矩阵微分方程

dx(t ) A(t ) x(t ) 求解定解问题 dt x(t ) |t t x(t0 ) 0
dx(t ) t a(t ) x(t ) t0 a ( v ) dv 定解问题 dt 的解为x(t ) e x(t0 ). x(t ) |t t x(t0 ) 0
（）定解问题 1 (4.1)的解为x(t ) e 并且这个解是唯一的； （2）解x(t )的秩与t的取值无关.
A ( t t0 )
x(t0 ),
2.线性常系数非齐次微分方程组的解
设A (aij ) nn 与B (bij ) nm 是常数矩阵，而 x1 (t ) u1 (t ) x ( t ) u ( t ) 2 2 ，u (t ) x(t ) xn (t ) um (t ) 都是函数向量，其中u1 (t ), u2 (t ),
dx(t ) 性质1 n阶方阵(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵的 dt dx(t ) A(t ) x(t ) 充要条件是(t , t0 )是定解问题 dt 的解。 x(t ) |t t I n 0
dx(t ) 性质2 设(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵， dt dx(t ) A(t ) x(t ) 则定解问题 dt x(t ) |t t x(t0 ) 0 的解为x(t ) (t , t0 ) x(t0 )。
x(t ) e x(0) e
0
t A( t v )
Bu(v)dv
定解问题(4.5)的解为 y (t ) (1,0, ,0)(e x(0) e
At 0
Bu(v)dv)
例 求常系数线性齐次微分方程组 dy1 (t ) 2 y1 2 y2 y3 dt dy2 (t ) y1 y2 y3 dt dy3 (t ) y1 2 y2 2 y3 dt y1 (0) 1 在初始条件y (0) y2 (0) 1 下的解。 y (0) 3 3
(2) 1 (t , t0 ) (t0 , t ).
dx(t ) A(t ) x(t ) 那么x(t1 ) (t1 , t0 ) x(t0 ).因此, x(t ) (t , t0 ) x(t0 )也为 dt 的解 x(t ) |t t x(t1 ) 1
(n) (i )
a1 y
( n 1)
a2 y
(i ) 0
( n2)
an y 0 (4.3)
y (t )
t 0
y , i 0,1,, n 1
令x1 y, x2 y ' x '1 ,
x '1 x2 , x2 ' x3 , x 'n 1 xn ,
而此问题的解为x (t ) (t , t1 ) x (t1 ).
由定解问题解的唯一性得 (t , t0 ) x(t0 ) (t , t1 ) x(t1 ) (t , t1 ) (t1 , t0 ) x(t0 ) 因此, (t , t0 ) (t , t1 ) (t1 , t0 ).
3. n阶常系数微分方程的解
设a1 , a2 , , an为常数，u (t )为已知函数，称 an y u (t ) y ( n ) a1 y ( n 1) a2 y ( n 2) 否则，称为齐次的。
为n阶常系数微分方程. 当u (t ) 0时，称为非齐次的；
n阶常系数线性齐次方程 的定解问题： y
a1 y
ห้องสมุดไป่ตู้
( n 1)
a2 y
(i ) 0
( n2)
an y u (t ) (4.5)
y (t )
t 0
y , i 0,1,, n 1
x(t ) t 0 x(0)
t At A( t v )
dx(t ) Ax(t ) Bu (t )； dt B (0, 0, .0,1)T
t0 t
x(t ) e At c(t ) e At e At Bu(t )dt ceAt
t0
t
x(t 0 ) ce x(t ) e
At 0 t
, c e
Av
At 0
x(t 0 )
At 0
At
t0
e
Bu( v )dv e
x(t 0 )e At
x1 j (t , t0 ) 定义 设j (t , t0 ) ,( j 1, 2, x (t , t ) 0 nj
, n)满足条件
0 x ( t , t ) d j (t , t0 ) 1j 0 0 A(t )j (t , t0 ) ， j (t , t0 ) t t 1 j dt 0 x (t , t ) nj 0 0 0 则称n阶方阵 (t , t0 ) (1 (t , t0 ), 2 (t , t0 ), , n (t , t0 ))
At t
定解问题的解为y (t ) e y (0) e
e
t
3e
t T

.
