第二讲 证明不等式的基本方法 知识归纳 课件(人教A选修4-5)

真题体验
1．(2011· 福建高考)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.
①求集合M；
②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． 解：①由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1， 解得0＜x＜1， 所以M＝{x|0＜x＜1}．
②由①和a，b∈M可知0＜a＜1,0Βιβλιοθήκη Baidub＜1.
所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0， 故ab＋1＞a＋b.
放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式 关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更 强的 不等式来代替原不等式的一种证明方法．
放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和
程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的． . .
[例 5]
已知|x|< ，|y|< ，|z|< ， 3 6 9
1 1 (2)若 AD> BC，因为 BD＝DC＝ BC， 2 2 所以在△ABD 中，AD>BD， 从而∠B>∠BAD. 同理∠C>∠CAD. 所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD. 即∠B＋∠C>∠A. 因为∠B＋∠C＝180° －∠A， 所以 180° －∠A>∠A 即∠A＜90° ，与已知矛盾， 1 故 AD＞ BC 不成立． 2 1 由(1)(2)知 AD＜ BC 成立. 2
等式中“当且仅当„„时，取等号”的理由要理解掌握．
[例2] 已知a，b，c为△ABC的三条边，求证：
a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)
[证明] 设 a，b 两边的夹角为 θ，则由余弦定理：
a2＋b2－c2 cos θ＝ 2ab ∵因为 0<θ<π， ∴cos θ<1. a2＋b2－c2 ∴ <1. 2ab
因此 h(x)在(1,3)内单调递减， 又 h(1)＝0，所以 h(x)<0， 9x－1 即 f(x)< . x＋5
比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比 较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作
差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，
变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于 判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形 所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分 解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
即 a2＋b2－c2<2ab. 同理可证：b2＋c2－a2<2bc， c2＋a2－b2<2ac. 将上面三个同向不等式相加，即得： a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca).
分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、
已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等 式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发， 逐步寻找 使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已 知(或已证)的不等式．
[例 1] 已知 b，m1，m2 都是正数，a<b，m1<m2，求 a＋m1 a＋m2 证： < . b＋m1 b＋m2
[证明] a＋m1 a＋m2 － b＋m1 b＋m2
a＋m1b＋m2－a＋m2b＋m1 ＝ b＋m1b＋m2 am2＋bm1－am1－bm2 ＝ b＋m1b＋m2 a－bm2－m1 ＝ . b＋m1b＋m2
法二：由均值不等式，当 x>1 时，2 x<x＋1， x 1 故 x< ＋ . 2 2 ①
1 令 k(x)＝ln x－x＋1，则 k(1)＝0，k′(x)＝x－1<0， 故 k(x)<0，即 ln x<x－1. 3 由①②得，当 x>1 时，f(x)< (x－1)． 2 ②
9x－1 (2)法一：记 h(x)＝f(x)－ ， x＋5 当 1<x<3 时，由(1)得 2＋ x x＋5 1 1 54 54 54 h′(x)＝ ＋ － ＝ － < － x 2 x x＋52 2x x＋52 4x x＋52 x＋53－216x ＝ . 4xx＋52 令 l(x)＝(x＋5)3－216x,1<x<3， l′(x)＝3(x＋5)2－216<0， 因此 l(x)在(1,3)内是递减函数，又由 l(1)＝0，得 l(x)<0，所 以 h′(x)<0. 因此 h(x)在(1,3)内是递减函数，又由 h(1)＝0，得 h(x)<0. 9x－1 于是当 1<x<3 时，f(x)< . x＋5
因为 b>0， 1， 2>0， m m 所以(b＋m1)(b＋m2)>0. 又 a<b，所以 a－b<0. 因为 m1<m2，所以 m2－m1>0. 从而(a－b)(m2－m1)<0. a－bm1－m1 于是 <0. b＋m1b＋m2 a＋m1 a＋m2 所以 < . b＋m1 b＋m2
2．(2012· 辽宁高考)设 f(x)＝ln x＋ x－1，证明： 3 (1)当 x>1 时，f(x)< (x－1)； 2 9x－1 (2)当 1<x<3 时，f(x)< . x＋5
3 解：(1)法一：记 g(x)＝ln x＋ x－1－ (x－1)，则当 x>1 2 1 1 3 时，g′(x)＝x＋ － <0. 2 x 2 3 又 g(1)＝0，故 g(x)<0，即 f(x)< (x－1)． 2
[例 4] 已知：在△ABC 中，∠CAB>90° ， 1 D 是 BC 的中点， 求证： AD< BC(如右图所示)． 2
[证明] 1 假设 AD≥ BC. 2
1 (1)若 AD＝ BC，由平面几何中定理“若三角形一边 2 上的中线等于该边长的一半， 那么， 这条边所对的角为直 角”，知∠A＝90° ，与题设矛盾． 1 所以 AD≠ BC. 2
当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去
证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有 效．
分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充 分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成 立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，
对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因
用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法 予以证明，反证法是间接证法的一种． 假设欲证的命题是“若A则B”，我们可以通过否定来达
到肯定B的目的，如果只有有限多种情况，就可用反证法．
用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通 过逻辑推理，导出与已知条件或公理或定理或某些性质相 矛盾的结论，从而肯定原命题成立．
法二：记 h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)， 则当 1<x<3 时， 由(1)得 h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9 3 1 1 < (x－1)＋(x＋5)(x＋ )－9 2 2 x 1 ＝ [3x(x－1)＋(x＋5)(2＋ x)－18x] 2x 1 x 1 < [3x(x－1)＋(x＋5)(2＋ ＋ )－18x] 2x 2 2 ＝ 1 (7x2－32x＋25)<0， 4x
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的
不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导
出所要证明的不等式成立． 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑 推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点 的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应 用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带 等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不
考情分析
从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查
比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要 涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中 档题．
在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适
的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间
的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至 少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必 要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法 等技巧简化对问题的表述和证明．
此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证 明，所以分析法和综合法可结合使用．
[例 3]
[证明]
已知 a>b>0.求证： a－ b< a－b
要证 a－ b< a－b
只需证： a< a－b＋ b， 只需证：( a)2<( a－b＋ b)2， 只需证：a<a－b＋b＋2 ba－b， 只需证：0<2 ba－b. ∵a>b>0.上式显然成立， ∴原不等式成立．即 a－ b< a－b.
求证：|x＋2y－3z|<ɛ. [证明] ∵|x|< ，|y|< ，|z|< ， 3 6 9
∴|x＋2y－3z|＝|x＋2y＋(－3z)| ≤|x|＋|2y|＋|－3z|＝|x|＋2|y|＋3|z| < ＋2× ＋3× ＝ɛ. 3 6 9 ∴原不等式成立．
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