第8章最优消费和投资离散时间

第二步： t = 0 时刻
根据上面的推理，我们只要知道1 时刻的财 富水平W(1) ，就可以知道最终财富的期望 效用水平是多少，而1 时期的财富水平 W(1) ，也是由同第一步类似的决策过程所 决定的，即：
同样对f [w(0)]求导数，并令一阶导数等于0，得到 最优化条件还是：w(0) = 13 /19 。因此最优投资 决策方案就是：
w(0) =13 /19, w(1) = 13/19
尽管实际的问题要比这个简单的例子复杂得多， 但从上述求解过程中，仍然可以归纳出最优个人 消费/投资决策的动态规划解法的最显著特征—— 即它是向后追溯的。而这正是贝尔曼最优化原理 的体现。
一般情形
现在考察多期离散时间情况下，个人最优 消费/投资决策问题的标准建模方法和它的 一般解法。
约束条件
其中 就是非资本收入，广 义上I 泛指各种投资，但这 里实际上仅仅包括对市场上 可交易的有价证券的投资。 经济体系中的风险， 就源自
于非资本收入和投资机会集 合（investment opportunity set）（也即资本收入）的不 确定性。
最优消费/投资决策：离散时间
所谓随机最优控制，就是试图在一个由随机因素驱动的成 长路径上，通过采用适当的策略来最优化目标函数。这里 的消费多少和如何投资，就是由投资者决定的控制变量 （controlled variable ）或者说决策（decision），通过一 系列遵循某种原则的最优的决策，即最优策略（policy）， 个人可以得到最大的效用满足。这里的原则，指的就是贝 尔曼（Bellman R.）最优化原则（principle of optimality）：
逆向归纳法：从倒数第一期，即T -1期开始。 这就是说，我们必须获得t = 1时期，股票 价格在p = 200或者p = 50 两种情况下的最
优投资比例，这是一个单期静态优化问题。 一旦获得了t =1时的相应结果w(1) 和W(1) ， 就可以按照同样的结构，进一步推测t = 0
时刻的最优投资比例，从而一层层地逐步 解决了问题。
简单地说，它表示在每 一时点上，股票价格要 么以4/9 的概率上涨一倍， 要么以（1-4/9）的概率 下跌一半。用w(0) 和w(1) 表示该投资者在0、1 时 刻上，投资于风险资产 （股票）上的财富分额。
（3）投资者的非资本收入为0，效用函数 具有以下特定形式：
U (x) =
（4）为了简化分析，假定投资者也不进行 任何消费，这样最优决策的惟一目标就是 最大化他来自最终财富的期望效用。
第一步： t = 1时刻
假定此时的财富W(1) 为任意一正数（它是 由上一期t = 0 时的最优决策所产生的）。 投资到股票上的财富比例为w(1) ，则投向 无风险资产上的就是1- w(1) 。我们来计算 最后的t = 2 时刻，积累的财富的期望效用 是多少。先考虑当股票价格p = 200时的情 形，根据二项树模型：
第8章 最优消费和投资：离散时间
基本分析框架
典型消费者个人将生存一段时期[0,T]，他会有一 个大于0 的初始财富或者说资源禀赋W(0) ；在生 存过程中，他会获得一些非资本（non-capital） 收入(t) （例如工资）；在生存的每一天中，他 必须决定把可供支配的财富（资源），用于当前 消费C 和投资积累I 上（投资将提供下一时刻的资 本收入）；在最后时刻留下一部分遗产W(T ) 给 后人。这时，两个基本选择问题，即消费多少 （也就是投资多少）和如何投资（资产组合）， 必须同时被决定。消费者这种不断的选择行为的 目的就是使得他们终身效用最大化。
“一个最优策略有这样的特征：无论初始状态和初始决策 是什么，余下的决策在考虑到第一个决策导致的状态的影 响下，都必须是最优的策略。”
简单地说，这就意味着任何最优过程的最后一段过程必定 是最优的。这一原则将在后面的分析中一再的出现。
简化的例子
假定： （1）典型个人生存两个时期，他可以在两个时点
目标函数
其中T 是投资者的寿命；C(t) 是 投资者年龄为t 时选择的消费数 量；W (t) 是t 时刻的财富（或 者遗产）；Et (.) t是基于t 时刻 所有已经揭示出的信息的条件 期望算子。Ut[C (t), t] 是效用函 数，在整个定义域内，它被假 定是单调递增和凹的；U2[W （T），T] 是基于期末财富或者 说遗产的效用函数（bequest valuation function），它也是单 调递增和凹的。
上，即t = 0 、1上做决策（ t = 3时，他就死亡 了）；他被赋予一定量的初始资源W(0) > 0 。 （2）理想化的资本市场上存在两种资产。一种是 无风险的现金或者债券，它的价格在任何时刻都 没有变化，始终为1；另一种是有风险的股票，它 的价格过程假定由以下二项树描绘
股票价格运动的二项树模型
目前的任务就是找到 最优的投资决策变量 （最优控制） w(0) 和 w(1) ，使以上最优Байду номын сангаас 问题得以解决。
模型求解
“向前”推导的方法：即从t = 0 时刻开始，事先 决定一个策略w(0) ，但它是不是最优还不清楚。 根据w(0) ，我们仅仅能够知道t =1时刻的期望财 富水平的函数表达式，但是最大化这个函数得到 的“最优的”w(0) ，并不一定是最优决策过程 [w(0), w(1)]的必然组成部分，除非可以明确地知 道在所有不同情况状态下的w(1) ，并且它是惟一 的。因此向前推导的方法是行不通的。
为了找到最优投资比例w(1) ，只要对f [w(1)]求导，并令一阶导数等于0 就可以了， 容易得到：
再考察当股票价格p = 50 时的情形， 我们发现仍 旧可以使用上式。因为
依然表示股票价格上涨一倍的情况下，投资在两种 资产上，给投资者带来的期末财富的期望效用； 而
则是投资机会相对较差时，期末财富的效用水平。 所以最优解还是w(1) =13 /19 ，因此这个最优投 资比例决策独立于1 时刻股票价格和财富的绝对 水平。