时变参数的状态空间模型
第1章 控制系统的状态空间表达式
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
三. 状态空间 以状态变量为坐标轴所构成的空间为状态空间。
x2
x
x1
x3
●系统任一时刻的状态均可表示为状态空间中的一个点。 ●系统状态随时间变化的过程，在状态空间中描绘出一条轨迹，称为
. 状态轨迹。
§1－1 状态空间变量及状态空间表达式
四. 状态方程 由系统状态变量构成的描述系统动态过程的一阶微分方程组称为 系统的状态方程 。 ●状态方程用于描述系统输入引起系统状态变化的动态过程 。
K1 Kp
u
K1 Kp
＋
K1
Kp
x6
x6
＋
x5
x5
1 x4 J1
x3
x3
Kn
＋
x4
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
由以上方框图可知：x1 x 2 x2 x3
状态方程：
x4 x5 x6
J2 x4 Kb K n x4 Kp Kp 1 1 x3 x4 x5 x6 J1 J1 J1 J1 K1 x4 K1 x6 K1 K1 K1 x1 x6 u Kp Kp Kp
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 K p K1 s
＋
故：
K p s K1 s
K1
Kp
＋
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
一.从系统方框图出发建立状态空间表达式
1 J1
J2 Kb
J 2S 2
Kn s
Kn
Kb
1 J1s
§1－3 状态空间表达式的建立（一）
线性系统理论 第2章 线性系统的状态空间描述
u(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
y(k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g q ( x, u , t ) f n ( x, u , t )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征： 少一个不行，多一个没用 (3). 状态变量组最小性的数学特征：极大线性无关变量组 (4). 状态变量组的不唯一性 ：任意
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )
1.控制系统的状态空间模型
Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型在经典控制理论中，采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u 和输出量)(t y 之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n 阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量)]([)(t u L s U =和输出量)]([)(t y L s Y =之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1（6P 例1.1.1） 如下面RLC （电路）系统。
试以电压u 为输入，以电容上的电压C u 为输出变量，列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC 电路图解：由电路理论可知，他们满足如下关系⎪⎩⎪⎨⎧==++)(d )(d )()()(d )(d t i t t u C t u t u t Ri t t i L C C 经典控制理论：消去变量)(t i ，得到关于)(t u C 的2=n 阶微分方程：)(1)(1d )(d d )(d 22t u LCt u LC t t u L R t t u C C C =++ 对上述方程进行Laplace 变换：)()()2(20202s U s U s s C ωωζ=++得到传递函数：202202)(ωζω++=s s s G ，LC10=ω，L R 2=ζ 现代控制理论：选择⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21t u t i x x C 流过电容的电流)(t i 和电容上的电压)(t u C 作为2个状态变量，2=n （2个储能元件）；1个输入为)(t u ，1=m ；1个输出C u y =，1=r 。
控制理论(状态空间表达式)课件
为状态矢量．
x1(t)
x (t)
x
2
(
t
)
x
n
(t
)
x (t) x 1 (t) x 2 (t)
x n (t)T
三.状态空间
以状态变量 x1, x2,
空间，称为状态空间．
xn 为坐标轴所构成的n维
四. 状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为
系统的状态方程．
五. 输出方程
在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间 的函数关系式,称为系统的输出方程.
式中 e 为反电动势； K a , K b 转矩常数和反电动势常数．
整理得：
di R i Kb 1 u dt L L L
d Ka i B
dt J J
把 x1i,x2 代入，有
x1 x2
RL Ka
J
Kb L
B J
xx12
1 Lu
0
若指定角速度为输出，则
y x2 0
1xx12
【例1-2】 RLC电路如下图所示. 以ei作为系统的 控制输入u(t)，eo作为系统输出y(t)。建立系统的 动态方程。
解: 该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，可以取 电容C两端电压和流过电感L的电流 作为系统的两个状 态变量，分别记作x1和x2。根据基尔霍夫电压定律和 R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：
出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称
为直接传递矩阵，表示了控制向量U直接转
移到输出变量Y的转移关系。
和经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信 号的传递关系．
将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为 如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
状态和状态空间模型
x2 x(t0)
x (t1)
x (t2)
x (t) x1 图2-2 二维空间的状态轨线
➢ 随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状 态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。
➢ 状态轨线如图2-2所示。
系统的状态空间模型
• 状态空间模型是应用状态空间分析法对动 态系统所建立的一种数学模型,它是应用现 代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
– 最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分 量是相互独立的。
• 减少变量,描述不全。
• 增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必 要。
• 若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须
由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n
个状态变量为x1(t),x2(t), …,xn(t).
– 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向
C为mn维的输出矩阵;
D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。
• 状态空间模型的意义,有如下讨论:
– 状态方程描述的是系统动态特性,
• 其决定系统状态变量的动态变化。
– 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的 关系。
– 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间关联情况,
• 它主要决定系统的动态特性。
其中各矩阵为时间t的函数,随时间变化而变化。
系统的状态空间模型(10/11)
4. 线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为 (A(t),B(t),C(t),D(t)).
➢ 类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为
(A,B,C,D).
