排列图在应用中常见的问题
MBA数学排列组合常见问题及方法总结
根据乘法原理，不同排队方法有 A55 A22 240 (种). （4）不相邻问题用插空法.
第一步：除甲乙外的 4 个人排队，即 A44 ； 第二步：4 个人中间形成了 5 个空，挑两个空让甲乙两人排进去，两人必不
相邻，即 A52 ； 根据乘法原理，不同排队方法有 A44 A52 480 (种). （5）定序问题用消序法.
排列组合常见问题及方法
1.住店问题
n 个不同人(不能重复使用元素），住进 m 个店（可以重复使用元素），那么
第一，第二，…，第 n 个人都有 m 种选择，则总共排列种数是 mn 个.
例 1.有 5 人报名参加 3 项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有
（ ）.
(A)243 种 (B)125 种 (C)81 种 (D)60 种 （E)以上选项均不正确
6. 相同元素的分配问题-----挡板法
将 n 个“相同的” m 个对象，每个对象“至少分一个”的分法如下：
把这 n 个元素排成一排，中间有 n 1个空，挑出 m 1个空放上挡板，自然就
分成了
m
组，所以分法一共有
C m1 n1
种，这种方法称为挡板法.
要使用挡板法需要满足以下条件：
①所要分的元素必须完全相同.
运动员进行 5 局单打比赛.如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员
的不同出场顺序有（ ）.
(A)12 种
(B)10 种
(C)8 种 (D)6 种 (E)4 种
4.均匀与不均匀分组问题
（1）均匀分组与不均匀分组. 如果组与组之间的元素个数相同，称为均匀分组；否则，称为不均匀分组. （2）小组有名称与小组无名称. 只是分组即可，则小组无名称；如分为 A 组、 B 组、C 组，或种子队、非种 子队.等等，则小组有名称. （3）如果均匀分组，并且小组无名称，需要消序（若有 m 组元素个数相等，
掌握QC手法之排列图运用技巧：从数据收集到解决问题
掌握QC手法之排列图运用技巧：从数据收集到解决问题一、QC排列图简介QC排列图（Quality Control Pareto Chart）是一种常用的质量管理工具，可以帮助企业梳理质量问题的重要性，找出问题症结，并针对性地制定改进措施，以提高产品和服务的质量。
QC排列图适用于各种行业及领域，如制造业、服务业、医疗保健等。
通过使用QC排列图，企业可以迅速识别工作流程中的问题，及时储存、分析和使用它们。
QC排列图的主要作用是将问题分解成更小的组件，并确定最引发问题的原因。
QC排列图可以将问题按照发生频率和重要程度排序，并将问题进行分组，帮助管理者找到目标问题，进而采取有效措施来解决问题。
QC排列图的制作可以通过几个简单的步骤来完成，具有易于学习的优点，可以使管理者迅速了解问题的整体情况。
与其他质量管理工具相比，QC排列图应用范围比较广，灵活性较强，制作简单易于掌握，可以帮助管理者快速找到问题，尤其擅长对多维数据的分析。
同时，由于QC排列图可以将问题归并成最重要和最需要注意的问题，因此该工具的作用相对于其他工具更加直接。
二、数据采集和整理在制作QC排列图之前，需要进行数据采集和整理。
数据采集和整理是QC排列图制作的重要环节，准确的数据可以为制作QC排列图奠定基础。
1. 数据收集方式和工具的选择数据采集最常见的方式是通过问卷调查、访谈等方式收集。
除此之外，也可以通过计算机系统或者机器采集收集数据，通过数据挖掘技术进行数据提取、筛选。
数据收集工具的选择可以根据采集的数据种类和目的而定。
常见的数据收集工具有问卷、调查表、电子表格等，其目的是收集数据，并将数据转换为数字形式，便于在软件中进行分析和整理。
2. 数据预处理和清洗在进行数据采集后，需要对数据进行预处理和清洗。
数据预处理是为了整理数据，使其更加有序，便于后面使用。
数据清洗是为了将数据清除错误、重复和无效数据。
数据预处理和清洗包括以下内容：-数据转换：将数据转化为数字，使其能够在计算机软件中进行计算。
排列组合问题的解决方法
排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。
在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。
本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。
一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。
在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。
通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。
但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。
2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。
二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。
在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。
通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。
但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。
2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。
通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。
递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。
3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。
比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。
三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。
排列图在应用中常见的问题
排列图在应用中常见的问题排列图在应用中常见的问题在质量管理活动中，排列图是应用最为a广泛的一种简易统计方法，但正因为简单，人们反而极易忽视它，而在应用中经常出现问题。
1．错误地理解排列图和因果图的不同任务有些人由于对排列图和因果图朱同任务错误理解，竟然在质量改进活动的开始阶段，先画因果图，再画排列图，这种程序显然是不正确的。
要取得质量改进的效果，必须首先找出主要质量问题，这正是排列图的任务。
然后才能针对产生这个主要质量问题进行因果分析，找出真正的原因，而这正是因果图的任务，颠倒过来搞，将不能为质量改进活动提供正确的方向。
2．收集数据的时间范围选择不当为画排列图要需要收集多长时间内的数据，并无严格规定。
但时间范围过短，不能使各种质量问题或现象充分暴露，故无法取得足够多的数据，而时间范围过长，则工序状态将发生变化，就会使不同质的数据混杂在一起，失去统计意义。
所以，必须从生产实际出发，结合专业技术，综合考虑上述两点，才能确定恰当的时间范围。
3．确定项目的分类方法不当(1) 结果与原因混杂分析质量问题时可用结果或原因两种方法来确定分类项目，按不合格品种类、缺陷类型、故障型式、零件（产品）品种、不合格品发生的场所或工序等确定分类项目，是从结果分类，可用之确定主要的质量问题。
按不同的材料、设备、操作者、工艺方法或环境等来确定分类项目，则是按原因分类、可用之确定影响产品质量的主要因素。
