国际学院小数学全英课程 代数和定义介绍 algebra
a-alevel数学简介
第三节英国A-level数学课程A-level课程优势及其介绍英国高中课程(Ge neral Certificate of Education Adva need Level )简称A-Level课程，它是英国的普通中等教育证书考试高级水平课程，是英国的全民课程体系，也是英国学生的大学入学考试课程，就像我国的高考一样，A-Level课程证书被几乎所有英语授课的大学作为招收新生的入学标准。
在中国开设A-Level课程旨在为中国学生提供进入国外大学的有效途径，具体目标为：培养在国内初高中成绩优秀的学生进入世界顶尖大学；培养在国内初高中成绩中等的学生进入世界一流大学；培养在国内初高中成绩一般的学生考取适合自己的大学。
这种课程要求学生学习三门或四门主科课程并参加毕业考试，考试合格者即可进入大学就读。
学生的考试成绩及其所选修的A-Level课程在很大程度上决定着能否进入理想的大学和学习所选择的学位课程。
英国的大多数中学开设的A-Level课程科目相当广泛，有文科、商科、经济、语言、数学、理科、计算、法律、媒体、音乐等。
该课程体系的教学大纲、课程设置及其考试分别由英国四个主要考试局Cambridge Intern atio nal Exam in ati ons, 简称CIE, Oxford Cambridge and RSA Exam in ati ons 简称OCR, Assessme nt and Qualificati ons Allia nee 简称AQA和EDEXCE等设计并组织，其权威性得到了国际上的广泛认可。
迄今为止，全球已有5000多个教育机构开设了英国高中课程，每年有数百万学生参加由这些考试局组织的统一考试。
由于该课程的科学性和权威性，新加坡甚至直接将该课程考试作为大学入学的全国统一考试，香港也将该课程引进，作为大学入学的测试标准。
A- Level课程一般在中国开设数学、进阶数学(或称高等数学)、物理、计算机学、会计学、商业学、经济学等课程供学生选择。
线性代数基础知识
+ + − − − D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a 33 − a13a 22a 31 .
(2)对角线法则 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 ) = −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24
= −14.
矩阵是数学中的一个重 要的基本概念，是代数学的 一个主要研究对象，也是数 学研究和应用的一个重要工 具。“矩阵”这个词是由西 尔维斯特（James Joseph Sylvester, 1814 - 1897） 首先使用的，他是为了将数 字的矩形阵列区别于行列式 而发明了这个术语。矩阵这 个词，它来源于拉丁语，代 表一排数。
Θ AB = BA = E ,
∴ B是A的一个逆矩阵 .
例 解 则
2 1 , 求A的逆阵 . 设 A= − 1 0 a b B= 是 A 的逆矩阵, 设 利用待定系数法 c d 2 1 a b 1 0 AB = = − 1 0 c d 0 1 2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
即把两个矩阵的对应元素相加。 只有当两个矩阵同行数、同列数时，才能相加。
3. 矩阵的数乘运算
求每人每科两次考试的平均成绩
1 2 × 173 173 163 1 1 1 C = 182 167 = × 182 2 2 2 151 129 1 × 151 2 86.5 81.5 = 91.0 83.5 75.5 64.5 1 × 163 2 1 × 167 2 1 × 129 2
线性代数讲义
线性代数（Linear Algebra ）引 言（Introduction ）1. 数学 数学（數學、mathematics ）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等．2. 代数 代数(algebra)分为古典代数和近世代数． 古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如： 一元一次方程 )0(≠=a b ax 的解为b a x 1-=；一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的解为)2/()4(22,1a ac b b x -±-=； 一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；但是，一元n 次方程当n ≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）；根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini 给出“证明”（群论思想）；Abel 进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois 引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra ）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie ）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等． 3. 线性代数 如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二．”解法1 设雉、兔分别为x ，y ，则由⎩⎨⎧=+=+944235y x y x 解得⎩⎨⎧==1223y x .解法2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9435足头⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−122312354735兔雉兔头半足头再作差作差半其足 . 解法 3 请兔子全“起立”后，雉兔总“足”数为70235＝⨯，从而得兔“手”数为94－70＝24，于是兔子数为24÷2＝12，雉数为35－12＝23 .注：后两种解法心算即可．例2 某厂用四种原料生产五种产品，各产品的原料成份及各原料的用量为表1所示，求每种产品的产量（千克）．表1 各产品的原料成份（％）及各原料的用量（千克）解 设A,B,C,D,E 五种产品的产量分别为X i （i ＝1，2，3，4，5），则问题归结为求解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++6001.06.01.02.01.07807.01.03.01.02.02501.02.02.06.04.01001.01.04.01.03.054321543215432154321X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X这是一个含五个未知量、四个方程的方程组．例3 某商店经营四类商品，四个季度的销售额及利润额如表2所示．求每类商品的年平均利润率（％）． 表2 各类商品四个季度的销售额及利润额（单位：元）解 设四类商品A,B,C,D 的利润率分别为X i （i ＝1，2，3，4），则问题归结为解下面含四个未知量、四个方程的方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++955005002503009075040030016085800500100200806003002002504321432143214321X X X X X X X X X X X X X X X X .现实中的很多问题，往往归结为求解含多个未知量（数）的一次方程组，称为线性方程组，其一般形式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 .此类线性方程组可能有解，也可能无解；有解时可能只有一组解，也可能有多组甚至无穷多组解，如⑴⎩⎨⎧=-=+226132121x x x x 有唯一解⎩⎨⎧==03/121x x ; ⑵⎩⎨⎧=-=-226132121x x x x 有无穷多解⎩⎨⎧-==1321c x cx （其中c 为任意常数） ; ⑶⎩⎨⎧=-=-426132121x x x x 无解 .那么，如何判定一个给定的线性方程组有没有解？如果有解，究竟有多少组解（一组、多组、无穷多组）？这些解又怎样求（表示）出来？如果无解，又怎么办？因为无解的方程组如果是某一有解的实际问题的数学抽象，此时又如何（用这一线性方程组来）描述它所表示的实际问题的解（“广义解”）？这就要求我们研究解决线性方程组有解的判定条件、解法、解的结构与解的表示以及“广义解”等问题，这些都是线性代数所要解决的问题．线性代数( Linear algebra )是从线性方程组、行列式和矩阵等理论中产生出来的，是代数各分支中应用最广泛的分支．在历史上首先应归功于英国的J.J.Sylvester 、A.Cayley 、美国的Peirce 父子和L.E.Dickson 等人的工作．主要内容：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、相似矩阵及二次型等；主要方法：初等变换法、降阶法、分块法、标准形法、特征值法等． 下面我们将分别介绍．当然我们这里所介绍的只是线性代数中最基本的内容，还有很多内容(如矩阵论或矩阵分析等)要等到我们进一步深造时再学；而且线性代数本身也是在不断发展的．参 考 书[1] 线性代数(第三版、第四版)，同济大学数学教研室编，高等教育出版社． [2] 线性代数（居余马等编）、线性代数与解析几何（俞正光等编）、线性代数辅导（胡金徳等编），清华大学出版社． [3] 线性代数（陈龙玄等编）、线性代数（李炯生等编），中国科技大学出版社． [4] 线性代数解题方法技巧归纳，毛纲源编，华中理工大学出版社． [5] 线性代数方法导引，屠伯埙编，复旦大学出版社． [6] Linear Algebra(UTM)，By L.Smith ，Springer-V erlag ．． ． ．第一讲 行列式 ( Determinant )教学目的与要求：了解n 阶行列式的概念，掌握行列式的性质和二、三阶行列式的计算方法， 会应用行列式的性质简化n 阶行列式的计算，会用Cramer 法则解线性方程组．重点：n 阶行列式的概念、性质与计算§1 二、三阶行列式 （复习与总结）一、2阶行列例1 求下列二元一次方程组的解：(1) ⎩⎨⎧=+=+②①9442352121x x x x ；（2）⎩⎨⎧=+=+②① 22221211212111b x a x a b x a x a ……(1)（其中)021122211≠-=a a a a D ．解 (1) )1(4-⨯+⨯②①得,2346211=⇒=x x1)2(⨯+-⨯②①得1224222=⇒=x x ．(2) )(1222a a -⨯+⨯②①得121222111)(x b a a b D Dx ⇒-===D 1/D ，1121)(a a ⨯+-⨯②①得=⇒-==221121122)(x a b b a D Dx D 2/D ．为使⑴的解表示简单，Leibniz 于18世纪初引入2阶行列式的定义如下：定义 设有4个元素（数）排成的两行（row ）、两列（column ）的22211211a a a a ，称为一个2阶行列式，其值为a 11a 22－a 12a 21，即2112221122211211a a a a a a a a -=．如例1（2）中的D=22211211a a a a 称为方程组⑴的系数行列式，而2221211a b a b D =，2211112b a b a D =；（1）中的24942351,46494135,2421121======D D D ． 