2012中考数学复习(42)：垂径定理
垂径定理
画一画
例：平分已知弧
C
AB AB 已知：弧
求作：弧AB的中点 E
A
作法： ⒈ 连结AB.
B
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E. D
点E就是所求弧AB的中点。
变式一： 求弧AB的四等分点。
C m n
F
A
EGΒιβλιοθήκη BDC m E A n
变式二：你能确定
B
弧AB的圆心吗？
作图依据：
弦的垂直平分线经过圆心.
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦
平分弦所对的劣（优）弧
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
C
O A D E B
A D E
O
O
B
A D
E
B
C
O
O
O
A E D B
A E B
A
E
B
练习
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径.
A
E
. O
B
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，由垂径定理可知AE＝BE ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习
(课本16页练习2)已知如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB于E， 由垂径定理可知： •o AE=BE,CE=DE C ┐E D A B ∴AE－CE=BE－DE 即AC=BD
垂径定理
2011-9-20
Ⅱ．讲授新课
（一）想一想
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的?
归纳：圆是轴对称图形， 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任 意一条过圆心的直线
2011-9-20
探索垂径定理
驶向胜利 的彼岸
做一做： 做一做：按下面的步骤做一做 在一张纸上任意画一个⊙ 沿圆周将圆剪下， 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆 对折，使圆的两半部分重合． 对折，使圆的两半部分重合． 得到一条折痕CD CD． 2．得到一条折痕CD． 上任取一点A 过点A CD折痕 的垂线， 3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的 折痕，其中， 是两条折痕的交点，即垂足． 折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足． 将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B 如图. 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图. 问题：（ ）右图是轴对称图形吗？ 问题：（1）右图是轴对称图形吗？ ：（ 如果是，其对称轴是什么？ 如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？ ）你能发现图中有哪些等量关系？
随堂练习P 随堂练习 9210
挑战自我垂径定理的推论 挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所平的弧相 等吗? 等吗 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况 这两条弦在圆中位置有两种情况: 老师提示 1.两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧 两条弦在圆心的两侧
2011-9-20
探索垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦 不是直径 ，作一条 想一想：如下图示， 是 的弦(不是直径 想一想 的弦 不是直径)， 平分AB的直径 的直径CD， 于点M． 平分 的直径 ，交AB于点 ． 于点 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（ ）此图是 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1） ：（ 轴对称图形吗?如果是 其对称轴是什么?（ ） 如果是， 轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么 （2）你能发现 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
中考数学专题模型—【专题2】垂径定理的模型研究(教师版)
【专题2】垂径定理的性质与运用【回归概念】垂径定理：垂径定理是数学几何(圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
数学表达为：如图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD=半圆CBD。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。
称为知二推三。
1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.过圆心。
【规律探索】1.垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2.圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3.垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个。
方法：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．【典例解析】：①用垂径定理求点的坐标【例题1】（2019•山东威海•3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A133B．23C．2D．2+2【思路导引】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，根据圆周角定理得到∠APB ＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB ＝∠PBA ＝30°，由垂径定理得到AD ＝BD ＝3，解直角三角形得到PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23，根据勾股定理得到CE ＝22PC PE -＝124-＝22，于是得到结论．【解答】解：连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ， ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°， ∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°， ∵A （﹣5，0），B （1，0）， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3，∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝23， ∵PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，∠AOC ＝90°， ∴四边形PEOD 是矩形， ∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝2，∴CE ＝22PC PE -＝124-＝22， ∴OC ＝CE+OE ＝22+3， ∴点C 的纵坐标为22+3， 故选：B ．②巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)【例题2】如图，AB ，CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为直线EF 上的任意一点，求PA ＋PC 的最小值．【解析】如图，易知点C关于MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝72. 即PA＋PC的最小值为72.③巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)【例题3】某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？【解析】如图，设圆弧形桥拱AB所在圆的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA＝r米，则OD＝OC－DC＝(r－2.4)米，AD＝12AB＝3.6米．在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHN中，OH＝22223.9 1.5ON NH-=-＝3.6(米)．所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)．因为2.1米＞2米，所以此货船能顺利通过这座拱桥．【达标检测】1. （2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.2. （江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．DCB3. （2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝23，则⊙O的半径是．4. （2019•浙江嘉兴•4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．5. 如图，在○o中，AB为互相垂直且相等的两条弦，CD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，求证四边形ADOE为正方形6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 (10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．7. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝3.(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．【达标检测答案】1. （2019•广西北部湾•3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》看记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为寸.【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可．2. （江苏省宿迁市，14，3分）如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为 ．DCB【思路导引】先利用三角形内角和求出第三个角为30°，是个特殊角，构造直角三角形，利用垂径定理、三角函数等，即可求出BD 的长． 【解析】：过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BD=2BE∵∠ACB=130°，∠BAC=20° ∴∠ABC=30° 在Rt △BCE 中，BC=2， BE=BC ·cos30°=2×323∴BD=32，故答案为32．ED CB3. （2019•四川省凉山州•4分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A ＝30°，CD ＝3，则⊙O 的半径是 2 ．