➢ 几种简记符的意义:
状态空间分析法
4
§1-1 状态变量及状态空间表达式
一、状态
状态:动态系统的状态粗略地说就是指系统的过去、现在和 将来的运动状况。精确地说，状态需要一组必要而充分的 数据来说明。
二、状态变量
状态变量：足以完全确定系统运动状态的一组最小（内部） 变量。
y(t) Cx(t) Du(t)
11
§1-1 状态变量及状态空间表达式
例：
R
方法二： 令x1(t)= uc(t)
u(t)
x1
(
t
)
x 2
(
t
)
x1(t)
yx2((tt ))
Lxx1C21((xt1t)(0L)tL1)iC(RLt)1xC12RL(ut )0c(t)Lxx1Cxx12 ((12uLLitt((((Ct))ttti))())utc)(tC)0L1RuRciC((uttux)()ct2(()t t)u)=cu(cut()tc)(t)uu((tt))
四、状态空间 以状态变量x1(t), x2(t) , x3(t) , … , xn(t)为坐标轴
所构成的 n 维空间，称为状态空间。 在特定时刻t，状态向量x (t) = [x1(t) , … , xn(t)]T
在状态空间中是一点 。随着时间的推移，状态向量 x (t) 在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
x1
(
t
)
x2
(
t
)
0
1
L
《现代控制理论》课后习题答案
=
3 2
， c2
=
2s + 5 lim s→−3 s + 1
=
1 2
。
从输入通道直接到输出通道上的放大系数 d = 1，由此可得:
⎡ x1
⎢ ⎣
x 2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡− 1
⎢ ⎣
0
0⎤ − 3⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
y
=
⎡ ⎢⎣
3 2
1 2
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
m
dt
b0
因此，两个环节调换后的系统状态变量图为
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
dt
b0
m
−∫
−∫
y −∫
a0
a1
a2
进一步简化，可得系统状态变量图为 u
b0
b1
b2
− ∫ x1
− ∫ x2
− ∫ x3 y
a0
a1
a2
3
取 y = x3 ， y = x2 ， y = x1 ，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为
a(s)
1 a(s)
=
s3
+
1 a2s2 +
a1s
+
a0
， b(s)
=
b2 s 2
+ b1s
+ b0
。
2
由于 s−3 y 相当于对 y 作 3 次积分，故 y = 1 可用如下的状态变量图表示： m a(s)
状态方程的参数
状态方程的参数简介状态方程是描述动态系统行为的数学模型，它通过表示系统的状态和状态变化的方程来描述系统的演化规律。
状态方程的参数是指在状态方程中出现的变量和常数。
这些参数决定了系统的特性和行为，对于系统的分析和控制至关重要。
在本文中，我们将介绍状态方程的基本概念和常见形式，然后详细讨论状态方程的参数，包括变量和常数的定义、物理意义、取值范围以及对系统行为的影响。
状态方程的基本概念状态方程描述了系统的状态随时间的演化规律。
一般来说，状态方程可以写成如下形式：dx/dt = f(x, u, t)其中，x是系统的状态向量，u是系统的输入向量，t是时间，f是状态方程的右侧函数。
状态方程可以是线性或非线性的，具体形式取决于系统的性质和特点。
状态方程的参数包括状态向量x中的变量和常数，以及右侧函数f中的变量和常数。
下面我们将分别讨论这些参数的定义和物理意义。
状态向量的参数状态向量x是描述系统状态的一组变量。
它的具体定义和物理意义取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的状态向量及其参数的例子：•位置向量：描述物体在空间中的位置，参数包括物体在三个坐标轴上的位置变量（例如x、y、z）。
•速度向量：描述物体在空间中的速度，参数包括物体在三个坐标轴上的速度变量（例如v_x、v_y、v_z）。
•电路变量：描述电路中的电流和电压，参数包括电流和电压变量（例如i、v）。
状态向量的参数在状态方程中起到了关键的作用。
它们决定了系统的状态空间的维度和范围，以及状态变化的规律。
不同的参数可以对系统的行为产生不同的影响。
右侧函数的参数右侧函数f描述了状态向量x随时间的变化规律。
它的具体定义和物理意义也取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的右侧函数及其参数的例子：•线性函数：描述线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和常数矩阵。
•非线性函数：描述非线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和非线性函数。
