices 2x and 4x labeled in (iii), and label 2y with (2x ).(v) Scan the vertices 2y labeled in (iv), and find that no new labels are possible.We have achieved breakthrough. We find the 1M -augmenting path11221x y x y r = using the labels as a guide. Then )},(),,(),,{(4411222y x y x y x M =(*)x 1y 1(1x )(1y )x 2(*)x 3(4y )x y 2(2x ) y 3(1x ) y 4(1x )y 5(1x )(*)x 1 y 1(1x )(1y )x 2(*)x 3(4y )x y 2 y 3(1x ) y 4(1x )y 5(1x )and }{32x U =.(vi) The vertices 3x are labeled (*).(vii) Scan the vertices in U 25y in turn, and label with (3x )x 1y 1x 2(*)x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5x 1y 1x 2x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5(Viii) Scan the vertex 5y labeled in (vii), and find that no new labels are possible.We have achieved breakthrough. We find the 2M -augmenting path352x y r = using the labels as a guide. Then)},(),,(),,(),,{(441122533y x y x y x y x M =is a matching of four edges.Now we can get thatx 1 y 1x 2x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5x 1 y 1x 2(*)x 3x 4y 2 y 3 y 4y 5(3x )the max-matching )},(),,(),,(),,{(44112253y x y x y x y x M = and the min-cover= {54321,,,,y y y y y }.2) Find a minimum edge cover for the right graph.Follow the steps above; we can get a max-matching)},(),,(),,(),,{(44112253y x y x y x y x M =.And we can find that there are also some vertices uncovered by the max-matching. Obviously, the vertex 3y Now we can construct a subgraph composed of edges incident to the vertex is uncovered.3y , we find the max-matching of the subgraph, and add it to the max-matching of M, then we can get a minimum edge cover.Fig The subgraphThe max-matching of the subgraph is {(x 1,y 3)}. Now we can get a minimum edgecover={(x 1,y 3)}∪M ={(x 1,y 3)(x 3,y 5)(x 2,y 2)(x 1,y 1)(x 4,y 4)}x 1y 1x 2x 3x 4y 2 y 3y 4y 5x1y1x2 x3 x4y2 y3 y4y5Fig The minimum edge cover第八次作业16. Apply the algorithm for the GCD in Section 10.1 to 15 and 46, and then use the results to determine the multiplicative inverse of 15 in Z46Answer:.The result for Computing the GCD of 15 and 46 are displayed in the following:Now ,we write as a linear combination of 15 and 46：1=46-3*15From the above, 1 is the GCD of 15 and 46.Thus, we can get the multiplicative inverse of 15 in Z4615:-121. Determine the complementary design of the BIBD with parameters bb=vv=77,kk=rr=33,λλ=11in Section 10.2= – 3 = 43.•b: the number of blocks;•v: the number of varieties;•k: the number of varieties in each block;• r : the number of blocks containing each variety• λλ: the number of blocks containing each pair of varieties. Answer:Apply ()11−−=k v r λ to this case, now we have b =v =7,k =r =3,λ=1.Hence, we can get ()()311717111≠=−−×=−−=k v r λ. Thus, we can design such a complementary.We can get the complementary design of the BIBD withparametersb’ = b = 7, v’ = v = 7, k’ = v-k = 4, r’ = b-r = 4 ,213272'=+×−=+−=λλr b .28. Show that BB={00,11,33,99}is a difference set in Z13 Answer:, and use thisdifference set as a starter block to construct an SBIBD. Identify the parameters of the block design.We compute the subtraction table and obtain:We can find that non-zero integers in Z13}{9,3,1,0=B occur exactly once as adifference, hence is a difference set in Z1332. Use Theorem 10.3.2 to construct a Steiner triple system of index 1 having 21 varieties..•Hints:• 1. construct two Steiner triple systems B1 and B2• 2. construct B based on B with 3 and 7varieties, respectively.1and B2. Answer:1）Construct two Steiner triple systems B1 and B2 with 3 and 7 varieties, respectively.Let X={a0,a1,a2}and Y={b0,b1,b2,b3,b4,b5,b6}be two sets of varieties.Let B1={a0,a1,a2}and B2=�{b0,b1,b3},{b1,b2,b4}, {b2,b3,b5},{b3,b4,b6},{b4,b5,b0},{b5,b6,b1},{b6,b0,b2}�be the Steiner triple systems of X and Y, respectively.2）Construct B based on B1 and B2.We define a set B of triples of the elements of X. Let {c ir, c js, c kt} be a set of 3 elements of X. then {c ir, c js, c kt} is a triple of B iff one of the following holds:i) r = s = tIf r=s=t=1, we can get {0,3,9}, {3,6,12}, {6,9,15}, {9,12,18}, {12,15,0},{15,18,3}, {18,0,6};If r=s=t=2, we can get {1,4,10}, {4,7,13}, {7,10,16}, {10,13,19},{13,16,1}, {16,19,4}, {20,1,7};If r=s=t=3, we can get {2,5,11}, {5,8,14}, {8,11,17}, {11,14,20},{14,17,2}, {17,20,5}, {20,2,8};ii) i = j = k, We can get {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8},{9, 10, 11}, {12, 13,14}, {15, 16, 17}, {18, 19, 20};(iii) i, j and k are all different and {a i, a j, a k} is a triple of B1, and r, s and t are all different and {b r, b s, b t} is a triple of B2. Put another way, c ir, c js, and c kt are in 3 different rows and 3 different columns of the array, and the rows in which they lie correspond to a triple of B1 and the columns inwhich they lie correspond to a triple of B2 If {a .i, a j, a k If {a }={0, 1, 3}，we can get {0, 4, 11}, {0, 10, 5}, {3, 1, 11}, {3, 10, 2}, {9, 1, 5}, {9, 4, 2};i, a j, a k If {a }={1, 2, 4}, we can get {3, 7, 14}, {3, 13, 8}, {6, 4, 14}, {6, 13, 5}, {12, 4, 8}, {12, 7, 5};i, a j, a k If{a }={2, 3, 5}，we can get {6, 10, 17}, {6, 16, 11}, {9, 7, 17}, {9, 16,8},{15,7,11},{15,10, 8};i, a j, a k If {a }={3,4,6}, we can get {9,13,20},{9,19,14},{12,10, 20},{12,19,11},{18,10,14},{18,13,11};i, a j, a k If {a }={4, 5, 0}，we can get {12,16,2}, {12, 1,17}, {15,13,2},{15,1,14}, {0,13,17}, {0,16,14};i, a j, a k If {a }={5,6, 1}，we can get {15, 19, 5},{15,4,20},{18, 16, 5},{18, 4, 17},{3,16,20},{3,19,17};i, a j, a k}={6,0, 2}，we can get {18, 1, 8}, {18, 7, 2}, {0, 19, 8}, {0, 7,20}, {6, 19, 2}, {6, 1, 20};52. Construct a completion of the 3-by-6 Latin rectangleAnswer:According to theorem 10.4.11(390页), this 3-by-6 Latin rectangle has a completion. Let X={x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5} representing the 6 elements, and Y= {y 0, y 1, y 2, y 3, y 4, y 5} representing the columns. An edge (x i, yj ) in denotes element i doesn’t appear in column j. Then we construct a regular of degree 3 Bipartite graph of X and Y ，G=(X, Δ, Y) as follows.y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5(1)Computing the perfect matching using the matching algorithm (312页) and the results are as follows. The red lines represent the maximum matching. （找出一个完美匹配即可，不必写出寻找的步骤，建议通过观察得出完美匹配最好，匹配算法太麻烦了）0 1 2 3 4 5 4 3 1 5 2 0 54312y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5So a new row is{x 2, x 0, x 4, x 1, x 5, x 3Similarly, we can draw the graph for the above matrix as follows.} could be added to the original matrix as follows.�01243134552054324012153� y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5(2)Computing the perfect matching and the results are as follows. The red lines represent the maximum matching.y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5Hence a new row is{x 1, x 5, x 0, x 2, x 3, x 4Similarly, we can draw the graph for the above matrix as follows.} and the new Latin rectangle is⎣⎢⎢⎢⎡012431345520543204150012153234⎦⎥⎥⎥⎤ y 2x 0x 2x 3x 4y 1y 3x 1y 5y 4y0x 5From the graph, we can easily know that all the lines construct a perfect matching. So we the final answer as follows⎣⎢⎢⎢⎢⎡012431543335520012204150325153234401⎦⎥⎥⎥⎥⎤58. Construct a completion of the semi-Latin squareAnswer ：思路：构造二分图，找完美匹配（匹配算法）。

