近世代数电子教案
近世代数教案 (2)

近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥学时数:80(每周4学时)使用教材:抽象代数——理论、问题与方法,科学出版社2005教材使用说明:该教材共10章,本课程学习前6章,覆盖通用的传统教材(例如:张禾瑞《近世代数基础》)的所有内容,但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。
本教材的后4章有一定难度和深度,可作为本科近世代数(二)续用。
如果不再开设近世代数(二),则可以供有兴趣的学生自学、自读,进一步了解现代代数学更加前沿的内容,拓宽知识面。
教学方法:由于该教材首次在全年级使用,采用教研室集体备课的方式,每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。
每章提供适量的(3—4题)思考问题供学生独立思考,学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座,介绍现代代数学的研究方法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容:群与Goldbach猜想。
教学手段:黑板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书:1.张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,19993.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第二章数环与数域本章教学目标:1. 熟悉整数剩余类环的运算,了解整数剩余类环在数论研究中的作用。
2. 数环就是数系,熟悉各种不同形态的数环与数域;有限的、无限的;交换的、不交换的。
3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。
4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。
5. 本章通过若干数论定理的学习,使学生了解和熟悉环论的初等方法,为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。
近世代数教案(1)

第一章基本概念 (1)§2 映射 (1)§3 代数运算 (9)§8 同态 (9)§10等价关系与集合的分类 (16)第一章基本概念§2 映射1.映射定义A,B都是集合,ϕ是一个法则.若对A中每一个元素x,在B中有唯一元素y与之对应,则称ϕ是A到B的一个映射.记为ϕ:x→y, 或y=ϕ(x).y称为x在ϕ下的像,x叫做y在ϕ下的原像或逆像.注意:(1)A中每一个元素都有唯一确定的像且像在B中.(2)A中不同元素的像可能不同、也可能相同.例1设A是有理数集,B为实数集合,那么法则ϕ:x→11x-,即ϕ(x)=11x-不是A到B的一个映射.例2 设A,B都是有理数集,那么法则ϕ:ba →a b+,即ϕ(x)=11x-那么ϕ不是A到B的一个映射.例3设A={1,2,3},B={2,4,8,15},那么法则ϕ:x→2x,即ϕ(x)=2x不是A到B的一个映射.2.满射、单射和双射例4设A={1,2,3},B={2,4,8,15},那么法则ϕ:x→2x,即ϕ(x)=2x不是A到B的一个映射.例5设A={1,2,3,4},B={2,4,6},那么法则ϕ:1→2,2→4,3→6,4→6 是A到B的一个映射.例6设A={1,2,3},B={2,4,6},那么法则ϕ:x→2x,即ϕ(x)=2x 是A到B的一个映射.定义设ϕ是A到B的映射,(i)若∀b∈B,至少有一个a∈A,使得ϕ(a)=b,则称ϕ是A到B 的满射;(ii)若∀a,b∈A,且a≠b,总有ϕ(a)≠ϕ(b),则称ϕ是A到B的单射;(iii)若ϕ既是A到B的满射,又是A到B的单射,则称ϕ是A 到B的双射,双射也称为一一映射.单射的判定:ϕ是A到B的单射⇔∀a,b∈A,且ϕ(a)=ϕ(b)一定有a=b.例7 设ϕ(a)=2a,∀a∈Z+,则ϕ是Z到2Z+的双射.F⨯是数域F上的全体n阶方阵的集合,B={0,1, 例8设n n...,n},r(A)表示矩阵A的秩,则ϕ:A→r(A),即ϕ(A)=r(A) 是n n F ⨯到B 的一个满射,但不是单射.ϕ是A 到B 的映射,11,A A B B ⊆⊆,集合1()A ϕ={1()a a A ϕ∈}称为1A 在ϕ之下的像;集合11()B ϕ-={1,()a a A a B ϕ∈∈}称为1A 在ϕ之下逆像. 3逆映射设ϕ是A 到B 的一个双射,对x ∈A,y ∈B,且ϕ(x )=y .定义 1:ϕ-y →x ,即1ϕ-(y)=x. 则1ϕ-是B 到A 的一个双射,称1ϕ-为ϕ的逆映射.例9设A={1,2,3},B={10,20,30},那么法则ϕ:x →10x,即ϕ(x)=10x是A 到B 的一个双射.显然,1ϕ-(y)=y/10是ϕ的逆映射.结论1设A,B 都是有限集合,那么它们之间能建立双射的⇔是|A|=|B|.定理 设A,B 都是有限集合,且|A|=|B|,ϕ是A 到B 的映射,那么 ϕ是满射⇔ϕ是单射.证明|A|=|B|=n,而且A={12,,,n x x x },B={12,,,n y y y }....... 推论 设A,B 都是有限集合,且|A|=|B|,ϕ是A 到B 的映射,那么 ϕ是双射⇔ϕ是单射或ϕ是满射.4.映射的乘法 变换设σ,τ都是A 到B 的映射,如果∀x ∈A,都有()()x x στ=,那么称σ与τ相等,记为σ=τ.映射相等与函数相等是一样的.设τ是A 到B 的映射,σ是B 到C 的映射,那么x →σ(τ(x)), (∀x ∈A)是A 到C 的映射,记为στ,称它为τ与σ的乘积.或合成或复合. 即 στ(x)=σ(τ(x)),定义 A 到A 的映射称为A 的变换.A 的变换也分满射变换、单射变换和双射变换.双射变换也称为一一变换.集合A 中每一个元素与自身对应的变换称为A 的恒等变换.定理含有n 个元素的集合共有n!的个双射.集合M={1,2,…,n}的双射变换ϕ,通常用一下符号表示12(1)(2)()n n ϕϕϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭并称其为n 元置换.3个元素的置换共6个,0123123ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1123132ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2123321ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,4123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,5123312ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 另外,置换有多种形式是相等的:5123132231213312321312321123132231213ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业:P6:11.1,2.§3 代数运算1.代数运算的概念一般的运算是由两个元素经某一运算后得一个元素,比如加减乘等.定义设M是集合,法则ϕ满足,对A中任意有序元素 a,b, A 中有唯一确定元素d与之对应,则称ϕ为M的代数运算.一般用表示法则ϕ,因而ϕ(a,b)写成a b=d.此时可以说a,b经过的运算得到元素d∈M.例1 普通的加法、减法、乘法都是整数集、有理数集、实数集和复数集的代数运算,而普通加法不是正整数集的代数运算.例2 设V是数域F上的向量空间,V的向量加法是V的代数运算.例3设F是数域,令n mF⨯={A|A是F上的m×n矩阵}.则矩阵的加法是n mF⨯的代数运算.练习:试规定整数集合Z上的一个代数运算.每位同学规定一个不同于其他同学的代数运算.2.变换的乘法与置换的乘法设M是集合,T(M)={M的所有变换σ},∀σ,τ∈T(M),则乘积στ:στ(x)=σ(τ(x))是M的一个变换,故στ∈T(M),称στ为变换的乘法,变换的乘法是T(M)的代数运算.设ε是M的恒等变换,∀σ∈T(M),σε(x)=εσ(x)=σ(x), ∀x∈M,于是σε=εσ=σ.令S(M)是M的所有双射变换的集合,则S(M)⊆T(M).易证,T(M)的乘法也是S(M)的乘法.即变换乘法是的代数运算,从而双射的乘积还是双射.