能源回弹效应的理论模型与中国经验
97
邵
帅等： 能源回弹效应的理论模型与中国经验
不过不同的文献采用了不同的生产或成本函数 ， 所得到的回弹效应表达式也存在着形式上差异 。 （ 二） 能源回弹效应的理论机制 对回弹效应的理论研究几乎均遵循新古典增长理论的框架和逻辑展开 ， 其中 Saunders 的研究 最具代表性。Saunders（ 1992 ） 首次在新古典增长理论框架下采用 CD 和 CES 生产函数， 将仅使能 源生产率提高而未对其他要素生产率产生影响的那部分技术进步定义为纯能源效率改进 ， 并基于 ， 。 ， Saunders 能源与其他投入要素之间具有可替代性的假设 证明了逆反效应的理论存在性 此后 （ 2008 ） 意识到新古典增长模型在建模上存在着局限性， 因为在不同的函数设定形式下， 所得的理 论结果也不尽相同。Saunders（ 2008 ） 利用八类生产 （ 成本） 函数分别对短期和长期回弹效应 ①进行 了理论推导和数值模拟， 考察和比较了不同模型设定对于研究回弹效应的合理性和适用性 ， 发现无 论在企业、 部门， 抑或宏观经济层面， 回弹效应的结果对于生产函数的设定形式具有很大的敏感性 ： 傅立叶成本函数具有最好的灵活性 ， 能够描述从超级节能到逆反效应的各种回弹效应情形 ； 广义里 昂惕夫成本函数和 CES 生产函数也是较为合理的选择， 能描述除超级节能之外的各种可能情形； 超越对数成本函数仅能描述逆反效应的情形 ， 而其他函数均不适用于描述回弹效应 。 Saunders 的系统研究为后续研究者在模型设定选择上提供了重要参考 。 一些学者沿袭其研究 思路， 对回弹效应进行了更加深入的理论探讨。 Wei （ 2007 ） 进一步放松了 Saunders 能源价格外生 的假定， 将能源效率分为能源利用效率和能源生产效率 ， 通过一个两部门模型 （ 能源生产部门和非 能源生产部门） 及其总体均衡分析研究发现： 在短期内， 能源生产效率的提高会增加能源消费和非 能源生产部门的产出， 但是能源利用效率的提高仅使非能源部门的产出增加 ， 而其对于能源消费和 ； ， 能源部门的产出并未产生影响 长期来看 能源生产效率和能源利用效率对能源消费和非能源生产 部门产出的影响均大于短期影响 ， 而且能源利用效率对能源消费和产出的影响较能源生产效率的 影响要小得多。Wei （ 2010 ） 继而将全球经济视为一个整体并采用普适性生产函数形式 （ general form of the production function） ， 对回弹效应五种情形的发生条件进行了更为一般化的讨论 ， 结果表 明： 能源供给是决定回弹效应大小的一个重要因素 ， 化石能源存量的有限性能够对潜在的回弹效应 产生限制作用； 能源与其他生产要素之间的替代性也是影响回弹效应的一个重要因素 ， 其对于短期 回弹效应具有更为明显的限制作用 ； 超级节能情形在短期和长期内均可能发生 ， 长期回弹效应可能 小于短期回弹效应。 现有研究已经对回弹效应的作用机制提供了一定的解析 ， 但这些研究均基于技术进步 （ 能源 规模报酬不变的新古典增长理论的严格假设 ， 存在着无法明晰技术进步 （ 能源效率 ） 实 效率） 外生、 际增长速度和演化过程的明显缺陷 。而兴起于上世纪 90 年代的内生增长理论已经实现了技术进 步的内生化， 从而对经济增长的内在机制具有了更加深刻的解释力 ， 因此将其应用于回弹效应研 究， 显然可以很好地克服上述不足。但目前还鲜见在内生增长理论框架下对回弹效应所开展的研 Saunders（ 2008 ） 、 Wei（ 2007 ， 2010 ） 等很多文献还将劳动生产要素视为外生常量， 认为其 究。此外， 具有无限的供给量， 从而在市场均衡分析时忽略劳动要素对产出增长及回弹效应的影响 。因此， 其 推导得到的回弹效应结果实际上是基于局部均衡模型而并非一般意义上的总体均衡模型 。这显然 又在很大程度上降低了其模型的现实解释力 ， 尤其是对我国这样一个具有特殊的人口政策和户籍 劳动力流动性较强的国家而言， 将劳动要素进行内生化处理显得尤为重要 。 制度、 （ 三） 能源回弹效应的经验证据 按照研究方法的不同， 相关经验研究大体上可以分为可计算一般均衡 （ CGE ） 模型和计量经济 2009 ； Turner ＆ Hanley， 分析两大类。前者多被用于宏观经济层面的回弹效应测算 （ Hanley et al． ，
香港人民币离岸市场对内地货币供应量的影响——基于状态空间模型的时变参数分析
（ ） 一 内地与香港货币 当局建立监管协 作机 制 间以人 民币进行 的借贷 、投融资纳入资本项 目监 １ 明确 对香港人 民币离岸市场 的监管 责任 ． 可 以明确 ，香港人 民币离岸市场进入 内地 的 人 民币资金 ，由内地监管部 门进行监管 ，以确保
测范畴 。
３设立 人 民币跨境 流动风险预警 系统 ． 设立一 套科学 的人民币跨境 流动风 险预警系
模型 ，该 模型可以对样本期 间内的动态变化进行 综合反映。 状态 空间的时变参数模型估计 结果如下 ：
ＬＮＭ ２ Ｓ ＝１５ Ａ ． ３＋ａ ＿ ＦＲ ｌＮＣ ，
一 —