例２ 计算2315－=D ．解 1331252315＝）（－＝－⨯-⨯=D ． 例３设132λλ=D ，问λ为何值时，（1）D = 0，（2）D ≠0？ 解 因D =λ2－3λ＝λ（λ－3），故（1）当λ＝0或3时，D = 0；（2）当λ≠0，3时，D ≠0．例4 设1221--=k k D ，则D ≠0的充要条件是（）答：k ≠－1，3．(因D =(k －1)2－4＝（k ＋1）（k －3），故D ≠0的充要条件是k ≠－1，3) 例5 如果1222112110==a a a a D ，则下列（ ）是⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解．(A)22111122221211b a b a x a b a b x ==，; (B)22111122221211b a b a x a b a b x =-=，;(C)22111122221211b a b a x a b a b x ----=----=，； (D)22111122221211b a b a x a b a b x ---=-----=，．答：（ ）(因原方程组即⎩⎨⎧-=-+-=-+22221211212111)()(b x a x a b x a x a 的系数行列式1022211211-=-=--=D a a a a D ，2221212221211a b a b a b a b D =----=，2211112211112b a b a b a b a D -=--=)二、3阶行列式例６ 求解下列三元一次方程组：（１） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (2)（其中)0322311332112312213322113312312332211≠---++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ；（２） ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++=-③②① 232131232132131x x x x x x x x .解（1）记3332232211a a a a A =，3331232112a a a a A -=，3231222113a a a a A =, 3332131221a a a a A -=，3331131122a a a a A =,3231121123a a a a A -=,2322131231a a a a A =,2321131132a a a a A -=,2221121133a a a a A =，则： ①×A 11＋②×A 21＋③×A 31得D X 1=D 1（=b 1A 11+b 2A 21+b 3A 31）, X 1=D 1/D ， ①×A 12＋②×A 22＋③×A 32得D X 2=D 2（=b 1A 12+b 2A 22+b 3A 32）, X 2=D 2 /D ， ①×A 13＋②×A 23＋③×A 33得D X 3=D 3（=b 1A 13+b 2A 23+b 3A 33）, x 3=D 3/D ；(2) D=1+0-6-4+0-9=-18，23120A 61320A 81331A 312111＝－＝，＝－＝，＝－＝--, ，＝－－＝，＝－－－＝，＝－－＝53121A 31221A 71231A 322212--11101A 33201A 53211A 332313＝＝，＝－－＝，＝－＝-,①×A 11＋②×A 21＋③×A 31得 －18x 1＝－18 ⇒x 1＝1， ①×A 12＋②×A 22＋③×A 32得 －18x 2＝0 ⇒x 2＝0， ①×A 13＋②×A 23＋③×A 33得 －18x 3＝0 ⇒x 3＝0．定义 设有9个元素（数）排成的3行、3列的333231232221131211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式， 其值为322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++．如例6中的D 即称为方程组的系数行列式．2、3阶行列式的值（代数和）可用沙路法（或对角线法则）来记忆：211222112112221122211211a a a a a a a a a a a a -=+=,322311332112312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++==322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++α;或在图333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a 上操作． 例7 计算 61504321-=D ． 解58051642)1(03043)1(5260105164210343152601-=⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅-⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅=-+-++-+=D例8 （1）010000=-=a bb aD 的充要条件是（ ）答：022=+b a ．（因为22b a D +=）（2）0114011>=a a D 的充要条件是（），其中R a ∈．答：1012>>-a a 或．（因为12-=a D ） （3）01110212=-=k kD 的充要条件是（）（A ）k ＝2； （B ）k ＝－2； （C ）k ＝0； （D ）k ＝3．答：（B ）或（D ）．（因为)3)(2(64222-+=--=---=k k k k k k D ）例９ 计算下列行列式的值（1）749651823=D ；（2）768452913'=D解 （1）201721436032108105749651823-=---++==D ；（2）201147236010832105768452913'-=---++==D ． 三、3阶行列式的性质 (由定义易验证，对2阶也成立且验证更易)性质1 D T =D . 其中D T 为将D 的行与列互换后所得的行列式，即如果333231232221131211a a a a a a a a a D =，则332313322212312111a a a a a a a a a D T =； D T 有时也记为D ˊ，称为行列式D 的转置行列式．此性质说明在（二、三阶）行列式中行、列等位．因此凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立．性质2 交换两行(或列)使行列式仅变号，即有333231232221131211333231131211232221a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=等．对换第i 行（列）与第j 行（列）记为（r i ，r j ）（（c i ，c j ））．推论 两行（或列）相同的行列式值为0，即有0232221131211131211=a a a a a a a a a 等． 性质3 行列式中某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，即有333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a =等． 推论1 用数k 乘以某行列式相当于用k 乘以该行列的某一行（或列）． 以k 数乘以第i 行（列）记为)(i ic k r k ⋅⋅．推论2 某一行（或列）全为0的行列式的值为0．推论3 有两行（或列）成比例的行列式的值为0．如0333231131211131211333231131211131211==a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 性质4 若行列式的某一行（或列）的每个元素都是两个元素之和，则此行列式可按此行（或列）分拆成两个行列式之和．如=+++=333231232322222121131211a a a cbc b c b a a a D D 1＋D 2，其中3332312322211312111a a a b b b a a a D =，3332312322211312112a a a c c c a a a D =． 性质5 将某一行（或列）各元素的同一数倍加于另一行（或列）相应的元素上去，不改变行列式的值，即有333231232221131211333231132312221121131211a a a a a a a a a a a a la a la a la a a a a =+++等． 将第j 行（列）的l 倍加到第i 行（列）记为 r i ＋⋅l r j （ c i ＋⋅l c j ）．注：性质2、3和5中的变换：对换两行（或列）、以非零常数乘某行（或列）和把某行（或列）的常数倍加到另一行（或列）上去，分别称为第一、第二和第三类初等行（或列）变换（详见第二讲§5）．性质6（按行（或列）展开定理） （1）∑====31333231232221131211)3,2,1(j ij ij i A a a a a a a a a a a D ，即333332323131232322222121131312121111A a A a A a A a A a A a A a A a A a D ++=++=++=；（2）∑==31i ij ijA aD （j=1,2,3）, 即313121211111A a A a A a D ++=333323231313323222221212A a A a A a A a A a A a ++=++=（其中A ij 如例6所示：ij ji ij M A +-=)1(，M ij 是将Ｄ中a ij 所在的第i 行和第j 列全划掉余下的二阶行列式，称为a ij 在D 中的余子式，而A ij 称为a ij 在D 中的代数余子式．） 例10 计算下列行列式的值（1）151413---=kk D ；（2）12121-=k k kD ． 解（1）)3)(1(1430114004315140132321++=-+-=-+++---=k k k k k k r r r r k k D ；；（2）)2(222020021121211312k kk k kkr r r r kk kD --=--=-----=；．性质7（代数余子式的性质） （1）D A a ik j kj ij δ=∑=31（其中⎩⎨⎧≠=ki 0ki 1，＝，δik 为Kronecker 记号．当i ＝k 时即为性质6（1）；当i ≠k ，如i ＝1，k ＝2时，0A 231322122111=+A a A a a ＋等）．（2）D A ajl i il ijδ=∑=31（当j ＝l 时即为性质6（2）；当j ≠l , 如j ＝1，l ＝2时， 0A 323122211211=+A a A a a ＋等）．例11 求132311201--=D 的值，并验证性质7．解 D 的23120A 61320A 81331A 312111＝－＝，＝－＝，＝－＝-- ，＝－－＝，＝－－－＝，＝－－＝53121A 31221A 71231A 322212--,11101A 33201A 53211A 332313＝＝，＝－－＝，＝－＝-(1) 按第1列展开得=⋅-⋅+⋅=312111211A A A D 1×(-8)+1×(-6)-2×2=-18；(2) 023)6(1)8(0310312111=⋅+-⋅+-⋅=⋅+⋅+⋅A A A ；其余类似．四、Cramer 法则1．