可用之确定影响产品质量的主要因素。
采用哪种分类方法，要根据目的要求，但在同一排列图上不可将原因和结果混杂出现。
否将造成重复统计，使各项目的主次排列顺序发生错误。
(2) 分类项目的粗细程度不当，造成假象将不同质量的现象合并成一个项目或将一个项目不恰当地细分成几个项目，将会使其主次排列顺序错乱，造成假象。
图1所示铸件废品排列图，其主要问题是砂眼，但如将砂眼细分为内部砂眼、外部砂眼和端面砂眼三项，则该三个项目所占废品量必然减少，而失去主要项目的地位。
排列图分析法在工程施工质量控制中的应用
１０ ２
ｌ ３
１０ ２
ｌ ０
１０ ２
８
１Ｏ ２
１ ２
１Ｏ ２
１ ５
１Ｏ ２
１ ４
１０ ２
１ ３
１Ｏ ２
１ Ｏ
１０ ２
１ ３
１ ０ ０ ２
１１ ２
垂直度偏差
不合格 点数 桩 顶标高偏 差
桩 顶损 坏
４
２
０
５
０
Ｏ
５
质量 判 断 。要 想 从 数 据 中发 现 质 量 问 题 ，就需 要 我 们 学 会 使
钢板桩沉桩 到 ３ ０根时 ，对钢板桩沉桩的各检验批资料进行 ０ 了统计汇总。发现钢板桩沉桩的允许偏差合格 率相对其他各 分项工程 的检验批来说偏低 ，基本上在 ８ ％ 左右。尽管均能 ５
满 足 ＪＳ２ ７ ２ ０ 《 运 工 程 质 量检 验 标 准 》 要 求 （ 准要 Ｔ ５－ ０ ８ 水 标
问题的关键 ．进一步提高钢板桩沉桩质量。
２ １ 收 集 整理 数 据 ．
种有效方法。它是 由两个纵坐标 ．一个横坐标、几个连起来
的 直 方 形 和一 条 曲线 所 组 成 。 左侧 纵 坐 标 表 示 频 数 ．右 侧 纵
对已经沉桩的 ３０根钢板桩 的 ｌ ０ ０个检验批的质量检验情 况进行统计 ．允许偏差检测点数和不合格点数统计如表 １ 。
∞ 鲫 印 ∞
１
２
３
４
Байду номын сангаас
５
６
７
８
９
１ ０
合 计
Ｗ １～２ 轴 Ｗ２～３ 轴 Ｗ ３—４ 轴 Ｗ４～５ 轴 Ｗ ５～６ 轴 Ｗ６～７ 轴 Ｗ７～８ 轴 Ｗ８～９ 轴 Ｗ ９～１轴 Ｗ １ Ｏ ０～１ 轴 Ｉ
常见排列组合题型及解题策略
可重复的排列求幂法相邻问题捆绑法相离问题插空法元素分析法（位置分析法）多排问题单排法定序问题缩倍法（等几率法）标号排位问题（不配对问题）不同元素的分配问题（先分堆再分配）相同元素的分配问题隔板法：多面手问题（分类法---选定标准）走楼梯问题（分类法与插空法相结合）排数问题（注意数字“0”）染色问题“至多”“至少”问题用间接法或分类:十三．几何中的排列组合问题:排列组合常见题型及解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠 军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
两图一表在实践中的应用
因果图、排列图及调查表在实践中的应用“两图一表”指因果图、排列图和调查表，它是解决质量问题的常用统计分析工具，其特点是直观、简单、实用、有效，能够为企业质量改进和质量管理提供依据。
一、因果图
因果图又名鱼刺图，是日本质量管理专家石川馨所创，通常结合头脑风暴法,找到影响结果的各种特性因素，确定因果关系，最终发现问题的根本原因，确保采取的措施正确且成效显著。
二、调查表
调查表是对特定对象收集和记录数据的一种表格形式，它适用于收集数字数据进行定量描述，也适用于收集非数字数据进行定性描述。
2.1如针对公司开发的新产品，编制顾客需求调查表，征求经销商和最终用户对“产品质量、销售价格、交付周期、产品包装、售后服务”等方面的评分及意见，相关部门收集整理后，同时结合排列图和因果图，找出问题的关键因素和根本原因，编制调查项目分析报告，供上级领导参考决策。
2.2热轧钢板表面质量缺陷调查统计表
序号缺陷项目频数（t）频率% 累计频率%
1 网裂100 50.0 50.0
2 气泡50 25.0 75.0
3 麻点23 11.5 86.5
4 瓢曲20 10.0 96.5
5 其它7 3.5 100.0
三、排列图
排列图又称主次因素分析图或帕累托图，是寻找影响工作（产品）质量主要因素的有效工具，其遵循“关键少数，次要多数”的客观规律，通常结合调查表进行应用。
一般对A区关键不合格项采取纠正措施，对B、C区一般不合格项采取预防措施，来持续改进产品质量。
举例：热轧钢板表面质量缺陷排列图：
总之，“两图一表”是基层质量管理者解决现场问题的有效工具，大力推行“两图一表”的应用，对提升管理者的分析能力、管理能力有着十分积极的作用。
排列图法在医院护理差错分析中的应用
排列图法在医院护理差错分析中的应用作者：任素英来源：《健康必读·下半月》2010年第01期【摘要】目的:将排列图法应用于医院护理差错分析。
方法:利用排列图分析我院2003--2007年护理护理差错的发生原因。
结果:应用排列图对护理差错进行分析,发生差错的主要原因是标本采集错误和病情观察不到位,是影响护理质量的关键因素,如果有效地解决这些问题,将大大提高护理质量。
改进后的2008年,护理差错发生率明显减少,与之前对比,有显著意义(P【关键词】排列图;护理质量;差错;控制进行质量控制的基础是数据,“一切用数据说话”是质量控制的原则之一。
为了有效地控制护理质量,将收集的数据变为有用的质量信息,就必须把收集到的数据进行整理,针对不合格的数据进行统计分析,找出主要不良因素,及时发现存在的质量问题,进一步分析影响的原因,以便采取相应的对策与措施,使护理质量始终处于受控状态,使护理质量控制及管理工作的效益和效率不断提高。
排列图法又称主次因素分析图、巴雷特图,是把影响质量的因素进行合理分析,并按影响程度从大到小的次序排列,作出排列图,以直观方法表明影响质量的主要因素的一种方法[1]。
由于护理质量问题的影响因素也服从关键的少数和次要的多数的规律,即影响护理质量问题的因素虽然很多,但是只有个别因素起决定性影响,而绝大多数因素的影响都是可以忽略的。
我院应用排列图对护理差错进行分析,取得很好效果,从而成为护理质量问题分析的一种有效方法。
现将做法和体会介绍如下。
1 资料收集与整理:统计2003-2007年医院共发生护理工作差错28起,统计导致差错的原因和出现频数,并按各因素出现数据大小顺次排列,计算频数、百分比、累计次数、累计百分数(附表)。
2 绘制巴雷特曲线该排列图有左右两个纵坐标,左侧标出差错频数,右侧标出累计百分数,在横坐标上按各类不同差错的件数多少用不同高度的直方形表示,在各直方形中间的上方标出累计百分数标记固点,从原点开始连接各点,便形成一条由左到右逐渐上升的巴雷特曲线(附图)。
排列组合题型分析还有21种常用方法的整理
排列组合题型分析还有21种常用方法的整理排列组合应用题的类型及解题策略一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
特殊优先法列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C ）种。
A）720 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A种例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解：不同排法的种数为5256A A＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
新旧七种质量管理常用七种工具对比
新旧七种质量管理常用七种工具对比新七大手法要紧应用在中高层管理上，而旧七手法要紧应用在具体的实际工作中。
因此，新七大手法应用于一些管理体系比较严谨与管理水准比较高的公司QC旧七大手法：特性要因分析图、柏拉图、查检表、层别法、散布图、直方图、管制图。