研究生数学试题及答案

研究生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 3x+2答案：A2. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，如果A是3x2矩阵，B是2x4矩阵，那么AB的维度是多少？A. 3x4B. 3x3C. 2x4D. 4x4答案：A3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/nB. 1/n^2C. 1/n^3D. 1/n^(1/2)答案：B4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的定积分是多少？A. 0B. πC. 2D. -π答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)f(x) = _______。

答案：f(a)2. 矩阵A的特征值是特征多项式det(A-λI)=0的解，其中I是单位矩阵，λ代表_______。

答案：特征值3. 微分方程y''+y=0的通解是y=C1cos(x)+C2sin(x)，其中C1和C2是常数，那么这个方程的特解y_p=_______。

答案：04. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的二阶导数是_______。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是单调递增的。

证明：由于f'(x)=3x^2≥0对所有x∈R成立，且仅在x=0时取等号，因此f(x)在R上单调递增。

2. 求解微分方程y'+2y=e^(-2x)的通解。

解：首先找到齐次方程y'+2y=0的解，得到y_h=Ce^(-2x)。

然后使用待定系数法找到特解y_p=A，代入原方程得到A=1/2e^(-2x)。

因此，通解为y=Ce^(-2x)+1/2e^(-2x)。

结束语：本试题及答案旨在考察研究生数学的基本概念、计算能力和证明技巧，希望同学们通过练习能够加深对数学知识的理解与应用。

排列组合考研练习题

排列组合考研练习题在数学领域中，排列组合是一种重要的概念，尤其对于那些即将参加考研的同学来说，掌握排列组合原理是必不可少的。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用排列组合的知识。

1. 问题一：某公司有5个职位，有10个员工申请。

求职位与员工之间的匹配可能性。

解答：这是一个典型的排列问题。

由于每一个职位只能被一个员工占据，因此需要计算全排列。

根据排列的计算公式，结果为5的阶乘，即5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120。

所以，职位与员工之间存在120种可能的匹配方式。

2. 问题二：某班级有10个男生和8个女生，要从中选择一位班长和一位副班长。

求男生和女生之间的不同组合方式。

解答：这是一个组合问题。

首先我们从10个男生中选择班长，共有C(10,1) = 10种选择方式。

然后从8个女生中选择副班长，共有C(8,1) = 8种选择方式。

根据组合的计算公式，最后的结果为10 x 8 =80种不同的组合方式。

3. 问题三：某超市有10种口味的冰淇淋，小明想买5种不同口味的冰淇淋。

求他有多少种选择方式。

解答：这是一个组合问题。

小明需要从10种冰淇淋中选择5种口味，共有C(10,5)种选择方式。

根据组合的计算公式，结果为10! / (5! x (10-5)!)= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252种选择方式。

4. 问题四：某餐厅有三道主菜和四种甜点，顾客需要选择一道主菜和一种甜点。

求顾客的选择方式。

解答：这是一个乘法原理的问题。

顾客可以从三道主菜中选择一道，共有3种选择方式。

然后从四种甜点中选择一种，共有4种选择方式。

根据乘法原理，最后的结果为3 x 4 = 12种选择方式。

通过以上几个练习题的计算，我们可以看到排列组合在实际问题中的应用。

掌握排列组合原理不仅能够帮助我们解决类似的问题，还能够培养我们的逻辑思维能力。

组合数学研究生试卷整理版

学科专业代码 081202/081203/430112学科专业名称计算机应用技术、计算机软件与理论、计算机技术考试科目代码_ 01 考试科目组合数学题号一二三四五六七八九十总分分数评卷人（本试卷考试时间为2个小时，卷面分数100分，答案请写在答题本上）一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1、在35⨯棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有 __________种不同的选取方法。