一般情形 由例1和例6即得定理（Cramer 法则） （1）二元一次线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+②① 22221211212111b x a x a b x a x a …（1）当其系数行列式D=22211211a a a a ≠0时有唯一解D D x j j =（j ＝1，2）； （2）三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a …（2）当其系数行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a ≠0时有唯一解 D D x j j =（j ＝1，2，3）． 例12(例6(2)的解法2 ) 18132311201＝－--=D ，D 1＝D ＝－18， 01223112112=---=D ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒--0x 0x 1x 023211111D 3322113＝＝＝＝＝＝＝＝D D D D D D ．注：两种解法本质是一样的，只不过解法2是直接用Cramer 法则的结果（公式），而原解法是把消元（或Cramer 法则的证明）过程再写一遍．2．齐次情形推论 奇次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2ˊ）当其系数行列式D ≠0时只有零解（ｘ1＝ｘ2＝ｘ3＝0）．以后将证明此推论的逆也成立，于是有命题（1）奇次线性方程组（2ˊ）只有零解⇔D ≠0；（2）奇次线性方程组（2ˊ）有非零解⇔D ＝0．例13 λ取何值时，奇次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+=++00023321321x x x x x x x λλλ，有非零解？解 因为)1(0011212-=-=λλλλλD ，故当λ＝0或±1时，该方程组有非零解．例14 如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+05403z y kx o z y z ky x 有非零解，则（）．（A ） k ＝0；（B ）k ＝1：（C ）k ＝－1；（D ）k ＝－3．答：（C ，D ）．(由例10（1）)3)(1(1514013++=---=k k kk D 即得) ．例15 当（）时，奇次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 仅有零解；（A ） k ＝0；（B ）k ＝－1；（C ）k ＝2；（D ）k ＝－2．答：（A ，B ，D ）．(由例10（2）)2(2121210k kk kD --=-=即得) ．§2 全排列及其逆序列问题：行列式可否归纳定义 212112221111222112112)1()1(a a a a a a a a D ⋅-⋅+⋅-⋅==++，当n ≥2时，n n nn ijn A a A a A a a D 1112121111+++==⨯ ，其中j j j M A 111)1(+-=，M 1j 为a 1j 在D n 中的余子式（n －1阶行列式）？一、全排列例1 用1、2、3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？请写出．解 共6个，分别为123，132，213，231，312，321．把n 个不同的元素（不妨设为1，2，…，n ）排成一列，叫做这n 个元素的一个（n 级）全排列，n 个不同元素的全排列的种数为P n ＝n!，如P 3＝3!＝6，P 4＝4!＝24，P 5＝5!=120等．记S n 为1，2，…，n 的所有n 级排列所组成的集合，即S n ＝{（j 1j 2…j n ）| (j 1j 2…j n )为n 级排列}，则|S n |= n!．二、逆序与逆序数1. 标准排列：对n 个不同的元素，先规定一个标准次序（如对1，2，…，n ，规定从小到大的次序为标准次序），从而得到一个标准排列．对1，2，…，n ，今后规定其标准排列为自然排列1 2 … (n －1) n ．2.逆序与逆序数 在一个n 级排列中，当两个元素a 和b 的先后次序与标准顺序不同时，则说a 和b 形成一个逆序；一个排列中所有逆序的总数叫该排列的逆序数．排列p 1p 2…p n 的逆序数记为 t （p 1p 2…p n ）．逆序数为奇（或偶）数的排列称为奇（或偶）排列． 例2 （1）2个2级排列12和21，一个为奇排列（21），一个为偶排列（12）．（2）3级排列的逆序数表（6个3级排列中奇、偶排列各3个）三、逆序数的求法不妨设n 个元素为1，2，…，n ，其标准排列为自然排列1 2 … n ，设p 1p 2…p n 为1，2，…，n 的一个排列，记t i =t(p i )为排列p 1p 2…p n 中p i 左（前）面的比p i 大的元素的个数，s i ＝s （p i ）为排列p 1p 2…p n 中p i 右（后）面的比p i 小的元素的个数，简记t(p 1p 2…p n )为t ，则(1)t(1)t(2) t(n)t(n) t(2)t(1)t t t t n 21+++=+++=+++= ；(2)s(1)s(2) s(n)s(n) s(2)s(1)s s s n 21+++=+++=+++= t ． 注：显然0(1)t(n)t 1====s s n ， t(1 2 … n)=0．例３ 求（1）t=t(32514)；（2）t(7632451)；（3）t(2 3 … n 1)；（4）t(n (n-1) … 2 1) ． 解 （1）因t 1=t(3)=0，t 2=t(2)=1，t 3=t(5)=0，t 4=t(1)=3，t 5=t(4)=1⇒ t =5（奇）， 或因s 1=s(3)=2，s 2=s(2)=1，s 3=s(5)=2，s 4=s(1)=0，s 5=s(4)=0⇒ t =5． （2）t(7632451)=0+1+2+3+2+2+6=16，或=6+5+2+1+1+1+0=16（偶）． （3）t(2 3 … n 1)=0+0+…+0+(n-1)= n-1，或=1+1+…+1+0= n-1．（4）t(n … 2 1)=0+1+…+(n-2)+(n-1)=2)1(-n n ，或=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n ．如62341) 2 3 t(4=⋅=，102451) 2 3 4 t(5=⋅=，152561) 2 3 4 5 t(6=⋅=，… 再看6个3级排列的逆序数：t(123)=0，t(132)=0+0+1=1，或=0+1+0=1；t(213)=0+1+0=1，或=1+0+0=1；t(231)=0+0+2=2，或=1+1+0=2；t(312)=0+1+1=2，或=2+0+0=2；t(321)=0+1+2=3，或=2+1+0=3．四、对换及其性质１．对换：在一个排列中，互换某两个元素（如i ，j ）的位置，而其余的元素不动，叫做对该排列的一次对换，记为（i ，j ）；互换相邻两个元素的对换叫做相邻对换．例４ （321）0)123(,3)321(),123(3,1(==−−→−t t ）；（7632451）−−→−)1,6(（7132456），t(7632451)=16（偶）， t(7132456)=0+1+1+2+1+1+1=7（奇）．２．性质性质1 一次对换改变排列的奇偶性．证明（1）相邻对换改变排列的奇偶性：设（…a b …）−−→−),(b a （…b a …）因对换（a ，b ）只改变了a 和b 之间的逆序：当a<b 时，经对换后逆序数增加1；当a>b 时，经对换后逆序数减少1．而a 或b 与其他元素，以及其他元素之间的逆序数经对换后都没有改变，故相邻对换改变排列的奇偶性．（2）任一对换可由奇数次相邻对换而得到，从而改变奇偶性：（…ac 1c 2…c s b …）−−→−),(1c a(…c 1ac 2…c s b …) −−→−−−→−),(),(2sc a c a （…c 1c 2…c s ab …）−−→−),(b a （…c 1c 2…c s ba …）−−→−),(b c s (…c 1c 2…bc s a …)−−→−−→−),(2b c ( …c 1bc 2…c s a …)−−→−),(1b c (bc 1c 2…c s a …)，共2s+1次．例４（1）对换（7632451）−−→−)1,6(（7132456）可由9次相邻对换得到，相应的逆序变化为：（16=）t(7632451)= t(7362451)+1= t(7326451)+2= t(7324651)+3= t(7324561)+４ = t(7324516)+5=( t(7324156)+6= t(7321456)+7= t(7312456)+8= ) t(7132456)+9 (=7+9)． （2）(7=) t(7132456)= t(1324567)+6= t(1234567)+7 (=0+7)．（3）(16=) t(7632451)= t(6324517)+6= t(3245167)+11= t(3241567)+12= t(3214567)+13=t(2134567)+15=t(1234567)+16(=0+16)．性质2 （1）任一排列（p 1p 2…p n ）总可经有限次（相邻）对换成标准排列，且所作对换的次数k 与该排列有相同的奇偶性，即k 与t (p 1p 2…p n )奇偶性相同；（2）任一排列（p 1p 2…p n ）都可由标准排列1 2 … n 经有限次（相邻）对换而得到，且所作对换的次数k 与该排列有相同的奇偶性，即k 与t (p 1p 2…p n )奇偶性相同．（3）S n 中的任意两个n 级排列均可经有限次（相邻）对换而互相得到；且若这两个排列的奇偶性相（或不）同，则所作对换的次数为偶（或奇）数．证（1）对排列的阶n 归纳．当n=1时显然成立．假设结论对n －1已经成立，则对n ： ①若排列为p 1 … p n-1 n ，由归纳假设n －1级排列p 1 … p n-1可经有限次对换成为标准排列1 2 … （n －1），且所作对换的次数与t(p 1…p n-1)有相同的奇偶性，从而p 1…p n-1 n 经上述对换即成为标准排列1 2 …(n －1) n ，且所作对换的次数的次数与t(p 1…p n-1 n)＝t(p 1…p n-1)有相同的奇偶性．②若排列为（p 1…p i-1 n p i+1…p n ），则可经n －i 次相邻对换成为（p 1…p i-1p i+1…p n n ），且t （p 1…p i-1 n p i+1…p n ）=t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）＋（n －i ），而由①得p 1…p i-1p i+1…p n n 可经有限次对换成为1 2 …(n －1) n ，且所作对换的次数m 与t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）有相同的奇偶性，于是p 1…p i-1 n p i+1…p n 可经m ＋n －i 次对换成为1 2 … n ，且所作对换的次数k =m+n-i 的奇偶性与t （p 1…p i-1 n p i+1…p n ）即t （p 1…p i-1p i+1…p n n ）+n －i 的奇偶性相同．图示如下：（p 1…p i-1 n p i+1…p n ）−−→−-次i n （p 1…p i-1p i+1…p n n ）−−→−次m （1 2 …(n －1) n ）； ③所作对换次数与原排列有相同的奇偶性还可如下证明：设排列p 1…p n 经k 次对换成为标准排列，则t(p 1…p n )经k 次改变奇偶性后成为0 (=t(1 2 … n))，从而k 与t(p 1…p n )奇偶性相同（对k 为奇、偶数分别说明）．（2）将（1）中的变（对）换全倒过来便得．（3）由（1）和（2）：−→−次k n p p p )(21 （1 2 … n ）)21h n q q q （次−→−即得．性质3 n ！个n 级排列中奇偶排列各为 ）2(2!≥n n ．证 因映射ϕ：{n 级奇排列}−−→−），（21{n 级偶排列}为一一对应，即得． 