QC新七大手法：关系图、系统图法、KJ法、箭头图法、矩阵图法、PAPC法、矩阵数据解析法。
一、检查表检查表又称调查表，统计分析表等。
检查表是QC七大手法中最简单也是使用得最多的手法。
但或者许正由于其简单而不受重视，因此检查表使用的过程中存在的问题很多。
使用检查表的目的：系统地收集资料、积存信息、确认事实并可对数据进行粗略的整理与分析。
也就是确认有与没有或者者该做的是否完成（检查是否有遗漏）。
二、排列图法排列图法是找出影响产品质量要紧因素的一种有效方法。
制作排列图的步骤：1、收集数据，即在一定时期里收集有关产品质量问题的数据。
如，可收集1个月或者3个月或者半年等时期里的废品或者不合格品的数据。
2、进行分层，列成数据表，马上收集到的数据资料，按不一致的问题进行分层处理，每一层也可称之一个项目；然后统计一下各类问题(或者每一项目)反复出现的次数(即频数)；按频数的大小次序，从大到小依次列成数据表，作为计算与作图时的基本根据。
3、进行计算，即根据第(3)栏的数据，相应地计算出每类问题在总问题中的百分比，计入第(4)栏，然后计算出累计百分数，计入第(5)栏。
4、作排列图。
即根据上表数据进行作图。
需要注意的是累计百分率应标在每一项目的右侧，然后从原点开始，点与点之间以直线连接，从而作出帕累托曲线。
三、因果图法因果图又叫特性要因图或者鱼骨图。
按其形状，有人又叫它为树枝图或者鱼刺图。
它是寻找质量问题产生原因的一种有效工具。
画因果分析图的注意事项：1、影响产品质量的大原因，通常从五个大方面去分析，即人、机器、原材料、加工方法与工作环境。
每个大原因再具体化成若干个中原因，中原因再具体化为小原因，越细越好，直到能够采取措施为止。
排列图法——精选推荐
第三节 排列图法一、什么是排列图法在质量管理工作中，无论是为了寻找提高产品质量的途径，还是追究造成废品损失的原因，其所涉及的有关因素都非常多。
怎样寻找主要因素并有效地加以解决，是我们必须考虑的首要问题。
生产实践告诉我们，对于一项特定的质量问题来说，虽然同时作用于它的因素很多，但是它们对质量问题的影响程度并不都是相等的。
如果我们分因素统计它们发生的频数并按其发生的频数多少顺序排列，以直方块的形式画出来，即构成了所谓排列图。
影响产品质量特性的因素很多，但起主要作用的仅是其中少数几项，即符合“关键的少数与次要的多数”这一规律，从而使排列图成为寻找关键问题或关键因素的常用工具。
主次因素排列图的基本格式及其画法要点如下：（1）图中横坐标表示影响产品质量的因素或项目，一般以直方的高度表示各因素出现的频数，并从左到右按频数的多少，由大到小顺次排列；（2）纵坐标一般设置两个：左端的纵坐标可以用事件出现的频数（如各因素造成的不合格品数）表示，或用不合格品损失金额来表示；右端的纵坐标用事件发生的频数占全部事件总数的比率表100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）频 数 （f 累计 频 率 （%）因素示；（3）将各因素所占的频率（比率）顺次累加起来，即可得各因素的顺次累计频率（累计百分比）。
然后将所得的各因素的顺次累计频率逐一点画在图中相应位置上，并将各点联接，即可得到帕累托曲线。
绘制帕氏图的目的主要是为了寻找影响某项产品质量的主要因素，为此，通常把影响因素分为三类：即把包括在累计频率0～80％范围的因素称为A类因素，即为影响产品质量的主要因素；其次，属于累计频率80～90％范围内的因素称为B类因素，即为次要因素；其余在累计频率90～100％范围内的因素称为C类因素，是一般因素。
通常A类因素应为1～2个，最多不超过3个。
为了有利于集中精力提高产品质量，首先应在规定时间内，着重解决影响产品质量的A类因素。
微专题：排列组合问题的综合应用经典题型(含解析)
【学生版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
【典例】题型1、特殊元素（位置）问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、相邻、相间问题例2、（1）某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种【答案】【解析】；（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168【答案】【解析】；题型3、分组、分配问题例3、（1）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A．36 B．9 C．18 D．15（2）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法．题型4、涂色问题例4、（1）如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【说明】解决涂色问题，关键还是阅读理解与用好两个计数原理；【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素；第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列；第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果；均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数；【即时练习】1、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C210P48B．C19P59C．C18P59D．C18P583、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A．12种B．24种C．48种D．96种4、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种5、在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【教师版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。
排列组合常见解题错误剖析
排列组合常见解题错误剖析排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率，这应是教师在进行排列组合教学与复习时不可或缺的一个环节.学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆；3、重复计数；4、漏解.本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：1.“加法”、“乘法”原理混淆两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有类方法，这类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.【例1】（93年高考题21）50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以下同）〖错解〗有＝46575种.〖错因〗分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.〖正解〗分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）种；第二类，有4件次品的抽法同理有种，最后由加法原理，不同的抽法共有+＝4186种.【例2】（91年高考题10）从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（ ） （A）140种 （B）84种 （C）70种 （D）35种〖错解〗有＝300种选法.