2、将5封信投入3个邮筒，有_________种不同的投法。

3、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x ，2项包含 xyz ，1项包含常数项，求包含xy 的项有个.4、由1，2，3，4，5 组成的大于43500的五位数的共有____个。

5、把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有_______种不同方式。

三、应用题（本大题共5小题，每题各15分，共75分）6、若有1克砝码3枚，2克砝码4枚，4克砝码2枚，问能称出多少种不同的重量？各有多少方案？7、某学者每周上班6天工作42小时，每天工作的小时数是整数，且每天工作时间不少于6小时也不多于8小时。

今要编排一周的工作时间表，问有多少种不同的编排方法？8、核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子，若在时刻t = 0时反应堆中只有一个α粒子，问t = 100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？9、正六面体的8个顶点分别用红蓝两色染色，问有多少种不同的染色方案？刚体运动使之吻合算一种方案。

10、期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？一、填空题（每小题5分，共25分）：专业姓名1、22 解：用加法原则：5×（3-1）+3×（5-1）=22。

科技大学数学系《组合数学》试题及答案

组合数学试题共 5 页，第 1 页科技大学研究生试卷及答案（考试时间：至，共 2 小时）课程名称组合数学教师学时 40 学分 2 教学方式讲授考核日期 20XX 年 XX 月日成绩考核方式：（学生填写）一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。

2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。

解：1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。

-----------------4分2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。

-----------------4分故R(C 4,C 4)>=6。

-----------------2分二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。

假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。

问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。

-----------------4分学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………组合数学试题共 5 页，第 2 页1 5432EDCBA由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)=3223)21()21()1(])21)(1()1([x x x x x x x x x +++++++++ ----------------4分＝543211242281x x x x x +++++-----------------4分所以安排方案数为5! - 8·4! + 22·3! - 24·2! +11-1 -----------------4分 = 22即共有22种。

太原理工大学研究生期末考试组合数学

1. 填空（本题共20分，共10空，每空2分）1）三只白色棋子和两只红色棋子摆放在 5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有1200种不同的摆放方法。

2答案：5! C 512002）在（5a 「2a 2+3a 3）6 的展开式中，a/?a 2?a 33 的系数是 -81000。

色 52 ( 2) 3381000答2!1!3!3）有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第n 1二组的最大数，共有n 2 1种方案。

4）六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有12种方案。

答案：C 3 c ； C 2125）从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有320 个。

6）要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。

现要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出 604800种不同的节目单。

3答案.6! C 7 4! 60480027）把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有2 （n!）种排列方法；2若围成一圆桌坐下，又有2 （n!） /（2n ）种方法。

2n8） n 个变量的布尔函数共有n个互不相同的。

9）把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为P(n r 1,r)/ 八(n r 1)! ~ / 、 …w P(n r 1,r)n(n 1)(n 2)答案：2. (本题10分)核反应堆中有a 和B 两种粒子，每秒钟内一个 a 粒子分裂成三个B 粒子，而一个B 粒子分裂成一个a 粒子和两个B 粒子。

若在时刻t=0时，反应堆中只有一个a 粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个 a 粒子？多少个B 粒子? 解：设t 秒钟的a 粒子数位a t ， B 粒子数为b t ,则a tb t i b 3a t 1 2b t 1 a 。

组合数学考试题附答案2

组合数学试题共 4 页，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14：30 至 16：30 ，共 2 小时）课程名称组合数学教师卢光辉，张先迪学时 40 学分 2 教学方式讲授考核日期 2006 年 12 月 2 日成绩考核方式：（学生填写）一．填空题（每空2分，共22分）1．食品店有三种不同的月饼（同种月饼不加区分），第一种有5个，第二种有6个，第三种有7个， (1) 从中取出4个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有种； (2) 从中取出6个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有种；（3）若将所有的月饼排在一个货架上，则排法数有种（给出表达式，不必算出数值结果）。

（4）若将所有的月饼装在三个不同的盒子中，盒内有序（即盒内作线排列），盒子不空，则不同的装法数又有种（给出表达式，不必算出数值结果）。

2．棋盘C 如图1所示，则棋子多项式R (C ) =3．设有足够多的红球、黄球和绿球，同色球不加区分，设从中无序地取出n 个球的方式数为a n ，有序地取出n 个球的方式数为b n ，但均需满足红球的数量为偶，黄球的数量为奇，则(1) 由组合意义写出的{a n }的普通母函数为；求和后的母函数为。

(2)由组合意义写出的{b n }的指数母函数为；求和后的母函数为。

4．（1）将6个无区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为。

学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………图1题……………无效…组合数学试题共 4 页，第 2 页（2）将6个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为。

（已知将5个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为25）二、（14 分）给定重集B = {3·A , 3·B , 4·C ,10·D }。

《组合数学》工学研究生1

西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目：组合数学考试日期：考试时间：120 分考试方式：闭卷任课教师：学生姓名：学号：一、（10分）请计算多项式8322⎪⎭⎫⎝⎛++-c b a 的展开式中222c b a和22bc a 两项的系数。

① ()222232121!2!2!2!2!8⎪⎭⎫⎝⎛-＝22680 (5)分②()32232121!3!2!1!2!8⎪⎭⎫⎝⎛-＝－22680 (5)分二、（10分）满足不定方程4321x x x x +++＝62的整数解共有多少组？其中要求31-≥x ，52≥x ，03≥x ，04≥x 。

① 做变换11x y =＋3, 22x y =－5, 33x y =,44x y = ……………………………… 2分 ② 原方程化为4321y y y y +++＝60 (2)分③ 问题等价于从4种相异元素中可重复地选60个元素的组合问题 (3)分④ 答案为601604C-+＝363C＝!60!3!63 (2)分⑤ 结果为39711 ………………………………………………………………………………………… 1分三、（10分）一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，最多工作10个小时。