【思路导引】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝3，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝23，AC＝3BC＝23，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝3，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝23，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝3BC＝23，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．4. （2019•浙江嘉兴•4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【思路导引】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．【解答】解：连接OD ，如图， ∵CD ⊥OC ， ∴∠COD ＝90°，∴CD ＝22OD OC -＝22r OC -， 当OC 的值最小时，CD 的值最大， 而OC ⊥AB 时，OC 最小，此时OC ＝221()2r AB -， ∴CD 的最大值为2221()2r r AB --＝12AB=＝12， 故答案为：12．5. 如图，在○o 中，AB 为互相垂直且相等的两条弦，CD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，求证四边形ADOE 为正方形证明：∵OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ， ∵AD=12AB ，AE= 12AC ，∠ADO=∠AEO=90°， ∵AB ⊥AC ， ∴∠DAE=90°， ∴四边形ADOE 是矩形， ∵AB=AC ， ∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．6. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是 (10，0)，点B 的坐标是(8，0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上， 且四边形OCDB 是平行四边形，求点C 的坐标．如图，连接CM ，作MN ⊥CD 于N ，CH ⊥OA 于H. ∵四边形OCDB 为平行四边形，B 点的坐标是(8，0)， ∴CD ＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN. 又∵MN ⊥CD ， ∴CN ＝DN ＝12CD ＝4. 易知OA ＝10，∴MO ＝MC ＝5. 在Rt △MNC 中， MN ＝2222543CM CN -=-=.∴CH ＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1. ∴点C 的坐标为(1，3)．7. 如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．【解析】(1)连接AC，∵CD为⊙的直径，CD⊥AB，∴AF＝BF，∴AC＝BC.延长AO交⊙O于G，则AG为⊙O的直径，又AO⊥BC，∴BE＝CE，∴AC＝AB.∴AB＝BC＝3.(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝12∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF3易得OA＝2，即⊙O的半径为2.。
第二讲垂径定理
垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理及其推论； 1. 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；2. 有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角， 一、选择题1. 已知⊙O 的半径是5cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，则AB 与CD 的距离是（ ） （A ）1 cm （B ）7 cm （C ）1 cm 或7 cm （D ）无法判断2. 如右图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果BA=10，CD=8，那么BE 的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为8cm ，那么OM 的长为（ ）A. 3cmB. 6cmC. 41cmD. 9cm4. 已知⊙O 的半径为2cm,弦AB 长为32cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为 ( )A 1B 2C 3D 45. 如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 和D 两点,AB=10cm,CD=6cm,则AC 长为 ( ) A 0.5cm B 1cm C 1.5cm D 2cm 6. 一种花边是由右边的弓形组成的，的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD 为（ ）A. 2B. 25C. 3D. 3167. 下列说法中，正确的是（ ）A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半D. 等弧所对的圆心角相等 8. 已知弓形弦长为4，弓形高为1，则该弓形所在圆的半径为（ ）A ．3B ．25C ．3D ．4DC A BOOABCDE9. 如右图，AB 是所对的弦，AB 的中垂线CD 分别交于C ，交AB 于D ，AD 的中垂线EF 分别交于E ，交AB 于F ，DB 的中垂线GH 分别交于G ，交AB 于H ，下面结论不正确的是（ ） A. B. C. EF=GH D.10. 如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过P 点的直径，则下列结论中不正确的是（ ）A. AB ⊥CDB. ∠AOB=4∠ACDC.D. PO=PD11. 如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 是弦AB 上一点，若OP 的长为整数，则满足条件的点P 有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (45)+ cmB. 9 cmC. 45cmD. 62cm13. 如图，等腰梯形ABCD 内接于半圆D ，且AB = 1，BC = 2，则OA =（ ）．A ．231+ B ．2 C ．323+ D ．251+14. 如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20OP AB C BA O DO A B DPC二、填空题15. 如图1，在⊙O 中，若MN ⊥AB ，MN 为直径，则______，______，______．16. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10cm ，PB=4cm ，OP=5cm ，则⊙O 的半径等于___________cm.O PAB17. 两个同心圆的直径分别为5cm 和3cm ，则圆环部分的宽度为______cm ．18. 在半径为10cm 的⊙O 中，一条半径的垂直平分线交⊙O 于C 、D 两点，则CD=________cm 。
中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________ 1．如图 在O 中 直径AB 垂直弦CD 于点E 连接,,AC AD BC 作CF AD ⊥于点F 交线段OB 于点G （不与点,O B 重合） 连接OF ．(1)若1BE = 求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG = 猜想CAD ∠的度数 并证明你的结论．2．如图 AB 是O 直径 直线l 经过O 上一点C 过点A 作直线l 的垂线．垂足为D ．连接AC ．已知AC 平分DAB ∠．(1)求证：直线l 与O 相切(2)若70DAB ∠=︒ 3CD = 求O 的半径．（参考数据：sin350.6︒≈cos350.8︒≈．tan350.7︒≈）3．如图 AC 与BD 相交于点E 连接AB CD CD DE =．经过A B C 三点的O 交BD 于点F 且CD 是O 的切线．(1)连接AF 求证：AF AB =(2)求证：2AB AE AC =⋅(3)若2AE = 6EC = 4BE = 则O 的半径为 ． 4．如图 四边形ABCD 内接于O 对角线,AC BD 交于点E 连接OE ．若,AC BD O ⊥的半径为,r OE m =．(1)若ABC BAD ∠=∠ 求证：OE 平分AEB ∠(2)试用含,r m 的式子表示22AC BD +的值(3)记ADE BCE ABE CDE 的面积分别为1S 2S 3S 4S 当求证：AC BD =．5．如图 AB 是O 的直径 ,C D 是O 上两点 且AD CD = 连接BC 并延长与过点D 的O 的切线相交于点E 连接OD ．(1)证明：OD 平分ADC ∠(2)若44,tan 3DE B == 求CD 的长． 6．已知BC 是O 的直径 点D 是BC 延长线上一点 AB AD = AE 是O 的弦 30AEC ∠=︒．(1)求证：直线AD 是O 的切线(2)若AE BC ⊥ 垂足为M O 的半径为10 求AE 的长．7．已知 在O 中 AB 为弦 点C 在圆内 连接AC BC OC 、、,ACO BCO ∠=∠．(1)如图1 求证：AC BC =(2)如图2 延长AC BC 、交O 于点E D 、 连接DE 求证：AB DE ∥(3)如图3 在（2）的条件下 设O 的半径为,3R DE R = 弦FG 经过点C 连接BG BF 、 72,3,33DBF DBG CG R ∠=∠== 求线段CF 的长． 8．已知点,,A B C 在O 上．(1)如图① 过点A 作O 的切线EF 交BC 延长线于点,E D 是弧BC 的中点 连接DO 并延长 交BC 于点G 交O 于点H 交切线EF 于点F 连接,BA BH ．若24ABH ∠=︒ 求E ∠的大小(2)如图① 若135AOC B ∠+∠=︒ O 的半径为5 8BC = 求AB 的长． 9．如图 A B C D 分别为O 上一点 连AB AC BC BD CD AC 垂直于BD 于E AC BC = 连CO 并延长交BD 于F ．(1)求证：CD CF =(2)若10BC = 6BE = 求O 的半径．10．如图 在 Rt ABC △中 90C ∠=︒，AD 平分 BAC ∠ 交 BC 于点D 点O 是边 AB 上的点 以点O 为圆心 OD 长为半径的圆恰好经过点A 交AC 于点E 弦 EF AB ⊥于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线．(2)若 12AG EG ==，，求O 的半径．(3)设O 与AB 的另一个交点为 H 猜想AH AE CE 之间的数量关系 并说明理由． 11．如图 在ABC 中 90ACB ∠=︒ 5AB = 1AD = BD BC = 以BD 为直径作O 交BC 于点E 点F 为AC 边上一点 连接EF 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点G =BAC GAF ∠∠．(1)求证：EG 为O 的切线(2)求BE 的长．12．如图 四边形ABCD 中 90B C ∠=∠=︒ 点E 是边BC 上一点 且DE 平分AEC ∠ 作ABE的外接圆O．(1)求证：DC是O的切线(2)若O的半径为5 2CE=求BE与DE的长．13．如图1 在直角坐标系中以原点O为圆心半径为10作圆交x轴于点A B，（点A⊥（点D在点E上方）连在点B的左边）．点C为直径AB上一动点过点C作弦DE AB∥交圆O于另一点记为点F．直线EF交x轴于点G连接接AE过点D作DF AE，，．OE BF AD(1)若80∠=︒求ADFBOE∠的度数(2)求证：OE BF∥(3)若2=请直接写出点C横坐标．OG CG14．如图AB为O的弦C为AB的中点D为OC延长线上一点连接BO并延长交O于点E交直线DA于点F B D∠=∠．(1)求证：DA为O的切线(2)若42EF=求弦AB的长度．AF=2⊥交O于B C两点．连15．如图在O中M为半径OA上一点．过M作弦BC OA=．接BO并延长交O于点D连接AD交BC于点E．已知EB ED(1)求证：60CD =︒(2)探究线段CE EM 长度之间的数量关系 并证明．参考答案：1．(1)1(3)45︒2．(2)2583．4．(2)()222242AC BD r m +=-5．(2)6．(2)AE =7．(3)21349CF =8．(1)48E ∠=︒ (2)9．51010．(2)52(3)2AH AE CE =+11．(2)16512．(2)6BE = 25DE =13．(1)100︒(3)点C 555-14．28215．(2)2CE EM =。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