如 {(21)}−−→−），（21{(12)} ； {(132), (213), (321) }−−→−），（21{(231), (123), (312)} .§3 n 阶行列式的概念一、 二、三阶行列式的结构规律１. 二、三阶行列式定义式的结构（1）2112221122211211a a a a a a a a -=中的两项可统一表示为212121)()1(j j j j t a a -，其中（j 1j 2）取遍所有（2个）2级排列（12），（21）．（2）33⨯ija ＝322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++α中的6项可统一表示为321321321)()1(j j j j j j t a a a -，（j 1j 2j 3）取遍所有（6个）3级排列（123），（231），（312），（321），（213），（132）．２. 二、三阶行列式的共同规律设n ＝2或3，则：(1) n 阶行列式为由n 2个数得到一个数的函数；(2) n 阶行列式为n ！项的代数和，每项为n 个元素的乘积，而这n 个元素是取自n 阶行列式中的不同的行、不同的列；(3) n 阶行列式中每项正负号的确定：当项中各乘积因子的第一个（行）下标为标准排列时，其第二个（列）下标为奇（偶）排列的项带负（正）号． 3. 二、三阶行列式的简单统一表达式（1）∑∈-=221221)(211)(22211211)1(s j j j j j j t a a a a a a ，其中)}1,2(),2,1{(2=S ；（2）∑∈-=332132321)(3211)(333231232221131211)1(s j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a ，S 3＝{（j 1j 2j 3）| (j 1j 2j 3)为3级排列}={（123），（231），（312），（321），（213），（132）}．二、n 阶行列式的定义1．定义 设有n 2个元素排成的n 行、n 列的nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211称为一个n 阶行列式，其值为∑∈-nn n n s j j j nj j j j j j t a a a )(211)(21221)1( ．上述n 阶行列式可简记为nn ij a ⨯或det n (ij a )． 注：⑴当n ＝2，3时，与前面定义一致；当n ＝1时，1111a a =（注意别与绝对值混淆）． ⑵当n ≥4时，“沙路法”不再成立（或不再那样简单），见例1(4)．例１ （1）n 21n21λλλλ０λ０λ=（（主）对角线（形）行列式），n nn a a a a ＝⨯0，11101＝， |0|n ×n = 0； （2）nn nnn n a a a a a a a a a 221121222111＝（下三角形行列式）；（3）nn nn nna a a a a a a a a2211222112110=上三角形行列式）(；（4）)1(0112211111111212)1(112121n n nn n n n n n nn nn n n n na a a a a a a a a a a a a a a------=-=，n n n λλλλλλ212)1(21)1(0--=ｎ（次对角形行列式）；如,abcd 0dcb a 0= ,abcde 0ed cb a= ;abcdef 0fed c b a 0-=（5）abcd abcd abcd d c b a t -=-=-=3)3142()1()1(000000000000； （6）111111)1(11001001011010)4123(-=-=⋅⋅⋅-=３）（t （因第3行和第1列均只有一个非零元素，因此非零项必取含21a 32a 的，从而另两个乘积因子11j a 和44j a 只能分别取14a 和43a 才能使该项不为0，于是得结果）； （7）∑∑∈∈-⋅=-=34324324324432432432)(432)(11S )j j (1j 43211)1(44434241443332312423222111)1()1(000S j j j j j j j j j t j j j j j j t a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a })243,324,432,423,342,234{}3234{(344434234333234232211）（）（）（）（）（）（＝级排列的=⋅=S a a a a a a a a a a ；类似有nnn n nnn n na a a a a a a a a a a a2222112122221110⋅=，特别地，00002122221=nnn n na a a a a a，一般地，nnnr nr r r rrr r nnr n nrn n r r r r r r rrr r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a11111111111111111111000++++++++++⋅=， 简记为C A CB O A ⋅=;（8）当n ≥2时，n n n n n nn n a a a a a a a a a a 12212)2)(1(1221)1(0000000000000-------=．（9）当n ≥2时，02!2!)1(1111111111)()(2121=-=-==∑⨯n n n n j j j j j j t nn ． （10）nn ijj n nj j j j j j j j t nn ji j i a b a b a b a b ba n n n ⨯---⨯-=-=≠∑)())(()1()0(2211212211)( ．2．等价定义定理1 n i i i i i i i i i t nn ijn n n a a a a D 21)()(212121)1(∑-==⨯（记为D 1）．证 ⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤)n 12)12()(2121i i j j 212121i j j i 21n nj j j n n i i i j j j a a a n i i i a a a nn 列标（）行标（列标行标）＝，＝经若干次对换（ 因n n n nj j j j j j j j j t nn ija a a a 21212121)()()1(D ∑-=⨯＝由对换的性质2知对D 中任一项n n nj j j j j j t a a a 212121)()1(-总有且仅有D 1中的某一项n i i i j j j t n n a a a 21)(2121)1(-与之对应并相等；反之，对D 1中任一项n i i i i i i t n n a a a 21)(2121)1(-，也总有且仅有D 中的某一项n n nj j j j j j t a a a 212121)()1(-与之对应并相等，如Ｄ4中))1(()1())1(()1(42342113334134221)2413(42342113342342113)3142(a a a a a a a a a a a a a a a a t t -=-=-=-；于是D 与D 1中的项可以一一对应并相等，从而D ＝D 1． 定理2 n n j i j i j i J t I t nn ija a a a 2211)()()1(∑+⨯-=，其中t(I)=t(i 1i 2…i n )，t(J)=t(j 1j 2…j n )，∑为对所有n 级排列(i 1i 2…i n )求和（此时(j 1j 2…j n )为某一固定的n 级排列），或为对所有n 级排列(j 1j 2…j n )求和（此时(i 1i 2…i n )为某一固定的n 级排列）．证 用对换的性质2（3），与定理1类似证明即可．再看例1（3），a b c da b c d a c b d a b c d b d a c d c b a t t t -=-=-=-=-=++41)3412()1324()2413()1()1(,)1(000000000000又．注：此例中i 1＝2，i 4＝4，i 3＝1，i 4＝3；j 1＝3，j 2＝1，j 3＝4，j 4＝2；j i1＝j 2＝1，j i2＝j 4＝2，j i3＝j 1＝3，j i4＝j 3＝4；i j1＝i 3＝1，i j2＝i 1＝2，i j3＝i 4＝3，i j4＝i 2＝4．§4 行列式的性质一、性质设nnn n n na a a a a a a a a D212222111211=，记D T（或D ˊ）nnn nn n a a a a a a a a a212221212111=，称为D 的转置（行列式），由§3定理1立即得：性质1 D T＝D , 即任一行列式与其转置的值相等．此性质说明：行列的行与列具有同等的地位，凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立．性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式仅变号．证 设k ia a a a D in i kn k111=，欲证D 1＝－D ，只需证D 1和D 的定义式中的一般项互为相反数即可．事实上，D 1中的一般项为n k i 1n k i 1nj ij kj j 1)j j j j (t a a a a )1( -n i k 1n i k 1nj kj j i j 1)j j j j (t a a a a )1( --=恰为D 中一般项的相反数；故得证．推论 两行（或列）完全相同得行列式值为零．性质3 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，kD a a ka ka a a nnn in i n=11111． 证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可．推论1 行列式的某一行（或列）中所有元素都乘同一数k ，等于用k 乘此行列式． 推论2 某行（或列）全为零的行列式的值为零． 推论3 两行（或列）成比例的行列式的值为零．性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两项之和，则该行列式可按此行（或列）分拆成两个行列式之和，即nnn in i nnnn in i n nnn in in i i n a a c c a a a a b b a a a a c b c b a a1111111111111111+=++． 证明与性质2的证明类似，考虑一般项即可．性质5 将行列式某一（如第j ）行（或列）每个元素的常数l 倍加到另一（如第i ）行（或列）相应的元素上去，其值不去，即nn ijnnn jn in j i na D a a la a la a a a ⨯==++(111111)．证 由性质4，左边的行列式可分拆成两个行列式之和，一个为D ，而另一个为0111111=nnn jn j jn j na a a a la la a a（因其第i 行与第j 行成比例）；从而得证．二、行列式的计算—化为三角形行列式定理1 任何一个行列式均可利用性质2和5化为上（或下）三角形行列式，从而计算其值．证 （1）若a ij ＝0（i ，j ＝1，2，…，n ），则00==⨯n n D ；（2）若0≠∃ij a ，则可用性质2（先第1行与第i 行互换，再第1列与第j 列互换）将a ij 调到左上角；（3）若011≠a ，则可用性质5将第1列（或行）的其余n －1个元素化为零（“打洞”）； （4）对右下角的n －1阶行列式重复（1）～（3）的步骤，如此下去（归纳），即可将D 化为上（或下）三角形行列式．以下以（r i ，r j ）表示互换i ，j 行；r i ＋hr j 表示将第j 行的h 倍加到i 行． 