问共有多少种不同的安排方案？假设一周有5个工作日。

① 分析问题，写相应的（普）母函数 …………………………………………………………… 4分()x G ＝()51065x x x +++② 母函数展开得 ()x G ＝25x＋526x＋…＋67638x＋…＋50x…………………………… 4分()x G ＝()552251xxx x++++＝25x(1＋2x ＋32x ＋43x ＋54x ＋65x ＋…＋10x )350⎪⎭⎫⎝⎛∑=i i x （系数对称）＝25x(1＋3x ＋62x ＋103x ＋154x ＋215x ＋256x ＋277x ＋…＋15x)250⎪⎭⎫⎝⎛∑=i i x ＝25x (1＋4x ＋102x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x＋14610x ＋…＋20x )⎪⎭⎫⎝⎛∑=50i i x＝25x (1＋4x ＋102x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x＋14610x ＋…＋20x )⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=50i i x＝25x (1＋5x ＋152x ＋353x ＋704x ＋…＋78013x ＋…＋524x ＋25x )＝25x＋526x＋1527x＋3528x＋7029x＋…＋78038x＋…＋549x＋50x③ 答：共有780种选法 …………………………………………………………………………… 2分四、（10分）把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多分别为3、3、4颗。

组合数学研究生试卷.doc

学科专业代码081202/081203/430112学科专业名称计算机应用技术、计算机软件与理论、计算机技术考试科目代码0606191301 考试科目组合数学题号―*二三四五六七八九十总分分数评卷人（本试卷考试时间为2个小时，卷面分数100分，答案请写在答题本上）一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1、在5x3棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有—种不同的选取方法。

2、将5封信投入3个邮筒，有种不同的投法。

3、含3个变元的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含X, 2项包含xyz , 1项包含常数项，求包含xy的项有个.4、由1, 2, 3, 4, 5组成的大于43500的五位数的共有个。

5、把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有—种不同方式。

三、应用题（本大题共5小题，每题各15分，共75分）6、若有1克磋码3枚，2克磋码4枚，4克磋码2枚，问能称出多少种不同的重量？各有多少方案？7、某学者每周上班6天工作42小时，每天工作的小时数是整数，且每天工作时间不少于6 小时也不多于8小时。

今要编排一周的工作时间表，问有多少种不同的编排方法？8、核反应堆中有a和月两种粒子，每秒钟内一个a粒子分裂成三个”粒子，而一个”粒子分裂成一个a粒子和两个”粒子，若在时刻t = 0时反应堆中只有一个a粒子，问t=100 秒时反应堆中将有多少个a粒子？多少个”粒子？9、正六面体的8个顶点分别用红蓝两色染色，问有多少种不同的染色方案？刚体运动使之吻合算一种方案。

10、期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？一、填空题（每小题5分，共25分）：1、22 解：用加法原则：5X (3-1) +3X (5-1) =22。

2、243解：每封信都有3个选择。

信与信之间是分步关系。

所以分步属于乘法原则，即3x3x3x3x3 = 81 X3=243…3、2 解：设S为9个项构成的集合，设。

太原理工大学研究生期2013年末考试组合数学

B 第 1 页共 6 页考试方式：闭卷太原理工大学《组合数学》试卷（B ）适用班级硕士研究生考试日期 2013.07.02 时间 120 分钟共 6 页一．填空题(每个空3分，共30分) 1． 10！正整数因子的个数有。

2．设凸n （4≥n ）边形的任意三条对角线不共点，则对角线在图形内的交点个数是。

3．将5个不同的球放入3个有标记的盒子中，要求第一个盒子中也放2个球，第二个盒子中放2个球，第三个盒子中放1个球，则共有种不同的放法。

4．6)32(z -y x +的展开式中，z y x 23项的系数是，全部系数之和。

5．按照字典序，排列4517632的下面第六个排列是。

6．用红、黄、蓝、绿四色给一个n 1⨯的格盘中各格分别着色，要求红、绿色格子个数均为偶数，问有种不同的方案。

7．现有1只虎，2匹马，3条蛇排成一列，如果去掉虎头蛇尾后剩余的不同排列方式共有种。

8．元素只取0,1的n m ⨯阶矩阵有个，而其中每行只有一个1的矩阵有个。

B 第 2 页共 6 页二．(10分) 记1--=∆k k k a a a ，)(2k k a a ∆∆=∆，求解差分方程⎪⎩⎪⎨⎧==≥=∆+∆121,02,2102a a k k a a k k三．（10分）求8个字母A, B, C, D, E, F, G, H的全排列中，只有4个字母不在原来位置上的错排数目。

四．（10分）给正方体的8个顶点着红、白两种颜色，在空间转动能重合为同一着色方案。

问不同着色方案数为多少？B第3 页共6 页B 第 4 页共 6 页五．（10分）求方程14321=++x x x ，满足条件511≤≤x ，412≤≤x ，733≤≤x 的整数解向量的个数。

B 第 5 页共 6 页六．（10分）)2(≥m m 个人相互传球，甲先发球，别人接球后又传给其他人，记n T 表示经n 次传球后球仍回到甲手中的传球方式数，写出n T 所满足的递推关系，并计算n T 。