〖错因〗同例1.〖正解〗（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有＝70种选法.所以选C .2．“排列”、“组合”概念混淆界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.【例3】（题目见上例）〖错解〗有＝140种选法，答A .〖错因〗元素与顺序无关，应是组合问题.【例4】（94年高考题10）有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040〖错解一〗分三步完成：首先从10人中选出4人，有种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有种方法，由乘法原理，不同的选法共有＝5040种，选D.〖错因〗“排列” 、“组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即应为.〖错解二〗分三步完成，不同的选法共有＝1260种，选A.〖错因〗剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即应为.〖正解一〗不同的选法有＝2520种.〖正解二〗先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有＝2520种.〖正解三〗从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有＝2520种，选C.【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.〖错解〗有=4 种.〖错因〗3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题.〖分析〗对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.〖正解〗有＝24（或=24）种植方法.3、重复计数出增解【例6】（题目同例2）〖错解〗从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台机子中取1台，有=140种选法.所以选A.〖错因〗若从甲型机中选出的是机和机，依错解会出现先取机后取机和先取机后取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果.〖正解一〗（注意到错解正好多算一倍）.〖正解二〗有=70种选法,所以选C.【例7】（95年高考题12）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种.〖错解一〗从4只盒子中取出三只，有种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只盒子内，有种方法，再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内，有种放法，所以共有＝288种放法.〖错解二〗分三步完成.首先取出3个盒子，有种方法；再把球分为三组，有种方法；最后把三组球排列后放入盒子，有种方法.由乘法原理，共有＝288种方法.〖错因〗同上题.〖正解一〗在错解中消除重复，有＝144种放法.〖正解二〗从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有＝144种放法.〖正解三〗将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒），有＝144种放法.【例8】（课本变式题）7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？〖错解一〗排在排头的有除甲之外的种情形，排在尾的也有除乙之外的种情形，两端排好后余下的排中间有种情形，所以不同的排法有=4320种.〖错因〗排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5种情形.〖正解一〗减去重复数，应为-5＝3720种.〖错解二〗头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有种排法，余下的人排中间有种方法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有种，因此不同的排法共有+2＝3840种.〖错因〗甲排尾且乙排头已包含在甲排尾或乙排头的情形中，因此重复计算了种排法.〖正解二〗减去重复数，应为+2-＝3720种排法.重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.4、思维不严密而漏解（遗漏有关情形）【例9】（题目同例8）〖错解〗总排法数为，去掉甲排头的排法种，再去掉乙排尾的排法种,得满足题意的排法：－2＝3600（种）.〖错因〗甲排头的排法中已含有乙排尾的情况，同理，乙排尾的排法中也含有甲排头的情况.而错解中甲排头，同时乙排尾的排法被减去两次，从而造成漏解.（甲、乙作为有限制条件的特殊元素，对其排法须同时考虑，否则会因顾此失彼而出错）〖正解一〗（方法同错解，补上被多减的部分）有－2 +＝3720种排法.〖正解二〗分为两类：甲排中间5个位，有种方法；甲排尾，有种方法，由加法原理，共有＋＝3720种排法.【例10】（90年高考题13）A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的站法有（ ）种.(A) 24 (B) 60 (C) 90 (D) 120〖错解〗把A、B“捆绑”为一个元素（B在A的右边），与C、D、E一起全排列，有＝24种站法，答A.〖错因〗审题不严，未注意到“A、B可以不相邻”而漏解.〖正解一〗按B的位置分为四类：B排第一、二、三、四位时的排法数分别是、3、2、，所以共有+3+2+ =60种排法，选B.〖正解二〗利用对称关系（注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的），有=60(种)，选B .【例11】（97年高考题15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141〖分析〗考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式－4＝150而错选A；若只考虑到情形①、②，就会由算式－4－3＝147而错选B；若只考虑到情形①、③，就会由算式－4－6＝144而错选C；只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果－4－6－3＝141，选D.（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面如对90年高考题13，不会利用对称关系解决，选择分类法后由于情形较复杂而易因考虑不周出错.如在高考90年题（14）、96年题（17）及97年题（15）中，应该用间接法而不恰当地选用了直接法.【例12】（93年高考题17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种〖正解一〗A的卡分给B、C、D三人，有种方法；设B拿到A的卡，则B的卡可分给A、C、D三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有种方法，所以共有＝9种不同的分法.〖正解二〗设A先拿卡有种方法；然后由A拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有＝9种不同的分法.或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.6、应用对称关系不当一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决（如高考90年题13），但首先应判断清楚该问题是否具有对称性.【例13】（87年高考题14）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数.〖错解〗（应用对称关系）有=90个.〖错因〗1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以为1、2不相邻的情形有占总数的，而实际上，这四种情形下的五位数的个数是不同的，不具有对称性.〖正解〗：有（或-）＝72个.。