事实上,......,集合M={1,2,3}的双射变换共有6个:0123123ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1123132ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2123321ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,4123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,5123312ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12123123321123123132321231321231ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123321321231⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭一般地,设12121212,,n n n i i i n k k k i i i στ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 121212121212n n n n i i i n n k k k i i i k k k στ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为()(())(),1,2,,s s s s i k s n στστσ====.设A={12,,,n a a a },它的代数运算满足:i j ij a a a =,则下表 称为A 的代数运算表:............练习P15:1t.作业:设2123321ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3123213ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求3223,ϕϕϕϕ.§4 运算律1.结合律定义1设集合M 的代数运算,如果∀,,a b c ∈M,都有 ()()a b c a b c =则称M的代数运算满足结合律.数、多项式、矩阵等的加法和乘法都满足结合律. 例1 M=Z +,则M 的代数运算:1a b ab =+不满足结合律. 例2 变换的乘法满足结合律.一般地,M 中的n 个元素12,,,n a a a 可以有12(1)(22)!1!(1)!n n n C n n n ---=- 种加括号方式.如果结合律不成立,则不同加括号的方式这n 个元素运算结果可能会不同;如果结合律成立,则有定理1若M 的代数运算满足结合律,则M 中任意n(≥3)个元素无论怎样加括号,其结果都相等.(用第二型数学归纳法) 根据定理1,运算式12n a a a 表示n 个元素12,,,n a a a的无论怎样加括号运算而得的唯一结果. 2.交换律定义2设集合M 的代数运算,如果∀,a b ∈M,都有 a b b a = 则称M的代数运算满足交换律.设A={12,,,n a a a }的代数运算满足:i j ij a a a =,则下表 称为A 的代数运算表:代数运算满足交换律, 那么其运算表关于主对角线 对称.定理2若集合M 的代数运算即满足结合律、又满足交换律,则对M 中任意n 个元素进行运算时,可以任意交换、结合元素的次序,其结果相等.(用归纳法证明即可)3.分配律定义3若集合M 有两个代数运算和⊕,如果∀,,a b c ∈M,都有 ()()()a b c a b a c ⊕=⊕ 则称对⊕满足左分配律;如果∀,,a b c ∈M,都有 ()()()b c a b a c a ⊕=⊕ 则称对⊕满足右分配律,对⊕满足左分配律,则.定理3 设集合M 有两个代数运算和⊕,其中⊕满足结合律,对M 中任意元素12,,,,n a b b b 有121()()()n n a b b b a b a b ⊕⊕⊕=⊕⊕例1 P19:2t, 作业:P19:1t,§5 同态与同构1.同态映射设M和M分别有代数运算,,ϕ是M到M的映射.如果ϕ保持运算,即∀a,b∈A,总有ϕ(a b)=ϕ(a)ϕ(b),则称ϕ为M 到M的同态映射,若ϕ是满射,则称ϕ为M到M的同态满射.如果M到M存在同态满射,则称M与M同态.例1设M=n nF⨯,M的代数运算是矩阵的普通乘法,M=F,则ϕ:A→|A|是M到M的同态满射.因为......2同态满射的性质定理1对于代数运算,来说,假定A与A同态,那么(1)若满足结合律,则也满足结合律;(2)若满足交换律,则也满足交换律.定理2假定,⊕是A的两个代数运算,,⊕是A的代数运算,而且ϕ是A到A的满射,假定对于代数运算,来说, A与A同态, 对于代数运算⊕,⊕来说,A与A也同态,那么(i)若,⊕满足第一分配律,则,⊕也满足第一分配律;(ii)若,⊕满足第二分配律,则,⊕也满足第二分配律. 练习:P23:1t.3.同构定义设对代数运算,来说,ϕ是A到A的同态满射.如果ϕ还是单射,则称ϕ是A与A的同构映射,而称A与A同构,记为A≅A.A到A的同态映射,叫做A的自同态. A到A间的同构映射,叫做A的自同构.例2 设M=Z,M是偶数集合,∀n∈M,对应ϕ:n→2n是M到M的同构映射.例3 M=Q+,代数运算是普通乘法,则ϕ:a→1a-是M到自身的同构映射.但对加法来说,ϕ不是自同构.同构有以下三个性质:(1)自反性:任意M与自身同构;(2)对称性:若A≅B,则B≅A.(3)传递性:若A≅B,B≅C,则A≅C.作业P23:2.§6 等价关系与集合的分类1.等价关系定义设M是集合,如果有一个法则R,它对M中任两个有序元素a,b对,可以确定集合{有,无}中唯一元素与之对应,这个法则R叫做M的元素间的一个关系.若R(a,b)=有,我们说a与b符合关系R,记成aRb;若R(a,b)=无,我们说a与b不符合关系R.记为a R b.由这个定义,给了A的元间的一个关系R,就可以决定任意一对A的元a,b是否符合这个关系.例1 M={全体有理数},∀a,b∈M,aRb⇔a+b是整数,那么R 是M的一个关系.例2 M={全体有理数},∀a,b∈M,aRb⇔a+b是整数,那么R 是M的一个关系.例3 M={正有理数},在M规定,ba R dc⇔1a db c+<+,那么R不是M的一个关系.因为对13,22来说,131,22+=+12R32;但2351426+=<+,所以12R32.这相当于说,若b-a是正的,则aRb,; 若b-a不是正的,则a R b.例4 M=Z,∀a,b∈M,若有q∈Z,使得b=aq,则aRb; 若不存在q∈Z,使得b=aq,则a R b.这个关系R是Z上的整除关系.2.等价关系等价关系是一种特殊的关系,占的地位特别重要,这种关系一般用~来表示.定义集合M的一个关系R叫做等价关系,如果I 反射律 aRa,∀a∈A;II 对称律若aRb,则bRa; ∀a,b∈A;III 推移律 若aRb,且bRc,则aRc.∀a,b,c ∈A.M 的一个等价关系用~表示,对两个元素a,b,若a ~b,则称a 与b 等价.例4 整数集合Z 上的元素相等“=”是Z 上的等价关系. 例5 设Z 是整数集合,n 是正整数,∀a,b ∈Z,规定 aRb ⇔a ≡b(modn) 则R 是Z 的一个等价关系.例6 令F(M)={A|A 是数域F 上的n 阶方阵},则F(M)中的矩阵间的等价~是F(M)的一个等价关系.矩阵间的相似是F(M)的一个等价关系.3 等价关系与集合分类定义设12,,,n A A A 是集合A 的n 个非空子集.如果i j A A φ=,i ≠j 且12n A A A A =则称{12,,,n A A A }是集合A 的一个分类,每一个i A 叫做一个类.例 1 A={1,2,3,4,5,6,},1A={1,2},2A={3,4},3A={5,6},则{1A,2A,3A}是A的一个分类.定理1集合M的每一个分类决定M的一个等价关系,证明a,b∈M,规定aRb⇔a与b在同一类,则R是等价关系.定理2集合M的一个等价关系,决定M的一个分类.证明∀a∈M,令a={x|x~a,x∈M},因a~a,则a∈a.设a∈b,a∈c,则a~b,a~c.∀x∈b,则x~b,又b~a,a~c,所以x~c,即x∈c,于是b⊆c,同理可证c⊆b,于是b=c.这就是说,~把M分成了互不相交的子集.例6求由同余关系aRb⇔a≡b(mod4)所决定的分类.Z被分成四个类,0,1,2,3,称其为模4的剩余类.练习:P27:2. 作业P27:.。
近世代数第三版教学设计

近世代数第三版教学设计背景近世代数是现代数学的重要分支之一,它的理论研究和应用都具备重要意义。
在高等教育中,近世代数作为一门重要的基础课程,一般在本科高年级学习。
为了提高学生的学习效果和兴趣,需要设计一种新的教学方式和方法。
本文针对教学实践和学术研究,结合教学过程中的问题和反馈,提出了一种适合高等教育教学的近世代数第三版教学设计方案。
教学目标通过本课程的学习,学生应该能够:1.理解近世代数的基本概念和理论框架;2.掌握近世代数的基本算法和方法;3.了解近世代数的应用领域和新进展;4.提高数学分析和建模能力;5.培养独立思考和团队协作能力。
教学内容第一章近世代数绪论1.1 近世代数的历史与发展 1.2 近世代数的基本概念与模型 1.3 算法与计算第二章群论2.1 群的基本概念与性质 2.2 置换群 2.3 普适性定理和拓扑群 2.4 有限群理论第三章环论3.1 环的基本概念与性质 3.2 简单环和主理想环 3.3 Euclid算法和扩张域3.4 环的应用第四章域论4.1 域的基本概念与性质 4.2 有限域和代数闭包 4.3 Galois理论和正规扩张4.4 域的应用第五章近世代数的应用5.1 近世代数在密码学、编码和通信中的应用 5.2 近世代数在计算机科学、自然科学和工程学中的应用 5.3 近世代数在社会科学、艺术和文化中的应用教学方法本教学设计采用以下教学方法:1.以学生为中心的教学模式,注重启发性教学和实践性教学;2.讲授与实践相结合,提高学习效果和兴趣;3.运用案例分析和讨论,培养独立思考和团队协作能力;4.采用多媒体教学技术,丰富教学资源和形式;5.通过课堂互动和作业批改,加强师生互动和评估。
