(中考复习)第13讲 反比例函数及其图象

课时跟踪训练13：反比例函数及其图象
A 组 基础达标
一、选择题
1．(2013·曲靖)某地资源总量Q 一定，该地人均资源享有量x －
与人口数n 的函数关系图象是图13－1中的
( B )
图13－1
2．(2012·乌鲁木齐)函数y ＝－k 2＋1x (k 为常数)的图象过点(2，y 1)和(5，y 2)，则y 1与y 2的大小关系是
( C )
A ．y 1＜y 2
B ．y 1＝y 2
C ．y 1＞y 2
D ．与k 的取值有关
3．(2012·绵阳)在同一直角坐标系中，正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝4－2k
x 的图象没有交点，则实数k 的取值范围在数轴上表示为图13－2中的
( C )
图13－2
4．(2012·恩施)已知直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝3
x 交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则x 1y 2 ＋x 2y 1的值为
( A )
A ．6
B ．－9
C ．0
D ．9
解析：∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是双曲线y ＝3
x 上的点，
∴x 1·y 1＝x 2·y 2＝3①，∵直线y ＝kx (k ＞0)与双曲线y ＝3
x 交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2②，∴原式＝－x 1y 1－x 2y 2＝－3－3＝－6.故选A.
二、填空题
5．(2013·温州)已知点P (1，－3)在反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象上，则k 的值是__－3__．
6．(2013·鄂州)已知正比例函数y ＝－4x 与反比例函数y ＝k x 的图象交于A 、B 两点，若点A 的坐标为(x ，4)，则点B 的坐标为__(1，－4)__． 7．(2013·宁夏)如图13－3所示，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y ＝k
x (x <0)的图象经过点C ，则k 的值为__－6__.
解析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴A (－3，
2)，∵点A 在反比例函数y ＝ 的图象上，∴2＝－k
3，解得k ＝－6. 8．(2013·河北)反比例函数y ＝m ＋1
x 的图象如图13－4
所示，以下结论： ① 常数m ＜－1；
② 在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③ 若A (－1，h )，B (2，k )在图象上，则h ＜k ； ④ 若P (x ，y )在图象上，则P ′(－x ，－y )也在图象上． 其中正确的是__④__． 三、解答题
9．(2013·达州)如图13－5所示，已知反比例函数y ＝k 13x 的图象与一次函数y ＝k 2x
＋m 的图象交于A (－1，a )、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，－3两点，连接AO .
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
图13－5
图13－3
图13－4
解：∵y ＝k 13x 的图象过点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，－3，
∴k 1＝3xy ＝3×1
3×(－3)＝－3.
∴反比例函数为y ＝－1x .∴a ＝－1
－1＝1，
∴A (－1，1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－k 2＋m ＝1，13k 2＋m ＝－3， 解得⎩⎨⎧k 2＝－3，
m ＝－2.
∴一次函数为y ＝－3x －2.
(2)设点C 在y 轴上，且与点A 、O 构成等腰三角形，请直接写出点C 的坐标． 解：C (0，2)或(0，－2)或(0，1)或(0，2)． 10．(2013·宜宾)如图13－6所示，直线y ＝x －1与反比例函数y ＝k
x 的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，已知点A 的坐标为(－1，m )． (1)求反比例函数的解析式；
解：将点A 的坐标代入y ＝x －1，可得m ＝－1－1＝－2，将点A (－1，－2)代入反比例函数y ＝k x ， 可得k ＝－1×(－2)＝2， 故反比例函数解析式为：y ＝2
x .
(2)若点P (n ，－1)是反比例函数图象上一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，延长EP 交直线AB 于点F ，求△CEF 的面积．
解：将点P 的纵坐标y ＝－1，代入反比例函数关系式可得：x ＝－2，∴P (－2，－1)．
∴将点F 的横坐标x ＝－2代入直线解析式可得y ＝－3， 故可得EF ＝3，CE ＝OE ＋OC ＝2＋1＝3， 故可得S △CEF ＝12CE ×EF ＝9
2.
图13－6
B 组 能力提升
11．(2012·黄石)如图13－7所示，已知A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，y 1，B (2，y 2)
为反比例函数y ＝1
x 图象上的两点，动点P (x ，0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是
( D )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0
B ．(1，0) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，0 解析：由三角形两边之差小于第三边的原理，知AP ，BP 的差最大为当ABP 成直线时，最大为AB .由y ＝1x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，12，直线AB: y ＝⎝ ⎛
⎭⎪
⎫2－12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－2×⎝
⎛⎭⎪⎫x －12＋2＝－x ＋52它与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，0，此即为P ，选D.
12．(2013·内江)如图13－8所示，反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为
( C )
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ．4
13．(2013·张家界)如图13－9所示，直线x ＝2与反比例函数y ＝2x 和y ＝1
x 的图象分别交于A 、B 两点，若点P 是y
上任意一点，则△P AB 的面积__1.5__．
14．若点A (m ，－2)在反比例函数y ＝4
x 的图象上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是__x <－2或x >0__．
15．(2013·河南)如图13－10所示，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为(2，3)．双曲线y ＝k
x (x >0)的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE .
图13－7
图13－9
图13－10
(1)求k 的值及点E 的坐标
解：如图13－11在矩形OABC 中， ∵B 点坐标为(2，3)， ∴BC 边中点D 的坐标为(1，3)
又∵双曲线y ＝k x 的图象经过点D (1，3)∴3＝k
1，∴k ＝3 ∵E 点在AB 上， ∴E 点的横坐标为2. 又∵y ＝3
x 经过点E ，
∴E 点纵坐标为32，∴E 点坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，32.
(2)若点F 是边OC 上一点，且△FBC ∽△DEB ，求直线FB 的解析式． 解：由(1)得，BD ＝1，BE ＝3
2，BC ＝2， ∵△FBC ∽△DEB ，
∴BD CF ＝BE CB ，即1CF ＝3
22.
∴CF ＝43，∴OF ＝53，即点F 的坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，53.
设直线FB 的解析式为y ＝k 1x ＋b ，而直线FB 经过B (2，3)，F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，53， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k 1＋b ，53＝b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2
3，b ＝53，
∴直线FB 的解析式为y ＝23x ＋5
3.
16．(2013·济宁)如图13－11所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y ＝12
x (x ＞0)图象上任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴
分别交于点A、B.
图13－11
(1)求证：线段AB为⊙P的直径；
证明：∵∠AOB＝90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，∴AB是⊙P的直径．
(2)求△AOB的面积；
解：设点P坐标为(m，n)(m>0，n>0)，
∵点P是反比例函数y＝12
x(x>0)图象上一点，
∴mn＝12.
如图13－12所示，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM＝m，ON＝n.
图13－12
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA＝2OM＝2m，OB＝2ON＝2n，
∴S
△AOB ＝
1
2BO·OA＝
1
2×2n×2m＝2mn＝2×12＝24.
(3)若Q是反比例函数y＝12
x(x＞0)图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，
QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D. 求证：DO·OC＝BO·OA.
证明：若点Q为反比例函数y＝12
x(x>0)图象上异于点P的另一点，参照(2)，
可得：
S △COD ＝S △AOB ＝24，即1
2DO ·CO ＝24， 即12BO ·OA ＝1
2DO ·CO ， ∴DO ·OC ＝BO ·OA .。