图３香港人 民币存款总量与所 占中国Ｍ２Ｉ １例 ： Ｃ
Ｙ
Ｓ ＋ Ａ
ｆ
、
［ Ｎ Ｃ —Ｓ ％Ｎ ＤＴ— Ａ＋ Ｓ Ｒ Ｓ Ａ＋ Ｒ Ｌ Ｓ
项 ，ｎ 示回归滞 后阶数。 表
２Ｇ ａｇ ｒ ． ｒｎ ｅ 因果关系检验 Ｇｒｎ ｅ 因果 关 系检验 结果 （ ２ ａｇ ｒ 表 ）显示 ：
规模 （ Ｔ）是 引起 境 内货 币供 应量 （ ）波 ＲＤ Ｍ２
动 的Ｇ ａ ｇ ｒ 因 ｌ香 港人 民币离 岸市 场规 模 ｒｎ ｅ原
在 １％的显 著性 水 平 下 ，香 港 人 民币离 岸 市场 Ｏ
人 民币市 场规 模 变动 的 Ｇ ａ ｇ ｒ 因。综上 所 结论成立 。 ｒｎ ｅ原 述 ，当前仅存在香港人 民币离岸市 场规模 影响境
表２ Ｇａｇｒ ｒ ｅ因果关系检验 结果 （ ｎ 滞后阶数ｎ １ ） － １
表３ 四变量之 间的Ｊｈｎｅ协整检验结果 ｏａｓｎ
样本 （ 修正 ） ：２ ０Ｍ０－ ０ ６ ０４ ５ ２ １Ｍ０ ；包含 在模 型 中的样 本数 ：８ １ ６ 趋 势假 定 ：线性 确定性 趋 势 （ 约束 ） ；序 列 ：Ｌ Ｍ２Ｓ Ｎ Ｆ ＿ Ａ Ｌ ＲＣ ＿ Ａ Ｌ ＲＤ ＿ Ａ Ｎ 一Ａ Ｌ Ｃ Ｒ Ｓ Ｎ ＳＳ Ｎ Ｔ Ｓ 滞 后 区间 （ 阶差分 形式 ） ：ｌ ；约束 协整 秩检验 一 至２
《现代控制理论》课后习题答案1
G ( s) =
每一个环节的状态空间模型分别为：
1 2s + 5 ⋅ s+3 s+5
2 = −5 x 2 + u1 ⎧x ⎩ y = −5 x 2 + 2u1
1 = −3x1 + u ⎧x ⎨ ⎩ y1 = x1
又因为 y1 = u1 ， 所以
和 ⎨
1 = −3 x1 + u ⎧x ⎨ 2 = x1 − 5 x 2 ⎩x y = 2 x1 − 5 x 2
由此得到的 d 就是状态空间实现中的直接转移项 D 。 1.6 在例 1.2.2 处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图 1.12 的串联分解， 试问：若将图 1.12 中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？ 答: 将图 1.12 中的两个环节调换后 y a(s)
5
1.10
已知单输入单输出时不变系统的微分方程为:
(t ) + 3 y (t ) = u ( t ) + 6u ( t ) + 8u ( t ) y (t ) + 4 y
试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形； （2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。 答: （1）由微分方程可得:
s 2 + 6s + 8 2s + 5 G(s) = 2 = 1+ 2 s + 4s + 3 s + 4s + 3
记
G 1 (s) =
其中，
c c 2s + 5 2s + 5 = = 1 + 2 ， s + 4 s + 3 ( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 3
开关变换器的状态空间平均建模
第3章 开关变换器的状态空间平均建模开关变换器是通过调整开关元件的工作状态实现开关变换器输出电压的调整，在一个开关周期内，开关变换器是一个周期性时变电路，但在每一个开关工作状态，开关变换器又可以看作是一个线性电路。
因此，不能用常规的线性电路理论对开关变换器进行分析，而必须研究适用于开关变换器的建模分析方法。
3.1 CCM 开关变换器的状态空间平均模型3.1.1 CCM 开关变换器的状态空间方程及其近似解对于在开关周期T 内有两个开关工作状态的开关变换器，即开关变换器工作在CCM 模式，可以分别写出它在每一个开关工作状态的状态方程，并进行求解。
工作状态1：在一个开关周期的[0，DT ]时间段，开关变换器的状态方程为：d ()()()d t t t t=+11x A x B u(3.1a)工作状态2：在一个开关周期的[DT ，T ]时间段，开关变换器的状态方程为：d ()()()d t t t t=+22x A x B u(3.1b)其中：x (t )是状态向量；u (t )是输入向量；A 1、A 2、B 1、B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵。