教学评估本教学设计采用以下教学评估方法:1.考试和作业的评分,评估学生学习成绩和水平;2.课堂互动和案例分析的教学效果;3.教学反馈和问卷调查的满意度和建议;4.教学质量和效果的综合评价。
教学成果通过本教学设计,预计能够实现以下教学成果:1.提高学生的近世代数知识和应用能力;2.增强学生的创新和实践能力;3.提高学生的团队协作和独立思考能力;4.增强教师的教学水平和教学质量;5.推广近世代数的研究和应用,促进学术发展和社会进步。
《近世代数》教案1

《近世代数》教案1《近世代数》教案1教案一:近世代数概述一、教学目标1.了解近世代数的起源和发展历程;2.理解近世代数的基本概念和基本运算;3.掌握近世代数的基本定理和性质;4.培养学生的逻辑推理和证明能力。
二、教学内容1.近世代数的起源和发展历程;2.近世代数的基本概念和基本运算;3.近世代数的基本定理和性质。
三、教学重点和难点1.理解近世代数的基本概念;2.掌握近世代数的基本运算;3.理解和运用近世代数的基本定理和性质。
四、教学方法1.前置知识导入:利用历史故事或问题引入近世代数的起源;2.概念解释与讨论:通过引导学生,共同探讨近世代数的基本概念;3.理解和运用:通过实际问题,让学生理解和运用近世代数的基本定理和性质;4.案例分析和练习:通过案例分析和练习,巩固学生对近世代数的理解和应用能力;5.归纳总结:通过归纳总结,整理和进一步理解所学的知识。
五、教学过程1.前置知识导入(10分钟)-引入:《近世代数》是一门重要的数学学科,它是现代数学的基石之一、那么,你们以为近世代数是从什么时候开始出现的呢?我们来听听关于近世代数起源的故事吧。
-故事:公元16世纪,意大利的一位数学家卡尔达诺被人请到一个庄园解决一个心理障碍的问题,他最终发现了它的根源与代数方程式求解有关。
这个故事揭示了近世代数起源的一部分,下面我们一起来探索更多关于近世代数的知识。
2.概念解释与讨论(20分钟)-定义:近世代数是一门研究代数结构及其性质的学科,它主要研究了代数系统的运算规则和代数方程式的求解方法。
-基本概念:群、环、域是近世代数中的基本概念。
群是指一个非空集合和一个在这个集合上的运算,满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质;环是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算,满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性,以及乘法封闭性和结合律;域是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算,满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性,以及乘法封闭性、结合律、单位元和可逆性。
近世代数讲义(电子教案)

《近世代数》课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求:掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念;掌握映射的定义及应注意的几点问题,象,原象的定义;理解映射的相同的定义;掌握代数运算的应用;掌握代数运算的一般结合运算,理解几个元素作代数运算的特点;理解代数运算的结合律;掌握并能应用分配律与结合律的综合应用;掌握满射,单射,一一映射及逆映射的定义。
理解满射,单射,一一映射及逆映射的定义;掌握同态映射、同态满射的定义及应用;掌握同构映射与自同构的定义;掌握等价关系的定义,理解模n的剩余类。
教学重点:映射的定义及象与原象的定义,映射相同的定义;代数运算的应用,对代数运算的理解;代数运算的结合律;对定理的理解与证明;同态映射,同态映射的定义;同构映射的定义以及在比较集合时的效果;等价关系,模n 的剩余类。
教学难点:元素与集合的关系(属于),集合与集合的关系(包含);映射定义,应用该定义应注意几点;代数运算符号与映射合成运算符号的区别;结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义;两种分配律与⊕的结合律的综合应用;满射,单射,一一映射及逆映射的定义;同态映射在比较两个集合时的结果;模n 的剩余类。
教学措施:网络远程。
教学时数:8学时。
教学过程:§1 集合定义:若干个(有限或无限多个)固定事物的全体叫做一个集合(简称集)。
集合中的每个事物叫做这个集合的元素(简称元)。
定义:一个没有元素的集合叫做空集,记为∅,且∅是任一集合的子集。
(1)集合的要素:确定性、相异性、无序性。
(2)集合表示:习惯上用大写拉丁字母A ,B ,C …表示集合,习惯上用小写拉丁字母a ,b ,c …表示集合中的元素。
若a是集合A 中的元素,则记为A a A a ∉∈否则记为,。
表示集合通常有三种方法: 1、枚举法(列举法): 例:A ={1,2,3,4},B ={1,2,3,…,100}。
2、描述法:{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。
近世代数教案

近世代数教案近世代数教案西南⼤学数学与统计学院张⼴祥学时数:80(每周4学时)使⽤教材:抽象代数——理论、问题与⽅法,科学出版社2005教材使⽤说明:该教材共10章,本课程学习前6章,覆盖通⽤的传统教材(例如:张⽲瑞《近世代数基础》)的所有内容,但本教材更强调抽象代数理论的应⽤和⽅法特点。
本教材的后4章有⼀定难度和深度,可作为本科近世代数(⼆)续⽤。
如果不再开设近世代数(⼆),则可以供有兴趣的学⽣⾃学、⾃读,进⼀步了解现代代数学更加前沿的内容,拓宽知识⾯。
教学⽅法:由于该教材⾸次在全年级使⽤,采⽤教研室集体备课的⽅式,每2周⼀次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。
每章提供适量的(3—4题)思考问题供学⽣独⽴思考,学⽣完成的思考题成绩可记⼊平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座,介绍现代代数学的研究⽅法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容:群与Goldbach猜想。
教学⼿段:⿊板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书:1.张⽲瑞,近世代数基础,1952第⼀版,1978年修订版,⾼等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(⾯向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) ⾼等教育出版社,19993.⽯⽣明, 近世代数初步, ⾼等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁⽯孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第⼀章导引本章教学⽬标:1. 概要了解代数学发展的四个阶段:⽂字叙述阶段;简化⽂字阶段;符号代数阶段;结构代数阶段2. 了解近世代数产⽣的三⼤基础:⾼次⽅程求根问题与Galois群;费马问题的Kummer⽅法与理想论;Hamilton四元数;了解近世代数在现代数学中的地位3. 代数运算的⼀般定义4. 群、环、域的定义与初步实例教学时数:共3节,每节2学时,共6学时思考问题:1. 利⽤乘法公式解释我国古代筹算开⽅法的原理。
近世代数教学大纲

《近世代数》教学大纲课程名称:近世代数英文名称:Abstract Algebra课程编号:0641008 学分:3 学时:54先修课程:高等代数、初等数论替代课程:无适用对象:数学与应用数学专业(4年制普通本科)(一)课程目的要求本课程的目的是引导学生掌握近世代数的基本概念和基本理论,从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的,帮助学生为进一步的学习和研究打好代数学方面的知识基础.主要是群、环、域的基本概念以及基本理论。
在学习本课程中,要求学生掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法,提高数学修养与技巧,以便能深入理解中学代数的内容和方法,为进一步学习其它学科创造条件。
(二)课程简介近世代数是数学与应用数学专业必修课程,是现代数学的一个重要分支,是研究多种代数结构的一门学科。
它的内容对中学代数教学有指导意义,它的思想方法已经渗透到数学的多个分支,它的结果已应用到众多学科领域,现在本课程已作为师范院校数学专业学生的必修课。
本课程的学习分为三个部分,第一部分学习近世代数的预备知识,包括集合、映射、代数运算及等价关系等基本概念。
第二部分学习群的基本理论,主要包括群的定义和基本性质, 子群和商群理论, 群同态和同构定理, 置换群的基本理论,有限群的Lagrange定理。
第三部分学习环论的基础内容, 主要包括环, 子环, 商环的定义和基本性质, 环同态和同构定理, 素理想与极大理想,环上的多项式环的构造,扩域和有限域。