【中考冲刺】垂径定理
【中考冲刺】垂径定理【中考冲刺】垂径定理一、选择题（共15小题）1．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8B．10 C．16 D．202．（2012•毕节地区）下列命题是假命题的是（）A．同弧或等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．两条平行线间的距离处处相等D．正方形的两条对角线互相垂直平分3．（2011•牡丹江）已知⊙0的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为（）A．12 B．8C．12或28 D．8或324．（2011•达州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．5B．4C．3D．25．（2011•临沂）如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm6．（2009•广元）如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（）A．（5，﹣4）B．（4，﹣5）C．（4，﹣7）D．（5，﹣7）7．（2010•芜湖）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．208．（2010•台湾）如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于E点，且OD⊥AC．若OE=4，ED=2，则BC长度为（）A．6B．7C．8D．99．（2010•绍兴）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．A E=OE B．C E=DE C．O E=CE D．∠AOC=60°10．（2009•攀枝花）在圆O中，圆O的半径为5cm，圆心O到弦AB的距离为4cm，则弦AB的长为（）A．3cm B．cm C．2cm D．6cm11．（2010•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB=3：5，则CD的长为（）A．6cm B．4cm C．8cm D．10cm12．（2009•湘西州）⊙O的半径为10cm，弦AB=12cm，则圆心到AB的距离为（）A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm13．（2008•衢州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是（）A．1.5 B．2C．2.5 D．314．（2007•福州）如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm15．（2008•长春）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）A．10 B．8C．6D．4二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2011•孝感）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为_________．17．（2011•台州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留π）．18．（2011•宁德）如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，OD=2，则弦BC的长为_________．19．（2011•辽阳）如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，∠BDC=35°，则∠CAD=_________．20．（2011•广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为_________．21．（2010•毕节地区）如图，在⊙O中，直径AB的长为，弦CD⊥AB于E，∠BDC=30°则弦CD的长为_________．22．（2011•厦门）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E．若AB=6cm，则AE=_________cm．23．（2011•深圳）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=12O°，弦，则OA=_________cm．24．（2011•黑龙江）如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB=120°，则弦AB长为_________．25．（2010•海南）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为_________ cm．26．（2010•玉溪）如图，在半径为10的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，AB=16，则CD的长是_________．27．（2010•北京）如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=_________．28．（2010•镇江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为_________．29．（2010•厦门）⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长是_________．30．（2010•文山州）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为_________．【中考冲刺】垂径定理参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8B．10 C．16 D．20考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，可知，点E为CD的中点，在Rt△OEC中，OE=OB﹣BE=OC﹣BE，根据勾股定理，即可得出OC，即可得出直径．解答：解：连接OC，根据题意，CE=CD=6，BE=2．在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x﹣2，故：（x﹣2）2+62=x2解得：x=10即直径AB=20．故选D．点评：本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形．2．（2012•毕节地区）下列命题是假命题的是（）A．同弧或等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．两条平行线间的距离处处相等D．正方形的两条对角线互相垂直平分考点：垂径定理；平行线之间的距离；正方形的性质；圆周角定理；命题与定理．分析：分析是否为假命题，可以举出反例；也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解答：解：A、同弧或等弧所对的圆周角相等，是真命题，故本选项不符合题意；B、平分弦的直径垂直于弦，是假命题，因为只有当该弦不是直径时才成立，故本选项符合题意；C、两条平行线间的距离处处相等，是真命题，故本选项不符合题意；D、正方形的两条对角线互相垂直平分，是真命题，故本选项不符合题意．故选B．点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2011•牡丹江）已知⊙0的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为（）A．12 B．8C．12或28 D．8或32考点：垂径定理；勾股定理．分析：在直角△OCE中，利用勾股定理即可求得OE的长，则AE=OA+OE或AE=OB﹣OE，据此即可求解．解答：解：如图，连接OC，∵弦CD⊥AB于点E∴CE=CD=16，在直角△OCE中，OE===12，则AE=20+12=32，或AE=20﹣12=8，故AE的长是8或32．故选D．点评：本题主要考查了垂径定理，正确理解应分两种情况讨论是解题关键．4．（2011•达州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．5B．4C．3D．2考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：连接OC，由垂径定理求出CE的长，再根据勾股定理得出线段OE的长．解答：解：连接OC∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=CD，∵CD=8，∴CE=4，∵AB=10，∴由勾股定理得，OE===3．故选C．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆中辅助线的作法，是重点知识，要熟练掌握．5．（2011•临沂）如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长．解答：解：连接OA，∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，∴AB=2AM，∵CD=5cm，∴OD=OA=CD=×5=cm，∵OM：OD=3：5，∴OM=OD=×=，∴在Rt△AOM中，AM===2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．（2009•广元）如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（）A．（5，﹣4）B．（4，﹣5）C．（4，﹣7）D．（5，﹣7）考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．分析：由M（0，﹣4），N（0，﹣10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．解答：解：∵M（0，﹣4），N（0，﹣10），∴MN=6，连接PM，过点P作PE⊥MN于E，∴ME=NE=MN=3，∴OE=OM+EM=4+3=7，在Rt△PEM，PE===4，∴圆心P的坐标为（4，﹣7）．故选C．点评：此题考查了垂径定理，勾股定理的知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．7．（2010•芜湖）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．20考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质．分析：延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．解答：解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD=2；∴BE=10；∴BC=2BE=20；故选D．点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．8．（2010•台湾）如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于E点，且OD⊥AC．