例1（1）4130211021102011)r 2r (),r r (0112012121102011)r ,r (0112012120112110141321-------+-----------;4)2()2()1(12000420021102011r r 2200420021102011)r 3r (),r r (342423=-⋅-⋅-⋅-=-------------++（2）)r ,r (72160112064802131)r 5r (),r r (3315112043512131)c ,c (335111024315211332141221------+--------------)r 4r (108003200112021315)r ,r (1510001080011202131)r 8r (),r 4r (7216064801120213134432423-----⋅-----+-----402221520003200112021315=⋅⋅⋅⋅=---⋅．（3）48222162002000020111164,3,2i ),r r (31111311113111116)r r r (r 31111311113111131i 4321=⋅⋅⋅⋅=⋅=-⋅+++ ; （4）xaa aa a x a a a a a x a a a a a x a a n x n i r r xaa aaa x a a a a a x a a a a a x a a a a a x i11111])1([,,2),(1⋅-+=+11)(])1([000000000000011111])1([,,2),(--⋅-+=----⋅-+=-n i a x a n x ax ax a x ax a n x n i ar r;（5）cb a b a ac b a b a a c b a b a a dc b a i r rd c b a c b a b a a d c b a c b a b a a d c b a c b a b a a d c b a i i +++++++++=-+++++++++++++++++++3630232001,2,3),(361036323423214341030020002,3),(a aa aa r rb a a b a a a a i r r i i =*-++*=-+．例2 证明奇数（n ）阶反对称行列式（a ji ＝－a ij ）的值为零，即000021212112=---n nnna a a a a a ．证 0)1(=⇒-=⋅-==D D D D D n T ．例3 解方程 (a 1≠0)113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a xa a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n n n n n n n n n n解 将左边行列式的第1行的相反数分别加到第2～n 行，得左边x)-x)(-(x)-x)(-(00000000000001-n 2-n 21112211321a a a a a xa xa x a x a a a a a a n n n n=----=---故原方程的解为)1,,2,1(-==n i a x i i ，共n －1个解．三、按行、列展开定理1．代数余子式 设nn ji a D ⨯=，把D 中元素a ij 所在的第i 行和第j 行划去后，余下的n －1阶行列式叫做a ij 在D 中的余子式，记作M ij ，记A ij ＝（－1）i ＋j M ij ，叫做a ij 在D 中的代数余子式．例４（1）213132321----=D 的52113)1(1111=--⋅-=+A12312)1(2112=---=+A ,71332)1(3113-=---=+A ；（2）5021011321014321---=D的19521013201)1(3113=---=+A ,521013421)1(3223---=+A =- 63，18521201421)1(3333=--=+A ．10013201421)1(3443-=--=+A ；2．按行、列展开定理引理 若n 阶行列式nn ij a D ⨯=的元素a ij 所在第i 行（或第j 列）的其他所有元素全为零，则ij ij A a D =．证 （1）当i ＝j ＝1，即D 的第1行（或第1列）除a 11外所有元素全为零，则由§3例1（7）知1111A a D ⋅=；（2）一般地，设nnnjn ijnja a a a a a a D1111100=，将D 的第i 行依次与第i －1，i －2，…，2，1行对换，再将第j 列依次与第j －1，j －2，…，2，1列对换，使a ij 调到左上角，所得的新行列式D D D j i j i ⋅-=⋅-=+-+)1()1(21，而a ij 在D 1中的余子式即为a ij 在D 中的余子式M ij ，由（1）ij ij ji ij ij A a D D M a D =-=⇒=+11)1(．定理2 n 阶行列式nn ija D ⨯=的值等于其任一行（或列）的每一个元素分别与其相应的代数余子式的乘积之和，即),,2,1(111n i A a A a A aD in in i i nj ij ij=++==∑=或∑==++==ni nj nj j j j ij n j A a A a Ai a D 111),,2,1( ．证 （1）nnn n i nnnn n in i i n a a a a a a a a a a a a a a a a D2111121121211121100000000=+++++++++=),,2,1(00002211211121121211211n i A a A a A a a a a a a a a a a a a a a a in in i i i i nnn n in nnnn n i n=++++++引理 （2）由行列式的性质1立即得对列的等式也成立．例4 （3）对（1）中的18)7(312513)2(1131211-=-⋅+⋅-⋅=⋅+⋅-+⋅=A A A D ；对（2），24)10(018)1()63(1193-=-⋅+⋅-+-⋅+⋅=D ． 定理3 设nn ija D ⨯=，则（1）D A a A a A aik kn in k i nj kj ij⋅=++=∑=δ 111；（2）∑=⋅=++=ni jr nr nj r j ir ijD A a A a A a111δ证 （1）由定理1知当i ＝k 时成立．当i ≠k 时，将nn k ia a a a a a a a a a a a nn n n in i i in i i n⨯=212121112110按第k 行展开即得∑==nj kj ijA a10，即∑=≠⋅=nj kj ij k i D A a 1)(0；故得证．由行列式的性质1立即得对列的结论（2）也成立．定理2、3表明，行列式D 的任一行（或列）的每一个元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于D 的值，而D 的任一行（或列）的每一个元素与另外一行（或列）的每一个元素的代数余子式的乘积之和等于零．例４（4）对（1）中的D 有 0)7()1(1352)1(32131211=-⋅-+⋅+⋅-=⋅-+⋅+⋅-A A A ， 0)7(211532)1(3131211=-⋅+⋅-⋅=⋅+⋅-+⋅A A A ；对（2）中的D 有0)10(1183)63(1191131143332313=-⋅+⋅+-⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅A A A A ， 0)10(2181)63(01922)1(024*******=-⋅+⋅--⋅+⋅=⋅+⋅-+⋅+⋅A A A A ， 0)10(5180)63(2194)5(024********=-⋅-⋅+-⋅+⋅=⋅-+⋅+⋅+⋅A A A A ．3. 行列式的归纳定义 11111a a D ==,21122211212112221111222112112)1()1(a a a a a a a a a a a a D -=⋅-⋅+-⋅==++，当n ≥2时，n n nn ijn A a A a A a a D 1112121111+++==⨯ ，其中j j j M A 111)1(+-=，M 1j 为a 1j 在D n 中的余子式（n －1阶行列式）．可以证明如上定义的n 阶行列式与前面的定义n 阶行列式是完全一样的．4．行列式的简化计算 首先利用性质将某行（或列）化为仅有一个元素可能非零，再按该行（或列）展开，降为n －1阶行列式，如此下去，直到化为二阶或一阶，即可计算其值． 例5（1）527211417)1()1(5207011321014107)2(),2(5021011321014321233431---⋅-=----++---+r r r r 241861926)1(110921126)2(),(222321-=--=-⋅-⋅=-+-+r r r r ．（2）)4)(1(22)1(202001120020001100112002000110011212--=-=-=--k k kk k k k k kk k r r k k k ． （3）0551*******3550100131111115)(),2(33511102431521133431----=----+-------c c c c 40552605502611512=---=----r r ．例6（1）dd c dcb a b a a dcd c dc b a baba D n 000012⋅=行展开按第)1(2)1(21)12()1(2)()1(000--+---=--=⋅-n n n n D bc ad D bc adD cd c dc b a bab（递推公式）)()()()(221)2(22bc ad dc ba D bc ad D bc ad D bc ad n n n -==-=-==-=-- ． （2）n ≥2，ba b ba bb ab a ba b a a a b b a ba ba D n n 0)1(010001+-⋅+⋅=列展开按第n n b a )(--=．（3）++---+---=----xa a a a xxxx xa a a a a xxxx D n n n n n n 122112211111111列展开按第n n n n n nn a a xD x a xD x xa +++=--------+)((1111)1(1211递推公式）＝).1,(21212211111a x a x xa a x D x a D a x a x a x n n n n ++=+-=+=++++==--例7（1）计算V andermonde 行列式)2(≥n ：Ｄn =),,,(21n x x x V =),(111112112222121j i x x x x x x x x x x x j i n nn n n n ≠≠---； 解 D 2 =122121211),(x x x x x x V -==，将D n 中依次第i 行减去第i －1行的x n 倍。
词源趣谈：algebra（代数）
词源趣谈：algebra（代数）公元820年，波斯著名数学家、被称为“代数之父”的阿尔·花刺子模用阿拉伯语发表了一部数学专著《al-mukhtasar fihisab al-jabr wa al-muqabala》（the compendium on calculation by restoring and balancing，还原和对消运算概要）。
这本书首次阐述了解一次和二次方程的基本方法，明确提出了代数学中的一些基本概念，奠定了代数学的基础，把代数学发展成为一门与几何学相提并论的独立学科。
这部专著书名中的al jebr一词，在阿拉伯语中表示“断开部分的重新连接”，在医学领域表示“断骨的重新连接”，其中的al是定冠词，相当于英语中的the。
花刺子模用这个词语来表示代数学中的“还原”，是代数计算的两项基本操作之一。