排列图的原理及应用
排列图的原理及应用1. 什么是排列图排列图是一种图形化的展示数据的方式，通过将数据按照特定的顺序排列在图表中，直观地展示出数据的大小关系和趋势。
排列图的形式丰富多样，常见的有条形图、饼图、折线图等。
排列图可以帮助我们更好地理解数据，发现数据中的规律和趋势，从而做出科学、合理的决策。
2. 排列图的原理排列图的原理基础上是数据的排列和展示。
具体来说，排列图的原理包括以下几个方面：2.1 数据排序在绘制排列图之前，需要对数据进行排序。
排序可以按照数据的大小、时序等不同的规则进行。
通过排序，我们可以从大到小或从小到大的顺序展示数据，使数据的大小关系更加明确。
2.2 数据映射在排列图中，数据需要被映射到图形的形式上。
例如，在条形图中，数据的大小通过不同长度的矩形来表示；在饼图中，数据的比例通过不同大小的扇形来表现。
数据的映射是排列图的核心，直接影响到图表的可读性和准确性。
2.3 图形设计图形设计是排列图中的重要环节，它决定了排列图的美观程度和易读性。
在设计排列图时，需要考虑颜色的搭配、字体的选择、坐标轴的设置等。
合理的图形设计可以使排列图更加直观、易懂，提升数据传达的效果。
3. 排列图的应用排列图广泛应用于各个领域，帮助人们更好地理解和解读数据。
以下列举了一些常见的排列图应用场景：3.1 商业分析排列图在商业分析中扮演着重要的角色。
通过绘制销售额排行榜、市场份额饼图等排列图，可以直观地了解产品的销售情况、市场竞争关系等，为企业决策提供参考。
3.2 研究报告在研究报告中，排列图可以用来呈现研究结果和统计数据。
例如，可以使用条形图展示各个研究组的实验数据，使用折线图表示数据的变化趋势等，有助于读者更好地理解研究结果。
3.3 教育教学排列图在教育教学中有广泛的应用。
例如，在教育统计中，可以使用饼图展示学生的兴趣爱好的分布情况，使用折线图展示学生的学习成绩变化趋势，帮助教师和学生了解相关数据并进行有效的教学和学习。
排列组合(6大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)(新高考专用)(原卷版)
专题15排列组合易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）相邻问题技巧总结相邻问题1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.2、解题步骤：第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数第二步：求出其余元素的排列种数第三步：求出总的排列种数易错提醒：排列组合实际问题主要有相邻问题和不相邻问题。
（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）；（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；例、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）A ．3565A A ⋅种B ．()863863A A A -⋅种C ．3353A A ⋅种D ．()8486A A -种变式1：加工某种产品需要5道工序，分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中工序A ，B 必须相邻，工序C ，D 不能相邻，那么有（）种加工方法．A ．24B ．32C ．48D ．64变式2：中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列.中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种变式3：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A ．10种B ．12种C ．16种D ．24种1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A．12C．1 411．将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，A．4种B．A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A．甲乙不相邻的不同排法有48种B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C．甲乙不排在两端的不同排法有36种D．甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种16．某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的是（）A．若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序B．若女生甲在女生乙的前面，则有2520种不同的出场顺序C．若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序D．若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同的出场顺序17．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（）A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（）A．3名男生排在一起，有6种不同排法B．2名女生排在一起，有48种不同排法C．3名男生均不相邻，有12种不同排法D．女生不站在两端，有108种不同排法易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题）1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可2.解题步骤：①先考虑不受限制的元素的排列种数②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数③求出总的排列种数易错提醒：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．但应该注意插入的元素之间如果也有顺序，应先进行排列．例、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数．（1）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起．变式1：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（）A ．10种B ．12种C ．16种D ．