（I ）开关工作状态1对应的状态方程的解为()()0d tte t t e ττ⎰111A A u x =x()+B(3.2)当开关变换器的开关频率(f s =1/T )远大于状态方程的特征频率f 0，即f s >> f 0时，存在下述线性近似关系DT DT e +≈11A I A(3.3)将式(3.3)代入式(3.2)，可得00()()0()d 0d DTDTDT DTet DT et eττττ+=+⎰⎰111A A A 111I A B u x()=x()+B u x() (3.4a)当开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内是常数，或相对于开关频率是慢变化量时，可以用u (t )在一个开关周期内的平均值u 等效，于是，由式(3.4a)可得22120DTDT D T DT e++1A 111A x()=x()B u B u(3.4b)对于f s >> f 0，可以忽略式(3.4b)中的T 2项，从而得到下述线性近似关系0DT DT DT e ≈+11A u x()x()B(3.4c)（II ）开关工作状态2对应的状态方程的解为()()()d tDTt DT et t eDT ττ-⎰22A 2A u x =x()+B (3.5)同理，由式(3.5)可得： ()00T T TTTD D D D D D T D T T e e DT eeDT e''''+'=+11222A A 22A A A 22uu u ux()=B B x()+x()+B B (3.6)其中)(T D D T DT DT e ''=+2A 121u u A B I B(3.7)忽略式(3.7)中的T 2项，可得)(T D D T DT DT DT e ''≈=+2A 1211u u uA B I B B (3.8)将式(3.8)代入式(3.6)，得)()0(T D D T T e D D +'+'12A A 12u x()=x()+B B(3.9)式(3.9)对应的状态方程为：)d d ()(D D D tt t D ''++1212A A u x()=x()+B B(3.10)其中t x()为开关变换器在一个开关周期内状态向量的平均值，式(3.10)即为描述CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程。
状态空间表达式的解PPT课件
06 结论
状态空间表达式解法的总结
解法概述
详细总结了状态空间表达式的解法，包 括其基本原理、主要步骤和常用技巧。
优缺点分析
对状态空间表达式的解法进行了全面 的优缺点分析，以便读者更好地理解
和使用。
应用实例
列举了几个实际应用的状态空间表达 式问题，并展示了如何运用解法进行 求解。
与其他方法的比较
将状态空间表达式的解法与其他常见 的方法进行了比较，突出了其独特性 和优势。
状态空间表达式的重要性
01
状态空间表达式具有直观性和通 用性，能够全面地描述系统的动 态特性，包括系统的稳定性、可 控性和可观测性等。
02
它为控制系统分析和设计提供了 强大的数学工具，使得复杂系统 的分析和控制成为可能。
状态空间表达式的应用领域
控制系统设计
状态空间表达式广泛应用于控制系统 设计和分析中，如线性控制系统、非 线性控制系统、多变量控制系统等。
等。
判定方法
03
通过计算系统的极点、零点和增益等参数，判断解的稳定性。
解的唯一性
定义
如果给定相同的初始条件和输入信号，状态空 间表达式的解是唯一的，则称该解是唯一的。
判定方法
通过求解线性代数方程组或使用数值计算方法， 验证解的唯一性。
唯一性条件
只有在无病态或适定性条件下，解才是唯一的。
解的收敛性
稳定性分析
分析系统的稳定性，判断系统是否能够保持稳定运行。对于不稳定 的系统，需要采取措施进行控制和调整。
04 状态空间表达式的解的性 质
解的稳定性
定义
01
如果状态空间表达式的解在初始条件的影响下，最终会趋于稳
定状态，则称该解是稳定的。
LPV模型的非线性PID控制算法
LPV模型的非线性PID控制算法黄江茵【摘要】以LPV模型为被控对象,提出一种适合动态系统、整定简便的非线性PID 控制算法.针对LPV模型时变非线性运行特性,引入工作点变量,采用传统Ziegler-Nichols法整定被控对象在工作点处的局部PID控制参数,通过高斯插值使控制参数在系统操作轨迹上的平滑过渡,有效避免控制参数突变对系统的冲击以及被控模型改变引起的误差,实现了对被控非线性对象的高效稳定控制.【期刊名称】《厦门理工学院学报》【年(卷),期】2015(023)003【总页数】5页(P36-40)【关键词】LPV模型;非线性PID控制;高斯插值【作者】黄江茵【作者单位】厦门理工学院电气工程与自动化学院,福建厦门361024【正文语种】中文【中图分类】TP273.2尽管近年来，如模型预测控制等先进控制算法不断推出，但PID控制器以其结构简单，对模型误差具有鲁棒性及易于操作等优点，仍然被广泛应用于冶金、化工等工业过程控制中.随着对非线性系统控制精度要求的不断提高，PID参数的智能整定算法［1-2］、非线性PID调节器设计［3］等改进的PID算法也越来越受到关注.变参数线性（linear parameter varying，LPV）模型是近10年来学术界广泛关注的非线性模型结构之一，虽然其辨识方法层出不穷［4］，但针对该模型的控制算法却少有人涉猎.原因在于LPV模型的非线性时变特性，大大增加了先进控制算法中预估系统输出以及控制约束方程的寻优难度，甚至无法获得局部收敛的最优解.针对此问题，本文利用PID控制器鲁棒性强、参数个数少、整定方便等显著优点，首先针对系统运行的若干个稳态阶段整定局部PID参数，随后引入LPV模型辨识中常见的“工作点变量”概念，以其为自变量构建高斯权重函数对局部参数进行插值，使控制参数在被控对象的整个操作轨迹上实现动态平滑过渡，获得较好的控制效果.