al jebr一词进入拉丁语后，变成了algebra，后来又进入了英语，被用来表示代数学。
这位数学家的全名是Abu Jafar Muhammad ibn Msa al-Khwarizmi，意思是“穆罕默德，Jafar的父亲，穆萨的儿子，来自花剌子模”。
末尾的al-Khwarizmi表示“花剌子模”，是古代中亚地区的一个古地名。
这个名称在拉丁语中被翻译为algorismus，进入英语后变为algorism，原本表示“阿拉伯数字系统”，也就是所谓的“十进位计数法”。
后来，人们把这个单词和希腊语单词arithmos （数字）混杂起来，创造出新的单词algorithm，用来表示“来自阿拉伯语的计算系统”。
现在algorithm可以表示任何一种计算方法，在计算机和信息科学领域是一个专业术语，表示“算法”。
algebra：['ældʒɪbrə] n.代数学algorithm：['ælgə'rɪðəm]n.算法algorism：['ælgə,rɪzəm]n.阿拉伯数字系统；十进位计数法钱博士英语电子书：1.《读神话故事学英语单词》，含181则神话故事，8万多字，160多页2.《英语单词的秘密》，含80篇文章，7万字，280页3.《这些单词都是怎么来的》，含900多条词源介绍，近20万字，300多页4.《英语词源故事集锦》，含700多则词源故事，近24万字，330多页5.《英语习语典故集锦》，含530多条习语典故，16万多字，240多页6.《400个常见英语词根详解》，含405个词根，4000多单词，11万字，200多页7.《循序渐进学词根》，含780个词根，10000多单词，24万字，500页8.《英语词根终极解密》，含600多个词根，5800多个单词，33万字，750页9.《巧记英语中考词汇》，覆盖1600多个单词，7万字，160页10.《巧记英语高考词汇》，覆盖3641个英语单词，16万字，350页11.《巧记英语四级词汇》，覆盖5100个英语单词，22万字，480页12.《词根词缀法巧记考研英语词汇-学生用书》，覆盖5100个单词，31万字，714页13.《词根词缀法相关理论概述》，78页。
第二章 ALGEBRA 代数
第二章 ALGEBRA 代数§2.1 ⾃自我检测知己知彼方能百战不殆。
对于中国学生来讲，ACT数学考试，最大的障碍不是对知识的理解，而是对自身的理解。
不知道自己会多少，ACT数学考什么。
在这种盲目的作用下，ACT数学备考学生往往两级分化，一方面，一些学生一头扎进题海，做了许多简单题，做了许多无用功，一到考试，该错还是错；另一方面，大部分学生认为ACT数学如此简单，不必殚精竭虑，考前做一套模考题然后匆匆上阵，铩羽而归。
所以本章将会重点回顾ACT数学最大的考点，代数的内容。
这一章是对同学们从小学到高中基础代数知识的考查，下面就请同学们做一套自测，对比考点，找到复习重点。
为了保证检测效果，自测题全为填空题。
1.What is the least common multiple of 30, 20, 70?2.Both m and n are positive integers greater than 1, if 23(m-1)=17(n+3), what is the least possible value of m+n?3.How many prime numbers are between 40 and 50?4.What is the tenths digit of 190% ?5.Solving the equation 2x- 3 = 1, x=?6.How many integers between 1 and 1000, inclusive, will be the square of an integer and also be the cube of an integer?7.√12−3x2 is a real number, what is the interval of x?8.Solving the equation lg(x-2) + lg(x+1) = 1, then x=?9.What is the coefficient of x7 in the product of the polynomials(—x 4 + x 3 — 5x +1)(2x 4 + 3x 3 + x 2— 4) ? 10. What is the least integer value of x that makes the inequality1421< x 14 ?11. Let a,b,c and d be distinct positive integers. What is the 4th term of the geometric sequence below?bcd, abc 2d, a 2bc 3d,…12. What is the result of the determinant |1323| ?13. If f(a,b)=a*b is defined as a * b = a 2- b 2 , where both a and b are real numbers.what is the range of f(a,b)?14. I f 0<x<90°, and tanx= 14 ,what is sinx+cosx?15. Tracy purchased 6 boxes of sugar cookies, each box containing 12 snack bags and each bag containing 8 cookies. Tracy could have purchased the same amount of cookies by buying how many family-sized packs of 16 cookies each? 自测答案：I. 420 考点：§2.2.1Real numbers 实数的分类 integers 整数2. 38 考点：§2.2.1Real numbers 实数的分类 Factors & Multiples 因数和倍数3. 3 考点：§2.2.1Real numbers 实数的分类 Prime Numbers 质数4. 9 考点：§2.2.1Real numbers 实数的分类 Decimals 小数5. 0.5 考点：§2.2.1Real numbers 实数的分类 fractions 分数6. 3 考点：§2.2.2. Exponent and roots 指数和根7. -2 ≤x ≤ 2 考点：§2.2.2. Exponent and roots 指数和根8. 4 考点：§2.2.3. Logarithms 对数9.-1 考点：§2.2.4. Polynomials 多项式10.10 考点：§2.2.5. Inequalities 不等式II.a3bc4d考点：§2.2.6 Sequence数列12.-3 考点：§2.2.7 matrices 矩阵13.All real numbers 考点：§2.2.8 function 函数14.517考点：§2.2.9 trigonometry 三⾓角函数15.36 考点：§2.2.10 applications 应用题§2.2 考点扫盲§2.2.1Real numbers 实数的分类数的家族我们可以⽤用如下的图分类：—.Integers 整数整数分为正整数（positive integers)、负整数（negative numbers)、和零(zero).在数轴（number line)上可以如下表示,其中在刻度上的都是整数：整数又分为奇数（Odd number),如1、3、5、37、-1、-3等，定义为不能被2整除的数，和偶数（even number),如0, 2、4、 40、-2、-4等，定义为能被2整除的数。
英语单词扩展词汇——数学学科篇
英语单词扩展词汇——数学学科篇数学：mathematics抽象代数：abstract algebra大代数：advanced algebra, higher algebra计算代数：computation algebra基础代数：elementary algebra广义代数：generalized algebra群代数：group algebra线性代数：liner algebra矩阵代数：matrix algebra多线性代数：multi-lineal algebra应用数学：applied mathematics计算数学：computational mathematics初等算术：elementary arithmetic初等数学：elementary mathematics高等数学：higher mathematics模数算术：modular arithmetic新数学：new mathematics理论数学：pure mathematics运筹学：operation research算术：arithmetic几何：geometry三角学：trigonometry仿射微分几何：affine differential geometry 解析几何学：analytical geometry微分几何：differential geometry椭圆几何：elliptic geometry测量几何：metrical geometry平面几何：plane geometry立体几何学：solid geometry圆形几何学：descriptive geometry球面几何学：spherical geometry拓扑学，形势几何学：topology体积几何学：volumetric geometry微积分学：calculus, infinitesimal calculus 微分学：differential calculus积分学：integral calculus球面三角学：spherical trigonometry。
逻辑代数 Logic Algebra
2.1.2 逻辑代数的基本规则
1. 代入规：则 在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函 数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称 为代入规则。
例：B (A + C) = BA+BC，
用A + D代替A，得
B [(A +D) +C ] = B(A +D) + BC = BA + BD + BC 代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围
2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式
1、基本公式 0、1律：A + 0 = A A + 1 = 1 A ·1 = A A ·0 = 0 互补律：A + A = 1 A ·A = 0 交换律：A + B = B + A A ·B = B ·A 结合律：A + B + C = (A + B) + C A ·B ·C = (A ·B) ·C 分配律：A ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C )
+C=1 第3个括号内表达式
DC+DE+DE=DC+D =C+D 故F＝ (A+B+C)(C+D)=AC+BC+AD+BD+CD = AC+BC+CD
重叠律：
摩根定理 反演律：
A+ A= A A + B = A ·B
A ·A = A AB = A + B
吸收律 A A B＝A
A ( A B)＝A
A A B＝A B ( A B) ( A C)＝A BC
线性代数课程介绍精讲
x, y
r α θ (x,y)
§1 n阶行列式的定义的主要内容是:
一.2阶行列式和3阶行列式的定义 (一)2阶行列式的定义
(二)3阶行列式的定义
二.n阶行列式的定义
行列式简介
行列式出现于线性方程组的求解。 它是数学语言上的改革, 是一种速记表达式. 它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。 ———place
