-线性代数-矩阵的概念及基本运算

代
数
三、实际问题的矩阵表达
例1
某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视网。
通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数据：
线 性
代
数
我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数据：
0 2 3.5 3
2 0 1 2
3 .5 3 1 2 0 1 .5 1 .5 0
代
数
a31=3； a32=11； a33=27。
试问： 6 3 1 3 3 2 B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵？ 9 5 2 3 6 1 为什么？ 线
性
课堂作业：试写出一个5×4维的矩阵A，其中矩阵 元满足公式aij=2i-j。 1 3 5 7 9 0 2 4 6 8 -1 1 3 5 7 -2 0 2 4 6
代
数
列。因此 a 位于 [aij ]mn 的第i 行j 列，称之为矩阵 ij [aij ]mn 的(i,j )-元。
· · ,ain 是的 [aij ]mn 第 i ai1, ai 2 ,· a 2 j ，· 行；纵向排列的 a1 j ， · · ，amj 是 [aij ]mn 的第j
另外，为了书写的方便，常常在不致于引起混淆的情 况下，用大写黑斜体字母 A 、 B 、 C 或 A1 、 A2 、 A3 等表示
，即A= [aij ]m n
二、矩阵的要素
从上面的定义，我们可以看出：要确定一个矩阵， 我们必须知道它的维（m×n）和每一个矩阵元（ ）。
线 性
例如： 1 16 31 A= 2 12 24 3 11 27 矩阵A的维为：3×3 矩阵A的每一个元分别为：a11=1； a12=16； a13=31； a21=2； a22=12； a23=24；
线 性
一、矩阵的定义
起来；同时有两个下标，这不同于 级数的单下标。
代
数
指的是 m×n 个数 a (i 1,2,, m; j 1,2,, n ) ，排 ij 列成的 m 行 n 列 ( 横称行，纵称列 ) 的矩形阵列（表）， 我们称之为维是 m×n 的矩阵，简称为 m×n 矩阵，简 记为 [aij ]mn。其表示形式（通式）为：
加”即为2+5=7），再将横加后所得的结果乘以 70，再加上36。大家得出的结果是多少？
代
数
是不是都是666？为什么？
答：因为1～10这十个数乘以9再
“横加”后都是9。
课后作业： 试写出一个 5×5 维的矩阵，其矩阵元满足
线 性
a11=2，
aij=i＋j
(i=1或j=1)
aij=a（i-1）j+ai（j-1） （i>1，j>1）
解：对于田忌和齐王而言，各有三匹马，因此他们布阵
线 性
的方式均各有6（P33）种可能，即 （上、中、下），（中、下、上），（中、上、下）， （上、下、中），（下、上、中），（下、中、上）。 共六种。那么齐王的赢得矩阵应为：（6×6 维的矩阵） 田忌策略 3 1 1
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am 2

a1n a2n a mn
一、矩阵的定义
a11 a 21 a m1
其中 , 横向排列的
a12 a 22 am 2

线 性
a1n a2n a mn
代
数
TC-1
TC-2
1 4
TC-3
1 5
S1 M1 M2 M3
2 14 1
S2
4 0 2
S3
4 0 1
S4
0 4 10
S1
S2
1 3
S3
S4
2
1Fra Baidu bibliotek
4
1
6
1
4行×3列
3行×4列
§1.1矩阵的基本概念
基于上述这种数据成行成列排布的现象，1850年犹 太人西尔维斯特(Sylvester，1814～1897）首次提出了 “矩阵”这个词。 注：这里是用方括号把一组数括
代
数
展是顺理成章的，并不象有的科学的发展具有传奇色彩。
例如：拓扑学是人们在讨论七桥问题这个游戏中产生的； 解析几何据说是笛卡尔在一个梦中发现的；而概率论是源 于赌博场。
序
言
线性代数是在十九世纪首先由英国的犹太
线 性
人西尔维斯特和凯来开始研究的，后来由美国
的皮尔斯父子和狄克生等人发扬光大。线性代
数虽然是近世代数的一个分支，但在代数的各
代
数
个领域中就其应用的广泛性而言是第一的，尤
其是在工程技术方面已成为不可缺少的工具。
下面我们就开始线性代数的学习。
第一章
矩 阵(Matrix)
§1.1矩阵的基本概念
例 某电视机厂生产三种型号的35厘米(14英寸)彩电TC-1、TC-
线 性
2、TC-3,它们的主要零部件是:S1(显像管)、S2(电路板)、S3(扬声 器)、S4(机壳)，而这些零部件的主要原材料为：M1(铜)、M2(玻 璃)、M3 (塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产 不同的零部件所需原材料的数量在下列两表中给出:
例2
（田忌赛马问题，即对策论或竞赛论问题）
线 性
代
数
典故：战国时期，齐国国王有一天与他的一 员大将—田忌进行赌马，他决定给田忌上、中、 下三个等级的赛马各一匹，自己也拿上、中、下 三个等级的赛马各一匹。已知同级别（均为上或 中或下）的赛马参加比赛，齐王获胜，但是不同 级别的赛马比赛，高等级的赛马一定赢低等级的 赛马（如田忌的上等马一定胜齐王的中、下等马； 田忌的中等马一定胜齐王的下等马）。每次比赛 败者付给胜者100金。结果是齐王每次都输给田 忌100金。下面我们来求齐王的赢得矩阵。
注意观察数据通元的表 达式，养成善于观察的 好习惯。显然行之间是 公差为2的等差数列； 列之间是公差为-1的等 差数列。
代
数
A=
下面给出一个注 意观察的例子， 看看有无规律。
例：请每位同学在0到9这十个基本数字中任选一 个，先用你选的这个数加上1，再乘以3，再乘以
线 3，然后将所得的结果进行“横加”（如：25“横 性
序
言
伽罗瓦的一生充满忧伤和苦恼，景况比阿贝尔还差。
他在事业上不断受挫，他上交给科学院的论文，没有得到
线 性
当时时任科学院院长的数学家—柯西的及时评价，连手稿 都被丢失。最后一次甚至得到数学家 —泊松的草率评语-
“一个不可理解的”。他于21岁在一次决斗中死去。
后人在整理和总结他们的论文中，建立了近世代数。 线性代数作为近世代数这个主干上的一个重要分支，其发