目前为止，学术界已讨论过各种类型的非线性PID控制器.根据控制原理，这些非线性PID控制器可以分为两类：一类是直接控制量（direct-action）型，一类是增益调整（gain-scheduling）型［5］.数学表达形式分别为：直接控制量型：增益调整型：其中：u，e（t）分别为控制量输入与控制响应的误差；x，θ分别为非线性函数的自变量与参数向量；下标P，I，D分别对应比例、积分、微分含义.由上述两类非线性PID控制器的表达式中可以看出，直接控制量型控制器是对控制分量进行非线性设计，而增益调整型控制器则是对增益参数的非线性进行规划调整.文献［5］采用的是直接控制量型PID控制器，采用3个相同的样条函数对误差e（t）进行非线性处理，处理后的信号再分别进行比例、积分和微分计算.文献［6］则采用了增益调整型PI控制器，在KP，KI前增加了“前项增益切换机制”，实现KP，KI的简单线性过渡.鉴于直接控制量型PID控制器中，对积分、微分控制分量的非线性特性先验知识不够充分［5］，本文采用的是增益调整型结构，直接针对KP，KI，KD设计非线性函数，该非线性PID控制器的结构如图1所示.随着近几年来工业系统自动控制要求的不断提高，以及过程设计、分析、全过程运行最优化等命题的提出，变参数模型越来越得到学术界和工业界的重视.其中，最受瞩目之一的便是LPV模型［7］. LPV模型的主导思想是用一个包含时变参数的整体模型来描述非线性系统.该时变参数可以是系统工作点或者其他外部变量的函数.LPV模型的状态空间形式可表示为式（1）中：w（t）就是所谓的工作点变量；状态空间矩阵A，B，C，D都是w （t）的函数.LPV模型的控制问题一直是学术界公认的难点.众多先进的控制算法都对LPV模型束手无策.以模型预测控制算法为例，首先LPV模型是时变模型，难以预测系统在未来一定时间内的输出；其次预测控制算法中的分层优化需以被控对象模型作为约束方程［8］，而求解动态非线性约束问题一直是难以逾越的数学难题，极易因为初值设定、下降方向选择偏差而造成无法收敛，也很难获得局部最优解.考虑到PID控制器的鲁棒性，以及其待估参数少、整定方便等显著优点，采用非线性PID 控制器对LPV模型进行控制，则能够避开上述复杂的非线性优化命题，同时获得较好的控制效果.大多数非线性工业系统的运行轨迹，并不是杂乱无章的.大多数的工业过程，其运行轨迹都是由若干个“稳态阶段”以及过渡过程构成.在稳态阶段，系统运行在相对平稳的状态，主要操作变量和被控变量，包括工作点变量w（t）均处于相对恒定状态；在过渡过程，各变量也出现相应的过渡变化.由上述特点可推知，针对LPV模型的控制器，在稳态阶段可以采用传统线性控制器进行控制；而在过渡阶段，则需要采用某种算法重新设计控制参数，以适应LPV模型的动态特性.本文采用增益调整型PID进行控制，需要解决的核心问题在于如何设计KP（x，θP），KI（x，θP），KD（x，θP），使其能根据当前系统运行状态进行自动调整，同时又能满足超调小、响应迅速、无稳态误差这3点控制要求.根据上述分析和要求，可先整定稳态工作点处的局部PID控制参数，后采用高斯函数对这些局部参数进行插值获得最终非线性PID参数.具体步骤如下：步骤1：在系统的各个稳态阶段，采用传统线性PID控制器整定方法（如Ziegler-Nichols法、衰减曲线法、临界比例度法等），获取局部控制参数.假设被控对象有n个稳态，对应的工作点变量值为wi，（i=1，2，…，n），整定后的控制参数为KPi，KIi，KDi（i=1，2，…，n）步骤2：构建高斯函数计算局部控制参数权重，插值获得基于LPV模型的非线性PID控制器输出.式（2）中：KP，KI，KD分别为非线性PID控制器的比例、积分、微分参数；αi （w（t））是以w（t）为自变量的归一化高斯函数，作为稳态线性PID参数的权重.归一化的目的在于使各局部参数的权重值之和为1.参数σi（i=1，2，n）称为分离（或宽度）系数，可以简单地根据高斯函数的图象和权重的物理意义，将其设定为相邻工作点之间的间隔的三分之一，也可以通过极小化输出误差来估计.以最速下降法为例，损失函数极小化问题如式（5）所示：式（5）中：r（t）为设定值；y（t）为闭环系统输出；u（t）为非线性PID控制器输出；G（s，w）为被控对象LPV模型；N为样本空间容量.采用最速下降法进行寻优的流程如下：步骤1：初始化σi（i=1，2，…，n），记为σi（1）.根据高斯函数图像特征以及LPV模型权重函数的物理意义，将其设定为相邻工作点间隔的三分之一.定义误差阈值ε＞0以及迭代次数k=1.步骤2：沿被控对象的操作轨迹，采用上述非线性PID控制算法进行控制，采集数据集：Zn=｛y（t），r（t），w（t）｝，t=1，2，…，N；步骤3：计算负梯度向量d（k）=-∇f（σ（k）），其中步骤：4：若则停止搜索；σ（k）即为待定参数值，将其设为高斯权重的分离系数；否则，计算中的λ 值，其中，σ（k）=步骤5：计算σ（k+1）=σ（k）+λk×d（k），k=k+1；跳转步骤3.图2为当系统有4个工作点w1=20，w2=40，w3= 60，w4=80时对应的高斯权重值.从图2中可以看出，各个权重值均在接近它对应的工作点时达到最大值1，而随着远离对应工作点，平滑过渡到最小值0.