24种变式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．512变式3：某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（）A ．12种B ．24种C ．72种D ．120种1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A 种排法2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（）A ．4个空位全都相邻的坐法有720种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（）A ．731424735454A A A A A A --B ．4343A A C ．7314222473543254A A A A C A A A --D ．4345A A 7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合）1．两个重要公式(1)排列数公式()()()()()n m N m n m n n n n m n n A m n ≤∈+---=-=*且,,!!121 ．(2)组合数公式()()()()()nm N m n m m n n n n m n m n C m n ≤∈+---=-=*且,,!!!!121 2、要点：()()()!m m n n n n C mn121+---= 一般用于计算，而()!!!m n m n C m n -=和m m mn mn A A C =一般用于证明、解方程（不等式）.重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：()n m N m n C A A C m n n m mm n m n≤∈==*-且,,；组合意义：从n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C .从n 个不同的元素中任取m 个元素后只剩下m n -个元素了，则从n 个不同的元素中任取m 个元素与从n 个不同的元素中任取m n -个元素是等效的.则mn nC -，故mn nm n C C -=.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当2n m >时，通常将计算m n C 转化为计算mn n C -，如561236783858=⨯⨯⨯⨯==C C ②列等式：由y n x n C C =，可得y x =或n y x =+，如xC C 838=，则x =3或83=+x 故3=x 或5=x .（2）()n m Nm n C C C m nm n m n ≤∈+=*-+且,,11；组合意义：从()1+n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C 1+.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取()1-m 个元素，所以共有1-m nC 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取m 个元素，所以共有mn C ，根据分类加法原理：11-++=m nmn mn C C C .等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形常见的组合恒等式：1-1m n mn C m m n C +-=，m n m n C m n n C 1--=，11--=m n mnC mn C 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ，rn m r n m n r m n r m n r m C C C C C C C C C +--=++++022110 .（3）10=n C .重点：三个重要性质和定理组合数性质（1）对称性：()n m N m n C A A C m n n m mmn m n≤∈==*-且,,；组合意义：从n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C .从n 个不同的元素中任取m 个元素后只剩下m n -个元素了，则从n 个不同的元素中任取m 个元素与从n 个不同的元素中任取m n -个元素是等效的.则mn nC -，故mn nm n C C -=.等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.应用：①简化计算，当2n m >时，通常将计算m n C 转化为计算mn n C -，如561236783858=⨯⨯⨯⨯==C C ②列等式：由y n x n C C =，可得y x =或n y x =+，如xC C 838=，则x =3或83=+x 故3=x 或5=x .（3）()n m Nm n C C C m nm n m n ≤∈+=*-+且,,11；组合意义：从()1+n 个不同的元素中任取m 个元素，则mn C 1+.对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取()1-m 个元素，所以共有1-m nC 种，如果不取这一元素，则需从剩下的n 个元素中任取m 个元素，所以共有mn C ，根据分类加法原理：11-++=m nmn mn C C C .等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.应用：恒等变形常见的组合恒等式：1-1m n mn C m m n C +-=，m n m n C m n n C 1--=，11--=m n mnC mn C 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ，rn m r n m n r m n r m n r m C C C C C C C C C +--=++++022110 .（3）10=n C .易错提醒：解排列、组合的综合问题要注意以下几点（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．（2）对于有限多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．例、解不等式288A 6A x x -<.变式1．若37C C n n =，则n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10变式2．计算34C ＋35C ＋36C ＋L ＋32015C 的值为（）A ．42015CB ．32015C C ．42016C －1D ．52015C －1变式3．若整数x 满足232551616C C x x x +++=，则x 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或31．()(2)(3)(4)(15)N ,15x x x x x x +----∈> 可表示为（）A ．132A x -B ．142A x -C ．1315A x -D ．1415A x -2．已知23A C n n n -=，则n =（）易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误（加法与乘法原理）正难则反问题技巧总结正难则反排除处理：对于正面不好解决的排列、组合问题，考虑反面(取补集的思想)，一般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。
质量管理、排列图在施工中的应用
