与圆有关的定点、定值、最值与范围问题

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3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a， b∈R)对称，则ab的取值范围是________． 解析 由题意知，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标 为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得 2a＋2b＝2，即 a＋b＝
1≥2 ab，所以 ab≤14. 答案 －∞，14
2.圆与圆的位置关系(圆O1、圆O2半径r1、r1，d＝O1O2)
相离
外切
相交 内切 内含
图形
几何 量 观点 化
方程 观点
d＞ _r_1_＋__r2_
Δ_＜__0
d＝ _r_1＋__r_2_
Δ_＝__0
|r1－r2| ＜d＜r1
＋r2 Δ_＞__0
d＝ _|r_1－__r_2_|
Δ_＝__0
d＜ _|r_1_－__r_2|
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
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考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点 几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
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答案 4
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考向一 与圆有关的定点问题
【例 1】 已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q 是 x 轴上的动点，QA， QB 分别切⊙M 于 A，B 两点． (1)若|AB|＝43 2，求|MQ|、Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程； (2)求证：直线 AB 恒过定点．
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(2)证明 设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A、B 两点在以 QM 为直径的圆上，此圆的方程为 x(x－q)＋y(y－2)＝0， 而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为 qx－2y＋3＝ 0，所以直线 AB 恒过定点0，32.
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抓住2个考点
突破3个考向
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(1)解 设直线 MQ 交 AB 于点 P，则|AP|＝23 2， 又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，
得|MP|＝ 12－89＝13， 又∵|MQ|＝||MMAP||2，∴|MQ|＝3. 设 Q(x,0)，而点 M(0,2)， 由 x2＋22＝3，得 x＝± 5， 则 Q 点的坐标为( 5，0)或(－ 5，0)． 从而直线 MQ 的方程为 2x＋ 5y－2 5＝0 或 2x－ 5y＋2 5＝0.
由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
答案 x－122＋(y＋1)2＝245
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5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析 因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为 －1－22＋－1－32－1＝4.
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2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
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Δ_＜__0
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【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
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考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
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4．(2012·盐城模拟)与直线x＝3相切，且与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝ 1相内切的半径最小的圆的方程为________． 解析 要使圆的半径最小，则所求圆的圆心为12，－1，此时 r ＝3－2－2＝52，故所求圆的方程为x－122＋(y＋1)2＝245.
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[方法总结] 与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动 直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直 线或动圆的方程．
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【训练1】 已知圆x2＋y2＝1与x轴交于A、B两 点，P是该圆上任意一点，AP、PB的延长线 分别交直线l：x＝2于M、N两点． (1)求MN的最小值； (2)求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求 出该定点的坐标． (1)解 设 M(2，t1)，N(2，t2)，则由 A(－1,0)，B(1,0)，且 AM⊥
BN，得A→M·B→N＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以 3＋t1t2＝0，即 t1t2
＝－3.
所以 MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
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3.
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(2)证明 由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为(x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0， 即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0， 也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.
解析 即求两圆公共弦为直径的圆的方程．两圆的公共弦所
在直线的方程 l：x－2y＋4＝0.圆 C1 的半径 r1＝5 2，圆心 (1，－5)到 l 的距离．d＝|1＋105＋4|＝3 5，则公共弦长为 l ＝2 r21－d2＝2 50－45＝2 5，连心线的方程 l1：2x＋y＋3 ＝0，与 l 的交点为(－2,1)． 答案 (x＋2)2＋(y－1)2＝5