(三)教学方式教学方式是以教师讲授为主,注重知识点之间的比较,运用类比方法;根据课堂教学情况,适当补充一些例题,以帮助学生课后巩固所学知识;适时给出思考题,培养学生的独立思考能力;对一章进行总结时,适当配备一些典型习题讲解, 以帮助学生理解和掌握抽象的概念和性质定理。
1(四)教材和主要教学参考书教材:《近世代数》(第二版),朱平天,李伯洪,邹园编,科学出版社, 2009年出版主要教学参考书:1.张禾瑞编:《近世代数基础》,人民教育出版社, 1984年版。
近世代数教学设计

近世代数教学设计前言近世代数作为数学学科中的一个分支,在现代科学技术中有着广泛的应用。
随着数学科学的发展,近世代数也不断地发展和完善。
因此,让学生掌握这一数学分支的基本概念和方法对于今后的科学学习和实际生活都具有重要的意义。
然而,由于近世代数概念抽象,难度较大,教学难度也相应加大。
因此,在进行近世代数教学设计时,需要有针对性地制定教学方案,以有效地提高学生学习的学习效果。
教学目标1.掌握基本数学符号和定义,如群、环、域等的基本概念及其特性。
2.借助具体问题学习掌握代数知识和运用方法。
3.培养学生分析和解决实际问题的思维能力。
4.提高学生抽象思维、逻辑推理、数学表达和计算能力。
教学内容和教学方法教学内容1.群论基础概念:群、子群、生成子群、置换群、正规子群、同态、同构等。
2.群的基本定理:拉格朗日定理、卡氏定理、费马小定理、威尔逊定理等。
3.环论基础概念:环、子环、理想、极大理想、素理想、同态、同构等。
4.域论基础概念:域、子域、代数数、超越数、代数扩张、域同构等。
5.应用题解析和训练。
教学方法1.以具体例子熟悉基本概念和定理。
2.以问答交流帮助学生理解每个概念所代表的含义。
3.设计相关问题和练习,让学生通过实际的运用掌握相关知识和方法。
4.给学生充分时间思考,鼓励独立思考和探究的能力。
教学评估方法期中和期末考试期中和期末考试分别占总成绩的30%和40%,考试内容涵盖基本概念、定理,以及应用题分析和解答。
平时表现平时表现包括课堂参与、作业完成情况、上机实验成绩、小组讨论和展示及其他周边活动等,占总成绩的30%。
结尾通过本教学设计,我们可以将近世代数这个抽象的领域变得简单易懂,并引导学生深入理解数学概念,以及运用代数知识思考解决实际问题的过程。
同时也可以帮助学生培养抽象思维、逻辑推理等数学求解能力,为今后的科学学习和实际生活打下坚实的基础。
《近世代数》教案1(含绪论)

韶关学院课程教学设计( 2 学时)教学过程、内容(含教与学的方法)绪论一、抽象代数发展简史1、代数的组成代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支,当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分.初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论,主要研究某一方程(组)是否可解,如何求出方程所有的根(包括近似根),以及方程的根有何性质等问题.抽象代数又称近世代数,它产生于十九世纪.抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科.由于代数可处理实数与复数以外的集合,例如向量、矩阵超数、变换等,这些集合分别是依它们各有的演算定律而定,而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来,并因此而达到更高层次,这就诞生了抽象代数.抽象代数,包含有群论、环论、域论、模论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科.抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言.2、高次方程的根式解问题什么叫代数?代数的基本问题是什么呢?代数就是字母运算学,这是法国数学家韦达的观点,也是关于代数的第一种观点.到了15-16世纪,代数学的中心问题开始转移到代数方程理论上来了,(关于代数的观点发生了变化,将代数定义为代数方程理论).我们知道,一次、二次的方程有根式解,三次和三次以上的方程是否有根式解呢?经过数学家们的努力,1542年意大利数学家卡当给出了三次方程的求根公式.这个公式实际上是泰塔格利亚发现的,卡当恳切要求泰塔格利亚把求解公式告诉他,并发誓对他保密.但卡当不顾自己的誓言,把这个方法的叙述发表在他的《重要的艺术》里.所以这个公式不应该叫卡当公式,而应叫泰塔格利亚公式.在三次方程成功地解出之后,接着卡当的学生费拉里成功的解出了四次方程.三次、四次方程有求根公式,那么五次和五次以上的方程是否有公式解呢?世界上许多数学家试图找出五次和五次以上的方程的公式解,经过了三百年没有成功.在这期间,德国数学家高斯在1799年他的博士论文中作出了代数基本定理的证明.“每个次数 1的复系数多项式在复数域中有一个根.”探求四次以上的方程的求解问题,多少数学家作了努力,但都失败了.直到1824年轻的数学家阿贝尔证明了“高于四次的一般方程用根式求解的不可能性”.这样,代数的这个问题才告一个段落.阿贝尔(1802-1829)是一个挪威的数学家,出生(1802.8.5)于一个穷牧师家里,兄弟姐妹七个,他排行第二,小学教育基本上是由父亲完成的.中学时是一个比阿贝尔大七岁的数学教师,名叫洪波义.此人学过一些纯粹数学,对中学数学很熟,他采取让学生发挥独立的工作能力的教学方法,给一些适合他们的数学问题鼓励学生们去解决.第一学年来,洪波义在学生的报告书上对阿贝尔的评语是:“一个优秀的数学天才”.他私人教阿贝尔高等数学.在中学读书的最后一年,他开始考虑当时著名的难题:五次方程的一般解问题.他按高斯对二次方程的处理方法,起初,阿贝尔以为他已经解决了用根式解一般的五次方程的问题.他的方法洪波义看不懂,也不知道有什么地方错,因此便拿去找教授看,结果也没有人了解他的东西.一位叫达根的教授劝告阿贝尔研究一些椭圆积分.后来阿贝尔用实际例子来验证,证明他的发现是错误的.当阿贝尔18岁时父亲去世了,大哥精神不正常,家庭生活十分贫困.阿贝尔上大学是由洪波义出面,希望几个教授帮忙,结果教授们和朋友们都把薪水分出一点,凑起来给阿贝尔作为学习和生活的经济来源.阿贝尔自己还写信给当局提出要求,幸运地获得了免费的宿舍.1824年,阿贝尔重新考虑了一元五次方程的根式解问题.他试图证明这个解答是不可能的.首先他成功的证明了下述定理:“可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出,出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理函数.”然后阿贝尔用这个定理证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性.阿贝尔的家境贫困,大学毕业后,他靠为一些学生补习功课而生活,好心的朋友克勤为了替阿贝尔谋求一个职业而尽力奔走,终于在1828.10.8写信告诉阿贝尔“职业是肯定有了”.但克勤不知道,我们的阿贝尔在三月肺结核病病情恶化了,4月6日,这世上少有的天才就这样怀着沉重的心情,在他未婚妻旁离开了人间.克勤的消息来迟了.“阿贝尔留下的工作,可以使以后的数学家足够忙碌150年!”法国数学家厄米特说:这话并不夸张.在和阿贝尔同时代的一个法国青年伽罗华读到了阿贝尔的著作,不到20岁,就在代数方程论上作出了卓越的贡献,创立了“伽罗华理论”.他使阿贝尔的思想得到了更好的发展.3、伽罗华和他的理论的兴起法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题.他是第一个提出“群”的思想的数学家,一般称他为近世代数的创始人.伽罗瓦使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学,即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期.伽罗瓦是巴黎附近一个小镇镇长的儿子,他积极参加学生运动.伽罗华在中学时遇到了一位叫里沙的好老师(数学家),在里沙的指导下开始学习阿贝尔的著作,给出5次及5次以上方程有根式解的充要条件.他的论文三次交到法兰西科学院评审(柯西、付里叶、波松).最后是波松“完全不能理解!”.伽罗瓦是1832年5月31日死于爱情决斗.伽罗瓦提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题.伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响.抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端,伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念.后来凯莱对群作了抽象定义(Cayley,1821-1895).他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念,可惜没有引起反响.“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”.