12、排列图在施工项目中的应用（优）排列图又称为主次因素排列图，是用来找出影响项目质量主要因素的一种常用的统计分析工具。
由意大利学者帕累托提出，解释了“关键的少数和次要的多数”之间的关系，即所谓的二八定律。
排列图是由两个纵坐标（即频数纵坐标和累计频率纵坐标），一个横坐标（项目排列）。
由若干根据频数大小依次排列的直方图和一条累计频率曲线所组成。
绘图的目的主要是找出影响项目质量的关键因素。
在图中将影响因素分为ABC三类，其中A类为累计频率在0~80%范围内的有关因素，为主要因素；B类为累计频率在80%~90%内的因素，为次要因素；C类为累计频率在90%~100%内的因素，为一般因素。
案例：重庆市监管大楼建设工程属于地标式高层公共建筑，其工程质量受到建设单位的高度重视，总混凝土浇筑方量在 14000 m3。
由 A 预拌混凝土企业负责生产、浇筑的混凝土主要是该工程的基础工程部分，包括负一层梁板柱、挡墙、电梯井和两块筏板，总浇筑混凝土方量在 2300m3左右，其中两块筏板属于大体积混凝土施工，是该高层建筑基础混凝土工程的难点和重点。
因此，为了确保筏板基础大体积混凝土的最终质量，A 预拌混凝土企业特别要求工程部在企业技术质管部以及试验室等部门的协同合作之下成立 QC 小组，全方面彻底解决筏板基础大体积混凝土的质量控制问题，确保该混凝土工程质量目标的实现。
为了能够保证基础筏板大体积混凝土整体质量得到有效控制，小组成员对多个已建及在建工程进行了参观学习，听取了有关施工单位的介绍，收集了相关数据，并对数据进行统计、归类和分析，详见下表 1 大体积混凝土质量缺陷统计表。
再根据大体积混凝土质量缺陷调查统计表绘制排列图，如图 1 大体积混凝土质量缺陷调查分析排列图。
表1大体积混凝土质量缺陷调查统计表图1大体积混凝土质量缺陷调查分析排列图由以上统计表和排列图可以看出，温度裂缝和干缩裂缝的累计频率达到了86%，是大体积混凝土主要质量问题所在，蜂窝麻面是影响大体积混凝土质量的次要问题，表面不平整、湿渍、其他是影响大体积混凝土质量的一般问题。
如何用排列解决序列问题
如何用排列解决序列问题排列是一种常用的数学概念，可以用来解决许多序列问题。
在本文中，我们将探讨如何使用排列来解决序列问题的方法和技巧。
通过清晰的步骤和实例分析，读者将能够理解并运用排列的概念来解决各种序列问题。
一、排列的基本概念排列是将一组元素按照一定的顺序进行组合的方式。
在排列中，元素的顺序非常重要，不同的顺序将得到不同的结果。
假设我们有n个元素，要对其进行排列，可以得到n的阶乘个排列。
二、排列的应用排列在实际生活和工作中有着广泛的应用。
其中一个常见的应用是密码锁。
密码锁的密码是由多个数字组成的，我们可以通过排列的方式来尝试不同的组合，以找到正确的密码。
此外，排列还可以用于解决旅行路线规划、团队编排、选举排名等问题。
三、排列的计算方法现在，让我们来了解一些计算排列的方法。
当问题中的元素不重复且每个元素仅可使用一次时，我们可以使用以下方法计算排列数：1.全排列：全排列是将所有元素进行排列的方式。
对于n个元素的全排列，共有n的阶乘个排列。
2.边界条件：当元素的个数为0时，全排列数为0；当元素的个数为1时，全排列数为1。
四、排列的实际问题解决方法接下来，我们将通过一些实际问题来展示如何运用排列的方法来解决序列问题。
问题一：某班有10个学生，要从中选出3个学生组成一支篮球队，那么一共有多少种不同的组合方式？解决方法：根据题目要求，我们需要选出3个学生，而学生没有重复的要求。
因此，我们可以使用排列的方法来计算不同的组合方式。
根据排列的计算方法，可以得出答案：10的全排列数为10的阶乘，即10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 ×2 × 1 = 3,628,800同时，我们还需要除以不同位置的重复，即3!（3的阶乘）来去除重复的情况。
所以，最终的答案为：10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720因此，从10个学生中选出3个组成一支篮球队的不同组合方式一共有720种。
排列图与因果图在焊接技能大赛中的应用
排列图与因果图在焊接技能大赛中的应用随着焊接技术的不断发展，焊接技能大赛已成为检验焊接工人技术水平的重要途径之一。
在这个过程中，排列图与因果图等工具被广泛地应用。
什么是排列图排列图，也叫做帕累托图或者经济性控制图，是一种用于分析和评价质量问题原因的图表。
它可以将问题按照重要性进行排序，从而帮助焊接工人确定优先修复的问题。
具体来说，排列图的制作步骤如下：1.选择要分析的因素，比如焊接缺陷的类型。
2.收集过去一段时间内焊接缺陷发生的数据。
3.利用比例尺将数据转化为百分比。
4.将数据按照重要性排序，绘制排列图。
排列图的示意图如下：排列图示意图排列图示意图在焊接技能大赛中，排列图可以被用来分析焊接缺陷的原因，确定优先修复的问题，提高焊接工人解决问题的效率。
什么是因果图因果图是一种通过绘制因果关系的图表来研究问题原因的工具。
它可以帮助焊接工人找到问题的根本原因，并给出相应的解决方案。
具体来说，因果图的制作步骤如下：1.确定问题，明确问题发生的时间和地点。
2.找到和问题相关的人和事。
3.将关系进行分类，比如人员、机器、材料等。
4.形成关系网格，显示各个因素之间的联系。
因果图的示意图如下：因果图示意图因果图示意图在焊接技能大赛中，因果图可以被用来分析焊接缺陷的根本原因，提出相应的解决方案，避免类似问题再次发生。
排列图与因果图在焊接技能大赛中的应用排列图和因果图是两种非常重要的工具，在焊接技能大赛中可以被广泛应用。
比如，在焊接技能大赛中，可以利用排列图来分析焊接缺陷的类型和发生的频率，确定哪种缺陷是优先修复的问题，提高焊接工人解决问题的效率。
同时，也可以利用因果图来分析焊接问题的根本原因，找出问题的真正原因，提出相应的解决方案，避免类似问题再次发生。
总之，排列图和因果图在焊接技能大赛中的应用非常广泛，可以帮助焊接工人分析问题、解决问题，提高技能水平，促进焊接技术的不断发展。
排列图、因果图
3.1质量管理的老七种工具－因果图
五、因果图另一个示例：
❖ 下图是一个制造企业的流程中存在的某一问题的因果
图。这个企业加工出的某种活塞杆出现弯曲，其原因可 能有四大类：操作方法，所用材料，操作者和机器。每 一类原因可能又是由若干个因素造成的。与每一因素有 关的更深入的考虑因素还可以做为下一级分支。当所有 可能的原因都找出来以后，就完成了第一步工作，下一 步就是要从其中找出主要原因。
❖ 第三步，将各分类项目分别展开，每个中枝表示各项
目中造成质量问题的一个原因。作图时，中枝平行于 主干，箭头指向大枝，将原因记在中枝上下方。
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3.1质量管理的老七种工具－因果图
第四步，对于每个中枝的箭头所代表的一类因素进
一步分析，找出导致它们质量不好的原因，逐类细 分，用粗细不同，长短不一的箭头表示，直到能具 体采取措施为止。
畅所欲言，各抒己见，集思广益，把每个人的意见都 一一记录在图上。
（2）确定要分析的主要质量问题（特性），不能笼统，
要具体，不宜在一张图上分析若干个主要质量问题。 也就是说，一个主要质量问题只能画一张图，多个质 量问题则应画多张因果图。总之，因果图只能用于单 一目的的研究分析。
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3.1质量管理的老七种工具－因果图
卫生间
怨
服务不周全 墙壁装饰
桌椅摆放不合理
服务
环境
顾客抱怨原因因果图
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案例分析