若OE=4，ED=2，则BC长度为（）A．6B．7C．8D．9考点：垂径定理；三角形中位线定理；圆周角定理．分析：由垂径定理易知E是AC的中点，而O是AB的中点，则OE是△ABC的中位线，得BC=2OE，由此得解．解答：解：∵半径OD⊥AC，∴E是AC的中点；又∵O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线；∴BC=2OE=8；故选C．点评：此题主要考查了垂径定理及三角形中位线定理的应用．9．（2010•绍兴）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．A E=OE B．C E=DE C．O E=CE D．∠AOC=60°考点：垂径定理．分析：根据垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦即可判断．解答：解：∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE．故选B．点评：本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．10．（2009•攀枝花）在圆O中，圆O的半径为5cm，圆心O到弦AB的距离为4cm，则弦AB的长为（）A．3cm B．cm C．2cm D．6cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接圆心和弦的一端，通过构建直角三角形来求得弦AB的长．解答：解：如图，连接OA；Rt△OAC中，OA=5cm，OC=4cm；由勾股定理，得：AC==3cm；∴AB=2AC=6cm；故选D．点评：此题主要考查了勾股定理及垂径定理的综合应用能力．11．（2010•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB=3：5，则CD的长为（）A．6cm B．4cm C．8cm D．10cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据⊙O的直径可得出半径OB的长，也就求出OP的长；连接OC，在Rt△OCP中，运用勾股定理可求出CP的长，进而可依据垂径定理求得CD的长．解答：解：连接OC；∵AB=10cm，∴OB=5cm；∵OP：OB=3：5，∴OP=3cm；Rt△OCP中，OC=OB=5cm，OP=3cm；由勾股定理，得：CP==4cm；所以CD=2PC=8cm，故选C．点评：此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用．12．（2009•湘西州）⊙O的半径为10cm，弦AB=12cm，则圆心到AB的距离为（）A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：画出草图，根据垂径定理和勾股定理求解．解答：解：弦AB=12cm，根据垂径定理可知BE=6．∵OB=10，∴OE=8．（勾股定理）故选C．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，但在此题中也要用到垂径定理．13．（2008•衢州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是（）A．1.5 B．2C．2.5 D．3考点：垂径定理；三角形中位线定理．分析：作OM⊥BC，根据三角形的中位线定理弦心距等于AC的一半，再利用勾股定理求出AC的长度，本题即可求出．解答：解：过圆心O作OM⊥BC于M，又根据AB直径，则AC⊥BC∴OM∥AC即OM是△ABC的中位线又AC===4∴OM=AC=2．故选B．点评：本题主要考查了垂径定理的内容，过圆心，且垂直于弦的直线，一定平分弦．14．（2007•福州）如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：过点O作OC⊥AB于点C．根据垂径定理和勾股定理求解．解答：解：过点O作OC⊥AB于点C∵弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm∴OC=4，AC=AB=3∴OA==5cm故选C．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用．15．（2008•长春）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）A．10 B．8C．6D．4考点：垂径定理；勾股定理．分析：先求出DE和圆的半径，再利用勾股定理即可求出．解答：解：∵弦CD⊥AB，垂足为E∴CE=DE=CD=×16=8∴OA是半径OA=AB=×20=10连接OD，在Rt△ODA中，OD=OA=10，DE=8OE===6故选C．点评：此题属简单题目，涉及到垂径定理及勾股定理的运用，需同学们细心解答．二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2011•孝感）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为8π．考点：垂径定理；勾股定理；切线的性质．专题：计算题．分析：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，根据垂径定理得到BG=AG=2，利用勾股定理可得MB2﹣MG2=22=4，再根据切线的性质有NF⊥AB，而AB∥CD，得到MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，则z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r）=（R2﹣r2）•2π，即可得到z（x+y）的值．解答：解：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，而AB=4，∴BG=AG=2，∴MB2﹣MG2=22=4，又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，∴NF⊥AB，∵AB∥CD，∴MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，∴z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r），=（2R﹣2r）（R+r）•π，=（R2﹣r2）•2π，=4•2π，=8π．故答案为：8π．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了切线的性质和圆的面积公式以及勾股定理．17．（2011•台州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为50π（结果保留π）．考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：连接CA，DA，根据垂径定理得到AM=MB=10，根据圆周角定理得到∠CAD=90°，易证Rt△MAC∽RtMA2=MC•MD=100；利用S阴影=S⊙O﹣S⊙1部分﹣S⊙2和圆的面积公式进行变形可得到阴影部分的面积=•CM•MD•π，即可计算出阴影部分的面积．解答：解：连接CA，DA，如图，∵AB⊥CD，AB=20，∴AM=MB=10，又∵CD为直径，∴∠CAD=90°，∴∠AMC=∠DMA=90°，∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠D=90°，∴∠CAM=∠D，∴Rt△MAC∽Rt△MDA，∴MA：MD=MC：MA，∴MA2=MC•MD=100；S阴影部分=S⊙O﹣S⊙1﹣S⊙2=π•CD2﹣π•CM2﹣π•DM2=π[CD2﹣CM2﹣（CD﹣CM）2]，=π（CM•CD﹣CM2），=•CM•MD•π，=50π．故答案为：50π．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质以及圆的面积公式．18．（2011•宁德）如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，OD=2，则弦BC的长为4．考点：垂径定理；三角形中位线定理．分析：此题需证出OD∥BC，再根据AO=BO，得出BC=2OD，即可求出答案．解答：解：∵AB是半圆O的直径，∴∠BCA=90°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∴OD∥BC，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴BC=2OD=4．点评：此题综考查了垂径定理，关键是根据三角形的中位线定理求出答案．19．（2011•辽阳）如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，∠BDC=35°，则∠CAD=70°．考点：垂径定理；圆周角定理．分析：根据AB为⊙O直径，CD⊥AB得出∠BAD=∠BAC=∠BDC=35°，即可求出∠CAD=70°．解答：解：∵AB为⊙O直径，CD⊥AB，∴∠BAD=∠BAC=∠BDC=35°，∴∠CAD=70°．故填70．点评：此题要根据线段垂直平分线的性质证出等边三角形，再熟练运用圆周角定理求解．20．（2011•广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为24cm．考点：垂径定理；勾股专题：计算题．分析：过O点作OC⊥AB于C，连OA，根据垂线段最短得到OC=5cm，根据垂径定理得到AC=BC，再利用勾股定理计算出AC，即可得到AB．解答：解：过O点作OC⊥AB于C，连OA，如图，∴OC=5cm，AC=BC，在Rt△OAC中，OA=13cm，∴AC===12（cm），∴AB=2AC=24cm．故答案为：24cm．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．21．（2010•毕节地区）如图，在⊙O中，直径AB的长为，弦CD⊥AB于E，∠BDC=30°则弦CD的长为3．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：连接BD，由∠BDC=30°，即可推出∠BOC=60°，再由AB的长为，求出OC的长度，然后根据特殊角的三角函数值即可推出CE的长度，最后由垂径定理推出CD=2CE，通过计算即可求出CD的长度．解答：解：连接BD，∵∠BDC=30°，∴∠BOC=60°，∵AB=，∴OC=，∵CD⊥AB，∴∠OEC=90°，CD=2CE，∴cos30°==，∵OC=，∴CE=，∴CD=3．故答案为3．点评：本题主要考查圆周角定理，特殊角的三角函数值，垂径定理等知识点，关键在于首先运用圆周角定理推出∠COE的度数，然后根据特殊角的三角函数值推出CE的长度，最后根据垂径定理即可推出CD的长度．22．（2011•厦门）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E．若AB=6cm，则AE=3cm．考点：垂径定理；勾股定理．分析：由⊙O的直径CD垂直于弦AB，AB=6cm，根据垂径定理，即可求得AE的长．解答：解：∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE=AB，∵AB=6cm，∴AE=3cm．故答案为：3．点评：此题考查了垂识．此题比较简单，解题的关键是熟记垂径定理，注意数形结合思想的应用．23．（2011•深圳）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=12O°，弦，则OA=2cm．考点：垂径定理；解直角三角形．分析：过点O作OC⊥AB，根据垂径定理，可得出AC的长，再由余弦函数求得OA的长．解答：解：过点O作OC⊥AB，∴AC=AB，∵AB=2cm，∴AC=cm，∵∠AOB=12O°，OA=OB，∴∠A=30°，在直角三角形OAC中，cos∠A==，∴OA==2cm，故答案为2．点评：本题考查了垂径定理和解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．24．（2011•黑龙江）如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB=120°，则弦AB长为4．