直到1878年,凯莱又写了抽象群的四篇文章才引起注意.1874年,挪威数学家索甫斯·李(Sophus Lie, 1842-1899)在研究微分方程时,发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的,一下子接触到连续群.1882年,英国的冯·戴克(von Dyck,1856-1934)把群论的三个主要来源—方程式论,数论和无限变换群—纳入统一的概念之中,并提出“生成元”概念.1870年,克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义;狄德金开始使用“体”的说法,并研究了代数体;1893年,韦伯定义了抽象的体.20世纪初给出了群的抽象公理系统.群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开.例如,找出给定阶的有限群的全体.群分解为单群、可解群等问题一直被研究着.有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决.伯恩赛德(Burnside,1852-1927年)曾提出过许多问题和猜想.如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶,G是不是有限群?并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的.前者至今尚未解决,后者于1963年解决.舒尔(Schur,1875-1941)于1901年提出有限群表示的问题.群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出.庞加莱对群论抱有特殊的热情,他说:“群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学.”这当然是过分夸大了.1843年,哈密顿(Hamilton, W. R. )发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数.第二年,Grassmann推演出更有一般性的几类代数.1857年,Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数.1870年,克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象定义.4、诺特和抽象代数学的兴起有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一,被誉为代数女皇,她就是爱米·诺特(1882-1935), 1882年3月23日生于德国埃尔朗根,其父亲麦克斯是一位大数学家,1900年入埃朗根大学(上千名学生中只有两位女生),1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位.诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响.1907-1919年,她主要研究代数不变式及微分不变式.她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组.还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题.对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明.她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式,在格丁根大学的就职论文中,讨论连续群(李群)下不变式问题,给出诺特定理,把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起. 1922年,诺特终于被聘为教授,但政府不承认.1920-1927年间她主要研究交换代数与“交换算术”.1916年后,她开始由古典代数学向抽象代数学过渡.1920年,她已引入“左模”、“右模”的概念.1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.建立了交换诺特环理论,证明了准素分解定理.1926年发表《代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造》,给戴德金环一个公理刻画,指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件.诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论,一般认为抽象代数形式的时间就是1926年,从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布,进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构,完成了古典代数到抽象代数的本质的转变.诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一.1927-1935年,诺特研究非交换代数与“非交换算术”.她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上.后又引进交叉积的概念并用决定有限维伽罗瓦扩张的布饶尔群.最后导致代数的主定理的证明,代数数域上的中心可除代数是循环代数.诺特的学生范.德.瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿,写成《近世代数学》一书,其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构.这就发生了质变.由于抽象代数的一般性,它的方法和结果带有基本的性质,因而渗入到各个不同的数学分支.人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养,从那以后,代数研究有了长足进展.诺特的思想通过《近世代数学》得到广泛的传播.她的主要论文收在《诺特全集》(1982年)中. 1955年范.德.瓦尔登的《近世代数学》改版为《代数学》(一、二册)(瓦尔登后来研究数学史).抽象代数的另一部分是域论.1910年施泰尼茨(Steinitz,1871-1928)发表《域的代数理论》,成为抽象代数的重要里程碑.他提出素域的概念,定义了特征数为P的域,证明了每个域可由其素域经添加而得.环论是抽象代数中较晚成熟的.尽管环和理想的构造在19世纪就可以找到,但抽象理论却完全是20世纪的产物.韦德伯恩(Wedderburn,1882-1948)《论超复数》一文中,研究了线形结合代数,这种代数实际上就是环.环和理想的系统理论由诺特给出.她开始工作时,环和理想的许多结果都已经有了,但当她将这些结果给予适当的确切表述时,就得到了抽象理论.诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中,为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础.诺特对环和理想作了十分深刻的研究.人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成,因此,可以认为抽象代数形成的时间为1926年.1930年,毕尔霍夫建立格论,它源于1847年的布尔代数;第二次世界大战后,出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派;1955年,嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论.到现在为止,数学家们已经研究过200多种这样的代数结构,其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子.这些工作的绝大部分属于20世纪,它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映.到了20世纪60年代,美国代数学家贾柯勃逊编著的《抽象代数学》(一、二、三册)代替了瓦尔登的《代数学》,到了20世纪70-80年代贾柯勃逊改版为《基础代数学》(一、二册)分别于1974年和1980年出版.5、代数是研究代数系统的科学抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响.抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展.经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作,格论确定了在代数学的地位.而自20世纪40年代中叶起,作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响.泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来.中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代.