任一时刻，各个权重值之和均为1.值得注意的是，由于高斯函数图象的对称性，采用高斯权重要求系统的工作点等间隔分布.如果系统的工作点之间的间隔不同，则可将高斯函数写成分段函数，间断点为各个工作点，并令各个分段高斯函数的分离系数不同.各局部PID参数的权重，不一定通过高斯函数获得，也可以构造线性函数、样条函数、多项式函数等计算.本文采用高斯函数的理由是，它的函数值比线性函数更加平滑，可以避免由于控制参数突变对系统造成的冲击，减小超调；相较于样条函数和多项式函数，它可以通过归一化保证各权重值之和在任意时刻均为1，符合插值的物理意义，而样条函数和多项式函数则有较多待估参数，难以同时保证误差极小化和函数值之和为1，也无法保证函数值介于［0，1］之间.以典型的MIMO二阶LPV模型为控制对象进行非线性PID控制仿真.仿真时间为13 s，采样周期1 ms，共采集13 000个数据.假设系统模型如下：式（6）中：w（t）为工作点变量，假定系统有2个局部稳态，对应的w（t）值分别为w1=1，w2=3.系统的整个运行轨迹上，w（t）的变化规律为：首先在2个稳态阶段，分别采用传统Ziegler-Nichols法整定局部线性PID参数，并进行微调以提高控制效果.两组局部KP，KI，KD如下：根据本文第2部分提出的方法，构建高斯权重函数并实时插值计算非线性PID控制器的参数以及输出.由于只有2个工作点，高斯权重中的分离系数σ未进行优化，而是定为工作点距离的1/3，即σ=（3-1）/3.为验证所提算法的抗干扰能力，t=6～10 s阶段，在仿真系统的输入端叠加了大小为0.5w2（t）的扰动信号.仿真控制结果如图3所示.从图3可以看出，虽然被控对象为时变非线性过程，但非线性PID控制依然可以实现在整个运行轨迹上的较好控制效果.若采用线性PID进行控制，由于恒定的控制参数无法适应时变的动态LPV模型，系统出现了较大的超调，而非线性PID控制器则可以同时保证较小的超调、较短的调节时间和较小的稳态误差.加入扰动信号后，线性PID控制下的系统出现了较大幅度的波动，而非线性PID控制器则能有效地减小系统波动并使输出较快稳定到设定值.LPV模型是用于辨识工业系统的常用非线性时变模型，针对LPV模型的先进控制算法常因为难以求解非线性动态约束的优化命题而失败.本文针对LPV模型的动态特性，提出了一种增量调整型非线性PID控制算法，首先在系统稳态工作点上整定局部线性的PID参数，然后以工作点变量为自变量构建高斯函数权重，插值获得非线性PID的整体控制参数.该方法既避免了复杂的非线性寻优计算，又能够根据系统运行的动态特征实时更新参数，符合LPV模型以及大多数工业非线性对象的控制需求.仿真结果表明该方法与传统线性PID控制相比，能够在整个运行轨迹上获得良好的控制效果，超调小，抗干扰能力强，响应迅速且无稳态误差.【相关文献】［1］金钊，刘丽华.PID参数模糊自整定控制在液位控制系统中的应用［J］.北京信息科技大学学报：自然科学版，2014，29（4）：86-89.［2］于洪国，王平.一种改进的最优PID参数自整定控制方法［J］.现代电子技术，2010，19（1）：162-164.［3］曾喆昭，肖雅芬，蒋杰，等.高斯基神经网络的非线性PID控制方法［J］.计算机工程与应用，2013，49（9）：255-258.［4］黄江茵.带约束多项式权重LPV模型辨识算法研究［J］.厦门理工学院学报，2014，22（3）：45-50.［5］胡包钢.非线性PID控制器研究-比例分量的非线性方法［J］.自动化学报，2006，32（2）：219-227.［6］邵辉，胡伟石，罗继亮.基于LPV模型的鲁棒PI控制方法［J］.北京工业大学学报，2012，38（12）：1 761-1 765.［7］LAURAIN V，GILSON M，T’OTH R，et al.Refined instrumental variable methods for identification of LPV Box-Jenkins models［J］.Automatica，2010，46（6）：959-967. ［8］陈虹.模型预测控制［M］.北京：科学出版社，2013：14-30.。
现代控制理论控制系统的状态空间模型
线性时变系统的特点
线性时变系统的动态行为由线性时变微 分方程描述，其特点是系统参数随时间 变化。
线性时变系统的稳定性分析较为复杂，需要 考虑参数变化对系统稳定性的影响。
线性时变系统在航空航天、机器人、 化工等领域有广泛应用，其控制策 略需要根据具体应用场景进行设计。
05
非线性系统的状态空间 模型
状态空间模型的近似线性化
线性化方法
由于非线性系统的分析和设计通常比较复杂，因此常常采 用近似线性化的方法将非线性系统转化为线性系统进行分 析。
泰勒级数展开
一种常用的近似线性化方法是使用泰勒级数展开，将非线 性函数展开成多项式形式，并保留低阶项以获得近似的线 性模型。
局部线性化
另一种常用的近似线性化方法是局部线性化，即将非线性 系统在某个平衡点附近进行线性化处理，以获得该点附近 的线性模型。
线性微分方程具有叠加性和时不变性，即对于任意常数c，若x(t) 是方程的解，则cx(t)也是方程的解；同时，若在时间t=t0时， x(t0)=x0，则对于任意时间t>t0，x(t)都等于x0。