考研排列组合例题

考研排列组合例题在考研数学中，排列组合是一个重要的题型。

通过掌握排列组合的基本概念和解题方法，可以有效提高数学题的解答速度和准确性。

接下来，我们将通过几个排列组合的例题，来讨论解题的过程和方法。

1. 例题一：从10个不同的字母中，任选3个字母组成不同的三位数。

其中有多少个三位数的百位数字是“A”？解析：首先，我们需要确定三位数的百位数字是“A”的数目。

由于百位数字只有一个选项“A”，而其他两位数字可以任意选择，所以总的可能性是1*9*8=72个。

因此，答案是72个。

2. 例题二：有5个同样的红球和3个同样的蓝球，将这些球放入一个篮子中。

从篮子中随机取出4个球，求取出的球中有三个红球的概率。

解析：我们需要确定取出的4个球中有三个红球的概率。

首先，我们需要确定三个红球的可能搭配情况。

根据排列组合中的组合公式C(n,m)（即从n个不同元素中取出m个元素的组合数），我们可以计算出C(5,3)=10。

而取出3个红球之后还需要从剩下的球中取出1个球，即C(3,1)=3。

因此，取出的球中有三个红球的概率为10*3 / C(8,4)=30 / 70 = 3 / 7。

3. 例题三：某班有5个男生和5个女生，要从中选择3个人作为班级代表，其中至少有一名男生和一名女生。

求不同选择方式的数目。

解析：我们需要确定选择班级代表的不同方式数目。

首先，我们可以确定至少有一名男生和一名女生的情况。

根据排列组合中的减法原理，我们可以计算总的选择方式数目为C(10,3) - C(5,3) - C(5,3) + 1（最后一项是排除只选择男生或只选择女生）。

因此，不同选择方式的数目为C(10,3) - C(5,3) - C(5,3) + 1 = 120 - 10 - 10 + 1 = 101。

通过以上三个例题的分析，我们可以看出排列组合在考研数学中的重要性。

掌握排列组合的基本概念和解题方法，可以帮助我们更好地解决数学题，提高解题的准确性和效率。

组合数学试题及答案

组合数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在组合数学中，从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. nCm答案：A2. 如果一个集合有10个元素，从中任取3个元素的组合数为：A. 120B. 210C. 1001D. 1000答案：B3. 组合数学中的排列数与组合数的关系是：A. P(n, m) = C(n, m) * m!B. C(n, m) = P(n, m) / m!C. P(n, m) = C(n, m) + m!D. P(n, m) = C(n, m) * n!答案：B4. 以下哪个公式用于计算组合数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A5. 如果一个集合有8个元素，从中任取2个元素的排列数为：A. 28B. 56C. 8!D. 7!答案：B6. 组合数学中，排列数P(n, m)的定义是：A. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量B. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量C. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量，不考虑顺序D. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量，考虑顺序答案：A7. 以下哪个公式用于计算排列数？A. P(n, m) = n! / (n-m)!B. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A8. 如果一个集合有15个元素，从中任取5个元素的组合数为：A. 3003B. 3000C. 1365D. 15504答案：D9. 组合数学中的二项式系数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. B(n, m)答案：A10. 以下哪个公式用于计算二项式系数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数为 ________。

同等学力-组合数学-真题库-章节分类

同等学力申硕-计算机专业-组合数学-题库一，排列与组合1.1，排列与组合1、如果五个文科生和五个理科生排成一排，共有____种不同的排法；如果要求文科生和理科生交替排成一排，则共有____种不同的排法。

(2012年真题)答：考察排列与组合(1)5个文科生和5个理科生，无限制条件，进行线排列，有10!=3628800种方案。

(2)要求文科生和理科生交替排列。

首先将5个文科生排成一排，有5!=120种方案。

然后再5个理科生排成一排，有5!=120种方案。

然后把这5个理科生插入已排好的文科生6个间隔中，选取5个间隔位的排列，为保证文理生交替，只能选择前5个间隔位或后5个间隔位，有2种方案。

于是所求为：2*5!*5!=2*120*120=28800种方案。

2、由3个a，1个b，2个c这六个元素组成的不同排列的总数是____。

(2012年真题)答：考察排列与组合所求排列总数为：6!3!1!2!=6!3!2!=60种。

3、如果四对夫妻围圆桌就座，没有任何限制条件，共有____种不同的座法；如果这四对夫妻中的四个男士和四个女士排成一排，要求男女交替，则有____种不同的排法; 如果这四对夫妻围圆桌就座, 要求夫妻相邻的座法有____种。

(2013年真题)答：考察排列与组合(1)四对夫妻共8人，无限制条件，进行圆排列，有(8-1)!=7!=5040种座法。

(2)首先将4个男士排成一排，有4!=24种方案数。

然后4个女生与男士交替排列即在男士排列后5个间隔中选取4个不同间隔位的排列，有P(5,4)= 5!/(5-4)!=5!=120种方案。

于是所求为：4!*P(5,4)=24*120=2880种方案。

(3)首先将夫妻作为一个整体，进行圆排列，有(4-1)!=3!=6种座法。

然后每对夫妻可以互相交换位置，方案数为24=16种方案。

于是所求为: 6*16=96种座法。

4、有六对夫妇坐在一个圆桌旁，其中通过转圈得到的坐法视为相同的坐法。

2013-2014研究生考试试卷《组合数学》A

河南理工大学2013-2014学年第一学期
2013级硕士研究生《组合数学》考试试卷
课程类别：学位课考试方式：闭卷考试时间：120分钟
试卷类型： A 本试卷考试分数占学生总评成绩的80 %
一、(每题5分，共15分)
1、一教室有两排，每排8个座位，今有14名学生，问按下列不同的方式入
座，各有多少种做法？
（1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定；
（2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。

2、在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？
3、n对夫妻围圆桌而坐，求夫妻不相邻的方案数。

《组合数学》试卷共4页，第1页
二、（15分）
写出容斥原理的两个公式，并证明。

三、（每题10分，共20分）
1、红、黄、蓝三色的球各8个，从中取出9个，要求每种颜色的球至少一个，
问有多少种不同的取法？
《组合数学》试卷共4页，第2页
《组合数学》试卷共4页，第3页
2、n 位的四进制数中，数字1，2，3各自至少出现一次的数有多少个？
四、（15分）试求由a ，b ，c 三个字母组成的n 位符号串中不出现aa 图像
的符号串的数目。

《组合数学》试卷共4页，第4页
五、（15分）有1克重砝码2枚，2克重砝码3枚，5克重砝码3枚，要求
这8个砝码只许放在天平的一端，能称几种重量的物品？有多少种不同的称法？
六、（20分）相邻位不同为0的n 位二进制数中一共出现了多少个0？
，。