当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果,其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著.现在,可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说,但字母的含义是在不断地拓广的.在初等代数中,字母表示数;而在高等代数和抽象代数中,字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量.可以说,代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了.一个带有形式运算的集合称为代数系统,因此,代数是研究一般代数系统的一门科学.现代数学的基础课程正在更新.50年代数学系的教学计划,以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体.时至今日,人们认为光靠这“老三高”已不够用了,应该发展“新三高”,即抽象代数、拓扑学和泛函分析.现代数学理论是由这三根支柱撑着的.现在,我们来追寻它们形成和发展的历史足迹,并从这一侧面窥视21世纪数学的特征.参考文献:[1] 乐秀成, 刘宁. 青年数学家、战士和人:E.伽罗瓦[J]. 自然辩证法通讯, 1980,(06)[2] 胡作玄. 爱米·诺特与抽象代数学的兴起[J]. 自然辩证法通讯, 1983,(02)二、近世代数的特点、意义与学习方法1、近世代数的特点代数学经历了两个转变,它有三种观点:第一种观点:代数是字母运算学(这是韦达的观点);第二种观点:代数是代数方程理论;第三种观点:代数是研究各种代数系统(即研究群、环、域等的结构与性质).第一、第二是具体的,第三是抽象的,它的对象不一定是数,如向量、矩阵、线性变换等.由于它理论的抽象,对象的广泛,因而就带来应用的广泛性.近世代数的大多数概念是采取公理化定义,这就使它的理论更严谨,许多学科都用到近世代数的思想和方法.近世代数具有以下特点:概念的抽象性、理论的严谨性、应用的广泛性.2、学习近世代数的意义一是数学类专业的基础课程,后继课程学习的需要,更高一级学校学习的准备;二是指导中学教学与实践,处理好中学数学的有关教材内容,能在高观点下看清中学数学的来龙去脉;三是培养同学的科学思维、逻辑推理和运算的能力,以及辩证唯物论观点.3、学习方法与要求学习的四步曲:预习、听课(笔记)、复习、练习;①预习:认真看书,做好预习工作,带着问题来听课,做到有的放矢;②听课(笔记):认真听课,做好笔记,笔记的形式可以多样,与书上不同的;③复习:认真做好复习工作,多思考、多提问题.问题可以自问自答;有问题要自己先想想,再问老师.要扣概念,找模型;④练习:复习后再练习、作业,作业要独立完成,不要抄题解、不要抄别人的.请记住:预习、听课(笔记)、复习、练习,再预习等,这就是学习上的良性循环.我们一定要做到学习上的良性循环,克服恶性循环,牢牢掌握学习的主动权,努力做到:概念准、理论熟、思路活、计算快.教材:张禾瑞著的《近世代数基础》.参考书:吴品三的《近世代数》;熊全淹的《近世代数》;谢帮杰的《抽象代数学》;范.德.瓦尔登的《代数学》(一、二册);贾柯勃逊的《基础代数学》(一、二册);[美]G.伯克霍夫、S.麦克莱恩 著,王连祥、徐广善译 《近世代数概论》.三、近世代数的教学安排51课时,讲四章内容,共135页,每次课约7页.教学安排如下:第一章 基本概念 10课时(含绪论),含习题2课时;第二章 群 论 18课时,含习题4课时;第三章 环与域 16课时,含习题4课时;第四章 整环里的因子分解(2节) 5课时,含习题1课时;复习 2课时.教学内容及各章课时(见教学进度表)并参考“《近世代数》课程标准”.第一章 基本概念在普通代数里,我们计算的对象是数,计算的方法是加、减、乘、除.数学渐渐进步,我们发现,可以对于若干不是数的事物,用类似普通计算的方法加以计算.这种例子我们在高等代数里已经看到很多,例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算.近世代数(抽象代数)的主要内容就是研究各种代数系统,即带有运算的集合.因此我们的讨论就从最基本的概念——集合、映射开始.§1.1 集 合一、集合及其表示集合是一个不加定义的基本概念,它描述性的定义为:作为整体看的一堆东西若干个(有限或无限多个)固定事物的全体组成一个集合的事物叫做这个集合的元素.注意:1.强调“全体”,2.确定集合的表示法:1.列举法;2.性质法;3.图象法集合用大写拉丁字母A ,B ,C ,…来表示.元素用小写拉丁字母a ,b ,c ,…来表示.集合的属于与不属于的表示:a A∉∈,a A二、若干记号1.数集:N,Z,Q,R,C,*Z,*Q2.逻辑:全称号:∀(对于任意)特称号:∃(存在),|∃(存在唯一)若A则B:A B⇒A等价于B:A B⇔或者:∨,而且:∧三、空集合、子集与集合的相等空集合:一个没有元素的集合,记为∅子集:设A,B是两个集合,若x B x A⊆.∀∈⇒∈,则称B是A的子集,记为B A 空集合是任何集合的子集,即∀集合A,均有A∅⊆.为此需证明命题“x x A∀∈∅⇒∈”,但这个前提不成立.任一命题,只要前提不真,那么,无论结论如何,整个命题被认为成立,故有A∅⊆.真子集:若集合B是集合A的子集,而且至少有一个A的元不属于B,则称B是A的真子集,记为B A⊂.集合的相等:若集合A和集合B所包含的元素完全一样,则称集合A等于集合B,记为A B=⇔⊆∧⊆.=.充要条件:A B A B B A四、集合的运算、幂集合、卡氏积设A,B是全集U的两个子集,则A,B的交、并、差为:⋂=∈∧∈{|}A B x x A x B第 11 页 {|}A B x x A x B ⋃=∈∨∈\{|}A B x x A x B =∈∉但性质:交换律,结合律,分配律幂集合:设A 是给定的两个集合,A 的所有子集所组成的的集合叫做A 的幂集合,用A 2表示.例如:设{a b c}A =,,,则A 2={{a}{b}{c}{a b}{b c}{a c}{a b c}}∅,,,,,,,,,,,,. 卡氏积:设1A ,2A ,…,n A 是n 个集合集合12n 12={|(,,,),,1,2,,}n i i A A A x x a a a a A i n ⨯⨯⨯=∈= 称作集合1A ,2A ,…,n A 的积,这也是一个集合.当12n A A A === 时,记为n A .。
近世代数第二版教学设计

近世代数第二版教学设计一、引言近世代数是现代数学的一个重要分支,是研究抽象代数系统的代数学。
它在数学、物理、计算机科学、信息科学等领域都有重要应用。
作为一门高级数学课程,近世代数需要学生有一定的数学基础和抽象思维能力。
本教学设计旨在通过更加生动活泼的课堂教学方式,帮助学生更好地掌握近世代数这门课程。
本文将从教学目标、教学内容、教学方法和评估方式等方面进行详细说明。
二、教学目标近世代数的教学目标主要是使学生掌握近世代数的基本概念、知识和技能。
在课程结束时,学生需要实现以下目标:1.掌握基本群、指数定理、同态、同构等基本概念;2.熟练掌握置换群和有限群的构造方法、性质和应用;3.熟悉陪集和陪集分解及其应用;4.掌握群作用的基本概念和定理,并熟练应用。
通过达成上述目标,能够有效提高学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 基本概念及理论基本群、指数定理、同态、同构、子群等概念;群的基本定理、群的分类;群论在数论中的应用。
2. 置换群和有限群的构造置换群的定义和基本性质;置换群的构造方法;对称群、交错群和循环群的定义、构造和基本性质。
3. 陪集和陪集分解陪集及其性质,陪集分解和应用。
4. 群作用群作用的概念和基本定理,轨道、稳定子群;群作用在计算机科学、物理和数学中的应用。
四、教学方法为了使学生更好地掌握近世代数的内容,本教学设计采用了多种教学方法,包括:1. 讲授教师讲解近世代数的基本概念、定理和例题,帮助学生建立正确的数学思维模式。
2. 互动式课堂通过组织讨论、提问、答疑等方式,促发学生积极参与课堂活动,帮助学生理解课程内容。
3. 课程项目通过分组实现大型课程项目,将学生带入到实际场景中去体验,提高其近世代数的应用技能。
4. 实验和讲解通过实验和讲解,让学生更深入地了解近世代数的原理和应用。
五、评估方式评估方式是实现教学目标的重要手段,本教学设计将采用以下方式进行评估:1. 平时表现和作业学生的平时表现和作业完成情况将被认真评估,并在学期末一次性得到总分。
近世代数电子教案

近世代数电子教案第一章基本概念在普通代数里,我们计算的对象是数,计算的方法是加、减、乘、除。
数学渐渐进步,我们发现,可以对于若干不是数的事物,用类似普通计算的方法加以计算。
这种例子我们在高等代数里已经看到很多,例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算。
近世代数(抽象代数)的主要内容就是研究所谓代数系统,即带有运算的集合。
近世代数在数学的其它分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。
近二十多年来,它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。
我们在高等代数里已经初步接融到的群、环、域是三个最基本的代数系统。