考点：垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：利用等腰三角形的性质和垂径定理得到特殊的直角三角形，然后解直角三角形求得AB的一半AC的长即可求AB的长．解答：解：∵OC垂直弦AB于点C，∴OA=OB，AC=BC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵⊙O的半径为4，∴AB=2AC=4cm．故答案为4．点评：本题考查了垂径定理及解直角三角形的知识，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．25．（2010•海南）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为cm．考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：先过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OA，由题意求得OC，由勾股定理求得AC，再由垂径定理求得AB的值即可．解答：解：如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OA，∵OA=4cm，∴OC=2cm，∴AC=2cm，∴AB=4cm，故答案为：4．点评：本题考查了勾股定理和垂径定理，解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．26．（2010•玉溪）如图，在半径为10的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，AB=16，则CD的长是4．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OA，在Rt△OAD中，由垂径定理易知AD的长，再由勾股定理可求出OD的长；而CD=OC﹣OD，由此得解．解答：解：连接OA；Rt△OAD中，AD=AB=8，OA=10；由勾股定理得：OD==6；∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4．故答案为：4．点评：此题主要考查垂径定理及勾股定理的应用．27．（2010•北京）如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=2．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．解答：解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．∴CE=CD=4．在直角△OCE中，OE===3．则AE=OA﹣OE=5﹣3=2．点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．28．（2010•镇江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为3．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，由垂径定理可求出CE的长度，在Rt△OCE中，根据CE和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OE的长．解答：解：连接OC；Rt△OCE中，OC=AB=5，CE=CD=4；由勾股定理，得：OE==3；即线段OE的长为3．点评：此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用．29．（2010•厦门）⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长是8．考点：垂径定理；勾股定理．分析：先求出半径，再利用勾股定理求出半弦长，弦长就可以求出了．解答：解：如图，根据题意，得OA=×10=5，AE===4∴AB=2AE=8．点评：利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解．30．（2010•文山州）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为5．考点：垂径定理；勾股定理．分析：OM最小值为4，即弦AB的弦心距为4，构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理，可求出圆O的半径为5．解答：解：如图，连接OA，OM⊥AB，∴OM=4，∵AB=6，∴AM=BM=AB=3，在Rt△AOM中，OA=，所以⊙O的半径为5．点评：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．。
垂径定理
中考实战冲刺八一.目的要求:1.掌握圆的概念和有关性质,垂径定理是这部分中最重要的;2.掌握点和圆、直线和圆的位置关系，灵活运用相关定理；3.掌握圆和圆以及圆和三角形、四边形、正多边形的位置关系以及相关定理。
二、重点难点提示:1.垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据。
在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线。
（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧。
其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧。
它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”。
这样理解与记忆垂径定理，理解深刻，记忆准确，有利于应用。
2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等。
注：上述定理的简写形式中，要注意同圆或等圆的条件，还要注意圆心角，弧、弦、弦心距的对应关系。
3.切线的判定方法有三种：（1）直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
注意：在切线判定中经常需要添加辅助线。
（1）如果已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到一条半径，证明所作半径与这条直线垂直即可。
（2）如果已知条件既没有给出圆上的点，也没有指出直线上的点，那么过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长度等于半径长即可。
切线的性质：（1）切线和圆有且只有一个公共点。
中考中的垂径定理
中考中的垂径定理
3、（2015•六盘水）赵洲桥是我国建筑史上
的一大创举，它距今约1400年，历经无数次 洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥 跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥 弧AB所在圆的半径R= 米．
中考中的垂径定理
4、（2015•黔东南州）如图，AD是⊙O的直
径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则 OC= ．
中考中的垂径定理
安龙新第六中学
复习垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对 的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧.
即（1）如图：AB⊥CD与E， 则CE=DE A 弧BC=弧BD ，弧AC=弧AD O （2）如图：CE=DC，则AB ⊥CD E 弧BC=弧BD ，弧AC=弧AD C B
中考中的垂径定理
7、（2013•泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，
AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且 AB=8cm，则AC的长为（ ） A． cmB． cm C． cm或 cm D． cm或 cm
中考中的垂径定理
8、如图,AB是☉O的直径,作半径OA的垂直平
分线,交☉O于C,D两点,垂足为H,连接BC,BD. (1)求证:BC=BD. (2)已知CD=6,求☉O的半径长.
人生之路，曲折如江河;人生之
诗，壮丽如彩虹。道路靠双手开 拓，坎坷凭双脚踏平。不勤奋耕 耘的人，只能望着别人的收获而 悲叹;不努力学习的人，只能碌 碌无为地度过自己的一生。
谢谢大家！
D
中考中的垂径定理
1、（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直
径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已 知CD=4，AE=1，则⊙O的半径 为 ．
九年级中考数学复习 垂径定理的复习 课件
变：求证PB=PD
【用】
考点三：垂径定理在生活中的应用
例3：一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径
AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
（2）此时排水管中水的最大深度是多少？
（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，
O
水面宽会变为16?
A
C
B
一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的
半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
解 由题意得，OC⊥AB，
1
1
∴AC=BC= AB= ×12=6.
2
2
由勾股定理，得
OC= 2 − 2 =8 .
O
A
C
半径
B
思考2：根据题目信息，你能求出圆弧形隧道的半径吗？
C
中点
C为
OD=6-R
OA=R
O
A
D
（圆心O在AB上方）
找圆心，连圆心和弧中点
B
O在CD上
OC⊥AB
1
AD =2 =4
CD⊥AB
Rt△OAD中，R2=(6-R)2+42，
13
解得：R= .
3
车辆只走一侧
变式 如图，有一个双车道隧道，横截面呈圆弧形，隧道内路面宽为
如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.且AB＝8cm，OC=5cm,求DC的长
【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常
连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成
直角三角形进行求解．
九年级下册数学讲义5垂径定理(基础)
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题垂径定理—知识讲解（基础）教学内容【知识梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【例题精讲】例1.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则DC 的长为（ ）A ．5 cmB ．2.5 cmC ．2 cmD ．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知， 所以在Rt △AOD 中，（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