2024 考研数学(三)真题试卷及参考答案

试卷及解2024考研数学（三）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设函数21()lim1nn xf x nx →∞+=+，则()f x A．在1x =，1x =-处都连续．B．在1x =处连续，在1x =-处不连续．C．在1x =，1x =-处都不连续．D．在1x =处不连续，在1x =-处连续．1．【答案】D【解析】当21 1lim11nn xx x nx →∞+<=++时,，当211lim01nn xx nx →∞+>=+时,，当21,lim01n x n →∞==+时，当01lim01n x n→∞=-=+时,，故()1,11,0,x x f x +-<<⎧=⎨⎩其他.故在1x =-时，连续；1x =时不连续．选D.2.设sin d a k aI x x π+=⎰，k 为整数，则I 的值A．只与a 有关B．只与k 有关C．与,a k 均有关D．与,a k 均无关2．【答案】B 【解析】π|sin |d a k a I x x+=⎰ππ0|sin |d sin d 2.k x x k x x k ===⎰⎰选B.3.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .yy f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰3．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A.4.幂级数nnn a x∞=∑的和函数为ln(2)x +，则20nn na∞==∑A.16-B.13-C.16D.134．【答案】A【解析】()112ln 2ln 1ln 2ln 2(1)2nn n x x x n ∞-=⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=++=+- ⎪⎝⎭∑23462222ln 222346x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-+-+ ⎪⎝⎭224680246357320234111 2322242111 2221114182 .138361624nn naa a a a ∞==+++++⎛⎫=-+⋅--+ ⎪⋅⋅⎝⎭⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-=-=-⨯=-⎢⎢⎥-⎣⋅⎦∑ 5.设二次型()T123,,f x x x =x Ax 在正交变换下可化成22212323y y y -+，则二次型f 的矩阵A 的行列式与迹分别为.6,2A --.6,2B -.6,2C -.6,2D 5．【答案】C【解析】()T123,,f x x x =x Ax 正交变换下化为22212323y y y -+⇒A 的特征值为1,2,3-()()()1236,tr 1232⇒=⋅-⋅=-=+-+=A A .6.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=AA.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P 故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131(1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设矩阵131,2112ij a b b aM +⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 表示A 的行j 列元素的余子式,若1||2=-A .且2122230M M M -+-=.则3.02A a a ==-或3.02B a a ==或1.12C b b ==-或1.12D b b =-=或7.【答案】B【解析】120101322211111222112121bba bbbba a a-+===A 1211(1)122a b +⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭111(21)22b a ⎛⎫=-⋅--=-⎪⎝⎭11(21)22b a ⎛⎫⇒--=⎪⎝⎭12122b ab a ⇒--+=又2122232122230M M M A A A =-+-=++13131111111101111201a b a b a b a b +++====+-=，1b a ⇒=+代入(1)中,得11(1)2022a a a a ++--+=0a ⇒=或312ab =⇒=或52.8.设随机变量X 的概率密度为()()61,01,0,x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他，则X 的三阶中心矩()3E X EX -=A.132-B.0C.116D.128．【答案】B 【解析】1211116(1)d 6634122EX x x x ⎛⎫=-=⋅-=⨯= ⎪⎝⎭⎰3311321021211116(1)d 6d 022 22 x t E X x x x xt t t t --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰令.9.随机变量,X Y 相互独立，且~(0,2),~(1,1)X N Y N -，设{}{}122,21p P X Y p P X Y =>=->，则121A.2p p >>211B.2p p >>121C.2p p <<211D.2p p <<9．【答案】B【解析】(2)2011E X Y EX EY -=-=+=，(2)44219D X Y DX DY -=+=⨯+=，所以2~(1,9)X Y N -；(2)2022E X Y EX EY -=-=+=，(2)4246D X Y DX DY -=+=+=，所以2~(2,6)X Y N -；121011113333X Y p P ΦΦ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫=>=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭21p P ΦΦ⎛⎛=>=--= ⎝⎝，所以2112p p >>，故选B.10.设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-,则下列随机变量中与Z 同分布的是A.X Y + B.2X Y+C.2X D.X10．【答案】D【解析】X 与Y 的联合概率密度为2()e ,0,0(,)()()0,x y Y X x y f x y f x f y λλ-+⎧>>=⋅=⎨⎩其他设Z 的分布函数为()Z F z ，则{}{}()Z F z P Z z P X Y z=≤=-≤1当0z <时，()0Z F z =；2当0z ≥时，{}{}()20Z F z P z X Y z P X Y z =-≤-≤=≤-≤02e d e d y z y x yy x λλλλ+∞+--=⎰⎰.()()02202e e e d 2e d 2e e d 1e .y y y z y z y z y y yλλλλλλλλλλ+∞---++∞+∞----=-=-=-⎰⎰⎰所以()1Z E ，从而Z 与X 服从相同的分布，选D.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.当0x →时，()2221sin d 1cos xt tt t++⎰与k x 是同阶无穷小，则k =.11．【答案】3【解析】当0x →时，()22221sin ~1cos 2x xx x++，则()223201sin d ~1cos xt tt Ax t++⎰.从而3k =.12.4225d 34x x x +∞=+-⎰.12．【答案】1πln 328-【解析】()()42222255d d 3414x x x x x x +∞+∞=+--+⎰⎰222211d d 14x x x x +∞+∞=--+⎰⎰222111d d 114x x x x x +∞+∞⎛⎫=-- ⎪-++⎝⎭⎰⎰222111ln arctan 2122x x x +∞+∞⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭111ππ1π0ln ln 32322428⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.函数()324,2961224f x y x x y x y =--++的极值点是.13．【答案】()1,1【解析】23618120,24240,x y f x x f y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得(1,1) ，(2,1).1218xx A f x ''==-,0xy B f ''==,272yy C f y ''==-，代入(1,1)得24320,6AC B A -=>=-,故(1,1)是极大值点，(1,1)23f =.代入(2,1)得24320AC B -=-<,不是极值.14．某产品的价格函数是250.25,20,350.75,20Q Q p Q Q -≤⎧=⎨->⎩(p 为单价，单位：万元；Q 为产量，单位：件)，总成本函数为215050.25C Q Q =++（万元），则经营该产品可获得的最大利润为（万元）.14．【答案】50【解析】()()()22(250.25)15050.25,20,350.7515050.25,20.Q Q Q Q Q L PQ C Q Q Q Q Q ⎧--++≤⎪=-=⎨--++>⎪⎩整理得：220.5(20)50,20,(15)75,20.Q Q L Q Q ⎧--+≤=⎨--+>⎩所以20Q =时，50L =为最大利润.15.设A 为3阶矩阵，*A 为的A 伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵，若(2)1,()2r r -==E A E +A ，则*A =.15．【答案】16【解析】() 132r <-=E A ，() 23r =<E +A ⇒A 有特征值2,1-.又()3222r λ-=-⇒=E A 有 2个线性无关的特征向量2λ⇒=至少有两重根.()311r λ-=⇒=-E +A 有1个线性无关特征向量1λ⇒=-至少有一重根.又A 为3阶⇒A 的特征值为22,1-，，故()*122214,||16n -=⋅⋅-=-===A A A A .16.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =.16．【答案】23p =【解析】A ：全成功，B ：至少成功一次.()33()()4()()1(1)13P AB P A p P A B P B P B p ====--,331344(1)p p =--整理得(32)(3602)3p p p p -+=⇒=.三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12x xuv J y y v uv∂∂∂∂==∂∂∂∂故3113331d 1d 2u v v⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式38ln 3=.18．设函数(,)z z x y =由方程2e ln(1)0xz y z +-+=确定，求22(0,0)22z z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭.18．【解】将0y =代入得e xz =-，则22e xz x ∂=-∂，代()220,001z x x∂=⇒=-∂.将0x =代入得()21ln 1z y z+=+，得()222ln 11z yz zz y z y∂∂=++⋅∂+∂.代0,0,1x y z ===-得()0,0ln2zy ∂=∂.又22222122 211z z z y z z z z z y y z y z y y ⎡⎤⎛⎫∂∂⋅⎢⎥ ⎪+∂∂∂∂⎝⎭⎢=⋅+⋅+⋅⎢⎥∂+∂+∂∂⎢⎥⎣⎦，代0,0,1,ln2zx y z y∂===-=∂得()220,02ln2z y ∂=-∂.故原式为12ln2--.19.设0t >，平面有界区域D 由曲线-2e xy x =与直线x t =，2x t =及x 轴围成，D 的面积为()S t ，求()S t 的最大值.19．【解】()22ed txt S t x x -=⎰，()()42424e e e 4e t t t t S t t t t ---=-=-'则，42 4e e 0ln2.t t t ---=⇒=令()() 0ln20;ln20.t S t t S t <<'>><'当时,当时,故ln2t =时，()S t 取最大值，有()ln 4ln 4222ln 2ln 21113 ln2e d e ln2.221664x x x S x x x ---⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭⎰20.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰20.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x x x ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 21.设矩阵11011103,2126--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 1012111,2322a a ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B 向量023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，α10.1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭β（1）证明：方程组=Ax α的解均为方程组=Bx β的解；（2）若方程组=Ax α与方程组=Bx β不同解，求a 的值.21.证明：（1）(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x x A A αα(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x Bx βB β又11010110101103202042212630328310121011311110000232210121a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A αB β1101011010010210102100220001100011000000000000000022000000a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()3r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A αB βA ,α.即(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0x A α的解是(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0B βx 的解.即=Ax α的解是=Bx β的解(2)=Ax α与方程组=Bx β不同解,即=Ax α与=Bx β不等价又=Ax α的解是=Bx β的解，故=Bx β的解不是=Ax α的解.即(,)3r r ⎛⎫≠=⎪⎝⎭A αB βB β，故1012110121,1110011312322103063a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→---- ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭B β101211012101021010210113100110a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故10a -=即1a =.22.X 服从[]0,θ上的均匀分布，()0θ∈+∞，为未知参数，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，记为(){}()12max ,,,,.n c n n X X X X T cX == （1）求c 使得();c E T θ=（2）记()()2,c h c E T θ=-求c 使得()f c 最小.22．【解】（1）{}()()12max ,n n n E cX cEX cE X X X θ⎡⎤===⎣⎦ 10()0X x f x θθ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他00(),01,X x x F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ {}()120,0max ~(),01,,n n n n X x xX X X F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ ()10()0. X n n n n xx f x θθ-⎧⋅<<⎪=⎨⎪⎩其他{}1110,1max ,d 1n n n n nnx n E X X x x n θθθθθθ-+==⋅+⎰1nn θ=+，所以1n c n+=.（2）()2222()22c c c ch c E T T ET E ET θθθθ=+-=++()()()()222n n E cX E cX θθ=+-()()2222n n c EX c EX θθ=+-因为()221201d 2n n n n n nx n EX x x x n θθθθ-+=⋅=+⎰22nn θ=⋅+()11001d 11n n n n n nxn nEX x x x n n θθθθθ-+=⋅⋅=⋅=++⎰所以22222 ()21221=21n n nc n h c c c c n n n n θθθθθ⎛⎫=+-⋅+-⋅ ⎪++++⎝⎭令2()1221n n f x x x n n =+-++，22()021n n f x x n n '=-=++解得21n x n +=+，即21n c n +=+时，()h c 取最小值.。

