数列专题生

数 列 专 题

1．已知等差数列{a n }{和正项等比数列{b n }，a 1=b 1=1,a 3=b 3=2． ⑴求a n ,b n ； ⑵设2n n n c a b =⋅,求数列{c n }的前n 项和S n ; ⑶设{}n b 的前n 项和为T n ，是否存在常数p 、c ，使()2log n n a p T c =++恒成立？ 若存在，求p 、c 的值；若不存在，说明理由．

2．设数列{}n a 的前n 项积为,1n n n T T a =-；数列{}n b 的前n 项和为,1n n n S S b =-

（1） 设1n n

c T =，①证明数列{}n c 成等差数列；②求证数列{}n a 的通项公式； （2） 若(2)n n T nb n kn n N ++-≤∈对恒成立，求实数k 的取值范围．

3.已知常数a ≠0，数列｛a n ｝前n 项和为S n ，a 1=1，且()1n n S a a n n

=+-. （Ⅰ）求证：数列｛a n ｝为等差数列；

（Ⅱ）若b n =3n +(－1)n a n ,且数列｛b n ｝是单调递增数列，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若a =12，数列｛c n ｝满足：2011

n n n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在p 、q *∈N ，使得c k =c p ·c q ？若存在，求出p 、q 的值（只要写出一组即可）；若不存在说明理由.

4.设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列

1}{1=a a n 的首项，前n 项和为n S ，已知对任意整数k ∈M ，当整数

)(2,k n k n k n S S S S k n +=+>-+时都成立 （1）设

52,2},1{a a M 求==的值； （2）设

}{},4,3{n a M 求数列=的通项公式

5.已知数列{ n a }、{ n b }满足：1121,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式；

(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立

6.在数列{}n a 中，已知10a p =>，且2*132,n n a a n n n N +⋅=++∈.

（1）若数列{}n a 为等差数列，求p 的值； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；

（3）当2n ≥时，求证：

21211n i i n a n =->+∑.