数列通项公式几种常见求法

浅谈数列通项公式的几种常见求法

求数列的通项公式是高中阶段经常遇到的问题，也是历年高考的重点之一。通常，对于等差、等比数列这样的特殊数列，我们可以通过已讨论的公式求解，而一些一般数列和递推数列通项公式的求解往往是学生们感到困难和棘手的问题。下面就一些常见问题，介绍几种常用的求解方法供大家学习和参考。

一、问题与方法

★问题一：若数列为等差和等比数列，可直接利用其通项公式

an=a1+（n-1）d和an=a1·qn-1解决。

★问题二：已知sn求an的方法（只有一种）：即利用公式

an=s1（n=1)sn-sn-1（n≥2）

注意：一定要对n的取值作讨论，还要检验当n=1的情况是否符合当n≥2的关系式，从而决定能否将其合二为一。

★问题三：已知数列递推关系求通项的常用方法：

1.已知a1和an-an-1=f（n），求an，利用迭加法（逐项相加法）求解。其中f（n）是关于n的一次式或指数式。

即an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）+f（n）

2.已知a1和 =f（n），求an，利用迭乘法（逐项相乘法）求解。即an=a1·f（2）·f（3）·…·f（n-1）·f（n）

3.已知a1=a和an+1=pan+q（n∈n*），求an。把原递推公式转化为an+1+t=p（an+t）形式，运用待定系数法确定t= ，化归｛an+ ｝

是以p为公比的等比数列再解答。

二、典型例题

类型一：若已知数列的前n项和sn与an的关系，求数列｛an｝的通项an，可用公式an=s1（n=1)sn-sn-1（n≥2）求解。

例1.已知数列｛an｝的前n项和sn满足sn=3n2-2n+1，求数列｛an｝的通项公式。

解：an=sn-sn-1（n≥2）

an=3n2-2n+1-［3（n-1）2-2（n-1）+1］=6n-5

因为a1=s1=2

所以an=2（n=1)6n-5（n≥2）

类型二：迭加法递推公式为an+1=an+f（n）（已知a1）

例2.已知数列｛an｝中a1= 且满足a1，a2-a1，a3-a2，…an-an-1构成首项为1，公比为的等比数列，求数列｛an｝的通项公式。解：｛an-an-1｝为首项为1，公比为的等比数列

所以an-an-1=（）n-1

所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…（an-an-1）＝＋（）1+（）2+（）n-1

例3.设｛an｝是首项为1的正项数列，且an2-an-12-nan-nan-1=0，（n∈n*）求数列的通项公式an。

解：由题设得（an+an-1）（an-an-1-n）=0

因为an＞0，an-1＞0，∴an+an-1＞0

所以an-an-1=n

所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…（an-an-1）=1+2+3+…+n= 类型三：迭乘法递推公式为an+1=f（n）an（已知a1）

例4.数列｛an｝中，a1= ，前n项的和sn=n2an，求an+1。

解：an=sn-sn-1=n2an-（n-1）2an-1?圯（n-1）2an=（n-1）2an?圯 =

所以an= ·…·a1= ·…× =

所以an+1=

类型四：线性递推公式为an+1=pan+q（已知a1）（其中p，q均为常数，［pq（p-1）≠0］。

例5.数列｛an｝满足a1=1，an= an-1+1（n≥2），求数列｛an｝的通项公式。

解：由an= an-1+1（n≥2）得an-2= （an-1-2），而a1-2=1-2=-1，所以数列｛an-2｝是以为公比，－1为首项的等比数列

所以an-2=-（）n-1?圯an=2-（- ）n-1

类型五：线性指数型递推公式为an+1=pan+qn+1（p，q均为常数）时，可先两边同时除以qn+1，得 = · +1，令bn= 转化为类型四an+1=pan+qn+1（p，q均为常数）型再解答。（线性指数型递推公式为an+1=pan+rqn，其中p，q，r均为常数，此法也适用）

例6.已知数列｛an｝中，a1=3，an+1=3an+2n+1，求数列｛an｝的通项公式。

解：在an+1=3an+2n+1两边除以2n+1?圯 = （）+1

令cn= ，则cn+1= cn+1，

利用类型四解法得：cn=5（）n-1-2?圯an=2n·cn=10·3n-1-2n+1 注意：若是线性整式型递推条件an+1=pan+f（n），其中f（n）是n的整式，可仿照以上方法完成。

（作者单位贵州省贵阳市第十二中学）

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