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3.1质量管理的老七种工具－因果图
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焊缝质量鱼刺分析图
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焊缝问题的对策表
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3.1质量管理的老七种工具－排列图
★实例：某服装厂缝制质量部检查了一批服装， 不合格项目为断线72件，棱角不好12件，做工 不一致117件，脏污3件，线不直23件，对称不 够8件，其他问题的5件，试绘制排列图，从图 中能否发现造成本周客诉的主要原因是哪些。
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排列图在应用中常见的问题
在质量治理活动中，排列图是应用最为广泛的一种简易统计方法，但正因为简单，人们反而极易忽视它，而在应用中经常出现问题。
1．错误地理解排列图和因果图的不同任务
有些人由于对排列图和因果图朱同任务错误理解，难道在质量改进活动的开始时期，先画因果图，再画排列图，这种程序显然是不正确的。
要取得质量改进的效果，必须首先找出要紧质量问题，这正是排列图的任务。
然后才能针对产生那个要紧质量问题进行因果分析，找出真正的缘故，而这正是因果图的任务，颠倒过来搞，将不能为质量改进活动提供正确的方向。
2．收集数据的时刻范围选择不当
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为画排列图要需要收集多长时刻内的数据，并无严格规定。
但时刻范围过短，不能使各种质量问题或现象充分暴露，故无法取得足够多的数据，而时刻范围过长，则工序状态将发生变化，就会使不同质的数据混杂在一起，失去统计意义。
因此，必须从生产实际动身，结合专业技术，综合考虑上述两点，才能确定恰当的时刻范围。
3．确定项目的分类方法不当
(1) 结果与缘故混杂
分析质量问题时可用结果或缘故两种方法来确定分类项目，按不合格品种类、缺陷类型、故障型式、零件（产品）品种、不合格品发生的场所或工序等确定分类项目，是从结果分类，可用之确定要紧的质量问题。
按不同的材料、设备、操作者、工艺方法或环境等来确定分类项目，则是按缘故分类、可用之确定阻碍产品质量的要紧因素。
可用之确定阻碍产品质量的要紧因素。
采纳哪种分类方法，要依照目的要求，但在同一排列图上不可将缘故和结果混杂出现。
否将造成重复统计，使各项目的主次排列顺序发生错误。
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(2) 分类项目的粗细程度不当，造成假象
将不同质量的现象合并成一个项目或将一个项目不恰当地细分成几个项目，将会使其主次排列顺序错乱，造成假象。
图1所示铸件废品排列图，其要紧问题是砂眼，但如将砂眼细分为内部砂眼、外部砂眼和端面砂眼三项，则该三个项目所占废品量必定减少，而失去要紧项目的地位。
反之，如将原占第二、三位的“偏薄”和“偏厚”合并为“厚度不合格”，则把非要紧项目变成要紧项目，造成假象。
确定分类项目粗细程度的差不多原则是：要结合专业技术，把采取同一技术措施即能解决的几个现象归成一个项目。
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图1
4．未能充分挖掘排列图所能提供的信息
把现成的统计报表上的数据，不经任何处理就直接画成排列图。
这种排列图仅仅是统计报表的图解，而不能获得新的信息。
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事实上，利用下述几种方法来绘制和分析排列图，可关心我们挖掘信息，找出真正的要紧问题：(1) 从不同角度确定分类项目，在“交叉处”找出要紧问题
对同一分析对象，可从不同角度确定分类项目，画出几个不同的排列图，同时分不找出它们的要紧项目。
将它们综合起来，确实是要紧问题。
例如，某车间生产碳膜电阴，按所用导线材料的不同批号画不合格品排列图，发觉点焊不牢是要紧问题，而且与材料批号无关；再按设备分层画排列图，发觉1号设备所产生的不合格品比2号设备多，且其要紧不合格品为点焊不牢。
因此，1号设备的点焊不牢问题是要紧问题。
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(2) 纵向层层展开，通过绘制分层排列图找出要紧问题
当排列图反映的要紧项目范围过大或不够明显时，应层层展开，分不绘出分层排列图，直至使要紧质量问题更回明确为止。
例如某厂按废品发生的车间画排列图(图3(a))，可知：钻头车间废品损失最大.该车间再按其各种不同的产品品种画排列图(图3(b))，可知：锥柄扭制钻头的废品损失最大。
然后进一步按其
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废品出现的工序画排列图，可知：接柄工序产生的废品最多。
如此就可确认：钻头车间的锥柄扭制钻头的妆柄工序是改善质量的主攻方向，其废品损失占全厂的百分比为49.1%×65.4%×63.5%＝20.4%。
这就关心我们取得要紧质量问题的定性和定量的信息。
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(3) 抓住本质确定项目频数的恰当单位，以换出真正的要紧问题
一般排列图的频数单位经常采纳不合格品件数，但有的不合格口可返修成合格品；有的则为次品，只能降价出售；而有的则是废品。
帮虽同属不合格品，但损失金额不同。
现在频数单位若以损失金额代替不合格品件数，则更能反映问题的实质，而且也便于领导理解。
例如，某厂在调查不合格产品项目时，列表表1所示各不合格项目的件数与损失金额。
按件数为单位画出的排列图见图4，其要紧项目为尺寸不合格、精加工不合格和裂痕；而按损失金额为单位画出的排列图见图4，则损失金额最多4的项目则变为裂痕、碰伤和尺寸不合格。
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有时在同一零件上存在着几种不同种类的缺陷，则频数单位不应按不合格品件数统计，例如图5所示为按不合格品件数单位所画排列图，其要紧项目为尺寸不合格。
但由于每件不合格品只计算一次最严峻的缺陷，易使各项目的主次排列顺序不能反映真实情况。
如以缺陷数为单位画排列图，则发觉，垂直度才是真正
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的要紧质量问题。
5．忽视排列图确认改进效果的作用
人们常常可不能通过分析比较采取措施前，后的排列图来确认效果，故未能充分发挥排列图的作用。
一般可按下述不同情况检验效果：
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(1) 要紧项目的频数急剧减少，排列位次后移，总频数也相应减少，则讲明采取的措施有了明显效果为采取措施前的排列图，将之与图6采取措施后的排列图比较。
(2) 各项目的频数都大致同时减少，但排列位次未变，则讲明原措施无显著效果，仅反映工序治理普遍有了改善与图6。
现在仍应针对要紧问题采取新措施。
(3) 要紧项目的位次后移的同时，某次要项目位次随之前移，而总频数变化不大。
这讲明采取的措施在解决前者的同时，有使后者变坏的副作用，应重新研究措施。
(4) 要紧项目的频数差不多未变，排列位次也未后移，讲明措施无效。
(5) 要紧项目的频数每月都有较大的波动，但从整体看，其频数减少不多，这讲明工序呈不稳定状态，质量未得到改善。
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