高中数学极值点偏移问题

一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义

对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<

则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；

（1）则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；

（2）则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；

二：极值点偏移的判定定理

对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程

的解分别为且<

（1）若则即函数f(x)在区间（a,b）上极大值点右偏；

（即峰偏右）

（2）若则即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点左偏;

（即谷偏左）

（3）若则即函数f(x)在区间上（a,b）极大值点左偏;

（即峰偏左）

（4）若则即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点右偏;

（即谷偏右）

x= x=

y=m

x

y=f(x) x= x=

拓展：

1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2

b

a x +=

对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足

有下列之一成立：

①f(x)在

递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x))

②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x))

则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大

值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1)

)(x f 的图象关于直线a x =对称若

则

<=>

,(

=0,

);

2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则

则

,及

极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f(

)-f(

,

F(x)=f(x+)-f(

, F(x)=f(x)-f(

)确定F(x)单调性

③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(

( f(x+)

与f( f(x)与f(的大小关系;

答题模式： 已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证：

①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f(

确定F(x)单调性

③判断F(x)符号从而确定f(x+),f( 的大小关系;

假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+)>f(

④

1.（2016年全国I 高考）已知函数有两个零点. 设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<

2. 2. (2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）

已知函数f(x)=xe -x

（x ∈R ）.

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；

(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)

(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +> 证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)2

x e

-

令F(x)=f(x)-g(x),即2()(2)x

x F x xe x e --=+-

于是22

'()(1)(1)x x F x x e

e --=--

当x>1时，2x-2>0,从而2x-2

e 10,0,F x e -->>又所以’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+

∞)是增函数。

又F(1)=-1-1

e e 0-=，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）

若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。 （2）若121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

根据（1）（2）得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设

由（Ⅱ）可知，)2f(x >)2g(x ,则)2g(x =)2f(2-x ，所以)2f(x >)2f(2-x ,从而

)1f(x >)2f(2-x .因为21x >，所以221x -<，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）

内事增函数，所以1x >22x -,即12x x +>2.

3. 已知函数．（I ）讨论的单调性； （II ）设，证明：当时，；

（III ）若函数的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：（x 0）＜0． 解：（I ）

（i ）若单调增加. （ii ）若且当

所以单调增加，在单调减少. （II ）设函数则 当.

故当，………………8分

（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为

不妨设

由（II）得从而

由（I）知，

4．已知函数 (m若f(x)有两个极值点且求证::

5. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且其极值点为求证:①

②

③

（已知函数 =(a，其图象与轴交于A()B()两点且求证：）

6. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且

求证：

7. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且求证：

-1

8. 已知函数 = f(求证:①

②

9．已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且

求证：

10. 已知函数 = f(求证:

11. 已知函数 =(a若f(x)有两个不同零点且求证：

12. 已知函数 =(a若f(x)=c有两个不同根求证：