例全球定位系统GPS
要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用 GPS系统.这个系统是由24颗高轨道卫星组成,卡 车从其中3颗卫星接受信号,接受器里的软件利 用线性代数方法来确定卡车的位置. 当卡车和一颗卫星联系时,接受器从信号往返 的时间能确定卡车到卫星的距离,例如14000公里, 从卫星来看,知道卡车位于以卫星为球心,半径为 14000公里的球面上的某地.设卡车位置(x,y,z),第 一颗卫星位置(a1,b1,c1)即
矩阵的特征值
二次型
2.学习方法与要求; 预习+课堂学习+讨论 +自学
线性代数(Linear Algebra)简介
一.代数: 是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。 加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。 1.初等代数 代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及 人和古巴比伦人。 初期的代数主要源于解方程. 我国古代的《九章算术》 中就有方程问题。
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家 关孝和提出来的(1683 年 ) Vandermonde 首次对行列式理论进行系统的阐述 成为行列式理论的奠基人.
一.2阶行列式和3阶行列式的定义
(一)2阶行列式的定义
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
algebra代数 -回复
algebra代数-回复什么是代数？代数是数学的一个分支，研究数值之间的关系和运算的规律。
它研究的不是具体的数值本身，而是数值之间的代数关系。
在代数中，我们使用符号和字母来表示数值和未知数，以便于推导和解决数学问题。
代数的基本概念在代数中，我们有一些基本的概念和运算符号。
首先，我们有数字，即整数和分数，用来表示实际的数值。
其次，我们有变量，用字母来表示，表示未知数或可以取任意数值的数。
例如，我们可以用x表示一个未知的数。
在代数中，我们也有代数运算，包括加法、减法、乘法和除法。
通过这些运算规则，我们可以推演出数值之间的关系，并且解决复杂的数学问题。
代数的基本原则在代数中，有一些基本原则和规则，让我们能够进行正确的代数运算。
首先，我们有交换律，即加法和乘法的结果与操作数的顺序无关。
例如，a + b = b + a，a ×b = b ×a。
其次，我们有结合律，即加法和乘法的结果不受括号分组的顺序影响。
例如，(a + b) + c = a + (b + c)，(a ×b)×c = a ×(b ×c)。
这些原则和规则是代数中最基本的运算法则。
代数方程和方程组代数最重要的应用之一是解方程。
方程是一种数学语句，将已知数值或变量与等号连接起来，我们需要找到使方程成立的未知数值。
一个简单的例子是线性方程，如2x + 3 = 7，其中x是一个未知数，我们需要找到x的值。
方程组是由多个方程组成的一组方程，通常有多个未知数。
解方程组意味着找到使所有方程成立的未知数值。
解决方程组的一个常见方法是代入法，即将一个方程中的变量的值替换到另一个方程中，然后解决单个方程。
另一种常见的方法是消元法，通过适当的运算将方程组简化为一个方程。
代数在实际生活中的应用代数不仅仅是一种抽象的数学概念，它在我们的日常生活中有着广泛的应用。
例如，代数可以帮助我们计算购物时的折扣和税费，解决复杂的财务问题。
Algebra1中英版对照目录
解两侧有变量的一元一次不等式 P194—P201 3—6：Solving Compound Inequalities
解混合一元一次不等式（一元一次不等式组）P202—P209 Quiz for Chapter 3 第三章小测试 P210—P225 CHAPTER 4—Functions 函数 4—1：Graphing Relationships 关系图（函数关系图）P230—P235 4—2：Relations and Functions 函数的对应关系 P236—P244 4—3：Writing Functions 函数的表达式 P245—251 4—4：Graphing Functions 函数的图像（直线、二次函数）P252—P260 CHAPTER 4—Functions 函数 4—5：Scatter Plots and Trend Lines 点的散布图与趋势线 P262—P271 4—6：Arithmetic Sequences 等差数列 （等差数列的项和通项）P272—P278 Quiz for Chapter 4 第四章小测试 P279—P291 CHAPTER 5— Linear Functions 一次函数 5—1：Identifying Linear Functions 识别一次函数 P296—P302 5—2：Using Intercepts 截距式（一次函数与坐标轴的交点）P303—P309 CHAPTER 5— Linear Functions 一次函数 5—2：Using Intercepts 截距式（一次函数与坐标轴的交点）P303—P309 5—3：Rate of Change and Slope 变化率和斜率 P310—P319 5—4：The Slope Formula 斜率的公式 P320—P325 5—5：Direct Variation 正比例函数 P326—P332 5—6：Slope-Intercept Form 斜截式方程 P334—P340 5—6：Point-Slope Form 点斜式方程 P341—P348 5—8：Slope of Parallel and Perpendicular Lines 相互平行与垂直直线的斜率
algebra universalis 代数
algebra universalis 代数什么是代数？代数是数学中的一门基础学科，研究运算规则的一般性质和它们之间的关系。
代数的主要研究对象是数、符号和运算，通过定义和推导运算规则来研究和描述这些对象之间的关系。
代数可以分为不同的分支，如线性代数、抽象代数、群论等。
什么是代数万有性质？在代数研究中，常会遇到一些基本概念和通用性质，这些概念和性质普遍适用于各个代数分支。
这些性质被称为代数万有性质，也叫代数结构的万有性质。
代数万有性质具体包括哪些？代数万有性质主要包括封闭性、结合律、交换律、单位元、逆元、分配律等。
什么是封闭性？封闭性是代数中的一个重要概念，它指的是在某个集合内进行特定运算后的结果仍然属于这个集合。
比如在实数集合中进行加法运算，任意两个实数相加的结果仍然是一个实数，所以实数集合在加法运算下满足封闭性。
什么是结合律？结合律是代数中的一个性质，它指的是在进行某个特定运算时，不论运算的顺序如何，最终的结果都是相同的。
比如在实数集合中进行加法运算，对于任意实数a、b和c，满足结合律的性质是：(a + b) + c = a + (b + c)。
什么是交换律？交换律是代数中的一个性质，它指的是在进行某个特定运算时，两个元素进行运算的顺序不影响最终的结果。
比如在实数集合中进行加法运算，对于任意实数a和b，满足交换律的性质是：a + b = b + a。
什么是单位元？单位元是代数中的一个重要概念，它指的是在特定运算下，存在一个运算单位使得该运算对任意元素运算后的结果与单位元相等。
比如在实数集合中进行乘法运算，单位元是1，因为对于任意实数a，a乘以1的结果始终等于a。
什么是逆元？逆元是代数中的一个重要概念，它指的是在特定运算下，存在一个运算单位使得该运算对任意元素都有一个逆元素，使得两者进行运算后的结果等于单位元。
比如在实数集合中进行加法运算，对于任意实数a，存在一个逆元素-b，使得a + (-b) = 0。
algebra universalis 代数 -回复
algebra universalis 代数-回复什么是代数？代数（algebra）是数学的一个重要分支领域，研究各种结构和运算规则的代数系统。
它通过符号和符号之间的关系来描述和推导数学对象间的一般规律，从而成为数学中最基础也最重要的一门学科。
代数的发展历史悠久，最早可以追溯到公元前3世纪，由希腊数学家欧几里得注意到了代数的重要性，并把它与几何学相结合，从而创造了一种几何代数。
随着数学理论的不断发展，代数逐渐成为一门独立的学科，并涵盖了多个分支领域，如线性代数、群论、环论、域论等。
代数的研究对象可以是任何事物，不限于数字。
它通过使用符号和变量来描述和推导各种数学对象之间的关系。
这些符号和变量代表着不同的数学概念，如数字、函数、向量等。
而代数系统是由这些符号和变量所组成的，它们之间通过特定的运算规则进行操作和推导。
举个例子来说，假设我们有两个数字x和y，并且要求它们的和。
用代数的方式来表达就是x + y。
在代数中，这个表达式可以进一步化简和推导，例如可以通过替换具体数字来求得不同情况下的结果，也可以通过运算规则来进行展开和合并。
这个简单的例子展示了代数的基本思想和方法。
代数不仅能够描述数字之间的关系，还可以应用于其他领域，如几何学、物理学和计算机科学等。
例如，在几何学中，代数可以用来描述点、线、平面和体的关系，从而推导出更复杂的几何理论。
在物理学中，代数可以用来描述物体的运动、力和能量等，从而建立物理定律和方程。
在计算机科学中，代数可以用来描述和推导计算机程序的行为和性质，从而提高程序的效率和正确性。
总结起来，代数是一门研究各种结构和运算规则的代数系统的数学学科。
它通过使用符号和变量来描述和推导各种数学对象之间的关系，从而建立了一套抽象的数学推理体系。
代数不仅在数学中具有重要地位，还广泛应用于其他学科领域，为人类认识世界和解决实际问题提供了强大的工具和方法。
代数几何I课程简介
9.射影代数簇
(1)射影空间(2)方程组在无穷远处的解(3)射影齐次坐标与仿射坐标(4)齐次坐标环
(5)射影代数簇上的有理函数与正则函数(6)不可约代数簇的维数
Chapter 4.代数曲线
1.代数曲线的局部性质
(1)代数曲线介绍(2)平面代数曲线(3)曲线的重数与切线
3.根理想----约化为既约方程组
(1)去掉方程中的指数幂(2)根理想(3)方程组同解的判别法
4.理想的准素分解----约化为不可约方程组
(1)方程组的分解(2)方程组的不可约分解
(3)不可约方程组解集的不可约性(4)准素分解的唯一性
(5)极小准素分解(6)不可约分支的性质
5.代数簇的有理函数域----方程的解的维数
Hartshorne<Algebraic Geometry>
代数几何I ----代数簇理论
(周课时: 4，第二学期开设)
Chapter 1.解方程的基本理论
1.希尔伯特基定理----约化为有限个方程
(1)背景(2)希尔伯特基定理的证明
2.希尔伯特零点定理----方程组有无解的判别法
(1)判别方程组是否有解(2)诺特正规化引理(3)结式的性质(4)零点定理的证明(5)零点定理的等价形式.
课程简介模板
代数几何I课程简介
课程名称
代数几何I
课程代码
∕
课程英文名称
Algebraic Geometry I
任课教师
任课教师职称
课程类别
第二层次
学时
4
学分
4
授课方式
主讲
主要内容简介
本课程属于第二层次课程，面向代数组的全体学生。这门课从解方程的思想出发，并以此为线索，由浅入深地介绍了代数几何的基础内容。它承接了本科生的《高等代数与解析几何》、《代数几何基础》等课程内容，也为今后学习代数几何后续课程提供了基础。
algebra代数系统
(1) N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。 (2) n阶实矩阵上的加、乘。 (3) 集合S的幂集上的∪、∩ 、 。
第五章 代数系统
定义5.5
设 。为S上的二元运算，如果对于任意的x∈ S都有 x。x =x
则称该运算适合幂等律,x为运算。的幂等元。
考察下列运算在指定集合上是否符合幂等律?