【试一试】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】．例2.如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）A ．MP 与RN 的大小关系不定B ．MP ＝RNC ．MP ＜RND ．MP ＞RN【答案】B ；【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系，首先可通过测量猜测MP 与RN 相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP ≌△ONR ，如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ，∴ ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．13cm 2AD AB ==2222435AO OD AD =+=+=1cm【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且，AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m ，拱的半径为13m ，则拱高为（ ）A ．5mB ．8mC ．7mD ．m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B ；【解析】如图2，表示桥拱，弦AB 的长表示桥的跨度，C 为的中点，CD ⊥AB 于D ，CD 表示拱高，O 为的圆心，根据垂径定理的推论可知，C 、D 、O 三点共线，且OC 平分AB ．在Rt △AOD 中，OA ＝13，AD ＝12，则OD 2＝OA 2－AD 2＝132－122＝25．∴ OD ＝5，∴ CD ＝OC －OD ＝13－5＝8，即拱高为8m ．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O 是的圆心，•其中CD=600m ，E 为上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．30DAC ︒∠=53»AB »AB »AB【答案与解析】如图，连接OC ，设弯路的半径为R ，则OF=(R-90)m ，∵OE ⊥CD ，∴CF=CD=×600=300(m)， 根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2即R 2=3002+(R-90)2 ，解得R=545，∴这段弯路的半径为545m ．【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m 时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施 设OA=R ，在Rt △AOC 中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R 2=302+(R-18)2， R 2=900+R 2-36R+324，解得R=34(m).连接OM ，设DE=x ，在Rt △MOE 中，ME=16，342=162+(34-x)2，x 2-68x+256=0，解得x 1=4，x 2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m ＞3m ，∴不需采取紧急措施．1212一、选择题1.下列结论正确的是（ ）A ．经过圆心的直线是圆的对称轴B ．直径是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与直径相交的直线是圆的对称轴2．下列命题中错误的有( )．(1)弦的垂直平分线经过圆心 (2)平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于E ，则图中不大于半圆的相等弧有( )．A ．l 对B ．2对C ．3对D ．4对第3题 第5题4．AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB ，C 为垂足，若OA ＝2，OC ＝l ，则AB 的长为( )．A ．B ．C ．D ．5．如图所示，矩形ABCD 与⊙O 相交于M 、N 、F 、E ，若AM=2，DE=1，EF=8，•则MN 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．已知⊙O 的直径AB=12cm ，P 为OB 中点，过P 作弦CD 与AB 相交成30°角，则弦CD 的长为（ ）．A ．B ．C ．D ．二、填空题7．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．8．平分__ ______的直径________于弦，并且平分__________________________．9．圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB =______cm ．525323315cm 310cm 35cm 33cm10．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．10题图 11题图 12题图11．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______°．12．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．三、解答题13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施?14. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，求⊙O半径．15．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA＝30°，求CD的长.【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线.2.【答案】C ；【解析】(1)正确；（2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以（2）不正确；（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确；（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确．故选C.3.【答案】C ；【解析】；；. 4.【答案】D ；【解析】先求AC=.再求AB=2AC=.5.【答案】C ；【解析】过O 作OH ⊥CD 并延长，交AB 于P ，易得DH=5，而AM=2，∴MP=3，MN=2MP=2×3=6.6.【答案】A ；【解析】作OH ⊥CD 于H ，连接OD,则OH=, OD=6,可求DH=,CD=2DH=. 二、填空题7．【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．8．【答案】弦（不是直径），垂直于，弦所对的两条弧．9．【答案】6；10．【答案】8；11．【答案】；12．【答案】， ； 三、解答题13.【答案与解析】设圆弧所在圆的半径为R ，则R 2-(R-18)2=302， ∴R=34»»AB AB =»»AC AD =»»BC BD =22213-=23323152315o 63,120a 22a 21当拱顶高水面4米时，有， ∴不用采取紧急措施.14.【答案与解析】连结OC ．设AP ＝k ，PB ＝5k ，∵ AB 为⊙O 直径，∴ 半径． 且OP ＝OA －PA ＝3k －k ＝2k ．∵ AB ⊥CD 于P ，∴ CP ＝＝5． 在Rt △COP 中用勾股定理，有，∴ ．即，∴ (取正根)，∴ 半径(cm)．15.【答案与解析】作OF ⊥CD 于F,连结OC ，如图，∵AE=6cm ，EB=2cm ，∴AB=8cm ，∴OC=OB=4cm ，则 OE=2cm ，又∵∠CEA ＝30°∴ OF=1cm ，在Rt △COF 中，由勾股定理得cm ，∴ cm 。
[K12-初中][初三数学]垂径定理
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吾牛教育秋季小班辅导教案知识点一垂径定理1.圆是轴对称图形，每一条的直线都是它的对称轴；2.垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的；3.分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的 .圆心到圆的一条弦的叫做弦心距；4.下列说法正确的是（）A.直径是圆的对称轴B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴D.与半径垂直的直线是圆的对称轴5.已知，在⊙○中，OC⊥弦AB，垂足为C，AB=8，OC=3，则⊙○的半径长等于 .6.如图，DC是⊙○直径，弦AB⊥CD于点F，下列结论错误的是（）̂=BD̂ B.AF=BF C.OF=CF D. AĈ=BĈA.AD7.定理1：平分弦（不是）的直径，并且弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的 .上述两条定理可以看作是垂径定理的推论.8.如图，AB为⊙○的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E.若要得到结论AB⊥CD，还需添加的条件是（不要添加其他辅助线）（）̂=AD̂ B. BD̂ =BĈ C.CE=DE D.以上条件均可A. AC题型一运用垂径定理求线段的长例1：如图，⊙O的半径为6cm，弦AB与半径OA的夹角为30°，弦AB的长为.巩固练习1：如图，⊙○的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3<OM<5 D.4<OM<5例2：在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1:5两部分，AB=6cm，则弦CD的长为（）A.2√2cmB. 4√2cmC. 4√3cmD. 2√3cm巩固练习2：如图，在⊙○中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于点M，CD=15cm，OM:OC=3:5，弦AB的长为.知识点二确定圆的条件和三角形的外接圆1. 的三个点确定一个圆.2. 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做，三角形叫做 .三角形的外心是三角形的交点.3.经过一点的圆有个，经过两点的圆有个.4.若平面上A,B,C三点能够确定一个圆，那么A,B,C三点所满足的条件是 .5.下列条件可以确定一个圆的是（）A.已知圆心B.已知两个点C.已知三个点D.已知直径6.下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三角形三个角的平分线的交点B. 外心是三角形三条高线的交点C. 外心是三角形三条中线交点D. 外心是三角形三边垂直平分线的交点题型一三角形的外接圆的有关概念例1：下列命题中，正确的是（）A.三角形的外心是三角形的三条高线的交点B. 等腰三角形的外心一定在它的内部C. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离都相等D.锐角三角形的外心可能在三角形的外部，钝角三角形的外心可能在三角形的内部巩固练习1：下列说法正确的是（）A.经过三个点一定可以作圆B.任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形C.任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆D.三角形的外心到三角形各边的距离都相等题型二三角形的外接圆的有关计算例2：如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圆半径.巩固练习2：已知一个三角形的三边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆面积等于cm2.知识点三图形的旋转1.一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的定，按，转动，这样的图形运动叫做图形的 .这个固定的点叫做 .2.图形旋转的性质：图形旋转所得的图形与原图形全等.对应点到的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于 .3.将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（）A.96B.69C.66D.994.