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题及参考答案数学三

2023年全国硕士研究生招生考试数学试题及参考答案（数学三）（科目代码：303）一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1、已知函数 ,则( )A、不存在，存在B、存在，不存在C、，均存在D、，均不存在2、函数的原函数为( )A、F(x)=B、F(x)=C、F(x)=D、F(x)=3、若微分方程y+ay+by=0的解在（-，+）上有界，则（）A、a<0 ，b>0B、a>0 ,b>0C、a=0 ,b>0D、a=0 ，b<04、已知(n=1,2,……)，若级数与均收敛，则“绝对收敛”是“绝对收敛”的（）A、充分必要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件5、设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，为矩阵M的伴随矩阵，则=( )A、B、C、D、6、二次型的规范形为( )A、B、C、D、7、已知向量= ,=,= ,= ,若既可由，线性表示，也可由线性表示，则=（）A、k,k RB、k,k RC、k,k RD、k,k R8、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E（|X-EX|）=( ) A、B、C、D、19、设,为来自总体N（）的简单随机样本，,为来自总体N（）的简单随机样本，且两样本相互独立，记=,=,=,=, 则（）B、C、D、10、设 ,为来自总体N（）的简单随机样本，其中是未知参数，若=为的无偏估计，则a=( ) A、B、C、D、二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分。