4.2 线性时变系统的状态方程
1. 线性时变系统的转移矩阵
定义 设n阶方阵A(t )在[t0 , t1 ]上连续, x(t )是 n m阶未知矩阵，则称 dx(t ) A(t ) x(t ) dt 为变系数的齐次微分方程组。
xn y
( n 1)
x 'n 1
xn ' an x1 an 1 x2
a1 xn
x1 (t ) x1 (0) y0 x ( t ) x (0) y ' 0 令x(t ) 2 , x(0) 2 ( n 1) xn (t ) xn (0) y0
若未知函数x(t )不是列向量，而是n m矩阵 x1m (t ) x11 (t ) x12 (t ) x21 (t ) x22 (t ) x2 m (t ) x(t ) , xnm (t ) xn1 (t ) xn 2 (t ) dx 则方程 Ax是n m个未知函数的线性常系数齐次微分 dt 方程组。 x (t ) x (t ) x (t )
x(t )
t t0
11 0 x21 (t0 ) x(t0 ) x (t ) n1 0
x22 (t0 ) x2 m (t0 ) xn 2 (t0 ) xnm (t0 )
12 0 1m 0
定理 设定解问题为： dx Ax； x(t ) t t x(t0 ) （4.1 ） 0 dt 其中，x(t )是t的可微函数的n m矩阵， x(t0 )是n m阶常数矩阵，A是给定的n阶 常数方阵, 则
a nn xn
设 a11 a 21 A an1 dx 则 dt a12 a22 an 2 Ax a1n x1 (t ) a2 n x ( t ) 2 , x(t ) ann xn (t )
第四章 矩阵微分方程
4.1 线性定常系统的状态方程 1.线性常系数齐次微分方程组的解 dx1 a11 x1 a12 x2 a 1n xn dt dx2 a21 x1 a22 x2 a 2 n xn dt
dxn an1 x1 an 2 x2 dt xi xi (t ), aij C
At
定解问题(4.3)的解为 y (1, 0, 0, , 0) x(t ) (1, 0, 0, , 0)e x(0) y0 y0 ' At , 0)e ( n 1) y0
At
(1, 0, 0,
n阶常系数线性非齐次方 程的定解问题： y
(n) (i )
x1n (t , t0 ) x11 (t , t0 ) x12 (t , t0 ) x (t , t ) x (t , t ) x ( t , t ) 0 22 0 2n 0 21 xnn (t , t0 ) xn1 (t , t0 ) xn 2 (t , t0 ) dx(t ) 为方程组 A(t ) x (t )的转移矩阵,有时又称它为基本矩阵。 dt 显然 (t0 , t0 ) I n
dx(t ) 性质3 设(t , t0 )是方程组 A(t ) x(t )的转移矩阵，则 dt (1)(t , t0 ) (t , t1 )(t1 , t0 );
dx(t ) A(t ) x(t ) 证 对于任意的x(t0 ), dt 的解为x(t ) (t , t0 ) x(t0 ), x(t ) |t t x(t0 ) 0
定解问题(4.3)可写成 dx(t ) Ax(t )； x(t ) t 0 x(0) （4.4） dt
其中 0 0 A 0 a n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a1
an 1 an 2
定解问题(4.4)的解为x(t ) e x(0)
定理 若对任意的t1 , t2 , 有A(t1 ) A(t2 ) A(t2 ) A(t1 ), 则定解问题 dx(t ) A(t ) x(t ) 的解为 dt x(t ) |t t x(t0 ) 0 x(t ) e t0 A( v ) dv
x(t0 ) e
t0
t
A(t v )
Bu (v )dv
dx(t ) Ax(t ) x(t ) e At c dt 设x(t ) e At c(t )为非齐次方程组的解， 则 dx(t ) ＝AeAt c(t ) e At c' (t ) Ax(t ) e At c' (t ) Ax(t ) Bu(t ) dt c' (t ) e At Bu(t ) c(t ) e At Bu(t )dt c
2 2 1 解 定解问题的解为y (t ) e At y (0), 其中A 1 1 1 , 下面求e At。 1 2 2
A的特征多项式f( ) ( 1)3 , A的最小多项式m( ) ( 1) 2 . 因此，可设多项式g ( ) a0 a1 由f (1) g (1), f '(1) g '(1), f ( ) et , 得a0 et tet , a1 tet 从而，g ( ) et tet tet 因此，f ( A) g ( A) (et tet ) I tet A 1 t et t t 2t t 2t 1 t 2t t 1
, um (t )是
dx(t ) 已知函数，则称 Ax(t ) Bu (t ) dt 为线性常系数非齐次微分方程组。
定解问题： dx(t ) Ax(t ) Bu (t )； dt x(t ) t t x(t0 ) （4.2）
0
定解问题(4.2)的定解为 x(t ) e
A ( t t0 )