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B,A,C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A.60°B.90°C.120°D.150°（4）（5）5.如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′.已知BC=4，则E′D′等于（）A.2B.3C.4D.1.5题型一图形的运动例1：如图，在方格纸中，△ABC经过运动得到△DEF，正确的运动是（）A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B. 把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移2格C. 把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转90°D. 把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转90°巩固练习1：以下三组两个图形之间的运动分别属于（）A.平移、旋转、旋转B. 平移、轴对称、轴对称C. 平移、轴对称、旋转D. 平移、旋转、轴对称题型二旋转作图与应用旋转的性质求线段之间的数量与位置关系例2：如图，在正方形ABCD中作∠EAF=45°，分别交边BC,CD于点E,F（不与顶点重合），把△ABE绕点A逆时针旋转90°，落在△ADG的位置.（1）请你在图中画出△ADG（不写作法）；（2）试说明线段BE,DF与EF之间存在怎样的数量关系.巩固练习2：如图，在单位长度为1的正方形网格中，已知Rt△DAE，∠A=90°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°后得到△DCF （∠C=90°），再将△DCF沿DA向左平移6个单位长度后得到△ABH（∠B=90°）.（1）画出△DCF及△ABH；（2）AH与DE有怎样的位置关系？请证明你的结论.1.正方形ABCD的边长是1，对角线AC，BD相交于点O.若以O为圆心作圆，要使点A在⊙O外，则所选取的半径可能是（）A.12B.√22C.√32D.22.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列叙述正确的是（）A.O是△AEB的外心，O是△AED的外心B. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心C. O不是△AEB的外心，O是△AED的外心D. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心3.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结A A′.若∠1=20°，则∠B的度数是（）A.55°B.60°C.65°D.70°4.已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是线段AB上一点，⊙C经过P点，且半径为r，则r的取值范围是 .5.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=2，BC=3，M为AB的中点.（1）以C为圆心，2为半径作⊙C，则点A,B,M与⊙C的位置关系如何？（2）若以C为圆心，作⊙C，使A,B,M三点至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是以点A为圆心4为半径的原上一点，连结BD，点M为BD中点，求线段CM长度的最大值.7.如图，△ABC内接于⊙O，根据下列条件分别求∠BOC和∠OBC的度数.A（1）∠BAC=70°；（2）∠BAC=n°.OBC8.如图，已知四边形ABCD是正方形，△DCE绕点D顺时针旋转后与△DAF重合，问：（1）旋转角至少是多少度？（2）连结EF后，△DEF是什么三角形？（3）若AB=5cm，那么，四边形BEDF的面积是多少？1.我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”，在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离，类似地，若P是⊙O外一点（如图），则点P与⊙O的距离定义为（）A.线段PO的长度 B.线段PA的长度 C.线段PB的长度 D.线段PC的长度2.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长CD至点E，使DE=CD，那么点E的位置是（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定3.如图，直线l1//l2,点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B,C两点，连结AC,BC,若∠ABC=54°，则∠1的大小为（）A.36°B.54°C.72°D.73°4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连结B1B，取B1B的中点D，连结A1D，则A1D的长度是（）A.√7B.2√2C.3D.2√35.如图，已知直线L外的两点A,B，且A,B在直线L的两旁，则经过A,B两点且圆心在直线L上的圆有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个（D5）（D6）6.如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a，EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是（）A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a7.已知⊙A的半径为6.5，圆心A的坐标为（-6,0），点B的坐标是（0,3），则点B与⊙A的位置关系是 .8.若等腰直角三角形外接圆的半径为3，则这个三角形三边的长分别为 .9.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D.已知CD=4，OD=3，则AB的长是 .（D9）（D10）10.如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则∠AC B′= 度.11.已知A,B,C三点，根据下列条件，试说明A,B,C三点能否确定一个圆.若能，请求出其半径；若不能，请说明理由.（1）AB=1cm,BC=2cm,AC=3cm；（2）AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm；（3）AB=AC=5cm,BC=6cm.12.已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°.连结AD,BC,点H为BC中点，连结OH.AD且OH⊥AD，请说明理由.（1）如图1所示，易证：OH=12（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论.11教育引导专家引发成长动力。
垂径定理1
O A
.
C
P
D
B
练 习
1 、如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A
E
O
D B
C E
2、在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
垂径定理
探 索
• AB是⊙O的一条弦.
过O作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. • 你能发现图中有哪些等量关系?
C
A
M└
●
B O
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒
D
⌒ ⑤AD=BD.
探 索
连接OA,OB,
则OA=OB. 在等腰三角形OAB中， CD AB 根据三线合一
（2）垂直于弦 （1）过圆心 （4）平分弦所对的优弧 （3）平分弦 （5）平分弦所对的劣弧
（2）垂直于弦 （3）平分弦
（1）过圆心
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
C
A
M└
●
B O
∴AM=BM. AOM BOM
⌒ =BC, ⌒ ∴AC
⌒ =BD. AD
⌒
D
探 索
• 定理 • 垂直于弦的直径 平分弦,并且平分弦所对的两 条弧.
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
O
C
A
M└
●
∴AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
CD平分弦AB 结论 CD平分弧AB CD平分弧ADB
垂径定理
垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦 所对的两条弧．
在圆中解决有关弦的问题时，经常是 过圆心作弦的垂线段，连接半径等辅助线， 为应用垂径定理创造条件，结合勾股定理 进行计算。
谢谢大家！
B
有相 等的 曲线 吗？
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等 的线段或相等的圆弧.
D
B O
E
A A C E
O
O
A
A
E C
B
C
B
D
O E B D
O
C
A
E D
B
A
E C
B
如图，在⊙O中，弦AB的 长为8cm，圆心O到AB的距 离OE为3cm，求⊙O的半 径．
A
E
. O
B
弦心距
如图，在⊙O中，直径AB=10， AB⊥CD于M，OM=3，则CD= 8
填空：
线段、角、矩形、菱形、正方形、 等腰三角形 圆
、
C
1
弦
直径 弦与直径垂直
O A
2 3
EBDຫໍສະໝຸດ 执教C.A
条件： CD是直径， AB是弦，CD⊥AB， 垂足为E.
O E B
叠合法
D AE＝BE AC＝BC
⌒ ⌒
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 ⌒ ⌒ AD＝BD 所对的两条弧．
升华问题
平分弦 AE=BE C 平分弦所对的 顶点在对称轴上 的角 ∠AOE=∠BOE
M
.
F
O
A 平分弦所对 的两条弧 ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ AC=BC
E
D
B
∠ADC=∠BDC ∠AFD=∠BFD
条件： CD是直径， AB是弦，CD⊥AB， 垂足为E.
(名师整理)最新数学中考专题复习《垂径定理》考点精讲精练课件
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在数学的天地里，重要的不是我们知 道什么，而是我们如何知道什么
-------毕达哥拉斯
②如图，连接 BC.∵BD∥CF，∴BFCE＝OOCE＝OOBF.∵BE＝2， OE＝32，R＝52，∴CF＝130，OF＝265.∴AF＝OF＋OA＝230.在 Rt△BCE 中，CE＝1，BE＝2，∴BC＝ CE2＋BE2＝ 5.∵AB
是直径，∴△ACB 为直角三角形．∴AC＝ AB2－BC2＝2 5.
课堂精讲
【解】(1)证明：∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC. ∴C 是 的中点． ∴OC⊥BD.∴BE＝DE. ∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD， ∴∠AFC＝∠ABD. ∴BD∥CF. ∴OC⊥CF. ∵OC 是半径，∴CF 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)①设 OC＝R.∵DE＝2CE＝2，∴BE＝DE＝2，CE＝1.∴OE＝R－1.在 Rt△OBE 中，(R－1)2＋22＝R2，解得 R＝52.∴OE＝52－1＝32.由(1)得，OA＝OB， BE＝DE，∴AD＝2OE＝3.
课堂精讲
【解】(1)∵DF 过圆心，且 AF＝BF，∴DF⊥AB，
.
∴∠ACD＝∠EAD.又∠ADC＝∠EDA，∴△DAC∽△DEA. (2)连接 OA，如图，∵DF⊥AB，∴∠AFD＝∠DFE＝90°.