11、=12、已知函数满足,,则=13、=14、设某公司在t时刻的资产为，从0时刻到t时刻的平均资产等于 .假设连续且则=15、已知线性方程组有解，其中a,b为常数，若=4,则=16、设随机变量X与Y相互独立，且X B(1,p),Y B(2,p),p(0,1),则X+Y与X-Y的相关系数为三、解答题：1722小题，共70分。

中科大组合数学试卷

2011年1月13日组合数学1、有n 个正整数组成序列12:,,...,n S x x x ，求证：该序列中一定存在连续的一段 1:,...,(1)i j S x x i j n ≤<≤，使得该子序列的和能够被n 整除：|jk k i n x =∑2、写出如下等式的组合含义：1011...k k k k n n C C C C +++++=3、 A 、B 两个玩家轮流拿n 个硬币，每人每次可以拿1个或2个。

问：第一次和最后一次都是A 拿的方案书是多少？4、求满足如下方程正的解的个数：123418x x x x +++=，其中，18i x ≤≤，*i x Z ∈5、求（1）n 位十进制整数中不出现1或2或3的个数（2）直线x+ky=n 在第一象限与坐标轴围出的区域中覆盖的整数点的个数（在线上和坐标轴上的点也包括在内）6、 A 、B 两种球各2个放在2个盒子中，问在如下两种情况下各有杜少中放法？（1）2个盒子不同（2）2个盒子相同7、在一条直线上放N 个k 中颜色的球，问在如下两种情况下放球的方案数：（1）颜色数最多k 种（2）颜色数恰等于k 2012-2013年第一学期一、（10分）设12100,,...,a a a 是由数字1和2组成的序列，已知从任一数开始的顺序10个数的和不超过16，即19...16,191i i i a a a i +++++≤≤≤，则存在h 和k ，k > h ，使得1...39h k a a +++=二、（12分）（1）是否存在参数为b=12,k=4,v=16,r=3的BIBD ？（2）设样品是44⨯棋盘上的16个方格，定义区组如下：对于每个给定的方格，取与其在同一行或同一列的6个方格（但不包括该方格本身）。

因此棋盘上的16个方格中的每个方格都以这种方式确定一个区组。

证明折是一个BIBD 。

三、（16分）令{1,2,...,1},2S n n =+≥，{(,,)|,,,,}T x y z x y z s x z y z =∈<<，证明：（1）21||n k T k==∑（2）11||223n n T ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、（16分）设长为n 个三元序列（即用0,1,2组成序列）中1与2的个数之和为奇数的序列个数为n a 。

太原理工大学研究生组合数学2012年期末考试

B 第 1 页共 6 页考试方式：闭卷太原理工大学《组合数学》试卷（B ）适用班级硕士研究生考试日期 2012.07.02 时间 120 分钟共 6 页一．填空题(每个空3分，共30分) 1．序列},1,1,1{ 的指母函数是。

2 有2个相同的红球，3个相同的白球排成一圈不同的排列方式有种。

3． n 个变量的布尔函数共有个互不相同。

4．将6个不同的球放入4个相同的盒子里，并且无空盒，则不同的方案数有种。

5．在边长为1的正三角形内任意10点必有两点，其距离不超过。

6．从1到300整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有个。

7．把n 男n 女排成一行男女相间的队伍，共有种排列方法。

8． 3只白色棋子和2只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有种不同的摆放方法。

9． 83)1(x x 的展开式中，x 的一次项的系数是。

10．按照字典序，排列4517632的下一个排列是。

B 第 2 页共 6 页二．(10分) 求解非齐次递推关系⎩⎨⎧==≥=+---1,02,3961021a a n a a a n n n nB 第 3 页共 6 页三．（10分）用母函数求下式之和：n n n n n C n C C C 113121210+++++ ．并给出组合意义。

四．（10分）正四面体每个面均为正三角形，现用红、蓝、黄，绿四种颜色为四个面着色，在空间转动能重合为同一着色方案。

问不同着色方案数为多少？五．（10分）求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n位数，其中要求3和7出现次数为偶数。

B第4 页共6 页B 第 5 页共 6 页六．（10分）求正整数n=18900的因子个数。

并证明一整数是另一整数的平方的必要条件是它的因子数目为奇数。

七．（10分）求满足条件204321=+++x x x x ，511≤≤x ，702≤≤x ，623≤≤x ，844≤≤x 的整数解向量的个数。

组合数学期末试卷及答案

即该序列中的数介于 1~199 之间。根据鸽巢原理，其中必有两项相等，但序列中前 100 项为单增，后 100 项也为单增的。故存在 i 和 j ，设 j i ，使得：
n 种取法，将取出的 m 个数由大到小排 m 序，设为 a1 , a2 , , a m ，再将其分为两组， a1 , , a k ， a k 1 , ,am k 1,2, ,m 1 ，则第一组中的最小数一定大于第二组中的
解：从 n 个数中先任取 m 个数，则有最大数。故题目所求为：
S j S i 39
第3页
共4页
第4页
共 4页
S j Si 39
即： d i 1 d i 2 d j 39 九．（10 分）求方程的正整数解的个数。解：由题可知：（1）绕如 v1v2 和 v3v4 中点的连线旋转 180 度，所得置换如下： P1=(v1)(v2)(v3)(v4), P2=(v1 v2)(v3 v4), P3=(v1 v3)(v2 v4), P4=(v2 v3)(v1 v4), （2）绕每一个顶点的中心线旋转 120 度，240 度，所得置换如下： P5=(v1)(v2 v3 v4), P6=(v1)(v2 v4 v3), P7=(v2)(v1 v3 v4), P8=(v2)(v1 v4 v3), P9=(v3)(v1 v2 v4), P10=(v3)(v1 v4 v2), P11=(v4)(v1 v2 v3), P12=(v4)(v1 v3 v2), 装由 Polya 定理可知：不同方案数=（11*32+34）/12=15 订
递推关系如下：
an=an-1+n a1=2
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