状态空间模型的建立
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的方法，它由状态方程和输出方程组成。状态方程描述了系统内部状态的变化规 律，输出方程描述了系统输出与内部状态和输入的关系。
状态空间模型的建立需要确定系统的状态变量、输入变量和输出变量，然后根据系统的物理特性和实际需求来选择合适的系 统矩阵A、B和C。
线性时不变系统的特点
01
线性时不变系统具有叠加性、 均匀性和时不变性，这些性质 使得线性时不变系统在分析和 设计上相对简单。
02
线性时不变系统的动态行为可 以通过系统的极点和零点来描 述，这些极点和零点决定了系 统的动态响应特性和稳定性。
系统工程状态空间模型课件
04
状态空间模型的应用实 例
航天器轨道姿态动力学系统
总结词
航天器轨道姿态动力学系统是状态空间模型的重要应用之一，通过建立状态方程和观测 方程，实现对航天器轨道和姿态的精确描述和预测。
详细描述
在航天器轨道姿态动力学系统中，状态空间模型能够描述航天器的位置、速度、姿态等 状态变量，以及航天器所受到的力矩、气动阻力等作用力。通过建立状态方程和观测方 程，可以实现对航天器轨道和姿态的精确描述和预测，为航天器的控制和导航提供重要
05
状态空间模型的发展趋 势与展望
模型复杂性的提高
引入更多因素
随着系统工程领域的不断发展， 状态空间模型需要引入更多的因 素，如环境变化、人为因素等， 以更准确地描述系统行为。
考虑非线性关系
传统的状态空间模型往往只考虑 线性关系，但实际系统中非线性 关系广泛存在，因此需要加强对 非线性状态空间模型的研究和应 用。
系统辨识和预测
通过实际系统的输入/输出数据，可以辨识出系 统的状态空间模型，进而对系统的未来行为进行 预测和评估。
状态空间模型的应用领域
航空航天领域
在航空航天领域中，状态空间模 型广泛应用于飞行控制系统设计 、卫星轨道分析和姿态控制等方
面。
电力能源领域
在电力能源领域中，状态空间模型 用于描述电力系统的动态行为，如 电压稳定分析、暂态稳定评估等。
确定系统输入与
总结词
系统输入与输出的确定是建立状态空 间模型的必要步骤，需要明确系统输 入和输出的形式和作用。
详细描述
在确定系统输入与输出时，需要考虑 系统外部对内部状态的影响以及系统 内部状态对外部的输出，明确输入和 输出的形式和作用，以便后续建立输 出方程。
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当然，也可以扩展为AR(P)
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量测方程
状态方程
量测方程：
1.方程右端不能包含两侧变量的当期和未来值； z=sv1+sv2*x1+c(3)*z(1)+c(1)+[var=exp(c(2))] 2.量测方程必须是同期状态向量的线性方程。 @signal y=sv1*sv2*x1+[var=exp(c(2))] 3.量测方程可以包含外生变量和未知参数，也可以使这些元 素的非线性形式； Z=c(1)+sv1+sv2*x1+sv3*x2+[var=exp(c(2))] 4.可以包含误差或误差方差指定选项，如果不包含，则方程 是确定性的。
给误差方差和误差协方差 赋值
IF 误差项被命名，但没有对应的@evar赋值，则方差或协方差默认为NA或0
Ename语句定义的误差项只能存在于@evar赋值语句中，不能进入状态或量测方程
状态方程： 1.每一个状态方程具有唯一的因变量名，不允许使用表达式 @state exp(sv1)=sv1(-1)+[var=exp(c(3))] 2.状态方程中不能包含因变量及其超前、滞后变量。 3.状态方程中可以包含外生变量和未知参数，也可以是非线 性的； 4.每一个状态方程必须是状态变量一期滞后的线性方程。非 线性、同期、超前或多期滞后将导致错误信息。 @state sv2=log(sv2(-1))+[var=exp(c(3))] @state sv3=c(1)+c(2)*sv3(-2)+))+[var=exp(c(3))]
动态预测/平滑预测/n期向前预测
如果量测方程的因变量是一个表达式，EVIEWS只提供变大时的预测， 如果量测变量是log(y)，则只预测y的对数。
时变参数的状态空间模型(入门)
多变量时 间序列
第一、将不可观测的变量并入可观测模型并与其一起得到估 计结果； 第二、通过强有力的迭代算法——卡尔曼滤波来估计。
可以估计单变量和多变量的ARMA模型，马尔科夫转 换模型和变参数模型。
内部系统
输入
输出
一般情况
不可观测
随时间的改变而改变，体现了因变量和 自变量之间关系的改变
Z=c(1)+sv1+sv2*x1+sv3*x2+[var=exp(c(2))]
Y=c(1)++sv1*x1+[ename=e1] @state sv1=sv1(1)+[ename=el]
用 ename给残差序列命名
@evar cov(e1,e2)=c(2)
@evar var(e1)=exp(c(3)) @evar var(e2)=exp(c(4)*x)