(2) n阶实矩阵上的乘法对加法。
(3) 集合上的∪、∩互相可分配。
推而广之,如果*对。分配律成立，则
x *(y1。 y2。…。yn) =(x * y1)。(x * y2)。…。(x * yn) (y1。 y2。…。yn)* x =(y1 * x)。(y2 * x)。…。(yn * x)
第五章 代数系统
x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x
∵ x,y,z∈ Q 有
(x*y)*z=(x+y-xy)*z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz x*(y*z)=x*(y+z-yz)= x+y+z-xy-xz-yz+xyz ∴ *满足结合律
第五章 代数系统
∵ 3∈ Q 有 3*3=3+3-3×3=-3≠3
(1) N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。
普通加法、乘法不适合幂等律，但0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元。
(2) n阶实矩阵上的加、乘。
同理，n阶零矩阵是矩阵加法的幂等元，n阶单位矩阵是矩阵乘法的幂等元。
(3) 集合S的幂集上的∪、∩ 、 、-。 后两个运算一般不适合幂等律，但φ是它们的幂等元。
定义5.2
设S为集合，函数称为S上的一个一元运算，简称为一元运算。
algebra universalis 代数 -回复
algebra universalis 代数-回复什么是代数？代数（Algebra）是数学的一个分支，研究各种运算和数学结构的性质。
它使用符号来表示未知量和数学对象，并通过运算法则来推导和解决问题。
代数是数学中的一种强大工具，广泛应用于科学和工程领域。
代数的起源可以追溯到公元前2000年左右的古巴比伦文明和古埃及文明。
在古代，人们利用代数方法来解决一些实际问题，如测量土地面积和设计建筑物等。
随着时间的推移，代数逐渐发展成为一门成熟的学科，并在数学研究、应用和教育中起到重要作用。
代数的基本概念包括各种运算，如加法、减法、乘法和除法。
这些基本运算可以用符号来表示，例如用"+"表示加法，用"-"表示减法，用"*"表示乘法，用"/"表示除法。
在代数中，这些符号称为运算符号，它们具有特定的运算法则。
代数中有两个重要的概念：变量和方程。
变量是未知量，可以用字母表示，如x、y等。
方程是包含一个或多个变量的等式，如2x + 3y = 7。
代数的主要目标之一是解方程，即找到使方程成立的变量的值。
代数还涉及到其他一些重要的概念，如函数、多项式和矩阵等。
函数是一种特殊的关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值。
多项式是由一个或多个变量和它们的次数组成的表达式，如x^2 + 3x + 2。
矩阵是由数字排列成的矩形阵列，可以进行各种代数操作，如加法、乘法和求逆等。
代数的一个重要分支是线性代数。
线性代数研究向量空间和线性变换的性质。
向量空间是由向量构成的集合，向量可以进行加法和数乘运算。
线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持向量空间结构的性质。
除了线性代数，代数还包括抽象代数、数论、代数几何等分支。
抽象代数研究抽象代数结构的性质，如群、环、域等。
数论研究整数的性质和关系。
代数几何研究代数方程和几何对象之间的关系。
总之，代数是一门重要的数学学科，研究各种数学结构和运算的性质。
algebra的概念 -回复
algebra的概念-回复什么是代数？代数是数学中的一个重要分支，研究数、符号和运算关系的结构以及它们之间的变化规律和性质。
它是几何学、数论、数学分析和其他数学分支的基础之一，并且广泛应用于工程学、物理学、计算机科学等领域。
代数的基本概念在介绍代数的基本概念之前，我们首先需要明确一些符号和术语:1. 数: 数是代数中最基本的概念，代表了一个确定的量或数目。
例如，1、2、3等都是数。
2. 字母: 字母是代数中常用的符号，用来表示未知数或变量。
例如，x、y、z等都是字母。
3. 表达式: 表达式是由数、字母和运算符组成的符号序列。
例如，2x + 3是一个表达式，其中2和3是数，x是字母，+是运算符。
4. 方程: 方程是等号连接的两个表达式，表示相等的关系。
例如，2x + 3 = 7是一个方程。
5. 约束: 约束是指对变量的限制条件，用来确定变量的取值范围。
例如，x > 0是一个约束，表示x必须大于0。
6. 函数: 函数是一种特殊的关系，将一个变量的值映射到另一个变量的值。
例如，y = f(x)表示x和y之间的函数关系。
代数的基本运算代数中有四种基本运算，它们分别是加法、减法、乘法和除法。
这些运算符在代数中有特定的符号表示:1. 加法: 加法的基本符号是"+”，它表示将两个数或表达式相加。
例如，3 + 4 = 7。
2. 减法: 减法的基本符号是"-"，它表示将一个数或表达式减去另一个数或表达式。
例如，5 - 2 = 3。
3. 乘法: 乘法的基本符号是"*" 或"×"，它表示将两个数或表达式相乘。
例如，2 * 3 = 6。
4. 除法: 除法的基本符号是"÷" 或"/"，它表示将一个数或表达式除以另一个数或表达式。
例如，6 ÷2 = 3。
除了这四种基本运算，代数中还有指数运算和根号运算等其他运算，它们用于处理更复杂的数学问题。
盖尔范德 代数-概述说明以及解释
盖尔范德代数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述盖尔范德代数（Geometric Algebra）是一种包含线性代数和向量分析等数学工具的代数系统。
它继承了向量分析的向量运算和线性代数的代数运算，并且将它们统一到一个更加一般的代数框架中。
盖尔范德代数通过引入多元素的运算，使得我们可以处理更加一般化的几何对象，如点、直线、平面、旋转等。
与传统的向量分析和线性代数不同，盖尔范德代数具有更强大的表述能力和运算能力。
通过盖尔范德代数，我们可以更自然地描述几何变换和物理运动，而不需要依赖繁琐的坐标系变换和矩阵运算。
同时，盖尔范德代数还具有更高的计算效率和直观性，能够有效地简化数学推导和物理建模过程。
本文将首先介绍盖尔范德代数的定义和基本概念，包括盖尔范德乘积、内积、外积等运算规则，以及代数的基本性质。
然后，我们将探讨盖尔范德代数在数学和物理领域中的应用。
在数学领域，盖尔范德代数被广泛应用于几何建模、计算机图形学、优化等问题的求解。
在物理领域，盖尔范德代数被应用于描述刚体运动、电磁场、相对论等多个领域。
最后，我们将总结盖尔范德代数的重要性和发展前景，并展望对盖尔范德代数的进一步研究和应用。
随着科技的不断发展和对复杂问题求解的需求增加，盖尔范德代数作为一种更加简洁、直观、高效的数学工具，将在更多领域得到应用和推广。
同时，我们也需要深入研究盖尔范德代数的性质和应用，进一步挖掘其潜在的数学和物理学理论，并将其应用于实际问题的解决中。
综上所述，本文将全面介绍盖尔范德代数的定义、基本概念、运算规则以及其在数学和物理中的应用。
通过深入了解和学习盖尔范德代数，我们可以更好地理解几何和物理现象，加深对数学本质的认识，并为未来的研究和应用提供新的思路和方法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该介绍整篇文章的结构和各个章节的主要内容。
可以按照如下方式编写：文章结构部分:在本篇文章中, 将会按照以下结构来展开对盖尔范德代数的讨论。
algebra代数
代数（Algebra）代数是数学中的一个重要分支，研究数和符号之间的关系，以及这些关系的性质和规律。
它是数学中的一种基础工具，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
代数的概念和方法可以帮助我们理解和解决各种实际问题，同时也是数学学科体系中的基础。
代数的起源和发展代数的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们开始研究未知数和方程的解。
然而，代数真正开始发展壮大是在16世纪，随着符号代数的引入，代数开始成为独立的数学分支。
伽罗瓦理论的出现在19世纪进一步推动了代数的发展，为现代代数奠定了基础。
代数的基本概念1. 变量和未知数在代数中，我们经常使用字母来表示未知数或变量。
未知数是我们要解决的问题中的数值，而变量是代表一类数值的符号。
例如，在方程2x + 3 = 7中，x就是未知数，它表示我们要求解的数值；而2和3是常数，表示已知的数值。
2. 方程和不等式方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数。
我们通过解方程来确定未知数的值。
例如，x + 2 = 5就是一个简单的一元一次方程，通过将x的值确定为3，我们可以使等式成立。
不等式是一个包含不等号的表达式，表示两个数的大小关系。
例如，x > 2表示x大于2。
解不等式的过程是确定使不等式成立的数值范围。
3. 系数和常数在代数中，方程和不等式中的未知数前面通常有一个数字，这个数字称为系数。
系数表示未知数在方程或不等式中的重要程度。
常数是一个没有未知数的数，它可以是一个具体的数值或一个符号。
4. 多项式和多项式运算多项式是由多个项相加或相减而成的代数表达式。
每个项由一个系数和一个或多个变量的乘积组成。
例如，3x^2 + 2xy - 5是一个多项式，其中3、2和-5是系数，x^2、xy是项。
多项式运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法和减法是将多项式的对应项相加或相减。
乘法是将多项式的每个项相乘得到新的多项式。
除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
《代数绪论》课程简介
通过本课程的学习，使学生进一步提高抽象思维能力和逻辑推理能力。
内容简介
（英文）
This course is based on the study of "AdvancedAlgebra", to further improve the students' algebraic literacy and algebraic ability to solve the problem, and to improve the ability of students to study algebra.
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Definitions
Equation – A mathematical sentence stating that 2 expressions are equal. 12 – 3 = 9 8 + 4 = 12
Definitions
Equation – A mathematical sentence with an equals sign. 16 – 5 = 11 14 + 3 = 17
How to solve an addition equation
Use the inverse operation for addition which is subtraction m + 8 = 12 12 - 8 = 4 m = 4 4 + 8 = 12
How to solve a subtraction equation
n=8 n=9 n=7 n=9 n=7 n=5
Write an equation for these problems using a variable
Timothy got 72 right on his timed test in July. He got 99 right on this same test in November. Jasmin runs 15 minutes before school and 30 minutes after school.
n=8 b=7 m=3 v=5 w=4 r=2
Subtraction Rules of zero
7–7=0 n – n = 0 4 – 0 = 4 n – 0 = n
Find the value of n using the rules of subtraction
n -8=0 n – 9 = 0 n – 0 = 7 n – 0 = 9 n – 7 = 0 n – 0 = 5
10
=
5+5
When the amounts are equal on both sides it is a true equation.
12
=
6+6
When the amounts are unequal on both sides it is a false equation.
8
=
2+2
When an amount is unknown on one side of the equation it is an open equation.
n+7=7+4 m + 2 = 2 + 5 z + 3 = 3 + 9 g + 6 = 6 + 11 s + 4 = 4 + 20 c + 8 = 8 + 32
n=4
m=5 z=9 g = 11 s = 20 c = 32
The Identity Property of Addition
7+0=7 a + 0 = a 8 + 0 = 8 c + 0 = c 2 + 0 = 2
Use the Identity Property of addition to solve these problems n+0=8 b + 0 = 7 m + 0 = 3 v + 0 = 5 w + 0 = 4 r + 0 = 2
Use the inverse operation for subtraction which is addition m - 3 = 5 5+3=8 m = 8 8-3=5
Solve these equations using the inverse operations
n+4=7 n – 5 = 4 n + 4 = 17 n – 6 = 13 n + 7 = 15 n – 8 = 17
72 + n = 99 or 99 – 72 = n 15 + 30 = n
One zinger costs 25 cents. Issak bought 4. 4 x 25 = n
End
3 9 13 19 8 9
Commutative Property
5+4=9 a + b = c 6 + 3 = 9 x+ y = z 3 + 4 + 1 = 8
4+5=9 b+a=c 3+6=9 y+x=z 1+3+4=8
Solve these equations using the commutative property
Definitions
Equals Sign (=) Means that the amount is the same on both sides.
4+2=6 5–2=3
An Equation is like a balance scale. Everything must be equal on both sides.
7
=
n+2When yu find a number for n you change the open equation to a true equation. You solve the equation.
7
=
5 n+2
Are these equations true, false or open?
11 - 3 = 5 13 + 4 = 17 N + 4 = 7 12 – 3 = 8 3 + v = 13 15 – 6 = 9
false true open false open true
Definitions
Inverse operation – the opposite operation used to undo the first. 4 + 3 = 7 7–4=3 6 x 6 = 36 36 / 6 = 6