在本书里我们要对这三个代数系统做略进一步的介绍。
在这一章里,我们先把常要用到的基本概念介绍一下。
这些基本概念中的某一些,例如集合和影射,在高等代数里已经出现过。
但是为了完整起见,我们不得不有所重复。
§1.1 集合●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)集合的概念,元素,空集合,集合与集合之间的包含、交、并、积,子集的概念例题:例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2}A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6}A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6}习题选讲P4 1●教学难点元素与集合的关系(属于)集合与集合的关系(包含)●教学要求掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念●布置作业P4 2●教学辅导精选习题:(侧重概念性、技巧性的基本问题)1.B A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?§1.2 映射●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)映射,象,原象,映射相同的定义及映射的表示方法例 1:A1=A2=....=AN=D=所有实数作成的集合φ:(a1,a2,……,a n)→ a12+a22+……+a n2=φ(a1,a2,…,a n)是一个A 1×A 2×…×A N 到D 的映射例 2 :A 1={东西},A 2={南},D={高低}φ1:(西南)→高=φ1(西南)不是一个A 1×A 2到D 的映射φ2(西南)→高,(东南)→低,则φ2是一个A 1×A 2到D 的映射例 3:A 1=D=所有实数所成的集合φ:a →a 若a ≠1→b 这里b 2=1不是一个A 1到D 的映射例 4:A 1=D=所有实数所成的集合φ:a →a-1不是一个A 1到D 的映射例 5:A=D=所有正整数的集合φ1:a →1=φ1(a )φ2: a →a 0=φ2(a ) 则φ1与φ2是相同的● 教学重点映射的定义及象与原象的定义,映射相同的定义。
05006《近世代数》课程教学大纲

《近世代数》课程教学大纲课程编号:05006课程英文名称:Modern Algebra学时数:72学分数:3.5适应层次和专业:数学与应用数学本科专业一、课程的性质和目的《近世代数》又名《抽象代数》(Abstract Algebra),是数学与应用数学专业本科的一门重要专业基础课,也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
《近世代数》的基本概念、理论和方法,是每一个数学工作者所必需具备的基本数学素养之一。
理解和掌握《近世代数》的基本内容、理论和方法,对于学生加深理解数学的基本思想和方法,培养抽象思维能力和逻辑推理能力,提高数学修养都具有重要意义。
课程设置的目的主要为:使学生对抽象代数的思想和方法有较深刻的认识,提高抽象思维、逻辑推理和运算的能力;使学生获得一定的抽象代数的基础知识,受到代数方法的初步训练,为进一步学习代数后继课程打下基础;使学生能应用抽象代数的知识与方法去理解与处理有关的问题,培养与提高应用抽象代数的理论分析问题与解决问题的能力。
二、课程教学内容及各章节学时分配第一章、基本概念(14学时)第一节集合主要知识点:集合的基本概念,集合的运算第二节映射与变换主要知识点:映射、单射、满射、一一映射、映射的合成、变换、一一变换、恒等变换、n次置换第三节代数运算主要知识点:代数运算、二元运算第四节运算律主要知识点:结合律、交换律、左分配律、右分配律、结合律的性质、交换律的性质、分配律的性质第五节同态与同构主要知识点:同态映射、同态满射、同态、同构映射、自同态、自同构第六节等价关系与集合的分类主要知识点:关系、等价关系、集合分类、同余关系、模n的剩余类、等价关系与集合分类的关系第二章、群(20学时)第一节群的定义和初步性质主要知识点:群、群的阶、交换群、有限群、无限群、幺半群、加群、群的简单性质、几种常见的具体的群(非零有理数乘群、正有理数乘群、一般线性群、n次单位根群、四元数群、整数加群等)第二节群中元素的阶主要知识点:元素阶的定义及性质、周期群、无扭群、混合群、交换群中元素阶的性质第三节子群主要知识点:子群、平凡子群、非平凡子群、子群的判定方法、特殊线性群、中心元素、无中心群、中心第四节循环群主要知识点:生成系、生成元、循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点第五节变换群主要知识点:变换群、双射变换群、非双射变换群、对称群、n次对称群、抽象群与变换群之间的关系第六节置换群主要知识点:置换与置换群的定义及性质、Klein四元群、置换阶的判别第七节陪集、指数和Lagrange定理主要知识点:左(右)陪集的定义及性质、群关于子群的左(右)陪集分解、左右陪集之间的关系、子群与陪集之间的映射关系、指数及相关性质、Lagrange定理第三章正规子群和群的同态与同构(16学时)第一节群同态与同构的简单性质主要知识点:群同态、同构的定义及简单性质第二节正规子群和商群主要知识点:正规子群的定义及简单性质、商群及商群的一个应用、与正规子群密切相关的哈密顿群和单群第三节群同态基本定理主要知识点:正规子群、商群以及同态与同构映射之间的联系(含同态基本定理)、循环群的同态象、同态映射下两个群的子群之间的关系第四节群的同构定理主要知识点:第一同构定理、第二同构定理、第三同构定理第五节群的自同构群主要知识点:集合的自同构群、群的自同构群及性质第六节共轭关系与正规化子主要知识点:共轭元素、类等式、正规化子、共轭子集、共轭子群、共轭元素类与共轭子群类之间的关系第四章环与域(22学时)第一节环的定义主要知识点:环的定义及简单性质、交换环、非交换环、有限环、无限环、左(右)单位元、环中元素的运算规则、子环、循环环第二节环的零因子和特征主要知识点:零因子、无零因子环及其性质、整环、特征及其性质第三节除环和域主要知识点:除环、域的定义及性质、子域、域中元素的运算法则第四节环的同态与同构主要知识点:环同态、同构的定义及简单性质、环的自同构第五节模n剩余类环主要知识点:模n剩余类环的定义及性质、循环环的性质第六节理想主要知识点:理想的定义及简单性质、平凡理想、非平凡理想、单环、由元素生成的理想及性质第七节商环与环同态基本定理主要知识点:陪集的乘法、环同态基本定理(环第一同构定理)、环第二同构定理、环第三同构定理第八节素理想和极大理想主要知识点:素理想定义及性质、极大理想定义及性质第九节环与域上的多项式环主要知识点:环上未定元的多项式环及简单判定三、课程教学基本要求近世代数课程的基本要求是:掌握运算律描写代数运算并从它出发推导其它性质的能力:学会把这种能力熟练地运用于中等及高等学校数学课程所涉及的一些最重要的代数系统;深刻领会这些代数系统的本质特征及它们之间的联系;由此来统率中学数学教材中的代数部分。
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近世代数电子教案第一章基本概念在普通代数里,我们计算的对象是数,计算的方法是加、减、乘、除。
数学渐渐进步,我们发现,可以对于若干不是数的事物,用类似普通计算的方法加以计算。
这种例子我们在高等代数里已经看到很多,例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算。
近世代数(抽象代数)的主要内容就是研究所谓代数系统,即带有运算的集合。
近世代数在数学的其它分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。
近二十多年来,它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。
我们在高等代数里已经初步接融到的群、环、域是三个最基本的代数系统。
在本书里我们要对这三个代数系统做略进一步的介绍。
在这一章里,我们先把常要用到的基本概念介绍一下。
这些基本概念中的某一些,例如集合和影射,在高等代数里已经出现过。
但是为了完整起见,我们不得不有所重复。
