组合数学研究生试卷

学科专业代码 081202/081203/430112

学科专业名称 计算机应用技术、计算机软件与理论、计算机技术 考试科目代码_ 0606191301 考试科目 组合数学

（本试卷考试时间为2个小时，卷面分数100分，答案请写在答题本上）

一、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

1、在35⨯棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有 __________种不同的选取方法。

2、将5封信投入3个邮筒，有_________种不同的投法。

3、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x ，2项包含 xyz ，1项包含常数项，求包含

xy 的项有 个. 4、由1，2，3，4，5 组成的大于43500的五位数的共有____个。

5、把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有_______种不同方式。

三、应用题（本大题共5小题，每题各15分，共75分）

6、若有1克砝码3枚，2克砝码4枚，4克砝码2枚，问能称出多少种不同的重量？各有多少方案？

7、 某学者每周上班6天工作42小时，每天工作的小时数是整数，且每天工作时间不少于6小时也不多于8小时。今要编排一周的工作时间表，问有多少种不同的编排方法？

8、 核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子，若在时刻t = 0时反应堆中只有一个α粒子，问t = 100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？

9、 正六面体的8个顶点分别用红蓝两色染色，问有多少种不同的染色方案？刚体运动使之吻合算一种方案。

10、 期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？

一、填空题（每小题5分，共25分）：

1、22 解：用加法原则：5×（3-1）+3×（5-1）=22。

2、243 解：每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。所以分步属于乘法原则，即

3×3×3×3×3＝81×3=243。

3、 2 解：设S 为9个项构成的集合，设a 表示含有x 这一性质，设b 表示含有y 这一性

质，…，设c 表示含有z 这一性质，所求为：()N ab ，而：

0()()()()()()()S N N a N b N c N ab N bc N ac N abc =+++---+

（其中0N 为常数项个数）.再由对称性有： ()()()N a N b N c ==， ()()()N ab N bc N ac ==，又9,()4,()2S N a N abc ===

得：()2N ab =。

4、 900 解：题目可理解为：

将所求方案分成三类：

(1)万位上是5， (2)万位上是4，千位上是4或5，(3)万位上是4，千位上是3，百位上是5，于是所求为54 ＋ 2×53 ＋52 = 900

5、 7 解：等价于正整数9的3-部无序分拆数)9(3P 。

由定理∑=-=

r

k k r r n P n 1)()(P )(r n >得： )9(3P =)6()6()6()6(3211

P P P P r k k ++=∑=

=1+3+)6(3P =4+)3(1P +)3(2P +)3(3P =4+1+1+1=7

二、应用题（本大题共5小题，每题各15分，共75分）

6. 解：23246848234561819()(1)(1)(1)

122334...G x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++=+++++++++

能称出从1克至19克的重量，称出n 克的方案数即x n 的系数

7. 解：设i x 为第i 天工作小时数()61≤≤i

题目可以转化为：

求不定方程42654321=+++++x x x x x x 满足条件86≤≤i x （i=1,2…6）的个数 设所求为N ，则N 是

()68

76)(t t t t A ++=展开式中42t 的系数，而 ()()()k k t k t t t t t t t t t A ∑∞

=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=063366633663365511)1(11

即 N 是()k k t k t ∑∞

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-063551展开式中6

t 的系数 ()()()1415565535561553111626006116226=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=C C C C C N 8.

解：设t 秒钟的α粒子数为t a ，β粒子数为t b 。 1110032 1,0t t t t t a b b a b a b ---=⎧⎪=+⎨⎪==⎩1120123 (*) 0,3t t t t t a b b b b b b ---=⎧⎪⇔=+⎨⎪==⎩

(*)式的特征方程为 2

230x x --= ，解得121 , 3r r =-= 12 (1)3t t b A A =⋅-+⋅

代入初始值010, 3 b b ==,解得1233 , 44

A A =-= 33 (1)3 ,44t t t b ∴=-⋅-+⋅11133(1)344

t t t t a b ---==-⋅-+⋅ 991003(31) , 4a =+1001003(31)4

b =-

9、解：第一类置换：p1= (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) ；

第二类置换：

绕上下面中心逆旋转90度p2= (1234)(5678)，

绕上下面中心逆旋转180度p3= (13)(24)(57)(68)，

绕上下面中心逆旋转270度p4= (1432)(5876)，

同理绕左右面和前后面中心的旋转置换格式各2个42，1个24， 共6个42格式置换，3个24格式置换；

第三类置换：

绕对棱的中点连线EF 翻转p11= (48)(26)(17)(35)，

同理绕其余5对对棱中点连线可得翻转置换都是24格式，

共6个24格式置换；

第四类置换：

绕体对角线46逆旋转120度p17= (4)(6)(138)(275)，

绕体对角线46逆旋转240度p18= (4)(6)(183)(257)，

同理绕其余3条体对角线旋转120或240度得置换都是1232格式， 共8个1232格式置换；

以上四类置换的格式：1个18, 6个42, 9个24, 8个1232

∴ l = (28 + 6⨯22 + 9⨯ 24 + 8⨯ 24)/24 = 23

10、解：该问题类同于求将6件相异物分放到5个不同盒中使得无一空的不同方法，

即求： 5！×）（5,6S 2。因此 5！×）（5,6S 2=5！×⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2n =1800。