在 Rt△AOF 中，OA＝OD＝3，AF＝ 5，根据勾股定理，得 OF
＝ OA2－AF2＝2，∴DF＝OD＋OF＝3＋2＝5.在 Rt△ADF 中，AF＝ 5，DF＝5，
根据勾股定理，得 DA＝ AF2＋DF2＝ 30.又 EF＝FB＋BE＝FB＋AB＝3 5，AE
＝AF＋EF＝4 5.在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，得 DE＝ EF2＋DF2＝ 70，
垂径定理
垂径定理
1.如图，⊙O中，直径AB的长是12厘米，E是OB的中点，求CD的长。
一变：⊙O中，AB是直径，弦C D⊥AB，垂足为点E，如果CD=8，E是OB的中点，求AB 的长。
二变：⊙O中，弦MN的长是8厘米，弧MN的中点C到MN的距离为2厘米，求⊙O的半径
三变：⊙O的半径为10厘米，圆内两条平行弦AB、CD的长为12厘米，16厘米，求两弦之间的距离。
四变：如图，⊙O中，弦AB的长为83厘米，∠AOB的度数是1200，求⊙O的直径。
2.如图，⊙O中，AB是直径，CD是弦，过点C作C E⊥CD交AB 于点E，过点D作DF⊥CD 交AB于点F，求证：AE=BF
一变：如图，⊙O中，AB是直径，直线CD交⊙O于E、F，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，试说明：CE=DF
二变：如图，弦CD交直径AB于点G，过点C作CE⊥CD于点C，过点D作DF⊥CD于点D，分别交直径的延长线于E、F，试说明：AE=BF。
3.已知，AB、AC为⊙O的两条弦，E、F分别为弧AB和弧AC的中点，连接EF交AB于M，交AC于N，求证：∠AMN=∠ANM。
4．如图，同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，AB=4，CD=2，
（1）求AC和BD长；
（2）若O E⊥AB于点E，且EO=1，求两圆的半径之比。
5．如图，M是弧BA的中点，过M的弦MN交AB于点C，设圆的半径为4厘米，MN=43厘米，
（1）求圆心O到弦AB的距离，
（2）求∠ACM的度数。
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中考数学复习（42）：垂径定理知识考点：1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
精典例题：【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求：（1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。
解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于F ，连结DO ∵AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB ＝8cm∴⊙O 的半径为4 cm ∵∠CEA ＝300，∴OF ＝1 cm ∴1522=-=OF OD DF cm 由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm（2）过C 作CG ⊥AB 于G ，过D 作DH ⊥AB 于H ，易求EF ＝3cm ∴DE ＝)315(+cm ，CE ＝)315(-cm∴253315315-=+-==DE CE DH CG 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、35分析：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN ＝ND 。
∵OM ⊥MN ，ME ⊥EN ，CN ＝ND∴222OE ON OM =+从而22222OE CN OC AM OA =-+-即222221)2(2)2(2=-+-CD AB ∙例1图HE FGO DCBA ∙例2图MN E O DCBA∙例2图MN E O DCBA∴2822=+CD AB 故选A 。
【例3】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝31。
求： （1）BC 的长；（2）AB 边上高的长。
分析：（1）已知AB ＝AC ，可得⋂⋂=AC AB ，则A 为⋂BC 的中点。
已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。
解：（1）连结AO 交BC 于D ，连结BO 由AB ＝AC 得⋂⋂=AC AB ，又O 为圆心 由垂径定理可得AO 垂直平分BC ∵tanB ＝31，设AD ＝x cm ，则BD ＝x 3cm ∴OD ＝)5(x -cm在Rt △BOD 中，222)5()3(5x x -=+，解得11=x ，02=x （舍去） ∴BD ＝3 cm ，BC ＝6 cm 。
（2）设AB 边上的高为h ，由（1）得：AD ＝1 cm ，AB ＝10cm∵h AB AD BC S ABC ⋅=⋅=∆2121 ∴5103=⋅=AB AD BC h 探索与创新：【问题一】不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。
∙①∙② ∙③分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线l 与AB 的不同位置关系画出不同的图形∙例3图OD CBA（如下图），①直线l 与AB 平行；②直线l 与AB 相交；③直线l 与AB 或BA 的延长线相交。
其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。
解：（1）如下图所示。
l∙问题一图1 OHFE D CBA l∙问题一图2O H F E DC BAl∙问题一图3OH FE D C BA（2）EC ＝FD 或ED ＝FC（3）以①图为例来证明。
过O 作OH ⊥l 于H ∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴AE ∥OH ∥BF又∵OA ＝OB ，∴EH ＝HF ，再由垂径定理可得CH ＝DH ∴EH －CH ＝FH －DH ，即EC ＝FD【问题二】如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 任作一直线与⊙O 1交于M ，与⊙O 2交于N ，问什么时候MN 最长？为什么？解析：任作两条过A 的线段EF 、MN ，比较MN 与EF 的大小，不好比较，根据垂径定理，分别过O 1、O 2作弦心距，易知CD ＝21EF ，PQ ＝21MN ，比较PQ 与CD 的大小即可（PQ ＝O 1O 2）。
发现O 1O 2是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN 的一半正好是O 1O 2，则MN 最长。
答案：当MN ∥O 1O 2时，MN 最长。
跟踪训练： 一、选择题：1、下列命题中正确的是（ ）A 、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B 、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C 、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；D 、弦的垂线平分弦所对的弧。
2、如图，⊙O 中，直径CD ＝15cm ，弦AB ⊥CD 于点M ，OM ∶MD＝3∶2，则AB 的长是（ ）3、已知⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12 cm ，CD ＝16 cm ，则AB 和CD 的距离是（ ） A 、2cm B 、14cmC 、2cm 或14cmD 、2cm 或12cm4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ） A 、1 B 、23 C 、2 D 、25 二、填空题：1、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有 条。
问题二图∙选择第2题图 M OD C BA2、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为 。
3、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝1200，BC ＝10 cm ，则△ABC 的外接圆半径为 。
4、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm 和5 cm 两段，则此弦长为 。
5、如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ⊥AC 于D ，BD 交OC 于E ，若AC ＝4，AB ＝5，则BE ＝ 。
∙第2题图EOD CBA∙第5题图 EOD CBA∙2O 1O ∙第6题图PDCBA6、如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，C 、A 、D 三点在一条直线上，CD 的延长线交O 1 O 2的延长线于P ，∠P ＝300，3221=O O ，则CD ＝ 。
三、计算或证明题：1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长。
∙第1题图EDCBA2、如图，⊙O 的半径为10cm ，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过点G ，CD ＝16cm ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求AE －BF 的值。
∙第2题图G FOEDCB A3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。
∙第3题图OEDCBA4、如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥BC 于E ，CF ⊥AB 于F ，交AD 于G ，BE ＝3，CE ＝2，且tan ∠OBC ＝1，求四边ABDC 的面积。
∙第4题图GFO EDC BA参考答案：一、选择题：BCCD 二、填空题： 1、4条；2、265；3、3310cm ；4、24cm ；5、3132；6、6 三、计算或证明题： 1、AB ＝5，AD ＝518； 2、解：连结OC ，过点O 作OM ⊥CD 于M ，则CM ＝MD ∵CD ＝16，AB ＝8，在Rt △OMC 中，因OC ＝10 ∴OM ＝68102222=-=-CM OC∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，OM ⊥CD ，∴AE ∥OM ∥BF∴OG AG OM AE =，OG BGOM BF = ∴22==-=-OGOGOG BG AG OM BF AE ∴AE －BF ＝2OM ＝123、提示：连结OE ，由⋂⋂=EC BE 得OE 垂直平分BC 于F ，AB 为直径，则∠ACB ＝900，BC ＝7222=-AC AB 。
∴CF ＝7，EC ＝221)7(22=+4、解：过点O 作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥AD 于N ，连结AO ∵BE ＝3，CE ＝2，∴BC ＝5，BM ＝25又∵tan ∠OBC ＝1，∴∠OBM ＝450在Rt △OBM 中，OB ＝225，∴ON ＝ME ＝21在Rt △AON 中，AN ＝2722=-AN OA∵ON ⊥AD ，∴AN ＝ND ，∴AD ＝7 ∴235212121=⋅=⋅+⋅=AD BC DE BC AE BC S ABDC。