§1.1 集合●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)集合的概念,元素,空集合,集合与集合之间的包含、交、并、积,子集的概念例题:例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2}A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6}A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6}习题选讲P4 1●教学难点元素与集合的关系(属于)集合与集合的关系(包含)●教学要求掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念●布置作业P4 2●教学辅导精选习题:(侧重概念性、技巧性的基本问题)1.B A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?§1.2 映射●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)映射,象,原象,映射相同的定义及映射的表示方法例 1:A1=A2=....=AN=D=所有实数作成的集合φ:(a1,a2,……,a n)→ a12+a22+……+a n2=φ(a1,a2,…,a n)是一个A 1×A 2×…×A N 到D 的映射例 2 :A 1={东西},A 2={南},D={高低}φ1:(西南)→高=φ1(西南)不是一个A 1×A 2到D 的映射φ2(西南)→高,(东南)→低,则φ2是一个A 1×A 2到D 的映射例 3:A 1=D=所有实数所成的集合φ:a →a 若a ≠1→b 这里b 2=1不是一个A 1到D 的映射例 4:A 1=D=所有实数所成的集合φ:a →a-1不是一个A 1到D 的映射例 5:A=D=所有正整数的集合φ1:a →1=φ1(a )φ2: a →a 0=φ2(a ) 则φ1与φ2是相同的● 教学重点映射的定义及象与原象的定义,映射相同的定义。
● 教学难点映射定义,应用该定义应注意几点,如课本P 6注意五条● 教学要求掌握映射的定义及应注意的几点问题,象,原象的定义理解映射的相同的定义● 布置作业 P 6 1 P 7 2● 教学辅导精选习题:1 A={1,2,3,…,100},找一个A ×A 到A 的映射2 在上题到的映射之下,是不是A 的每一元都是A ×A 的一个元● 课时安排 约1课时● 教学内容 影射的定义、象、逆象定义 假如通过一个法则§1.3 代数运算● 课时安排 约1课时● 教学内容 代数运算的定义,二元运算的定义。
及代数运算的表示方法。
例题:例1:A={所有整数},B={所有不等于零的整数}。
D={所有有理数}0 :(a.b ) ba =ab 是一个A×B 到D 的代数运算,即普通的除法 例2:令V 是数域F 上一个向量空间,那么F 的数与V 的向量空间的乘法是一个F×V 到V 的代数运算例3:A={1},B={2},D={奇,偶}0:(1.2)→奇=1 2 是一个A×B 到D 的代数运算例4 A={1.2},B={1.2},D={奇,偶}0:(1.1)→奇 (2.2)→奇 (1.2)→奇 (2.1)→偶是一个A×B到D的代数运算●教学重点代数运算的应用,对代数运算的理解,既以上四道例题●教学难点代数运算符号与映射合成运算符号的区别●教学要求掌握代数运算的应用●布置作业 P9 2●教学辅导精选习题:A={a,b,c}.规定A的两个不同的代数运算(用运算符表示)§1.4 结合律●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)代数运算的结合律的定义及其推广例题:A={所有整数},代数运算是普通减法这(a-b)-c≠a-(b-c) 除非c=0●教学重点代数运算的结合律一般地(a b) c≠a (b c)●教学难点结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义●教学要求掌握代数运算的一般结合运算,理解几个元素作代数运算的特点.●布置作业 P12 1.2.3●教学辅导精选习题:A={a,b,c} 由表a b ca ab cb b d ac c a b所给的代数运算适不适合结合律?§1.5 交换律●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)代数运算的结合律定理:假如一个集合A的代数运算 同时适合结合律与交换律,那么在a1 a2 … a n里,元的次序可以掉换。
●教学重点对定理的理解与证明●教学要求理解代数运算的结合律●布置作业P14 1.2.….●教学辅导精选习题:A={a,b,c,d} 由表a b c da abc db b d a cc c a b dd d c a b所给的代数运算适合不适合交换律§1.6 分配律●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)代数运算⊗与⊕的第一分配律和第二分配律的定义,以及⊕的结合律与这两种分配律的综合运用例题:假如B与A都是全体实数的集合,⊗和⊕就是普通的乘法和加法,则b⊗ (a1⊕a2)=(b⊗a1)⊕ (b⊗a2)就变为b(a1+a2)=(ba1)+(ba2)●教学难点两种分配律与⊕的结合律的综合应用●教学要求掌握并能应用分配律与结合律的综合应用●布置作业 P16 习题●教学辅导一、掌握两个等式b⊗(a1⊕…⊕a n)=(b⊗a1)⊕…⊕(b⊗a n)(a1⊕…⊕a n)⊗b=(a1⊗b)⊕…⊕(a n⊗b)二、精选习题假定⊗.⊕是A的两个代数运算,并且⊕适合结合律,⊗.⊕适合两个分配律证明:(a1⊗b1)⊕ (a1⊗b2) ⊕ (a2⊗b1) ⊕ (a2⊗b2)=(a1⊗b1)⊕ (a2⊗b1) ⊕ (a1⊗b2) ⊕ (a2⊗b2)§1.7 一一映射、变换● 课时安排 约1课时● 教学内容(《近世代数基础》张禾瑞 著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)满射,,单射,一一映射的定义。
逆映射的定义集一一变换,满射变换,单射变换的意义。
例1: A={1,2,3,4,5} A ={2,4,6,8}则 φ:1→ 2,2 →4,3→6,4→2,5→2。
是一个A 到A 的映射例2:A={1,2,3,…} A ={奇,偶} 则φ:1,3,5,…→奇,2,4,6…→偶 是一个A 到A 的映射例3:A={1,2,3,…}, A ={2,4,6,…},那么φ:1→ 2,2 →4,…是一个A 与A 间的一一映射例4:A={所有实数}。
τ:X →e x 是A 的一个单射变换 例5:A={所有整数}。
τ:a →2a 假如a 是偶数 a →21+a 假如a 是奇数 是A 的一个满射变换例6:A={1,2,3}τ1:1→1,2→2,3→3τ2:1→2,2→3,3→1都是A 的一一变换● 教学难点满射,,单射,一一映射及逆映射的定义● 教学要求掌握满射,,单射,一一映射及逆映射的定义。
理解满射,,单射,一一映射及逆映射的定义● 布置作业P 191,2● 教学辅导精选习题:1 A={所有大于0的实数},A ={所有实数} ,找一个A 与A 的一一映射2 假定φ是A 与A 间的一个一一映射,a 是A 一个元,φ-1[φ(a )]=? φ [φ-1(a )]=?§1.8 同态●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)同态映射的定义,同态满射的定义以及定理1和定理2例1:φ:a→1 (a是A的任一元)是一个A到A的同态映射,φ1是一个A到A的映射,显然对于的任意两个整数a和b来说,有a→1, b→1,a+b→1=1×1例 2:φ2 :a→1 若a是偶数a→-1 若a是奇数φ2是一个A到A的满射的同态映射例 3:φ3 :a→-1(a是A的任一元) 固然是一个A到A的映射,但不是同态映射Th1:假设对于代数运算 和 来说,A与A同态,那么Ⅰ)若 适合结合律, 也适合结合律Ⅱ)若 适合交换律, 也适合交换律。
Th2:假定,⊗,⊕都是集合A的代数运算,⊗,⊕都是集合A的代数运算,并且存在一个A到A的满射φ,使得A与A对于代数运算⊗,⊗来说同态。
对于代数运算⊕,⊕来说也是同态,那么Ⅰ)若⊗,⊕适合第一分配律,⊗,⊕也适合第一分配律Ⅱ)若⊗,⊕适合第一交换律,⊗,⊕也适合第一交换律●教学难点同态映射在比较两个集合时的结果既定理1和定理2●教学重点同态映射,同态映射的定义●教学要求掌握同态映射、同态满射的定义及应用●布置作业P23 1,2●教学辅导§1.9 同构、自同构●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)同构与自同构的定义,以及同构映射在比较集合时的效果例1:A={1,2,3} . A={4,5,6}.1 2 3 4 5 61 3 3 3 4 6 6 62 3 3 3 5 6 6 63 3 3 3 6 6 6 6各是A与A的代数运算 与 的表,那么1→4,2→5,3→6,是一个A与A之间的同构映射例2:A={1,2,3} 代数运算由下表给定:1 2 31 3 3 32 3 3 33 3 3 3那么φ:1→2,2→1,3→3是一个对于 来说的 A的自同构●教学重点同构映射的定义以及在比较集合时的效果●教学要求掌握同构映射与自同构的定义●布置作业 P261,2●教学辅导精选习题A={所有有理数},A的代数运算是普通加法,A={所有≠0的有理数}。
A的代数运算是普通乘法。
证明:对于给定的代数运算来说, A与A间没有同构映射存在§8 同态●课时安排约1课时●教学内容(《近世代数基础》张禾瑞著,《近世代数》徐德余、唐再良等编著)同态映射的定义,同态满射的定义以及定理1和定理2例1:φ:a→1 (a是A的任一元)是一个A到A的同态映射,φ1是一个A到A的映射,显然对于的任意两个整数a和b来说,有a→1, b→1,a+b→1=1×1例 2:φ2 :a→1 若a是偶数a→-1 若a是奇数φ2是一个A到A的满射的同态映射例 3:φ3 :a→-1(a是A的任一元) 固然是一个A到A的映射,但不是同态映射Th1:假设对于代数运算 和 来说,A与A同态,那么Ⅰ)若 适合结合律, 也适合结合律Ⅱ)若 适合交换律, 也适合交换律。