近世代数电子教案

近世代数电子教案

第一章基本概念

在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除。数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算。这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算。近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。近世代数在数学的其它分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近二十多年来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。

我们在高等代数里已经初步接融到的群、环、域是三个最基本的代数系统。在本书里我们要对这三个代数系统做略进一步的介绍。

在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。这些基本概念中的某一些，例如集合和影射，在高等代数里已经出现过。但是为了完整起见，我们不得不有所重复。

§1.1 集合

●课时安排约1课时

●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著，《近世代数》徐德余、唐再良等编著)

集合的概念，元素，空集合，集合与集合之间的包含、交、并、积，子集的

概念

例题：

例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2}

A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合

例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6}

A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6}

习题选讲P4 1

●教学难点

元素与集合的关系（属于）集合与集合的关系（包含）

●教学要求

掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念

●布置作业P4 2

●教学辅导

精选习题：（侧重概念性、技巧性的基本问题）

1.B A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？

§1.2 映射

●课时安排约1课时

●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著，《近世代数》徐德余、唐再良等编著)

映射，象，原象，映射相同的定义及映射的表示方法

例 1：A1=A2=....=AN=D=所有实数作成的集合

φ：（a1,a2,……,a n）→ a12+a22+……+a n2=φ(a1,a2,…,a n)是一个

A 1×A 2×…×A N 到D 的映射

例 2 ：A 1={东西},A 2={南}，D={高低}

φ1：（西南）→高=φ1（西南）不是一个A 1×A 2到D 的映射

φ2（西南）→高，（东南）→低，则φ2是一个A 1×A 2到D 的映射

例 3：A 1=D=所有实数所成的集合

φ：a →a 若a ≠1

→b 这里b 2=1

不是一个A 1到D 的映射

例 4：A 1=D=所有实数所成的集合

φ：a →a-1不是一个A 1到D 的映射

例 5：A=D=所有正整数的集合

φ1：a →1=φ1（a ）

φ2: a →a 0=φ2（a ） 则φ1与φ2是相同的

● 教学重点

映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义。

● 教学难点

映射定义，应用该定义应注意几点，如课本P 6注意五条

● 教学要求

掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义

理解映射的相同的定义

● 布置作业 P 6 1 P 7 2

● 教学辅导

精选习题：

1 A={1,2,3,…,100},找一个A ×A 到A 的映射

2 在上题到的映射之下，是不是A 的每一元都是A ×A 的一个元

● 课时安排 约1课时

● 教学内容 影射的定义、象、逆象

定义 假如通过一个法则

§1.3 代数运算

● 课时安排 约1课时

● 教学内容 代数运算的定义，二元运算的定义。及代数运算的表示方法。

例题:

例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数}

0 ：（a.b ） b

a =a

b 是一个A×B 到D 的代数运算，即普通的除法 例2：令V 是数域F 上一个向量空间，那么F 的数与V 的向量空间的乘法是一个F×V 到V 的代数运算

例3：A={1},B={2},D={奇，偶}

0：（1.2）→奇=1 2 是一个A×B 到D 的代数运算

例4 A={1.2},B={1.2},D={奇，偶}

0：（1.1）→奇 （2.2）→奇 （1.2）→奇 （2.1）→偶

是一个A×B到D的代数运算

●教学重点

代数运算的应用，对代数运算的理解，既以上四道例题

●教学难点

代数运算符号与映射合成运算符号的区别

●教学要求

掌握代数运算的应用

●布置作业 P9 2

●教学辅导

精选习题：A={a,b,c}.规定A的两个不同的代数运算（用运算符表示）

§1.4 结合律

●课时安排约1课时

●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著，《近世代数》徐德余、唐再良等编著)

代数运算的结合律的定义及其推广

例题:

A={所有整数}，代数运算是普通减法

这（a-b）-c≠a-(b-c) 除非c=0

●教学重点

代数运算的结合律一般地（a b） c≠a (b c)

●教学难点

结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义

●教学要求

掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点.

●布置作业 P12 1.2.3

●教学辅导

精选习题：A={a,b,c} 由表

a b c

a a

b c

b b d a

c c a b

所给的代数运算适不适合结合律?

§1.5 交换律

●课时安排约1课时

●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著，《近世代数》徐德余、唐再良等编著)

代数运算的结合律